Cấu trúc hình học của các đa tạp đầy với bất đẳng thức poincare có trọng

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - PHÙNG TH± DIfiU TUYEN CAU TRÚC HÌNH HOC CUA CÁC ĐA TAP ĐAY VéI BAT ĐANG THÚC POINCARE Cể TRONG LUắN VN THAC S KHOA HOC H Nđi 2016 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - PHÙNG TH± DIfiU TUYEN CAU TRÚC HÌNH HOC CUA CÁC ĐA TAP ĐAY VéI BAT ĐANG THÚC POINCARE CĨ TRONG Chun ngành: TỐN GIAI TÍCH Mã so: 60460102 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: TS NGUYEN THAC DŨNG Lài cam ơn Ban lu¾n văn đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan cna TS.Nguyen Thac Dũng Nhân d%p này, xin bày to lòng biet ơn sâu sac chân thành nhat tói Thay Ngưịi cho tơi biet muon làm khoa HQc phai HQc, phai ĐQc the Đưoc làm vi¾c dưói sn hưóng dan cna Thay, tơi thay trưong thành rat nhieu Thay Ngưịi dành nhieu thịi gian, cơng súc đe hưóng dan, kiem tra giúp đõ tơi hồn thành lu¾n văn Tơi xin gui lịi cam ơn đen lãnh đao thay khoa Tốn Cơ - Tin HQc, trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn Nhiên, Đai HQc Quoc Gia Hà N®i ve nhung kien thúc, nhung đieu tot đep mà tơi nh¾n đưoc suot q trình HQc t¾p tai Khoa Tơi xin gui lòi cam ơn đen Phòng Sau Đai HQc cna nhà trưịng tao đieu ki¾n cho tơi hồn thành thn tuc HQc t¾p bao v¾ lu¾n văn Cuoi cùng, tơi muon bày to lịng biet ơn đen gia đình, ngưịi thân ban bè Nhung ngưịi ln bên canh đ®ng viên nng h® tơi ca ve vắt chat v tinh than cuđc song v HQc t¾p M¾c dù ban thân tơi có nhieu co gang ban lu¾n văn van khó tránh khoi nhung thieu sót Vì v¾y, tơi rat mong nh¾n đưoc sn đóng góp ý kien cna q thay, ban Hà N®i, tháng năm 2016 Phùng Th% Di¾u Tuyen Mnc lnc Ma đau Kien thÉc chuan b% 1.0.1 Đ%nh nghĩa ve đa tap tô pô, đa tap trơn .6 1.0.2 Ví du ve đa tap trơn .6 1.1 Các tensơ phân thó vectơ 1.1.1 Đ%nh nghĩa ve tensơ hi¾p bien, tensơ phan bien tensơ thay phiên .8 1.1.2 Phân thó vectơ 10 1.2 Các chi so thăng giáng .11 1.3 Liên thơng đ® cong 14 1.4 Đao hàm hi¾p bien cna trưịng vectơ 15 1.5 Liên thông Levi - Civita 17 Hình hQC CUA đa tap đay vái bat thÉc Poincare có 21 2.1 M®t so bő đe phu tro .21 2.2 Tính liên thông tai vô han cna M 25 2.3 Các đ%nh lí ve sn tri¾t tiêu 36 TRQNG Ket lu¾n 46 Tài li¾u tham khao 47 Ma đau Trong giai tích hình HQc, ngưịi ta biet rang khơng gian dang vi phân đieu hịa lý thuyet hàm đieu hòa đa tap Riemann đay đn có moi liên h¾ m¾t thiet vói cau trúc hình HQc topo cna đa tap Chang han, nghiên cúu cna Witten - Yau [10], tác gia chúng minh rang neu M n đa tap Einstein compact có biên, n chieu (n ≥ 3) có hang so Yamabe dương đa tap M chi có m®t end, túc đa tap M liên thông tai vô han Ket qua cna Witten-Yau sau đưoc cai tien boi Cai Galloway [1], vói đieu ki¾n biên cna M có hang so Yamabe khơng âm Trong [9], X.Wang tőng quát hóa ket qua chúng minh ket qua sau Gia su M đa tap Riemann compact, bao giác, n chieu vỏi n 3, vỏi đ cong Ricci b% chắn dưái bái m®t hang so thích hap Neu giá tr% riêng thú nhat λ1 (M ) cua toán tu Laplace cú mđt cắn dỏi phự hap thỡ M hoắc l liên thơng tai vơ han ho¾c có cau trúc topo giong hình trn Ngay sau cơng bo cna Wang, Li Wang tiep tuc phát trien ý tưong cna Wang chúng minh đưoc m®t ket qua manh đa tap đay đn không nhat thiet compact, bao giác (xem [6]) Do λ1 (M ) > 0, nguyên lý bien phân cho λ1 (M ) chi rang bat ∫ ∫ thúc Poincare sau λ1(M ) M φ2 ≤ |∇φ| , M vói MQI hàm φ ∈ Co ∞ (M ) hàm trơn có giá compact Trong tài li¾u [4], tác gia xét đa tap thoa mãn bat thúc Poincare có TRQNG khái quát đưoc nhieu ket qua cna HQ [6] cho đa tap thoa mãn m®t bat thúc Poincare có TRQNG Nhac lai rang, đa tap Riemann M n đưoc nói thoa mãn bat thúc Poincare có TRQNG vói hàm TRQNG ρ(x) dương neu ∫ ∫ ρ2(x)φ2(x)dV ≤ |∇φ| dV , M M vói MQI hàm φ ∈ Co∞ (M ) hàm trơn có giá compact Đ¾c bi¾t, ρ(x) = λ1(M ) hang so dương M đa tap vói phő dương thoa mãn bat thúc Poincare có TRQNG vói hàm TRQNG ρ ≡ λ1 (M ) Chúng ta nói rang đa tap Riemann đay đn M có tính chat (Pρ ) neu m®t bat thúc Poincare có TRQNG, vói hàm TRQNG ρ khơng âm xay metric cam sinh boi ρ đưoc đ %nh nghĩa boi dsρ2 = ρdsM √ m®t metric đay Ta đ%nh nghĩa ρ, S(R) = sup Bρ(R) vói Bρ(R) qua cau trac đ%a bán kính R metric ds2.ρ Trong tài li¾u [7], tác gia chúng minh đưoc đ%nh lí sau Đ%nh lý 0.1 (Li -Wang) Cho Mn đa tap đay vói so chieu n ≥ Gia su rang M thoa mãn tính chat (Pρ ) vói hàm TRQNG, khác khơng, ρ > Gia su RicM n −1 (x) ≥ − ρ(x), ∀x ∈ M n− Neu ρ thoa mãn ưóc lưong vói F (R) = exp ≥n−3 R n−2 R Σ S(R) lim inf F = 0, R→ (R) ∞ n Khi đó, n = hoắc l M chi cú mđt end nonparabolic; ho¾c M có hai end nonparabolic đưoc xác đ%nh boi M = R × N vói warped metric product sau dsM = dt2 + η2(t)dsN 2, đó, η(t) hàm dương N đa tap compact Hơn nua, ρ(t) chi hàm so phu thu®c t thoa mãn η jj η −1 = ρ infρ(x) > 0; lim R→∞ ho¾c M có m®t end parabolic m®t end nonparabolic, đưoc cho boi M = R × N vói warped metric product dsM = dt2 + η2(t)dsN 2, đó, η(t) hàm dương N đa tap compact Hơn nua, ρ(t) chi hàm so phu thu®c t thoa mãn η jj η −1 = ρ infρ(x) > lim R→∞ Tù ket qua trên, m®t câu hoi rat thú v% đưoc đ¾t li¾u có m®t đ%nh lý tương tn đ%nh lý trên, vói nhung gia thiet tương tn đ%nh lý lai chi thoa mđt compact cna M Trong báo [3], Lam nghiên cúu tốn chúng minh đưoc rang neu đ® cong Ricci cna M l b% chắn dúi bờn ngoi mđt compact K M boi mđt hm cna (M ) đa tap M chi có huu han end có the tích vơ han Bên canh đó, tác gia chúng minh rang vói đieu ki¾n phù hop ve cắn dúi cna o cong Ricci v đ tăng cna hàm TRQNG khơng gian 1-dang vi phân bình phương kha tích tam thưịng H¾ qua là, đa tap chi có m®t thành phan liên thơng tai vơ han Muc tiêu cna lu¾n văn nghiờn cỳu mđt cỏch chi tiet v hắ thong cỏc kien thúc ban liên quan đen tốn nói trờn cna Lam Luắn ó trỡnh by lai mđt cách tưịng minh tính tốn lai m®t cách can th¾n l¾p lu¾n, chúng minh ket qua báo [3] Vói muc tiêu v¾y, lu¾n văn đưoc viet thành hai chương Trong chương m®t, chúng tơi trình bày lai kien thúc ban ve đa tap Riemann, toán tu Laplace-Beltrami đa tap Riemann, cỏc khỏi niắm ve liờn thụng Levi-Civita v đ cong Ricci Chương hai phan cna lu¾n văn Trong chương này, chúng tơi trình bày lai m®t cách chi tiet ket qua chúng minh báo nói Chương hai bat đau bang m®t vài bő đe phu tro, đó, chúng tơi trình bày lai ưóc lưong gradient cho hàm đieu hịa dương đa tap Riemann vúi đ cong Ricci b% chắn dúi, v trình bày m®t ưóc lưong liên quan đen cơng thúc Bochner cho hàm đieu hòa.Trong phan thú hai, chúng tơi trình bày lai ket qua báo cna Lam ve tính huu han end cna đa tap Riemann ay n vúi đ cong Ricci b% chắn dúi bờn ngoi mđt compact Phan cuoi cựng cna chương này, chúng tơi dùng đe trình bày lai m®t vài đ%nh lý kieu tri¾t tiêu cho lóp 1-dang vi phân đieu hịa vói lưong huu han đa tap Riemann thoa mãn m®t bat thúc Poincare có TRQNG Chương Kien thÉc chuan b% 1.0.1 Đ%nh nghĩa ve đa tap tô pô, đa tap trơn Đ%nh nghĩa 1.1 Cho M không gian tô pơ Đa tap M m®t đa tap tơ pơ neu M khơng gian Hausdorff; M thu®c pham trù đem đưoc thú hai ; Vói MQI p ∈ M co đ%nh, ton tai ban đo đ%a phương (ϕ, U, V ) U ⊂ M l mđt mo, V l mo nam Rn, p ∈ U ϕ : U → V m®t đong phơi Đ%nh nghĩa 1.2 Hai ban đo đ%a phương (ϕ1 , U1 , V1 ) , (ϕ2 , U2 , V2 ) đưoc GQI tương thích neu hàm chuyen ϕ12 = ϕ2 ◦ ϕ−1 : ϕ1 (U1 ∩ U2 ) → ϕ2 (U1 ∩ V2 ) vi phôi Đa tap tô pô M m®t đa tap trơn neu ton tai m®t Atlas cnc đai gom HQ ban đo {(ϕ, U, V )} cho ∪U = M ban đo tương thích 1.0.2 Ví dn ve đa tap trơn n+1 Ví dn 1.1 M¾t cau n chieu Sn = (x1 , x2 , , xn+1 ) ∈ , n+ xi 1Σ = 1Σ m®t i= R Σ đa tap trơn vói Atlas A = Ui ± ∩ Sn , ϕi ± Th¾t v¾y, đ¾t Ui+ = x = (x1, x2, , xn+1) ∈ Rn+1, xi > 0, i = 1, 2, n + Σ vói ∀ε > Và ∫ |∇h| ∫≤ a(x)h2 b+1 H¾ qua 2.1 GQI h hàm so thoa mãn gia thiet Bő đe 2.3 Gia su λ1(M ) > đ® cong Ricci cna M thoa mãn M M RicM ≥ − (b + 1) λ1(M ) + δ, vói δ > N h2 = o(R2) h ≡ Đ¾c bi¾t, tù e ket qua ta thu đưoc ket qua u ∫ Bρ(R) sau cna Li Wang [6] Gia su Mn đa tap Rieman đay n-chieu, khơng compact vói λ1(M ) > đ® cong Ricci thoa mãn RicM ≥ − n n−1 λ1(M ) + δ, vói δ > Khi đó, H1 L2(M ) = Σ Chúng minh Theo nguyên lí bien phân cna λ1(M ),  M∫ | | ∞  ∇   φ  λ (= , φ ∈ Co (M ) ,   M φ ∫  t ∫ λ M ) ≤ ∫ Tù ∫ ∫ M φ2h |∇(φh)| λ1(M ) M φ2 h2 ≤ M |∇(φh)| (2.30) Nhân hai ve cna (2.30) vói b (1 − ε) + > 0, ta nh¾n đưoc ket qua sau ∫ ∫ ( φ2h2 |∇ (φh)| (1≤ (b −(1 − ε ε) + 1) + M 1) λ M ) M Áp dung Bő đe 2.3, ta có ( ( b M () 1M φ2 φ2h2 + h2 ≤ b a M h2| ∇φ| ∫ ∫ − ε ) + ) λ 1 +1 ε ∫− M Σ Σ Bat thúc đưoc bien đői lai sau ∫ ∫ Σ Σ ((b + 1) (M ) 2 φ2h2 + ∫b +1 φ h ≤ (M ) − a) λ1 − M bελ1 đieu tương đương vói ∫ δ φ 2h ≤ ε M ∫ (M ) bελ1 M h2|∇φ| , M Σ Σ φ2h2 + ∫b +1 −ε h2|∇φ| , M M vói δ = ((b + 1) λ1 (M ) − a) > 0, vói MQi ε > 0, MQI hàm φ ∈ C0∞ (M ) trơn, có giá compact CHQN B (R) φ= M\B (R) cho |∇φ| ≤R2 B (2R) \B (R) Khi đó, bat thúc tro thành C ∫ Σ Σ ∫ ∫− (M ) −2 2 δ B(R) h ≤ bελ1 B(R) B(R) h2 ≤ bελ1 b +1 ε h , B(2R)\B(R) Do B (R) ⊂ B (2R) nên ∫ (M ) ∫ δ h +R h2 + R−2 b B(2R) Σ Σ 1∫+ − ε h2 (2.31) B(2R)\B(R) Su dung gia thiet ∫ h2 = O(R2) cho R → +∞ (2.31) tro thành, B(R) ∫ δ ) ∫ h2 ≤ bελ1 (M h2 M M Cho ε bat thúc tien đen 0, ta đưoc ∫ δ h2 ≤ M Vì δ > nên ∫ h2 ≤ M M¾t khác, theo gia thiet h ≥ 0, tù bat thúc ta có h ≡ Đ¾c bi¾t vói b = , tù ket qua trên, ta chúng minh đưoc ket qua cna Li n−1 Wang Ta có đieu phai chúng minh Đ%nh lý 2.2 Cho M n đa tap đay, khơng compact có so chieu n Đa tap M thoa mãn bat thúc Poincare vói hàm TRQNG ρ khơng âm Gia su, đ® cong Ricci cna M thoa mãn n RicM (x) ≥ − ρ (x) + δ, n−1 vói δ > Neu ρ (x) thoa mãn ρ (x) = o pr2−α (x)Σ p, r (x) hàm khoang cách tù x đen điem p co đ%nh < α Neu ρ (x) thoa mãn ρ (x) = o pr2−α (x)Σ p, r.(x) hàm Σ khoang cách tù x đen điem p co đ%nh < α < 2, H L (M ) = Chúng minh Gia su ω ∈ H L2 (M ) , h = |ω| ∈ L2 (M ) Theo bat thúc Poincare vói hàm TRQNG ρ, ta có (b (1 − ε) + 1) ∫Σ ρφ2h2 ≤ (b (1 − ε) +∫ |∇ (φh)| 1) M M Ket hop bat thúc vói Bő đe 2.3 b =− n1 , a = (b + 1) ρ − δ, ta có ∫ ∫ Σ Σ (b (1 − ε) + ∫ 1 +1 2 φ2h2 + b− ρφ h ≤ a h2|∇φ| 1) M M Bat thúc tương đương vói ∫ ∫ −1 ((b (1.ε) + 1) ρ a)Σφ2h2Σ − b − ε M ≤+ ε M M h2|∇φ| , ∫ δ hay M ∫ Σ Σ φ2h2 ≤ bε ρφ2h2 + b 1 + ∫− ε (2.35) h2|∇φ| φ B= (R) M M cho R trên M\B (2R) B (2R) \B(R) | ∇φ| su dung gia thiet ρ = ≤C Σ o r2−α (x, p) Ta chQn đ¾t ε = Rα/2−2 Thnc hi¾n bưóc bien đői đánh giá đe thu đưoc công thúc (2.34) o Đ%nh lý 2.2, (2.35) tro thành, ∫ δ ρh B ≤ ∫ bR− ∫Σ h2 + C h2, bR−α/2 + (1 − b) R−2 α/2 B(2R) B(2R) vói C hang so Su dung gia thiet h ∈ L2 (M ) bieu thúc cho R → +∞, ta đưoc ∫ ρh2 = M Theo Bő đe 2.3, ta có ρh2 ∫ b+ ≤ 1) M M Σ ∫≤ − δ b+1 ρh2, h ∫ Do | ∇h| = hay h = C ∈ L2 (M ), vói ∀C hang so Do v¾y, neu M nonparab olic M phai có the tích huu han hay h = Ket lu¾n Trong lu¾n văn này, chúng tơi nghiên cúu ve cau trúc hình HQc cna đa tap đay vói bat thúc Poincare có TRQNG N®i dung cna lu¾n văn trình lai báo cna Lam [3], ket qua bao gom Tìm hieu trình bày lai kien thúc ban ve đa tap Riemann; Các tensơ hi¾p bien, phan bien, thay phiên, ve phân thó véctơ; Các chi so nâng lên xuong; Liên thơng đ® cong; Đao hàm hi¾p bien cna trưịng véctơ Liên thơng Levi - Civita Trình bày chi tiet đ%nh lí ve tính liên thơng tai vơ han cna đa tap M đ%nh lí ve tính tri¾t tiêu cna khơng gian 1-dang vi phân đieu hịa bình phương kha tích Tài li¾u tham khao [1] M.Cai and G.J.Galloway, Boundaries of zero scalar curvature in the AdS/CFT correspondence, Adv Theor Math Phys (1999), 1769 - 1783 MR1812136 (2002k:53080) [2] S Y Cheng and S T Yau, Differential equations on Riemannian manifolds and their geometric applications, Comm Pure Appl Math 28(1975), 333354 MR0385749 (52:6608) [3] K H Lam, Results on a weighted Poincaré inequality of complete manifolds, Tran Amer Math Soc., 362 (2010) No 10, 5043 - 5062 [4] P Li and L F Tam, The heat equation and harmonic maps of complete manifolds, Invent Math 105(1991), 1-46 MR1109619 (93e:58039) [5] P Li and L F Tam, Harmonic functions anh the structure of complete manifolds, J Diff Geom 35(1992), 359-383 MR1158340 (93b:53033) [6] P Li and J Wang, Complete manifolds with poisitive spectrum,J Geom 58(2001), 501-534 MR1906784 (2003e:58046) Diff [7] P Li and J Wang , Weighted Poincaré inequality anh rigidity of complete manifolds, Ann.Scient Éc Norm Sup., 4e série, t.39(2006), 921982 MR2316978 (2008d:53053) [8] R Mazzeo, The Hodge cohomology of a conformally compact metric , J Diff Geom 28(1988), 309-339 MR961517 (89i:58005) [9] X Wang, On conformally compact Einsstein manifolds, Math Res Lett 8(2001), 671-688 MR1879811 (2003d:53075) [10] E Witten and S T Yau, Connectedness of the boundary in the AdS/CFT correspondence, Adv Theor Math Phys 3(1999), 1635-1655, MR1812133 (2002b:53071) [11] S T Yau,Harmonic functions on complete Riemannian manifolds, Comm Pure Appl Math 28 (1975), 201-228, MR0431040(55:4042) ...ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - PHÙNG TH± DIfiU TUYEN CAU TRÚC HÌNH HOC CUA CÁC ĐA TAP ĐAY VéI BAT ĐANG THÚC POINCARE. .. so dương M đa tap vói phő dương thoa mãn bat thúc Poincare có TRQNG vói hàm TRQNG ρ ≡ λ1 (M ) Chúng ta nói rang đa tap Riemann đay đn M có tính chat (Pρ ) neu m®t bat thúc Poincare có TRQNG, vói... hàm trơn có giá compact Trong tài li¾u [4], tác gia xét đa tap thoa mãn bat thúc Poincare có TRQNG khái quát đưoc nhieu ket qua cna HQ [6] cho đa tap thoa mãn m®t bat thúc Poincare có TRQNG Nhac