1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

Công thức tổng quát và giới hạn dãy số

171 150 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯƠNG VĂN BẰNG CÔNG THỨC TỔNG QUÁT VÀ GIỚI HẠN DÃY SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯƠNG VĂN BẰNG CÔNG THỨC TỔNG QUÁT VÀ GIỚI HẠN DÃY SỐ Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN: TS Phạm Văn Quốc Mục lục Mở đầu Kiến thức sở 1.1 Phương pháp quy nạp toán học 1.2 Dãy số 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Các cách cho dãy số 1.2.3 Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn .6 1.3 Cấp số cộng – Cấp số nhân 1.3.1 Cấp số cộng 1.3.2 Cấp số nhân .7 1.4 Giới hạn dãy số 1.4.1 Định nghĩa 1.4.2 Định lý 1.4.3 Một số giới hạn 1.5 Định lý Lagrange .8 Một số phương pháp tìm CTTQ dãy số 2.1 Phương pháp sử dụng CSC-CSN 2.2 Phương pháp sử dụng phép lượng giác 23 Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số 31 3.1 Tính giới hạn thơng qua CTTQ 31 3.2 Tính giới hạn sử dụng tính đơn điệu bị chặn dãy số 38 3.3 Tính giới hạn phương pháp sử dụng “nguyên lý kẹp” 46 3.4 Tính giới hạn dãy số thơng qua giới hạn vô cực .50 3.5 Bài tập tương tự 58 Kết luận 61 Tài liệu tham khảo 62 Mở đầu Dãy số đóng vai trị quan trọng tốn học nhiều lĩnh vực đời sống Trong kì thi HSG tỉnh thành phố, quốc gia, IMO (Olympic tốn học quốc tế), hay kì thi giải tốn nhiều tạp chí tốn học, tốn dãy số xuất nhiều đánh giá mức độ khó Trong cơng tác giảng dạy, bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi , chuyên đề dãy số chuyên đề hay, nhiều thầy cô nghiên cứu triển khai giảng dạy Trong nội dung luận văn , tác giả tập trung nghiên cứu hai vấn đề liên quan đến dãy số, là: + Cơng thức tổng quát dãy số + Giới hạn dãy số Trong nội dung , thông qua tập từ hình thành phương pháp tìm cơng thức tổng quát, tính giới hạn số dạng dãy số bản, từ ứng dụng để giải số tốn Do q trình nghiên cứu, biên tập nhiều hạn chế nên nội dung cách trình bày luận văn chắn cịn nhiều thiếu xót, mong thầy bạn đọc xem xét, có ý kiến đóng góp để luận văn hồn thiện Mọi ý kiên đóng góp, phản hồi xin gửi địa hòm thư: vanbang6580 @ymail.com Nội dung khóa luận bao gồm: ⋄ Chương 1: Kiến thức sở ⋄ Chương 2: Một số phương pháp xác định CTTQ dãy số ⋄ Chương 3: Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới T.S Phạm Văn Quốc người trực tiếp hướng dẫn tận tình bảo em suốt q trình thực khóa luận Em xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Hà Nội, ngày 20 tháng năm 2015 Học viên Trương Văn Bằng Chương Kiến thức sở 1.1 Phương pháp quy nạp tốn học Trong chương trình phổ thơng, để chứng minh mệnh đề P(n) với ≥ số nguyên n n0, với n0 số nguyên cho trước ta thực hai bước sau: Bước Kiểm tra P (n0) Bước Giả thiết mệnh đề p(k) với số nguyên n = k “ n0(Gọi giả thiết quy nạp), chứng minh mệnh đề với n = k+1 1.2 Dãy số 1.2.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Mỗi hàm số u xác định tập số nguyên dương N∗ gọi dãy số vô hạn (gọi tắt dãy số) Người ta thường viết dãy số dạng khai triển u1, u2, u3, un, Trong un = u(n) viết tắt (un), gọi u1 số hạng đầu, un số hạng thứ n số hạng tổng quát dãy số Định nghĩa 1.2 Mỗi hàm số u xác định tập hợp M = {1; 2; ; m} với m ∈ N∗được gọi dãy số hữu hạn Dạng khai triển u1, u2, u3, um u1 số hạng đầu, um số hạng cuối 1.2.2 Các cách cho dãy số a) Dãy số cho công thức số hạng tổng quát 3nn Ví dụ 1.1 Cho dãy số (un) với un = (−1) n b) Dãy số cho phương pháp truy hồi, tức - Cho số hạng đầu vài số hạng đầu - Cho hệ thức biểu diễn số hạng theo số hạng đứng trước vài số hạng đướng trước (gọi hệ thức truy hồi) Ví dụ 1.2 Dãy Fibonacci dãy số (un) xác định sau: {u = u = 1 un = un−1 + un−2; n = 3, 4, 5, 1.2.3 Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn Định nghĩa 1.3 Dãy số tăng, dãy số giảm Dãy số (un) gọi dãy số tăng ta có un+1 > un với n∈ Dãy số (un) gọi dãy số giảm ta có un+1 < un với N∗ n∈ N∗ Định nghĩa 1.4 Dãy số bị chặn Dãy số (un) gọi bị chặn tồn số M cho ∗ un < M, n∀ N Dãy số (un) gọi bị chặn tồn số m cho u∀n > m, n N ∗ Dãy số (un) gọi bị chặn vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới, tức tồn số m,M cho m < un < M, ∀n ∈ N∗ (SGK lớp 11- Nhà xuất GD -2007) 1.3 Cấp số cộng – Cấp số nhân 1.3.1 Cấp số cộng Định nghĩa 1.5 Cấp số cộng dãy số hữu hạn hay vơ hạn , kể từ số hạng thứ hai , số hạng số hạng đứng trước cộng với số khơng đổi d Số d gọi công sai cấp số cộng Định lí 1.1 Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 cơng sai d số hạng tổng quát un xác định công thức un = u1 + (n − 1)d với n “ Định lí 1.2 Cho cấp số cộng (un) Đặt Sn = u1 + u2 + u3 + + un Khi ta có: Sn = n(u1 + un) 1.3.2 Cấp số nhân Định nghĩa 1.6 Cấp số nhân dãy số hữu hạn hay vơ hạn, kể từ số hạng thứ hai, số hạng tích số hạng đứng trước với số khơng đổi q Số q gọi công bội cấp số nhân Định lí 1.3 Nếu cấp số nhân (un) có số hạng đầu u1 cơng bội q số hạng tổng quát un xác định công thức un = u1.qn−1 với n “ Định lí 1.4 Cho cấp số nhân (un) với công bội ̸̸ q = Đặt Sn = u1 + u2 + u3 + + un Khi ta có: u (1 − qn) Sn = 1−q 1.4 Giới hạn dãy số 1.4.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.7 Ta nói dãy số (un) có giới hạn số L → n + với số dương ε cho trước (nhỏ tùy ý), tồn số tự nhiên no cho với n > no |un − L| < ε Ta viết lim un = L hay viết tắt n→ ∞ lim un = L Định nghĩa 1.8 Ta nói dãy số (un) tiến tới vô cực→ n + với số dương M cho trước (lớn tùy ý), tồn số tự nhiên no cho với n > no |un| > M Ta viết lim un = ∞ n→ ∞ hay viết tắt un → ∞ Nếu với n > no , un > M un = +∞ lim n→∞ Nếu với n > no , un < −M lim un = −∞ n→ ∞ ( un+1 − √ ⇒ n− u > √ 3) (un+1 √ 3) − √ √ suy un < un+1 hay dãy (un) tăng thực sự, suy un > + 2; ∀n = 1, 2, 3, √ √ Giải sử (un) bị chặn trên, (un) có giới hạn ℓ ,ℓ ≥ + Chuyển qua giới hạn công thức 1 √ ) (un + =2 √ un − ( − un+1 − √ 3) 1 √ √ = , vơ lí Từ suy (un) √ ) ℓ− ℓ =2 ℓ− − + không bị chặn ( 1 √ )= Vậy limnv = − u − √ lim √ u 3 n+ − Bài tập 3.33 Cho dãy số 1(un) xác định công thức  =   2√ u1 u2n+ 4un + un , n = 1, 2, 3,  u ∑ n+1 = Chứng minh dãy số (yn) , n có giới hạn Tìm giới hạn yn = u k k= Lời giải √ u2 + 4un − un ta ( n (un) dãy tăng Giả sử (un) bị chặn tồn giới hạn lim un =≥ℓ, ℓ √ un2 + 4un + Cho công thức un+1 = un qua giới hạn ta có ℓ = √ ℓ2 + 4ℓ + ℓ , phương trình vơ nghiệm ℓ ≥ Vây (un) không bị chặn √u2với + 4un + un Từ công thức truy hồi un+1 = n ta có 2 un+ − un+1un = un 1 1 , n = 1, 2, 3, = ⇔ n − un+ un+ u 1 n Như yn = Suy = lim yn ∑ k= k = u ∑n k = ( ) 1 1 uk− u + = u u 1 Bài tập 3.34 Cho dãy số (un) xác định công thức {u = 1 Đặt Sn = n1 ∑ un+1 = + u1u2 un; n = 1, 2, 3, Tìm limSn k=1 un Lời giải Từ cơng thức truy hồi un+1 = + u1u2 un suy un+1 − = un(u1u2 un−1 + − 1) = un (un − 1) Theo xác định dãy số, dễ thấy un > 1; ∀n ≥ Do ta có 1 1 1 = = − − ⇒ n un+1 − un − un − un+1 − ; ∀n ≥ u un Vì ∑ n 1 Sn = k=1 u n 1= ∑ 1 n u + k=2 u n 1= ∑ ( ) n u + k=1 un − − u 1 = + + − =u12 u2 − − u + − n1 un+1 − k u u u Do u1 = 1; u2 = + u1 = 2, nên Sn = − n+1 − u Vì un+1 = + u1u2 un ≥ + u1; ∀n ≥ nên n+1 −1 un+1 − = u1u2 un ≥ u1(1 + u1)n−1 = 2n−1; ∀n ≥ suy lim (un+1 − 1) = +∞ Vậy lim Sn = 3.5 Bài tập tương tự Bài tập 3.35 Cho dãy số (un) xác định công thức { u1 = un+ Tính lim un −5 = + 6, ∀n ≥ 1 un Bài tập 3.36 Cho dãy số (un) xác định công thức un {u1 = Tính lim un+1 = 4un − 1, ∀n ≥ 22n Bài tập 3.37 Cho dãy số (un) xác định công thức √ √ un = √2 + √2 + + + 2(n dấu căn) Tính lim u1u2 un 2n (Trích đề thi HSG Quảng Ngãi 2001-2002) Bài tập 3.38 Cho dãy số (un) xác định công thức √ √ n un = √2 − √2 + + + 2(n dấu căn) Tính lim un Bài tập 3.39 Cho dãy số (un) xác định công thức  u1 = √  un+1 = a) Chứng minh un+1 − un , ∀n ≥ < 2n+1 b) Tính lim un (Trích đề thi HSG Hà Tĩnh 2009-2010) Bài tập 3.40 Cho dãy số (un) xác định công thức   u = 1 n n  un+1 = un + u2 , ∀n ≥ 1 a) Chứng minh − < un < 1, ∀n ≥ b) Tính lim un n(Trích đề thi HSG Quảng Ngãi 2006-2007) Bài tập 3.41 Cho dãy số (un) xác định công thức   u1 > ( ) Tính lim un  u un+1 = a 2un + n , ∀n ≥ 1, a > Bài tập 3.42 Cho dãy số (un) xác định công thức { u1 = un+1 = un2 − un + 1, ∀n ≥ n ∑1 Tính lim k=1 (Trích đề thi HSG Quảng Ngãi 2004-2005) uk Bài tập 3.43 Cho { dãy số (un) xác định công thức u1 = u = u2 − + 2, ∀n ≥ u Tính lim n+1 n ∑1 n n u k=1 k (Trích đề thi chọn HSG Quốc gia Quảng Bình 20092010) Bài tập 3.44 Cho dãy số (un) xác định công thức  =   2√ u1 u2n + 4un + un , ∀n ≥   un+1 ∑ = Chứng minh dãy số n có giới hạn Tìm giới hạn yn = k= uk (Trích đề thi VMO 2009) u1 = a > Bài tập 3.45 Cho dãy số (un) xác định công thức2 { u = u , ∀n ≥ 1n+1 Tính lim ∑ n k=1 uk uk+1 − n (Trích Tạp chí THTT tháng 10/2010) Bài tập 3.46 Cho dãy số (un) xác định công thức   u1 = a > n ∑ Tính k= uk − lim  un+1 = u2 + un − n n , ∀n ≥ u (Trích Tạp chí THTT tháng 10/2010) Bài tập 3.47 Cho dãy số (un) xác định công thức { u1 = 2009 (√ ) un + , ∀n ≥ un+ = n 1 ∑ un √ Tính lim k= uk + Bài tập 3.48 (Trích Tạp chí THTT tháng 10/2010) { u = 1( ) 2, ∀n ≥ Cho dãy số (un) xác định công un+1 = u2 +n thức n ∑ 1 Tính lim k=1 uk + (Trích Tạp chí THTT tháng 10/2010) Bài tập 3.49 Cho dãy số (un) xác định công thức { u1 = ( ) , ∀n ≥ u u2 − = + n n+1 n 25 n Tính lim 7u ∑ − u k=1 k (Trích Tạp chí THTT tháng 10/2010) Kết luận Khóa luận đạt kết quan trọng sau: - Nghiên cứu số phương pháp xác định công thức dãy số - Nghiên cứu số phương pháp xác định giới hạn dãy số - Vận dụng vào chuyên đề ôn luyện học sinh giỏi Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Hữu Điển- Nguyễn Minh Tuấn , LATEX tra cưú soạn thảo, NXB ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI 2009 [2] Lê Đình Định, Bài tập phương trình sai phân, NXB Giáo dục 2011 [3] Phạm Thành Luân, 1001 toán dãy số, NXB Đà Nẵng 2001 [4] Sách giáo khoa đại số giải tích 11, NXB Giáo dục 2007 [5] Tủ sách tạp chí THTT, Các tốn thi Olympic Tốn THPT, NXB Giáo dục 2007 [6] Tuyển tập 30 năm tạp chi THTT, XNB Giáo dục 1996 [7] Các diễn đàn Toán học http://mathcope, http://mathlink.ro [8] Đề thi chọn đội tuyển trường, đề thi HSG tỉnh, thành phố năm học 2011-2012 ... N∗được gọi dãy số hữu hạn Dạng khai triển u1, u2, u3, um u1 số hạng đầu, um số hạng cuối 1.2.2 Các cách cho dãy số a) Dãy số cho công thức số hạng tổng quát 3nn Ví dụ 1.1 Cho dãy số (un) với... liên quan đến dãy số, là: + Cơng thức tổng qt dãy số + Giới hạn dãy số Trong nội dung , thơng qua tập từ hình thành phương pháp tìm cơng thức tổng qt, tính giới hạn số dạng dãy số bản, từ ứng... b) Dãy số cho phương pháp truy hồi, tức - Cho số hạng đầu vài số hạng đầu - Cho hệ thức biểu diễn số hạng theo số hạng đứng trước vài số hạng đướng trước (gọi hệ thức truy hồi) Ví dụ 1.2 Dãy

Ngày đăng: 23/12/2021, 19:32

Xem thêm:

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

Mục lục

    Nội dung chính của khóa luận bao gồm:

    1.1 Phương pháp quy nạp toán học

    1.3 Cấp số cộng – Cấp số nhân

    1.4 Giới hạn của dãy số

    2.1 Phương pháp sử dụng CSC-CSN

    2.2 Phương pháp sử dụng phép thế lượng giác

    3.1 Tính giới hạn thông qua CTTQ

    3.2 Tính giới hạn sử dụng tính đơn điệu và bị chặn của dãy số

    3.3 Tính giới hạn bằng phương pháp sử dụng “nguyên lí kẹp”

    3.4 Tính giới hạn của dãy số thông qua giới hạn vô cực

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w