Luận án được chia làm 4 chương với nội dung như sau: Kiến thức cơ bản đại số Steenrod, lý thuyết bất biến, đại số lambda và công trình của Singer về diễn đạt đại số lambda qua lý thuyết bất biến; Xây dựng tường minh của đồng cấu Lannes-Zarati cho một A-môđun không ổn định M bất kỳ.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN _ NGÔ ANH TUẤN VỀ DẠNG ĐẠI SỐ CỦA GIẢ THUYẾT VỀ CÁC LỚP CẦU Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 62460104 DỰ THẢO TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC HÀ NỘI - 2018 Cơng trình hồn thành tại: Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Nguyễn Hữu Việt Hưng Phản biện: Phản biện: Phản biện: Luận án bảo vệ trước Hội đồng cấp Đại học Quốc gia chấm luận án tiến sĩ họp vào hồi ngày tháng năm 20 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội Mở đầu ∞ Cho X CW-phức có điểm gốc Gọi Q0 X = Ω∞ Σ X thành phần chứa điểm gốc QX = Ω∞ Σ∞ X Có tốn cổ điển chưa có lời giải xác định ảnh đồng cấu Hurewicz H : π∗S (X) = π∗ (Q0 X) → H∗ (Q0 X) Ở toàn luận án, đồng điều đối đồng điều lấy với hệ số F2 , trường với hai phần tử Giả thuyết cổ điển lớp cầu cho X = S khẳng định có lớp bất biến Hopf bất biến Kervaire phần tử π∗S (S ) ∼ = π∗ (Q0 S ) phát đồng cấu Hurewicz Nguyễn H V Hưng phát biểu giả thuyết tổng quát lớp cầu sau Giả thuyết (Giả thuyết tổng quát lớp cầu) Cho X CW-phức có điểm gốc Khi đồng cấu Hurewicz H : π∗ (Q0 X) → H∗ (Q0 X) triệt tiêu lớp π∗ (Q0 X) có lọc Adams lớn (Xem [Curtis, 1975], [Snaith Tornehave, 1982] [Wellington, 1982] để thấy thảo luận cho X = S ) Một phiên đại số tốn trình bày sau Gọi Ps = F2 [x1 , , xs ] đại số đa thức s biến x1 , , xs , biến có bậc Cho nhóm tuyến tính tổng quát GLs = GL(s, F2 ) đại số Steenrod modulo 2, A, tác động Ps theo cách thông thường Đại số Dickson s biến, Ds , đại số bất biến Ds := F2 [x1 , , xs ]GLs Vì tác động A GLs Ps giao hoán với nên Ds đại số A Cho M A-môđun không ổn định Xây dựng Singer Rs M M Ds -môđun Ps ⊗ M sinh Sts M , Sts ký hiệu cho đồng cấu Steenrod định nghĩa sau Cho trước phần tử z ∈ M có bậc |z|, theo quy ước ta đặt St0 (z) = z, định nghĩa quy nạp |z| x|z|−i ⊗ Sq i (z), St1 (x; z) = i=0 Sts (x1 , , xs ; z) = St1 (x1 ; Sts−1 (x2 , , xs ; z)) Chú ý Rs M A-môđun Ds ⊗ M Rs M A-môđun không ổn định (Xem [Lannes-Zarati, 1987].) Ta ký hiệu s,s+i ϕM (M, F2 ) → (F2 ⊗A Rs M )i ∗ s : ExtA đồng cấu Lannes-Zarati thứ s cho A-môđun không ổn định M , định nghĩa [Lannes-Zarati, 1987] Khi M = H ∗ (X), đồng cấu tương ứng với phân bậc liên kết ánh xạ Hurewicz Chứng minh khẳng định không cơng bố, phác họa [Lannes, 1988] [Goerss, 1986] Trong trường hợp M = H ∗ (X), đối đồng điều rút gọn không gian H ∗ (X) tôpô X, đồng cấu Lannes-Zarati ϕs ký hiệu ϕX s cho gọn Các lớp bất biến Hopf bất biến Kervaire đại 2,∗ diện tương ứng chu trình vĩnh cửu Ext1,∗ A (F2 , F2 ) ExtA (F2 , F2 ), mà đồng cấu Lannes-Zarati khác không (xem [Adams, 1960], [Browder, 1969], [Lannes-Zarati, 1987]) Nguyễn H V Hưng phát biểu dạng đại số giả thuyết tổng quát lớp cầu cho M = H ∗ (S ) = F2 [Hưng, 1997] cho A-môđun không ổn định M seminar VNU khoảng thời gian dài: Giả thuyết (Dạng đại số tổng quát giả thuyết lớp cầu) Đồng cấu Lannes-Zarati s,s+i ϕM (M, F2 ) → (F2 ⊗A Rs M )i ∗ s : ExtA triệt tiêu gốc dương i với s > 2, với A-môđun không ổn định M Giả thuyết chứng minh cho trường hợp M = H ∗ (S ) với s = 3, Nguyễn H V Hưng (xem [Hưng, 1999], [Hưng, 2003]), với s = ông đồng nghiệp (xem [Hưng-Quỳnh-Tuấn, 2014]) Sự kiện đồng cấu Lannes-Zarati cho M = H ∗ (S ) triệt tiêu với s > phần tử phân tích ExtsA (F2 , F2 ) ảnh đồng cấu chuyển Singer chứng minh tương ứng Nguyễn H V Hưng-F P Peterson [Hưng-Peterson, 1998], Nguyễn H V Hưng-Trần N Nam [Hưng-Nam, 2001] Luận án chia làm chương với nội dung sau Trong Chương I, chúng tơi trình bày số kiến thức dùng phần luận án, bao gồm đại số Steenrod, lý thuyết bất biến, đại số lambda cơng trình Singer diễn đạt đại số lambda qua lý thuyết bất biến Các kết luận án trình bày từ Chương II đến Chương IV Trong Chương II, Tiết II.1 trình bày lại xây dựng tường minh đồng cấu Lannes-Zarati cho A-môđun không ổn định M Xây dựng tường minh trình bày [Hưng, 1997] cho M = F2 Tiết cuối chương II dành cho việc nghiên cứu trường hợp lớp đồng luân π∗ (Q0 X) với lọc Adams 0, 1, Nghiên cứu nhằm giải thích lý giả thuyết tổng quát lớp cầu cần tới giả thiết lớp đồng luân có lọc Adams lớn i Ta ký hiệu hi ∈ Ext1,2 A (F2 , F2 ) phần tử Adams thứ i với i ≥ j 0,2 (H ∗ (RP∞ ), F2 ) phần tử mà ảnh đồng cấu Kahn-Priddy hj ∈ ExtA s−1 g∗ : ExtA (H ∗ (RP∞ ), F2 ) → ExtsA (H ∗ (S ), F2 ) hj với j > (xem [Lin, 1981]) Mệnh đề (i) Đồng cấu Lannes-Zarati thứ không cho không gian xạ ảnh, ∞ ϕRP , đẳng cấu Ext0A (H ∗ (RP∞ ), F2 ) ∞ (ii) Đồng cấu Lannes-Zarati thứ cho không gian xạ ảnh, ϕRP , đơn cấu Span{hi hj | i ≥ j} triệt tiêu Span{hi hj | i < j} ∞ (iii) Đồng cấu Lannes-Zarati thứ hai cho không gian xạ ảnh, ϕRP , triệt tiêu gốc dương Ext2A (H ∗ (RP∞ ), F2 ) Điều đáng ý đồng cấu Lannes-Zarati thứ hai cho RP∞ triệt tiêu gốc dương, đồng cấu Lannes-Zarati thứ cho không gian khác không mệnh đề sau Mệnh đề Cho X CW-phức có điểm gốc mà đồng điều rút gọn H∗ (X) không tầm thường hữu hạn sinh bậc Khi đồng cấu Lannes-Zarati thứ X khác không gốc dương Chương III trình bày kết chung đồng cấu LannesZarati + Giả sử N A-môđun Gọi ∂s : Γ+ s N → Γs−1 N vi phân phức A Singer Γ+ ∗ N , với đồng điều Tors (F2 , N ) Một kết chương định lý sau Nhắc lại định lý chứng minh cho trường hợp M = H ∗ (S ) [Hưng, 2001] Định lý Cho M A-môđun không ổn định Gọi Qs,0 bất biến Dickson bậc cao 2s − Khi đó, với s ≥ 0, ánh xạ ∗ + (ϕM s ) : Rs M → Γs M, |z| qSts (z) → qQs,0 ⊗ z với q ∈ Ds , phần tử z bậc |z| M , biểu diễn cấp độ dây chuyền đối ngẫu đồng cấu Lannes-Zarati A ∗ (ϕM s ) : (F2 ⊗A Rs M )i → Tors,s+i (F2 , M ) Ánh xạ tự nhiên A-đồng cấu A-mơđun khơng ổn định Vì Rs M Ds -môđun tự sinh Sts (M ) (xem [Lannes-Zarati, 1987, Định nghĩa-Mệnh đề 2.4.1]) nên ánh xạ định nghĩa tốt Theo định lý Giả thuyết tương đương với giả thuyết sau Giả thuyết Giả sử M A-môđun không ổn định Khi đó, với q ∈ Ds phần tử z ∈ M cho chúng có bậc |z| dương, qQs,0 ⊗ z biên phức Γ+ M với s > Gọi (T rsM )∗ : TorA s (F2 , M ) → F2 ⊗A (Ps ⊗M ) đối ngẫu đồng cấu chuyển đại số định nghĩa [Singer, 1989] Phép nhúng tắc Rs M ⊂ Ps ⊗M cảm sinh đồng cấu F2 ⊗A Rs M → F2 ⊗A (Ps ⊗ M ) hợp thành đối ngẫu đồng cấu Lannes-Zarati đối ngẫu đồng cấu chuyển Singer Sự kiện [Hưng, 1997] cho M = F2 lý giải cho A-môđun không ổn định M [Hưng-Powell, 2018] Một dạng yếu Giả thuyết 2, Nguyễn H V Hưng phát biểu, khẳng định đồng cấu Lannes-Zarati thứ s triệt tiêu với s > gốc dương ảnh đồng cấu chuyển Singer Theo biểu diễn dây chuyền ∗ hợp thành (T rsM )∗ (ϕM s ) nói trên, giả thuyết yếu diễn đạt tương đương sau Giả thuyết (Dạng yếu giả thuyết đại số tổng quát lớp cầu) Cho M A-mơđun khơng ổn định Khi phần tử bậc dương xây dựng Rs M Singer bị hit toán tử Steenrod bậc dương Ps ⊗ M với s > Giả thuyết chứng minh cho M = H ∗ (S ) M = H ∗ (RP∞ × · · · × RP∞ ) Trần N Nam Nguyễn H V Hưng tương ứng [HưngNam, 2001a] [Hưng-Nam, 2001b] Trong trường hợp M = H ∗ (S ), kết định lý phần tử bậc dương đại số Dickson Ds bị hit toán tử Steenrod bậc dương đại số đa thức Ps với s > Gần đây, Nguyễn H V Hưng G Powell chứng minh dạng yếu giả thuyết đại số tổng quát lớp cầu (xem [Hưng-Powell, 2018]) Kết thứ hai Chương III thương hoá đồng cấu LannesZarati qua A-hệ sinh tối tiểu chu trình phức Singer Định lý Giả sử M A-mơđun khơng ổn định Khi đối ngẫu ∗ đồng cấu Lannes-Zarati (ϕM s ) phân tích qua F2 ⊗A Ker∂s : ∗ (ϕM s ) F2 ⊗A Rs M i / TorA (F , M ) s p ( F2 ⊗A Ker∂s , p cảm sinh phép chiếu tắc p : Ker∂s → TorA s (F2 , M ) := Ker∂s /Im∂s+1 Tiết III.3 nghiên cứu giao hoán toán tử squaring đồng cấu LannesZarati: Định lý Tồn toán tử squaring Sq (F2 ⊗A Rs H ∗ (RP∞ ))∗ làm biểu đồ ∗ ϕs ExtsA (H ∗ (RP∞ ), F2 ) −−→ (F2 ⊗A Rs H ∗ (RP∞ )) Sq Sq ϕs ∗ ExtsA (H ∗ (RP∞ ), F2 ) −−→ (F2 ⊗A Rs H ∗ (RP∞ )) giao hoán Ở đây, mũi tên thẳng đứng toán tử squaring cổ điển, mũi tên nằm ngang ký hiệu cho đồng cấu Lannes-Zarati Định lý chứng minh cách sử dụng Định lý Bổ đề III.3.5 Nhắc lại Bổ đề III.3.5 lần đầu chứng minh [Hưng, 2003] Để tiện theo dõi luận án, Tiết III.4 chương III này, đưa chứng minh khác Bổ đề III.3.5 cách sử dụng đạo hàm riêng hình thức Trong tiết III.4, từ tính hàm tử đồng cấu Lannes-Zarati, chúng tơi thu mệnh đề sau Mệnh đề 10 Cho π : M → M tồn cấu A-mơđun không ổn M định Nếu ϕM s triệt tiêu gốc dương, ϕs triệt tiêu gốc dương Ở tiết cuối Chương III, chúng tơi chứng minh định lý sau nói triệt tiêu đồng cầu Lannes-Zarati phần tử phân tích Định lý 11 Cho M A-mơđun khơng ổn định có kiểu hữu hạn Khi đồng cấu Lannes-Zarati thứ s cho M s,s+i ϕM (M, F2 ) → (F2 ⊗A Rs M )∗i s : ExtA triệt tiêu phần tử có dạng αβ gốc dương i, α ∈ s−m Extm A (F2 , F2 ) β ∈ ExtA (M, F2 ) với m ≥ 2, s − m > m = s ≥ stem(β) > s − Định lý 11 đưa chứng ủng hộ Giả thuyết Một hệ Định lý 11 định lý sau Hưng Peterson Định lý 12 ([Hưng-Peterson, 1998]) Đồng cấu Lannes-Zarati thứ s ϕFs : Exts,s+i (F2 , F2 ) → (F2 ⊗A Ds )∗i A triệt tiêu phần tử phân tích gốc dương i với s ≥ Hưng Peterson chứng minh định lý 12 cách ϕ∗ = ⊕s ϕFs đồng cấu đại số và, nữa, tích đại số ⊕s (F2 ⊗A Ds )∗ tầm thường, ngoại trừ trường hợp (F2 ⊗A D1 )∗ ⊗ (F2 ⊗A D1 )∗ → (F2 ⊗A D2 )∗ Phương pháp dùng để chứng minh Định lý 11 khác với phương pháp Hưng Peterson Các yếu tố cấu thành để chứng minh Định lý 11 việc sử dụng biểu diễn dây chuyền đối ngẫu đồng cấu Lannes-Zarati (xem Định lý 5) Bổ đề III.6.4 Sử dụng Định lý 5, Định lý 14 Định lý 15, ta thu mệnh đề sau Mệnh đề 13 Đồng cấu Lannes-Zarati thứ cho H ∗ (RP∞ ) ∞ 5,5+i ϕRP : ExtA (H ∗ (RP∞ ), F2 ) → (F2 ⊗A R5 H ∗ (RP∞ ))∗i triệt tiêu phần tử phân tích gốc dương i Chương IV chia làm hai phần nghiên cứu triệt tiêu đồng cấu LannesZarati cho mặt cầu S không gian xạ ảnh Định lý sau kết Chương IV Đây kết nghiên cứu chung Nguyễn H V Hưng, Võ T N Quỳnh, Ngô A Tuấn (xem [Hưng-Quỳnh-Tuấn, 2014]) Định lý 14 Đồng cấu Lannes-Zarati thứ năm cho H ∗ (S ) 5,5+d (H ∗ (S ), F2 ) → (F2 ⊗A R5 H ∗ (S ))d ϕS5 : ExtA ∗ triệt tiêu gốc dương d Theo Định lý 12 Hưng Peterson, để chứng minh Định lý 14 ta cần chứng tỏ ϕS5 triệt tiêu phần tử khơng phân tích Để làm điều đó, chúng tơi dùng đến tính tốn tương ứng Giambalvo-Peterson (xem [Giambalvo-Peterson, 2001]) T W Chen (xem [Chen, 2011]) nhóm F2 ⊗A D5 Ext5A (F2 , F2 ) Phần lại Chương IV nghiên cứu Giả thuyết triệt tiêu đồng cấu Lannes-Zarati thứ thứ không gian xạ ảnh Cụ thể, thu kết sau Định lý 15 Đồng cấu Lannes-Zarati thứ s cho H ∗ (RP∞ ) ∞ ϕRP : Exts,s+i (H ∗ (RP∞ ), F2 ) → (F2 ⊗A Rs H ∗ (RP∞ ))i s A ∗ triệt tiêu gốc dương i với s = 3, Trong chứng minh Định lý 15, sử dụng tính tốn nhóm Ext3A (H ∗ (RP∞ ), F2 ) Ext4A (H ∗ (RP∞ ), F2 ) tương ứng báo [Lin, 2008] [Chen, 2011] Mối liên hệ đồng cấu Lannes-Zarati không gian khác đề cập đến chương Gọi g : RP∞ → S ánh xạ phổ, cho đồng cấu cảm sinh nhóm π1 đẳng cấu Khi định lý Kahn-Priddy đại số, chứng minh W H Lin [Lin, 1981], Tiết I.2 dành để trình bày tóm tắt mơ tả theo lý thuyết bất biến đại số lambda Chúng tơi trình bày tiết dựa theo báo [W M Singer, 1983] Gọi Ts nhóm GLs gồm tất ma trận tam giác với phần tử đường chéo Vành bất biến PsTs xác định Mùi (xem [Mùi, 1975]) Ông PsTs đại số đa thức PsTs = F2 [V1 , , Vs ] phần tử Vk có bậc 2k−1 Vành bất biến PsGLs mô tả Dickson (xem [Dickson, 1911]) Ông PsGLs đại số đa thức PsGLs = F2 [Qs,0 , , Qs,s−1 ] phần tử sinh Qs,i có bậc 2s − 2i Singer định nghĩa Γ+ s F2 -không i i0 s−1 gian Γs = Ds [Q−1 s,0 ] sinh tất đơn thức γ = Qs,0 · · · Qs,s−1 với i1 , , is−1 ≥ 0, i0 ∈ Z i0 + degγ ≥ Sau đó, ơng xây dựng phức dây chuyền Γ+ M Hs (Γ+ M ) ∼ = TorA s (F2 , M ), với M A-mơđun Ngồi ra, Singer cịn chứng minh Γ+ s đẳng cấu với đối ngẫu đại số lambda (Λs )∗ 11 Chương II Đồng cấu Lannes-Zarati thứ không, thứ một, thứ hai Chương II chia làm tiết Tiết I.1 dành để trình bày xây dựng đồng cấu Lannes-Zarati Trong Tiết II.2 chương này, chúng tơi trình bày số quan sát giải thích lý giả thuyết tổng quát lớp cầu có giả thiết phần tử với lọc Adams lớn Chương II viết dựa báo [Hưng-Tuấn, 2018] II.1 Nhìn lại đồng cấu Lannes-Zarati Trong Chương II, Tiết II.1 trình bày lại xây dựng tường minh đồng cấu Lannes-Zarati cho A-môđun không ổn định M Xây dựng tường minh trình bày [Hưng, 1997] cho M = F2 II.2 Nghiên cứu trường hợp lọc Adams 0, 1, Trong tiết này, nghiên cứu đồng cấu Lannes-Zarati thứ không, thứ một, thứ hai cho không gian xạ ảnh RP∞ Điều đáng ý đồng cấu Lannes-Zarati thứ hai cho RP∞ triệt tiêu gốc dương, đồng cấu Lannes-Zatati thứ cho CW-phức X có điểm gốc, với đồng điều rút gọn H∗ (X) không tầm thường hữu hạn sinh bậc, khác khơng 12 gốc dương Cho {uk }k≥1 F2 -cơ sở H ∗ (RP∞ ), {ek }k≥1 F2 -cơ sở H∗ (RP∞ ) đối ngẫu với {uk }k≥1 Theo [Adams, 1960] [Lin, 2008], ta định nghĩa lớp sau nhóm Ext i −1 (i) hi = [e2i −1 ] ∈ Ext0,2 (P ), i ≥ 1; A i (ii) hi = [λ2i −1 = (Sq )i (λ0 )] ∈ Ext1,2 A (F2 , F2 ), i ≥ Mệnh đề sau đây, đánh số Mệnh đề 3, kết Chương II Mệnh đề II.2.4 ([3]) (i) Đồng cấu Lannes-Zarati thứ không cho không gian ∞ , đẳng cấu Ext0A (H ∗ (RP∞ ), F2 ) xạ ảnh, ϕRP ∞ , đơn (ii) Đồng cấu Lannes-Zarati thứ cho không gian xạ ảnh, ϕRP cấu Span{hi hj | i ≥ j} triệt tiêu Span{hi hj | i < j} ∞ (iii) Đồng cấu Lannes-Zarati thứ hai cho không gian xạ ảnh, ϕRP , triệt tiêu gốc dương Ext2A (H ∗ (RP∞ ), F2 ) Mệnh đề sau đánh số Mệnh đề Mệnh đề II.2.6 ([3]) Cho X CW-phức có điểm gốc mà đồng điều rút gọn H∗ (X) không tầm thường hữu hạn sinh bậc Khi đồng cấu Lannes-Zarati thứ X khác không gốc dương 13 Chương III Đồng cấu Lannes-Zarati: kiến thức chung Trong chương trình bày kết chung đồng cấu Lannes-Zarati Cụ thể, Tiết III.1, đưa biểu diễn cấp độ dây chuyền đối ngẫu đồng cấu Lannes-Zarati Trong Tiết III.2, đối ngẫu đồng cấu Lannes-Zarati phân tích qua A-hệ sinh tối tiểu chu trình phức Singer Γ+ M Sự giao hoán đồng cấu Lannes-Zarati toán tử squaring nghiên cứu Tiết III.3 Trong Tiết III.4, chúng tơi trình bày đạo hàm riêng hình thức ứng dụng Tiết III.5 đề cập đến tính hàm tử đồng cấu Lannes-Zarati Trong tiết cuối chương này, nghiên cứu triệt tiêu đồng cấu Lannes-Zarati phần tử phân tích Chương III viết dựa báo [Hưng-Tuấn, 2018] [Tuấn, 2018] III.1 Biểu diễn dây chuyền đồng cấu Lannes-Zarati Mục đích tiết giới thiêu định lý sau Đây nội dung Định lý Định lý III.1.1 ([3]) Cho M A-mơđun khơng ổn định Khi đó, với 14 s ≥ 0, ánh xạ ∗ + (ϕM s ) : Rs M → Γs M, |z| qSts (z) → qQs,0 ⊗ z với q ∈ Ds , phần tử z bậc |z| M , biểu diễn cấp độ dây chuyền đối ngẫu đồng cấu Lannes-Zarati A ∗ (ϕM s ) : (F2 ⊗A Rs M )i → Tors,s+i (F2 , M ) Ánh xạ tự nhiên A-đồng cấu A-môđun không ổn định III.2 Thương hóa đồng cấu Lannes-Zarati qua A-hệ sinh tối tiểu chu trình phức Singer + Cho M A-môđun không ổn định, ∂s : Γ+ s M → Γs−1 M vi phân phức Γ+ M Gọi i : Rs M → Ker∂s ánh xạ biến phần tử qSts (z) thành |z| qQs,0 ⊗ z ∈ Ker∂s Mục đích tiết giới thiệu định lý sau, định lý chứng minh Nguyễn H V Hưng [Hưng, 2001] với M = H ∗ (S ) Đây nội dung Định lý Định lý III.2.1 ([3]) Giả sử M A-môđun không ổn định Khi đối ∗ ngẫu đồng cấu Lannes-Zarati (ϕM s ) phân tích qua F2 ⊗A Ker∂s : ∗ (ϕM s ) F2 ⊗A Rs M i / TorA (F , M ) s p ( F2 ⊗A Ker∂s , p cảm sinh phép chiếu tắc p : Ker∂s → TorA s (F2 , M ) := Ker∂s /Im∂s+1 15 III.3 Đồng cấu Lannes-Zarati tốn tử squaring Liulevicius có lẽ người nhận thấy [Liulevicius, 1962] s+i,2t tồn toán tử squaring Sq i : Exts,t (F2 , F2 ), có phần A (F2 , F2 ) → ExtA lớn tính chất Sq i đối đồng điều không gian Đặc biệt, Sq i (α) = i > s, Sq s (α) = α2 với α ∈ Exts,t A (F2 , F2 ), công thức Cartan cho Sq i Tuy nhiên, toán tử squaring Sq đồng Nguyễn H V Hưng xây dựng toán tử squaring (F2 ⊗A Ds )∗ [Hưng, 1997] Hơn nữa, ông chứng minh định lý sau Định lý III.3.1 ([Hưng, 2003]) Toán tử squaring (F2 ⊗A Ds )∗ giao hoán với toán tử squaring cổ điển ExtsA (F2 , F2 ) qua đồng cấu Lannes-Zarati ϕFs , với s Để cho gọn, từ bây giờ, H ∗ (RP∞ ) đối đồng điều rút gọn H ∗ (RP∞ ) ký hiệu P P Mục đích tiết xây dựng toán tử squaring (F2 ⊗A Rs P )∗ , toán tử giao hoán với toán tử squaring cổ điển ExtsA (P , F2 ) qua đồng cấu Lannes-Zarati Định lý sau đây, đánh số Định lý 9, kết tiết Định lý III.3.2 ([3]) Tồn toán tử squaring Sq (F2 ⊗A Rs H ∗ (RP∞ ))∗ làm biểu đồ ∗ ϕs ExtsA (H ∗ (RP∞ ), F2 ) −−→ (F2 ⊗A Rs H ∗ (RP∞ )) Sq Sq ϕs ∗ ExtsA (H ∗ (RP∞ ), F2 ) −−→ (F2 ⊗A Rs H ∗ (RP∞ )) giao hoán Trong đó, mũi tên dọc tốn tử suquaring cổ điển, mũi tên nằm ngang ký hiệu cho đồng cấu Lannes-Zarati Bổ đề sau lập luận then chốt chứng minh Định lý III.3.2 Bổ đề III.3.5 ([Hưng, 2003, Mệnh đề 3.2]) Sqx0 trùng với Sqv0 F2 [V1 , , Vs ], với s 16 Định lý III.3.2 chứng minh nhờ bổ đề sau Bổ đề III.3.6 ([3]) Các ánh xạ squaring Sq∗0 : Rs P → Rs P Sq∗0 : Γ+ sP → ∗ Γ+ s P giao hoán với qua biểu diễn cấp độ dây chuyền ϕ đối ngẫu đồng cấu Lannes-Zarati cho P Chính xác hơn, với s, ϕ∗ Sq∗0 = Sq∗0 ϕ∗ III.4 Đạo hàm riêng hình thức ứng dụng Trong mục này, đưa chứng minh cho Mệnh đề 3.2 báo [Nguyễn H V Hưng, 2003], mệnh đề phát biểu Bổ đề III.3.5 Chứng minh không phụ thuộc vào “các tọa độ” III.5 Tính hàm tử đồng cấu Lannes-Zarati Trong mục chúng tơi trình bày tính hàm tử đồng cấu LannesZarati Mệnh đề sau suy trực tiếp từ định nghĩa đồng cấu Lannes-Zarati Mệnh đề III.5.1 ([3]) Cho f : M → N đồng cấu A-môđun không ổn định Khi biểu đồ ExtsA (N, F2 ) f ∗ ϕN s −−→ (F2 ⊗A Rs N )∗ f ∗ ϕM ExtsA (M, F2 ) −−s→ (F2 ⊗A Rs M )∗ giao hoán Mệnh đề sau đây, đánh số Mệnh đề 10, kết tiết Mệnh đề III.5.2 ([3]) Cho π : M → M toàn cấu A-môđun M không ổn định Nếu ϕM s triệt tiêu gốc dương, ϕs triệt tiêu gốc dương 17 III.6 Đồng cấu Lannes-Zarati phần tử phân tích Trong mục này, tơi nghiên cứu triệt tiêu đồng cầu Lannes-Zarati phần tử phân tích Trong [Singer, 1983], Singer định nghĩa đẳng cấu đại số ψm,n : ∆s → ∆m ⊗ ∆n ψm,n (vi ) = vi ⊗ 1, ≤ i ≤ m, 1 ⊗ v , m + ≤ i ≤ s, i−m với cặp số nguyên không âm m, n thỏa mãn m + n = s Ở ta hiểu ∆0 = F2 , ψs,0 (x) = x ⊗ ψ0,s (x) = ⊗ x t s−1 Giả sử c = Qts,0 · · · Qs,s−1 ∈ Ds , ψm,n (c) = QI ⊗ QJ với QI ∈ Dm QJ ∈ Dn Một phần tử Ds gọi A-phân tích nằm ADs , A ký hiệu cho iđêan bổ sung đại số Steenrod A Giambalvo and Peterson điều kiện đủ cho đơn thức Ds A-phân tích sau Định lý III.6.2 ([Giambalvo-Peterson, 2001, Mệnh đề 4.8]) Cho s ≥ giả sử I = (i0 , , is−1 ) gồm s số nguyên không âm QI = i s−1 Qis,0 · · · Qs,s−1 ∈ Ds với i0 > s − Khi QI A-phân tích Bổ đề sau đóng vai trị then chốt chứng minh kết tiết Bổ đề III.6.4 ([2]) Cho M A-mơđun khơng ổn định có kiểu hữu hạn Gọi cSts (z) phần tử Rs M , với c ∈ Ds phần tử n z bậc |z| M Khi đó, với α ∈ Extm A (F2 , F2 ) β ∈ ExtA (M, F2 ), 18 m > 0, n ≥ 0, m + n = s, ta có 2n |z| [cSts (z)], ϕM s (αβ) = [QI Qm,0 ], ϕFm2 (α) [QJ Stn (z)], ϕM n (β) 2q |z| |QI Qm,0 |=stem(α) |QJ Stn (z)|=stem(β) Trong đó, QI QJ xuất ψm,n (c) = QI ⊗ QJ Định lý sau đây, đánh số Định lý 11, kết tiết Định lý III.6.5 ([2]) Cho M A-mơđun khơng ổn định có kiểu hữu hạn Khi đồng cấu Lannes-Zarati thứ s cho M s,s+i ϕM (M, F2 ) → (F2 ⊗A Rs M )∗i s : ExtA triệt tiêu phần tử có dạng αβ gốc dương i, α ∈ n Extm A (F2 , F2 ) β ∈ ExtA (M, F2 ) với m ≥ 2, n > m + n = s m = s ≥ 2, n = stem(β) > s − Áp dụng Định lý III.6.5 với M = F2 , ta thu định lý sau Hưng Peterson Định lý đánh số Định lý 12 Định lý III.6.6 ([Hưng-Peterson, 1998]) Đồng cấu Lannes-Zarati thứ s ϕFs : Exts,s+i (F2 , F2 ) → (F2 ⊗A Ds )∗i A triệt tiêu phần tử phân tích gốc dương i với s ≥ Mệnh đề sau nội dung Mệnh đề 13 Mệnh đề III.6.7 ([2]) Đồng cấu Lannes-Zarati thứ cho P ϕP5 : Ext5,5+i (P , F2 ) → (F2 ⊗A R5 P )∗i A triệt tiêu phần tử phân tích gốc dương i 19 Chương IV Về triệt tiêu đồng cấu Lannes-Zarati mặt cầu S không gian xạ ảnh Chương chia làm tiết Trong tiết chương, chúng tơi trình bày chứng minh dạng đại số giả thuyết lớp cầu cho M = H ∗ (S ) với s = Tiết IV.2 Tiết IV.3 dành để chứng minh dạng đại số giả thuyết lớp cầu cho M = H ∗ (RP∞ ) với s = 3, Trong Tiết IV.4, nghiên cứu mối liên hệ đồng cấu Lannes-Zarati cho mặt cầu S cho không gian xạ ảnh RP∞ , mối liên hệ đến từ dạng đại số định lý Kahn-Priddy Tiết cuối chương trình bày triệt tiêu đồng cấu Lannes-Zarati thứ 2, thứ 3, thứ cho không gian xạ ảnh hữu hạn chiều RPn Chương IV viết dựa báo [Hưng-Quỳnh-Tuấn, 2014] [Hưng-Tuấn, 2018] IV.1 Đồng cấu Lannes-Zarati mặt cầu chiều: trường hợp cổ điển Trong mục này, chúng tơi trình bày chứng minh Giả thuyết cho M = H ∗ (S ) với s = Định lý sau nội dung Định lý 14 20 Định lý IV.1.3 ([3]) Đồng cấu Lannes-Zarati thứ năm cho H ∗ (S ) 5,5+d ϕS5 : ExtA (H ∗ (S ), F2 ) → (F2 ⊗A R5 H ∗ (S ))d ∗ triệt tiêu gốc dương d IV.2 Sự triệt tiêu đồng cấu Lannes-Zarati thứ cho RP∞ Mục đích tiết chứng minh Giả thuyết cho M = H ∗ (RP∞ ) với s = Định lý sau phần Định lý 15 Định lý IV.2.3 ([3]) Đồng cấu Lannes-Zarati thứ ba cho H ∗ (RP∞ ) ∞ 3,3+d ϕRP : ExtA (H ∗ (RP∞ ), F2 ) → (F2 ⊗A R3 H ∗ (RP∞ ))d ∗ triệt tiêu gốc dương d IV.3 Sự triệt tiêu đồng cấu Lannes-Zarati thứ cho RP∞ Mục đích mục chứng minh Giả thuyết cho M = H ∗ (RP∞ ) với s = Định lý sau phần Định lý 15 Định lý IV.3.3 ([3]) Đồng cấu Lannes-Zarati thứ tư cho H ∗ (RP∞ ) ∞ 4,4+d ϕRP (H ∗ (RP∞ ), F2 ) → (F2 ⊗A R4 H ∗ (RP∞ ))d : ExtA ∗ triệt tiêu gốc dương d IV.4 Mối liên hệ đồng cấu Lannes-Zarati cho RP∞ cho S Mục đích mục thiết lập mối liên hệ đồng cấu Lannes-Zarati cho RP∞ cho S Mối liên hệ đến từ dạng đại số định lý Kahn-Priddy (xem [Lin, 1981]) 21 Mệnh đề sau đánh số Mệnh đề 16 ∞ S Mệnh đề IV.4.2 ([3]) Nếu ϕRP s−1 triệt tiêu gốc dương, ϕs triệt gốc dương với s ≥ Kết hợp Mệnh đề IV.4.2 với Mệnh đề II.2.4, Định lý IV.2.3 Định lý IV.3.3, ta thu hệ sau Đây nội dung Hệ 17 Hệ IV.4.3 ([Hưng, 1997], [Hưng, 2003], [Hưng-Quỳnh-Tuấn, 2014]) Đồng cấu Lannes-Zarati thứ s cho S ϕSs : Exts,s+i (F2 , F2 ) → (F2 ⊗A Ds )i ∗ A triệt tiêu gốc dương i với s = 3, 4, IV.5 Đồng cấu Lannes-Zarati không gian xạ ảnh hữu hạn chiều Trong tiết này, chúng tơi trình bày triệt tiêu đồng cấu LannesZarati không gian xạ ảnh hữu hạn chiều Ta có H ∗ (RPn ) = H ∗ (RP∞ )/(un+1 ), u ký hiệu phần tử sinh có bậc H ∗ (RP∞ ) Vì vậy, cách kết hợp Mệnh đề III.5.2 với Mệnh đề II.2.4 (iii), Định lý IV.2.3, Định lý IV.3.3, ta thu mệnh đề sau Đây nội dung Mệnh đề 18 Mệnh đề IV.5.1 ([3]) Đồng cấu Lannes-Zarati thứ s cho H ∗ (RPn ) ∗ n ϕsRP : ExtsA (H ∗ (RPn ), F2 ) → (F2 ⊗A Rs H ∗ (RPn )) triệt tiêu gốc dương với s = 2, 3, với số nguyên dương n 22 Kết luận Trong luận án này, thu kết sau Chúng đưa biểu diễn cấp độ dây chuyền cho đối ngẫu đồng cấu Lannes-Zarati Từ đối ngẫu đồng cấu Lannes-Zarati phân tích qua A-hệ sinh tối tiểu của chu trình phức Singer Γ+ M Sự giao hoán đồng cấu Lannes-Zarati toán tử squaring nghiên cứu luận án Đồng cấu Lannes-Zarati thứ 0, thứ thứ cho H ∗ (RP∞ ) nghiên cứu luận án Điều đáng ý đồng cấu Lannes-Zarati thứ hai cho RP∞ triệt tiêu gốc dương, đồng cấu Lannes-Zatati thứ cho CW-phức X có điểm gốc, với đồng điều rút gọn H∗ (X) không tầm thường hữu hạn sinh bậc, khác khơng gốc dương Chúng chứng minh đồng cấu Lannes-Zarati thứ cho H ∗ (S ) triệt tiêu gốc dương Chúng chứng minh đồng cấu Lannes-Zarati thứ thứ cho H ∗ (RP∞ ) triệt tiêu gốc dương Chúng chứng minh đồng cấu Lannes-Zarati thứ 2, thứ thứ cho H ∗ (RPn ) triệt tiêu gốc dương với số nguyên dương n Mối liên hệ đồng cấu Lannes-Zarati không gian khác nghiên cứu luận án 23 Nghiên cứu triệt tiêu đồng cấu Lannes-Zarati cho A-môđun không ổn định M có kiểu hữu hạn phần tử phân tích Từ chúng tơi thu kết chứng minh Hưng Peterson Chúng đồng cấu Lannes-Zarati thứ cho H ∗ (RP∞ ) triệt tiêu phần tử phân tích gốc dương 24 Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến luận án Nguyễn H V Hưng, Võ T N Quỳnh, and Ngô A Tuấn (2014), “On the vanishing of the Lannes-Zarati homomorphism”, C R Acad Sci Paris 352(3), pp 251-254 Ngô Anh Tuấn (2018), “The Lannes-Zarati homomorphism and decomposable elements”, Algebr Geom Topol., to appear Nguyễn H V Hưng and Ngô A Tuấn (2018), “The generalized algebraic conjecture on spherical classes”, preprint; submitted for publication Các kết luận án báo cáo thảo luận tại: Hội nghị Khoa học Khoa Toán-Cơ-Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội, 09/2014 Hội nghị Đại số-Hình học-Tơpơ Tồn quốc, Tuần Châu, 12/2014 Hội nghị Đông Á Tôpô Đại số, Daejeon, Hàn Quốc, 12/2015 Hội nghị Đại số-Hình học-Tơpơ Tồn quốc, Đắc Lắc, 10/2016 Hội nghị Khoa học Khoa Toán-Cơ-Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội, 10/2016 Mini Conference khuôn khổ Hoạt động Tôpô Đại số Viasm, Tuần Châu, 12/2016 Mini Conference khuôn khổ Hoạt động Tôpô Đại số Viasm, Tuần Châu, 11/2017 ... biểu dạng đại số giả thuyết tổng quát lớp cầu cho M = H ∗ (S ) = F2 [Hưng, 1997] cho A-môđun không ổn định M seminar VNU khoảng thời gian dài: Giả thuyết (Dạng đại số tổng quát giả thuyết lớp cầu) ... trên, giả thuyết yếu diễn đạt tương đương sau Giả thuyết (Dạng yếu giả thuyết đại số tổng quát lớp cầu) Cho M A-môđun không ổn định Khi phần tử bậc dương xây dựng Rs M Singer bị hit toán tử Steenrod... tử bậc dương đại số Dickson Ds bị hit toán tử Steenrod bậc dương đại số đa thức Ps với s > Gần đây, Nguyễn H V Hưng G Powell chứng minh dạng yếu giả thuyết đại số tổng quát lớp cầu (xem [Hưng-Powell,