Các bất đẳng thức kiểu hardy một chiều

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN VŨ CÔNG VIÊN CÁC BAT ĐANG THÚC KIEU HARDY MđT CHIEU LUắN VN THAC S KHOA HOC H N®i - Năm 2012 VŨ CƠNG VIÊN CÁC BAT ĐANG THÚC KIEU HARDY M®T CHIEU Chun ngành: TỐN GIAI Mã so : 60 46 01 TÍCH LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC TS Đ¾NG ANH TUAN Hà N®i - Năm 2012 Danh mnc kớ hiắu Danh mnc cỏc kớ hiắu I (I) µ(I) Lp(I) gian R đ® đo ngồi Lebesgue cna I đ® đo Lebesgue cna I gian hàm có lũy thùa b¾c p cna modun kha tích I p Lloc (I) khơng gian hàm có lũy thùa b¾c p cna modun kha tích đ%a phương I V arIu bien phân cna hàm u I BPV (I) khơng gian hàm có bien phân b% ch¾n I BPV loc (I) khơng gian hàm có bien phân b% ch¾n đ%a phương I AC(I) khơng gian hàm liên tuc tuy¾t đoi I ACloc(I) khơng gian hàm liên tuc tuy¾t đoi đ%a phương I ∈ u(x) = 0Σ ACL ((a, b)) = u ACloc ((a, b)) : lim x→a+ u(x) = 0Σ ∈ ACR ((a, b)) = u ACloc ((a, b)) : lim x→b − ACLR ((a, b)) = ACL ((a, b)) ∩ ACR ((a, b)) (HLf ) (x) =∫ (HRf ) (x) = x f a ∫b (t)dt f (t)dt x W(I) M +(I) □ t¾p hàm TRQNG I t¾p hàm đo đưoc khơng âm h.k.n I ket thúc chúng minh ho¾c ví du Mnc lnc Lài cam ơn Danh mnc kí hi¾u Lài nói đau Các kien thÉc chuan b% 1.1 Nhac lai m®t vài ket qua đ® đo tích phân Lebesgue 1.2 Hàm đơn đi¾u 14 1.3 Hàm có bien phân b% ch¾n 25 1.4 Hàm liên tuc tuy¾t đoi .27 Các bat thÉc kieu Hardy m®t chieu 59 2.1 Bat thúc Hardy goc khơng gian m®t chieu 59 2.2 Các bat thúc kieu Hardy m®t chieu .70 2.3 M®t so ví du 91 Ket lu¾n 97 Tài li¾u tham khao 98 Lài nói đau Lài nói đau Bat thúc liên quan đen tích phân cna mđt hm v ao hm cna hm ú xuat hiắn thưịng xun ngành khác cna tốn cơng cu huu ích tốn HQ c, HQc có the coi m®t ví du lý thuyet t¾p cna phương trình vi phân, lý thuyet xap xi, xác suat, Trong nhung th¾p ky qua, chn đe tiep tuc đưoc mo r®ng M®t nhung bat thúc liên quan đen tích phân quan TRQNG là: Bat thúc Hardy Năm 1920, G.H.Hardy chúng minh đưoc bat thúc Hardy o dang ban khơng gian m®t chieu Nhưng chúng minh cna ơng chưa đưoc đay đn chưa tìm đưoc hang so tot nhat bat thúc Năm 1926, E.Landau chi đưoc giá tr% tot nhat cna hang so bat thúc Nhung năm sau nhieu nhà tốn HQc nghiên cỳu đc lắp v tỡm cỏch mo rđng bat ang thúc Hardy cő đien Trong hưóng mo r®ng có hưóng mo r®ng lóp hàm TRQNG, nghĩa hàm đo đưoc dương hau khap nơi Lu¾n văn cna tơi tìm hieu ve bat thúc Hardy khơng gian m®t chieu m®t so bat thúc kieu Hardy mo r®ng theo hưóng thêm “hàm TRQNG” Lu¾n văn đưoc chia làm hai chương Chương 1: Cơ so lý thuyet Trong chương này, tơi trình bày ket qua liên quan đen sn kha vi, kha tích Lebesgue cna hàm đơn đi¾u dna tài li¾u tham khao [1] cna Hoàng Tuy, Đ%nh lý Funini ve vi¾c chuyen dau đao hàm qua dau tőng dna tài li¾u [2] cna Ralph Howard, hàm có bien phân b% ch¾n hàm liên tuc tuy¾t đoi dna tài li¾u tham khao [3] cna Giovanni Leoni Phan cuoi cna chương chúng minh đưoc ket qua quan TRQNG, đ%nh lý ban cna phép tính vi tích phân đoi vói tích phân Lebesgue Chương 2: Các bat thúc kieu Hardy m®t chieu Trong chương này, tơi trình bày chúng minh bat thúc Hardy goc dna tài li¾u tham khao [5] cna D.T.Shum Sau trình bày sn mo r®ng cna bat thúc Hardy bő sung thêm hàm TRQNG, ó chỳng minh oc cỏc ieu kiắn rng buđc e cỏc kieu mo rđng l ỳng dna trờn ti liắu tham khao [4] cna B Opic and A Kufner Vì trỡnh đ cũn han che nờn luắn khụng the tránh khoi nhung sai sót, tác gia hy vQNG se nh¾n đưoc nhieu ý kien đóng góp tù thay giáo ban văn đưoc hồn chinh ĐQ c đe lu¾n Chương Các kien thÉc chuan b% Trong chng ny tụi se e cắp en mđt so tính chat cna hàm đơn đi¾u, hàm có bien phân b% ch¾n hàm liên tuc tuy¾t đoi Các hàm có vai trị quan TRQNG đe nghiên cúu ve bat thúc Hardy bat thúc kieu Hardy 1.1 Nhac lai m®t vài ket qua đ® đo tích phân Lebesgue Đ%nh nghĩa 1.1.1 [1](Đ® đo ngồi Lebesgue) Cho hàm µ∗(A) : R → [0;+∞] µ∗(A) = inf { + ∞ Σ| i= đưac GQI + ∞ S∆ ∆i|: i ⊃ A, ∆i gian, i = 1, 2, }, i= đ® đo ngồi Lebesgue R Hm l mđt đ o ngoi trờn R v¾y ta có the áp dung đ%nh lý Caratheodory đe xây dnng m®t đ® đo R, đ® đo Lebesgue Đ%nh nghĩa 1.1.2 [1](Đ® đo Lebesgue) Cho hàm µ∗ : L → [0,∞] L láp tat ca t¾p A cua R cho µ∗ (E) = µ∗ (E ∩ A) + µ∗ (E\A) vái đ® đo Lebesgue R, ký hiắu l v A ac GQI MQI E R, t¾p đo đưac Lebesgue Theo đ%nh lí Caratheodory thỡ lúp cỏc o oc Lebesgue L l mđt σ- đai so Chú ý 1.1.1 Đ%nh nghĩa 1.1.1 có the thay bang µ∗(A) = inf { Σ∞ i=1 | ∆i | : S ∞ ∆i ⊃ A, ∆i khoang mo, i = 1, 2, } i= 1.1 Nhac lai m®t vài ket qua đ® đo tích phân Lebesgue Khi vói cho MQI ε > ton tai khoang mo ∆i , i = 1, 2, S ∞ ∆i A i=1 ∞ Σ ⊃ |∆i| < µ∗(A) + ε i=1 Đ¾t G = S ∞ ∆i, ta có G t¾p mo, G A i=1 ⊃ ∞ Σ µ(G) ≤ |∆i| < µ∗(A) + ε i=1 Như v¾y vói MQI ε > ln ton tai mo G A cho à(G) < à(A) + %nh ngha 1.1.3 [1](Tắp mỏ) Mđt t¾p hap G khơng gian mêtric X đưac GQI t¾p hap má neu mői điem a ∈ G eu cú mđt lõn cắn V cua iem a cho V ⊂ G, đieu tương đương vái đieu ki¾n: vái MQI a ∈ G ton tai r > cho hình cau má B(a, r) ⊂ G Đ%nh nghĩa 1.1.4 [1](T¾p đóng) T¾p F khơng gian mêtric X đưac t¾p đóng neu F c = X\F t¾p má GQI Đ%nh nghĩa 1.1.5 [1](Phan trong) Cho mđt hap A khụng gian mờtric X Điem x ∈ X đưac GQI điem cua cua hap A neu ton tai mđt lõn c¾n V cua x cho x ∈ V ⊂ A; đieu tương đương vái đieu ki¾n ton tai m®t so r > cho hình cau B(x, r) ⊂ A T¾p hap tat ca điem cua A ký hi¾u A0 ho¾c intA Đ%nh nghĩa 1.1.6 [1](Tắp compact): Mđt hap A Rn GQI l t¾p compact neu MQI dãy điem {xk }k ⊂ A đeu có m®t dãy {xkl }l h®i tn đen mđt giỏi han thuđc A %nh ngha 1.1.7 [1](Tắp Borel) σ−đai so nhó nhat bao hàm láp t¾p má không gian R đưac σ−đai so đưac GQI GQI σ−đai so Borel cua không gian R nhung thuđc l Borel khụng gian R T¾p Borel nhung t¾p xuat phát tù t¾p má v thnc hiắn mđt so huu han hay em ac phép tốn hap, giao t¾p M¾nh đe 1.1.1 [1]MQI t¾p Borel đeu đo đưac Lebesgue Chúng minh: xem [1] Đ%nh lý 1.1.1 [1]Cho µ : L → [0,∞] đ® đo, Ai, i = 1, 2, t¾p đo đưac, S A1 ⊂ A2 ⊂ ∞ Ai t¾p đo đưac Khi i=1 µ Chúng minh: xem [1] [ ∞ Ai Σ = lim µ(Ai ) i→ ∞ i= Đ%nh lý 1.1.2 [1]oi vỏi mđt A trờn R ba đieu ki¾n sau tương đương : i) A đo đưac Lebesgue ii) Vái mői ε > có the tìm đưac t¾p má G ⊃ A cho µ∗ (G\A) < ε iii) Vái mői ε > có the tìm đưac t¾p đóng F ⊂ A cho µ∗ (A\F ) < ε Chúng minh: xem [1] Chú ý 1.1.2 Vói moi t¾p A đo đưoc ta có the viet thành [ A = E0 ∪ Kn, n vói Kn t¾p compact, Kn ⊂ Kn+1, n = 1, 2, v à(E0) = Thắt v¾y Vói moi n ∈ N, lay ε = Khi theo Đ%nh lý 1.1.2 ton tai úng Fn A n cho à(A\Fn) 1n S Ta có A ∞ Fn ⊂ A\Fn \ n=1 FnΣ ≤ µ (A\Fn ≤ µ A\ ∞ ) ≤ , ∀n ∈ N n=1 n [ Do µ A ∞ F Σ = \ n=1 n S S Khi ta có E0 = A ∞ Fn \ n=1 Đ¾t Fnk = Fn ∩ [−k, k] S Ta có Fn = ∞ Fnk k= Vói moi N ∈ N ta lay N N [ KN = [ Fnk n=1 k=1 hop huu han t¾p compact nên compact Lai có KN ⊂ KN+1 S∞ N S∞ = A K = k N =1 n=1 k=1 Trong trưịng hop đ¾c bi¾t A gian E0 = ∅ ta có the viet sau: Cho a, b huu han, a < b (a, b) [ = Σa + ∞ b−a ,b− b−a Σ, (a, +∞) = b−a , nΣ, [ ∞ 2 n b −na [ Σ , (−∞, b) = Σ n, b 2n n= [ Σ Σ ∞ b −[ a− − − [ , [a, b) = a, b n=∞ n= Σa + ∞ n , + ) = ∞ [−n, n], n= ( n=1 Σ −∞ b−a (a, b] = a+ , Σ b, 2n n=1 [ (−∞, b] = [−n, b] 2n [ [a, +∞) = [a, n], n∈ N n> a n∈N n>−b Đ%nh nghĩa 1.1.8 [1](Hàm đo đưac Lebesgue) Hàm so f : A → [-∞, +∞] đưac GQI đo đưac trờn A vỏi mđt o ac Lebesgue neu a ∈ R, E1 = {x ∈ A:f(x) lim µ({x ∈ A: |fn (x) − f (x)| ≥ ε}) = n→+ ∞ Nói cách khác vái MQI ε > 0, vái MQI δ > 0, ton tai n0 ∈ N cho ∀n ∈ N : n > n0 µ({x ∈ A: |fn (x) − f (x)| ≥ ε}) < δ Đ%nh nghĩa 1.1.11 [1](Tích phân cua hàm đơn gian) Cho hàm A t¾p đo đưac, f : A → [-∞, +∞] hàm đơn gian, đo đưac A GQI f1 , f2 , fn giá tr% khác ụi mđt cua f (x) Ak = {x ∈ A : f (x) = fk } , k = 1, , n n Ak f (x) Σ n A= S fkχAk , ∀x ∈ A = k= k= 1 Khi tích phân cua hàm đơn gian f (x) trờn A vỏi đ o so n f (x)dµ = A Σk=1 fkµ(Ak) q   |u(x)| w  ≤ C |u (x)| x |ln x| dx cho Ta có MQI u ∈ ACL (0, ∞) vói < p ≤ q < ∞?  ∞ ∫   q ∫x 1 FL(x) = x p− Σ1−p β J  p  w(t)dt  J t |ln t| dt  ∞ ∫   q   pJ w(t)dt = x β(1−pJ ) t |ln t| dt Khi BL = ∞ vói bat kỳ cách cHQN w(x) V¾y câu tra lịi khơng ton tai bat kỳ m®t hàm w(x) Ví dn 2.3.4 Cho Cho < p, q < ∞; α, β ∈ R, bat thúc 1  q p    p βx q αx ∫+∞ +∞ ∫ −∞ |u(x)| e  dx ≤C |u (x)| e −∞ dx Khi bat thúc cho u ∈ ACL (0, ∞) chs q < p ≤ q < ∞, β < 0, α = β p Giai Trong bat thúc (a, b) = (−∞, +∞) , w(x) = eαx, v(x) = eβx Ta có  +∞ ∫  αt q   x ∫ Σp J βt(1−pJ )  p J FL(x) = x e dt  e dt eαx Σ 1q e βx(1−pJ ) J = −α pJ ) (do α < 0, β(1 − p ) > 0) β(1 − = (−α) q (β(1 − pJ )) p Khi BL = J 1 < ∞ (−α) (β(1 − pJ )) p q Theo Đ%nh lý 2.2.1 ta có bat thúc cho J MQI u ∈ ACL (0, ∞) Tương tn ta có ket qua: Bat thúc (2.3.4) cho u ∈ ACR (0, ∞) chi q < p ≤ q < ∞, β > 0, α = β p Hang so C có the đưoc lna cHQN Ví du 2.3.1 97 Ket lu¾n KET LU¾N Lu¾n văn trình bày đưoc hai n®i dung Chi đưoc m®t so tính chat cna hàm đơn đi¾u, hàm có bien phân b% ch¾n, hàm liên tuc tuy¾t đoi đ%nh lý ban cna phép tính vi tích phân đoi vói tích phân Lebesgue Chúng minh đưoc bat thúc Hardy goc, tìm đưoc cỏc ieu kiắn e mo rđng bat ang thỳc Hardy bang cách bő sung thêm hàm bat thúc TRQNG ta đưoc Tài li¾u tham khao [1] Hồng Tuy (2005), Hàm thnc Giai tích hàm, Nhà xuat ban Đai HQc Quoc gia Hà N®i [2] Howard, R (2006), Fubini’s theorem on the termwise differentiability of series with monotone terms, lecture notes [3] Leoni, G (1967), A First Course in Sobolev Spaces, American Mathematical Society [4] Opic, B and Kufner, A (1990), Hardy-type inequlities, Longman Scientific Technical [5] Shum, D.T (1971), On integral inequalities related to Hardy, Canad Math Bull Vol 14(2) 225-230 ... 25 1.4 Hàm liên tuc tuy¾t đoi .27 Các bat thÉc kieu Hardy m®t chieu 59 2.1 Bat thúc Hardy goc khơng gian m®t chieu 59 2.2 Các bat thúc kieu Hardy m®t chieu .70 2.3 M®t so ví du... Chương 2: Các bat thúc kieu Hardy m®t chieu Trong chương này, tơi trình bày chúng minh bat thúc Hardy goc dna tài li¾u tham khao [5] cna D.T.Shum Sau trình bày sn mo r®ng cna bat thúc Hardy bő... cỳu đc lắp v tỡm cách mo r®ng bat thúc Hardy cő đien Trong hưóng mo r®ng có hưóng mo r®ng lóp hàm TRQNG, nghĩa hàm đo đưoc dương hau khap nơi Lu¾n văn cna tơi tìm hieu ve bat thúc Hardy khơng gian