Các bất đẳng thức đẳng thức trong tam giác và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - HÀ TRỌNG HẬU CÁC BẤT ĐẲNG THỨC, ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC H{ Nội – Năm 2013 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - HÀ TRỌNG HẬU CÁC BẤT ĐẲNG THỨC, ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ng{nh: Phương pháp toán sơ cá p M~ số:604640 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS LE ĐÌNH ĐỊNH H{ Nội – Năm 2013 MỤC LỤC MỞ ĐÀ U LỜ I CA M ƠN NHỮ NG KÍ HIE ̣U DU NG TRONG LUẠ N VA N Chương 1: KIÉ N THỨ C CHUẢ N BỊ 1.1 Định lí hàm só sin 1.2 Định lí hàm só cos .9 1.3 Định lí hàm só tan 1.4 Co ng thứ c tính die ṇ tích tam giác .10 1.5 Co ng thứ c tính bán kính 10 1.6 Co ng thứ c đườ ng trung tuyé n 11 1.7 Co ng thứ c pha n giác 11 1.8 Co ng thứ c hình chié u .11 1.9 Mo ̣t só đả ng thứ c bản tam giác 11 1.10 Một số bất đẳng thức bản 17 1.10.1 Bất đẳng thức Cauchy 17 1.10.2 Bất đẳng thức Bunhiacopxki (B.C.S) 17 1.10.3 Bất đẳng thức TrêBưSep 18 Chương 2: 20 TÌM MÓ I LIE N HE ̣ CHO NHỮ NG ĐẠ I LƯỢ NG TRONG TAM GIÁ C .20 2.1 Đưa v{o thông số thích hợp cho tam gi|c .20 2.1.1 Đưa tho ng só mớ i vào tam giác 20 2.1.2 Những đại lượng biểu diễn công thức (2.1.4) thỏa m~n bất phương trình (2.1.1) 22 2.1.3 Những miền G, tương ứng với tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam gi|c vuông .24 2.1.4 Tìm biểu thức đại lượng bản tam gi|c thông qua thông số p,x,y 26 2.1.5.Tìm mối liên hệ đại lượng tam gi|c .28 2.2 Phương trình ba ̣c ba theo các yé u tó tam giác 35 2.2.1 Phương trình ba ̣c ba theo yé u tó cạnh tam giác 35 Chương 3: 60 CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC 60 3.1 Phương ph|p chứng minh bất đẳng thức dựa v{o miền gi| trị h{m số cos v{ sin 60 3.2 Phương ph|p sử dụng bất đẳng thức côsi để chứng minh c|c bất đẳng thức tam gi|c 66 3.3 Phương ph|p sử dụng bất đẳng thức Trêbưsep để chứng minh c|c bất đẳng thức tam gi|c 74 3.4 Phương pháp chứ ng minh bá t đả ng thứ c tam giác nhờ bá t đả ng thứ c Jenxen KẾT LUẬN .94 T{iliệuthamkhảo 95 81 MƠ ĐÀ U Trong hoạt động dạy v{ học nh{ trường, vấn đề tìm tòi đúc kết n}ng tầm giải to|n theo hướng tổng qu|t, từ l{m rõ nội dung b{i to|n dạng đặc biệt, giúp cho việc dạy có định hướng cụ thể, logic, người học dễ tiếp thu v{ có nhiều hội s|ng tạo, chính l{ đổi mới phương ph|p dạy học L{ gi|o viên giảng dạy môn to|n trung học phổ thông, đ~ gặp nhiều trắc trở công t|c giảng dạy nhiều dạng to|n bậc phổ thông trung học Vì b{i to|n có nhiều c|ch giải kh|c nhau, c|ch giải thể kh|i niệm to|n học Trong c|c c|ch giải kh|c đó, có c|ch giải thể tính hợp lí dạy học, có c|ch giải thể tính s|ng tạo to|n học Nhữ ng vá n đè lie n quan đé n tam giác luo n là vá n đè hay và khó phỏ tho ng đó i vớ i cả ngườ i dạ y và ngườ i họ c Vì cá c he ̣ thứ c tam giá c rá t nhiè u, phong phú và đa dạng Trong lua ̣n va n này chúng to i xin đưa mo ̣ t só cá ch pha n loạ i cá c he ̣ thứ c, cá ch tìm cá c he ̣ thứ c tam giá c đẻ ngườ i học thá y vá n đè bản chá t Lua ̣n va n đượ c chia làm ba chương: Chương 1: KIé n thứ c chuẩ n bi - Chương nà y he ̣ thó ng lạ i cá c định li,́ co ng thứ c và mọ t só đả ng thứ c, bá t đả ng thứ c bản nhá t tam giác định lí hàm só sin, hàm só cos,…, các co ng thứ c tính die ̣n tích, đườ ng cao bán kính… - Phà n 1.9 he ̣ thó ng lạ i nhữ ng đả ng thứ c vè yé u tó gó c bả n tam giác - Phà n 1.10 ne u lại mo ̣t só bá t đả ng thứ c bản dùng lua ̣n van đe chứ ng minh các bài toán bá t đả ng thứ c tam giác Chương 2: Tìm mối liên hệ cho những đại lượng tâm giác Trong chương nà y đưa hai cá ch đẻ tìm đượ c cá c he ̣ thứ c tam giác Cách thứ nhát là đưa vào tho ng só thích hợ p cho tam giác Cách thứ hai là chỉ các yéu tó tam giác là nghie ̣m phương trình ba ̣ c ba tương ứ ng từ đó dự a và o tính chá t nghie ̣ m tìm cá c he ̣ thứ c tam giác 2.1 Đưâ vào những thơng sớ thích hợp cho tâm giác Bà ng cách đa ̣t � = � + � + � � − (� � + � + �) = � + � + � � = 8� − � + � + � + 2(�� + �� + ��) (� + � + �) Ta sẽ xa y dự ng các đả ng thứ c và bá t đả ng thứ c tam giác Thié t la ̣p cá c co ng thứ c củ a cá c yé u tó tam giá c gó c, đo ̣ dà i trung tuyé n, đo ̣ dà i đườ ng cao, đo ̣ dà i cá c loạ i bá n kính, co ng thú c die ̣ n tích Á p dụng đẻ giải mo ̣t só bát đảng thứ c tam giác 2.2 Phương trình bâ ̣c bâ theo cấc yé u tó tâm giấc Các yéu tó tam giác có thẻ bién đỏi theo ba đại lượ ng, có thẻ gọi là ba đại lượ ng bản tam giác là R, r, p Ta sẽ chỉ rà ng các yé u tó tam giác (cạnh, đườ ng cao, hàm só lượ ng giác các góc…) là nghiẹ m củ a phương trình ba ̣ c ba mà he ̣ só theo ba ye ́ u tó bả n củ a tam giác Chương 3Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức tâm giác Chương này là dùng kié n thứ c phỏ tho ng, các bát đảng thứ c quen thuo ̣c miè n giá trị hàm sin, hàm cos, bá t đả ng thứ c Cauchy, bá t đả ng thứ c Chebyshev, bất đẳng thức Jenxen đẻ chứ ng minh xa y dự ng các bát đảng thứ c tam giác Phà n này là đúc rút chúng to i qua quá trình bòi dưỡ ng , dạy o n thi Đại học và học sinh giỏi LỜ I CẢM ƠN Lua ̣n va n đượ c hoàn thành dướ i hướ ng dã n tạ n tình Thà y, Ts Lê Đình Định Tha ̀y đa hé t lòng giúp đỡ , dạy bảo, đo ̣ng vie n suó t quátrình học ta ̣p làm luạ n văn To i xin gử i tớ i Thà y lờ i cảm ơn sa u sá c nhá t! To i xin bày tỏ lờ i cảm ơn cha n thành đé n tá t cả các thà y co khoa toán – – tin trườ ng ĐHKHTN – ĐHQGHN đa chỉ bảo ta ̣n tình suó t quá trình to i học ta ̣p trườ ng Nha n dịp này, cho to i bày tỏ lòng bié t ơn tớ i gia đình, cảm ơn tớ i bạn bèđa cỏ vũ , đo ̣ng vie n to i suó t quá trình học Do thờ i gian có hạ n, trình đo ̣ bả n tha n cò n hạ n ché ne n lua ̣ n va n kho ng thẻ kho ng có nhữ ng thiéu sót To i rá t mong đượ c đóng góp ý kié n thá y co và các bạn đẻ lua ̣n va n đượ c hoàn thie ̣n Xin cha n thành cảm ơn Vĩnh Phúc, 10\05\2013 Hà Trọng Ha ụ NHỮ NG KÍ HIE ̣U DÙ NG TRONG LUẠ N VĂN ∆ ��� ∶ Tam giác ABC A, B, C : Các đỉnh tam giác hay só đo góc tam giác ABC a, b, c : Đo ̣ dà i cá c cạ nh đó i die ̣ n cá c gó c A, B, C �� , �� , �� : Đo ̣ dà i cá c đườ ng pha n giá c xuá t phá t từ A, B, C �: Đo ̣ dà i bá n kình đườ ng trò n ngoạ i tié p ∆ ��� �: Đo ̣ dà i bá n kính đườ ng trò n no ̣ i tié p ∆ ��� �� , �� , �� : Đo ̣ dà i bá n kính đườ ng trò n bà ng tié p cá c gó c A, B, C củ a ∆ ��� �: Nử a chu vi �: Die ̣ n tích tam giá c Chương1: KIÉ N THỨ C CHUẢ N BI 1.1 Đi h lí hầm só sin: n � � � = = = 2� ���� ���� ���� 1.2 Đi h lí hầm só cos: n � = � + � − 2�� ���� � = � + � − 2�� ���� � = � + � − 2�� ���� 1.3 Đi h lí hầm só tan: n � + � � − � − � � � + � � + � � − � ... MINH BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC 60 3.1 Phương ph|p chứng minh bất đẳng thức dựa v{o miền gi| trị h{m số cos v{ sin 60 3.2 Phương ph|p sử dụng bất đẳng thức côsi để chứng minh c|c bất đẳng. .. (2.1.15) bất đẳng thức đa cho đưa dạng (7 − 9�)� ≤ −10� + 7� + Với � = (2.1.26) , bất đẳng thức dễ kiểm tra thấy Với � > , bất đẳng thức bất đẳng thức sau � ≥ −10� 2+ 7� + − 9� Nhưng bất đẳng. .. = Với � > , bất đẳng thức dễ dàng kiểm tra , bất đẳng thức bất đẳng thức sau � > �2 − 3� − 5− Bất đẳng thức này biến đổi dạng tương đương hiển nhiên − x2>0 Vớ � i < , bất đẳng thức (2.1.27)