Mục đích của luận án nhằm đưa ra một điều kiện đủ để một đa thức không âm là tổng bình phương của các đa thức; Chứng minh rằng tồn tại một tập nửa đại số mở, trù mật trong không gian tất cả các đa thức có cùng một đa diện Newton cho trước, sao cho với mỗi đa thức thuộc tập này và bị chặn dưới, bài toán tìm infimum toàn cục là đặt chỉnh.
VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC ĐẶNG VĂN ĐOẠT ỨNG DỤNG CỦA ĐA DIỆN NEWTON VÀO VIỆC NGHIÊN CỨU CÁC BẤT ĐẲNG THỨC LOJASIEWICZ VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ CỦA LÝ THUYẾT TỐI ƯU TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH Hà Huy Vui PGS.TS Phạm Tiến Sơn Hà Nội - 2018 Luận án hồn thành Viện Tốn học - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt nam Người hướng dẫn khoa học PGS.TSKH Hà Huy Vui PGS.TS Phạm Tiến Sơn Phản biện 1: Phản biện 2: Luận án bảo vệ trước hội đồng chấm luận án cấp Viện, họp Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt nam vào lúc phút, ngày .tháng năm 2018 Có thể tìm luận án tại: • Thư viện Quốc gia Hà nội • Thư viện Viện Tốn học Mở đầu Đa diện Newton đa thức nhiều biến bao lồi tập số mũ đơn thức xuất đa thức với hệ số khác không Trong nhiều vấn đề lý thuyết kỳ dị hình học đại số, đa diện Newton đóng vai trò mở rộng khái niệm bậc đa thức, chứa nhiều thông tin hình học, đại số, tổ hợp giải tích hệ phương trình đa thức Chính vậy, với khái niệm đa diện Newton, nhiều kết quan trọng lý thuyết kỳ dị, hình học đại số, lý thuyết phương trình đạo hàm riêng thiết lập (xem [AGV] ứng dụng đa diện Newton lý thuyết kỳ dị, [Ko], [Kh] ứng dụng đa diện Newton hình học đại số [GV] ứng dụng đa diện Newton phương trình đạo hàm riêng) Đa diện Newton xác định khơng cho đa thức để nghiên cứu vấn đề mang tính tồn cục, xác định cho mầm hàm giải tích để nghiên cứu tính chất tơ pơ hàm giải tích lân cận điểm kỳ dị Nhiều bất biến tô pô điểm kỳ dị số Milnor, số mũ tiệm cận tích phân dao động tính thơng qua đa diện Newton hàm giải tích (xem [Ko] [AGV] danh mục trích dẫn tài liệu này) Bản luận án sử dụng khái niệm đa diện Newton để nghiên cứu vấn đề sau đây: 1) Tìm điều kiện để đa thức n biến thực khơng âm tồn Rn , biểu diễn dạng tổng bình phương đa thức; 2) Nghiên cứu tính đặt chỉnh tốn tối ưu đa thức không ràng buộc; 3) Nghiên cứu điều kiện tồn bất đẳng thức Lojasiewicz toàn cục đa thức n biến thực tính tốn số mũ Lojasiewicz cho trường hợp n = Các vấn đề 1) 2) vấn đề thời Tối ưu Đa thức Các bất đẳng thức Lojasiewicz toàn cục (đối tượng nghiên cứu vấn đề 3)) nghiên cứu lần công trình [DHT] phát triển theo nhiều khía cạnh khác nhau, mặt lý thuyết [HNS], [DKL], [OR], lẫn ứng dụng [Ha1], [DHP2] Bằng việc sử dụng đa diện Newton, luận án đưa cách tiếp cận hữu hiệu để nghiên cứu vấn đề trên, đạt vấn đề mẻ Luận án gồm chương Trong Chương 1, đa diện Newton sử dụng điều kiện đủ để đa thức tổng bình phương đa thức khác Kết mở rộng cách đáng kể kết gần J.B.Lasserre Trong chương 2, sử dụng đa diện Newton điều kiện A.G.Kouchnirenko [Ko] tính khơng suy biến đa thức đa diện Newton nó, chứng minh rằng, không gian tất đa thức có đa diện Newton tập đa diện Γ cho trước, tồn tập nửa đại số UΓ , mở trù mật, cho f đa thức bị chặn f ∈ UΓ tốn Tính infn f (x) x∈R đặt chỉnh theo nghĩa Zolezzi Các Chương nghiên cứu bất đẳng thức Lojasiewicz toàn cục đa thức Trong Chương 3, đưa tiêu chuẩn tồn bất đẳng thức Lojasiewicz toàn cục Khác với tiêu chuẩn biết [DHT], đây, việc kiểm tra Rn tồn bất đẳng thức Lojasiewicz toàn cục đưa việc kiểm tra tồn tập đại số, xác định cách đơn giản tự nhiên Tiêu chuẩn mở đường cho việc ứng dụng kết cổ điển đa diện Newton (thuật toán tìm khai triển Newton-Puiseux đường cong đại số) kết tương đối gần (điều kiện không suy biến đa diện Newton Kouchnirenko) để tính tốn, đánh giá số mũ Lojasiewicz Chương xét trường hợp n = Ở đây, số mũ Lojasiewicz bất đẳng thức Lojasiewicz toàn cục số mũ liên quan, tính tốn thuật toán Newton-Puiseux Đặc biệt, đa thức hai biến khơng suy biến theo lược đồ Newton, số mũ bất đẳng thức Lojasiewicz toàn cục biểu diễn thơng qua tính chất hình học lược đồ Newton Chương Điều kiện đủ để đa thức thực tổng bình phương đa thức Các đa thức biểu diễn dạng tổng bình phương đa thức khác đóng vai trò quan trọng nhiều lĩnh vực khác tốn học nói chung lý thuyết tối ưu nói riêng Nó cho phép nới lỏng tốn tối ưu đa thức (nói chung thuộc loại NP-khó) toán quy hoạch nửa xác định [La], [La1], [La2] Tuy nhiên, điều kiện đơn giản để nhận biết đa thức có tổng bình phương hay khơng chưa có nhiều Trong [La3], J.B.Lasserre đưa điều kiện đủ để đa thức tổng bình phương đa thức khác Nếu ta phiên dịch điều kiện J.B.Lasserre sang ngôn từ đa diện Newton, ta thấy rằng, đa thức mà J.B.Lasserre nghiên cứu có đa diện Newton đơn hình Mục đích chương mở rộng kết J.B.Lasserre cho lớp đa thức với đa diện Newton Chúng rằng, toán biểu diễn tổng bình phương, tập đỉnh hình học đa diện Newton chưa đủ để nghiên cứu toán Do chúng tơi mở rộng tập đỉnh hình học thành tập "đỉnh số học" Nói vắn tắt, kết rằng, viết đa thức f dạng f (x) = aα xα + g(x), α∈V(f ) đó, tổng α∈V(f ) aα xα gồm tất đơn thức ứng với đỉnh số học V(f ) đa diện Newton, f tổng bình phương hệ số g(x) đủ nhỏ so với hệ số aα , α ∈ V(f ) Nội dung Chương viết dựa cơng trình Van Doat Dang and Thi Thao Nguyen, Sufficient Conditions for a real Polynomial to be a Sum of Squares of Polynomials Kodai J Math., 39(2016), 253 – 275 Định nghĩa 1.0.1 Đa thức f ∈ R[x] theo n biến gọi không âm (viết tắt PSD) f (x) ≥ 0, ∀x ∈ Rn Định nghĩa 1.0.2 Đa thức f ∈ R[x] theo n biến gọi biểu diễn tổng bình phương (viết tắt SOS) tồn hữu hạn đa thức pi ∈ R[x], i = 1, 2, , k cho f (x) = ki=1 p2i (x), ∀x ∈ Rn Cho f (x1 , , xn ) = α∈Nn fα xα ∈ R[x] đa thức theo n biến, bậc 2d x1 xn Đặt f (x0 , x1 , , xn ) := x2d f ( x0 , , x0 ) Định nghĩa 1.0.3 Đa thức f gọi đa thức hóa f gọi dạng bậc 2d Mệnh đề 1.0.4 ([Ma1]) Cho f đa thức bậc 2d Khi đó, f PSD f PSD; f SOS f SOS fα xα ∈ R[x] đa thức theo n biến, bậc Cho f (x1 , , xn ) = |α|=2d 2d Đặt supp(f ) := {α ∈ Nn : fα = 0} Định nghĩa 1.0.5 Bao lồi tập supp(f ) Rn gọi đa diện Newton f, ký hiệu Γ(f ) Trong [La3], J.B.Lasserre đưa điều kiện đủ để đa thức n biến, bậc 2d có dạng n x2d i + Q(x), f (x) = i=1 tổng bình phương đa thức, = 0, i = 1, , n, đơn thức x2d i , i = 1, , n, không xuất Q(x) với hệ số khác khơng Khi đó, f SOS > "đủ lớn" so với hệ số Q(x) Chú ý rằng, trường hợp này, Γ(f ) đơn hình với đỉnh ei = (0, , 1, , 0), i = 1, , n Trong trường hợp tổng quát, đa diện Newton đa thức không thiết đơn hình Vì vậy, để thiết lập kết tương tự J.B.Lasserre cho đa thức bất kỳ, thay tập đỉnh đa diện tập "đỉnh số học" Ký hiệu • V (f ) tập đỉnh đa diện Newton Γ(f ); • C(f ) := Γ(f ) ∩ Zn ; (s + t) : s, t ∈ Γ(f ) ∩ (2Z)n ; • V(f ) := A(f ) \ (s + t) | s = t, s, t ∈ Γ(f ) ∩ (2Z)n ; • A(f ) := • ∆ := {α = (α1 , α2 , , αn ) ∈ supp(f ) : fα < tồn αi lẻ} Định nghĩa 1.0.6 ([Re2]) Tập hợp U = {u1 , , um } gọi khuôn (framen i work) ui = (ui1 , , uin ) ∈ (2Z)n , với uij ≥ j=1 uj = 2d, với i = 1, , m số nguyên dương d Định nghĩa 1.0.7 ([Re2]) Cho U khuôn Tập hữu hạn L ⊂ Zn gọi U -trung bình L chứa U , với v ∈ L\U, v trung bình cộng hai điểm chẵn phân biệt L Định lý 1.0.8 ([Re2]) Cho U khuôn, tồn tập U ∗ U -trung bình thỏa mãn A(U) := { 21 (s + t) : s, t ∈ U} ⊂ U ∗ ⊂ C(U) U ∗ chứa tập U -trung bình, với C(U) tập điểm nguyên bao lồi U Định lý 1.0.9 Cho f (x) = α∈U fα xα + α∈∆ fα xα + α∈(U∪∆) fα xα đa thức n biến thực, bậc 2d, có tập đỉnh V (f ) ⊂ (2Z)n , U khn thỏa V (f ) ⊂ U ⊂ V(f ) Giả sử điều sau thỏa mãn: (i) α ∈ U ∗ với α ∈ ∆; (ii) minu∈U fu ≥ α∈∆ |fα | Khi f SOS Ký hiệu R[x]2d không gian véc tơ đa thức thực, n biến, bậc không vượt 2d, với sở tắc (xα ) = {xα | α ∈ Nn , |α| ≤ 2d} Cho dãy số thực y = (yα ) có số đánh số theo sở tắc (xα ), ta xác định ánh xạ tuyến tính Ly : R[x]2d → R fα xα → Ly (f ) = f= α f α yα , α Md (y) = (Md (y)(α, β)) ma trận moment sinh (yα ), xác định Md (y)(α, β) := Ly (xα+β ) = yα+β , α, β ∈ Nn : |α|, |β| ≤ d Theo Nhận xét 2.2 [La3], Md (y) nửa xác định dương, kí hiệu Md (y) 0, Ly (f ) ≥ 0, với f ∈ R[x]d Hơn nữa, f SOS Ly (f ) ≥ 0, với y cho Md (y) Do vậy, chứng minh Định lý 1.0.9 hoàn thành cách sử dụng Nhận xét 2.2 [La3] Bổ đề sau Bổ đề 1.0.10 Cho U khuôn L tập U -trung bình Giả sử dãy y = (yα ) cho Md (y) Khi |Ly (xα )| ≤ max Ly (xu ), với α ∈ L u∈U Hệ 1.0.11 (Kết Lasserre [La3]) Cho n a2dei x2d i + f= i=1 aα x α + α∈∆ aα x α α∈∆,α=2de / i đa thức n biến thực, bậc 2d Trong e1 = (1, 0, , 0), , en = (0, , 0, 1) véc tơ đơn vị Rn Nếu a2dei ≥ |fα |, i = 1, 2, , n α∈∆ f SOS Các điểm tập U thỏa mãn điều kiện Định lý 1.0.9 xem tập đỉnh số học Γ(f ) Chương Tính đặt chỉnh tốn tối ưu đa thức Tính đặt chỉnh tính chất mong muốn ta nghiên cứu toán tối ưu Với toán đặt chỉnh, nghiệm tối ưu tồn Hơn nữa, dãy giá trị hàm mục tiêu dãy điểm hội tụ đến giá trị tối ưu, dãy điểm hội tụ đến điểm mà hàm đạt giá trị tối ưu Một cách xác, ta có Định nghĩa 2.0.12 Cho X, A không gian metric Với a ∈ A cố định, fa : X → R hàm liên tục Bài tốn Tính inf x∈X fa (x) gọi đặt chỉnh theo Zolezzi (i) Giá trị fa∗ : = inf x∈X fa (x) hữu hạn đạt điểm xa X; (ii) Với dãy an ∈ A, an → a, giá trị fa∗n : = inf x∈X fan (x) hữu hạn với dãy xn ∈ X thỏa mãn fan (xn ) − fa∗n → 0, ta có xn → xa Trong [ILR], tác giả chứng minh tính đặt chỉnh nhiều lớp tốn tối ưu Đặc biệt, họ chứng minh rằng, tồn tập trù mật không gian toán tối ưu, cho toán thuộc tập đặt chỉnh Một hệ kết là, hầu hết toán qui hoạch toàn phương đặt chỉnh Trong chương này, cách sử dụng đa diện Newton điều kiện không suy biến theo nghĩa Kouchnirenko, chứng minh rằng, Γ đa diện thuận tiện Rn , AΓ không gian đa thức có đa diện Newton tập Γ, ln tồn tập nửa đại số UΓ , cho đa thức f bị chặn f thuộc UΓ tốn Tính infn f (x) x∈R toán đặt chỉnh theo Zolezzi Ở đây, số biến bậc đa thức tùy ý Nội dung Chương viết dựa cơng trình Van Doat Dang, Huy Vui Ha and Tien Son Pham, Well-posedness in unconstrained Polynomial Optimization Problems SIAM J Optim., 26(3)(2016), 1411 – 1428 Cho f = α∈Nn fα xα đa thức n biến Nhắc lại supp(f ) tập tất α ∈ Nn cho fα = Bên cạnh khái niệm đa diện Newton đa thức f, để nghiên cứu tính chất hình học giải tích đa thức vô hạn, ta cần thêm khái niệm sau Định nghĩa 2.0.13 Bao lồi tập supp(f ) ∪ {0} gọi đa diện Newton vô hạn f ký hiệu Γ∞ (f ) Γ∞ (f ) gọi thuận tiện cắt trục tọa độ điểm khác gốc tọa độ Đa thức f gọi thuận tiện Γ∞ (f ) thuận tiện Ta gọi biên Newton vô hạn f , ký hiệu Γ∞ (f ), xác định hợp mặt Γ∞ (f ) mà không chứa gốc tọa độ Rn Với mặt ∆ Γ∞ (f ), đặt f∆ = α∈∆ fα xα Định nghĩa 2.0.14 [Ko, Kh] Đa thức f gọi không suy biến vô hạn theo Kouchnirenko (nói tắt khơng suy biến vơ hạn) với mặt ∆ Γ∞ (f ), hệ phương trình ∂f∆ ∂f∆ (x) = · · · = (x) = ∂x1 ∂xn nghiệm (R \ {0})n Trong chương này, ký hiệu Γ ⊂ Rn+ đa diện với tập đỉnh điểm có tọa độ nguyên Zn+ Và giả sử Γ thuận tiện, nghĩa cắt trục tọa độ điểm khác gốc Với đa diện Γ thuận tiện, đặt AΓ V C N := {f ∈ R[x] : Γ∞ (f ) ⊆ Γ}; := tập đỉnh Γ; := Γ ∩ Zn+ = tập điểm nguyên Γ; := #C = số điểm nguyên tập C Định lý 2.0.15 Cho đa diện Γ thuận tiện Khi tồn tập nửa đại số, mở trù mật U Γ ⊂ AΓ (≡ RN ) cho với f = α∈C fα xα ∈ U Γ f bị chặn Rn , điều sau thỏa mãn: (i) f có điểm cực tiểu x∗ ∈ Rn ; (ii) Tồn > cho với u := (uα ) ∈ RN , u < , điều kiện sau thỏa mãn: (ii1) Đa thức fu := f + α∈C uα xα ∈ AΓ có điểm cực tiểu x∗u ∈ Rn ; (ii2) Đa thức fu có điểm tới hạn khơng suy biến giá trị tới hạn phân biệt; nữa, Hessian ∇2 fu (x∗u ) fu x∗u xác định dương; (ii3) Sự tương ứng {u ∈ RN : limu→0 x∗u = x∗ ; u < } → Rn , u → x∗u , ánh xạ giải tích với (ii4) Với xu ∈ Rn , limu→0 [fu (xu ) − inf x∈Rn fu (x)] = 0, limu→0 xu = x∗ Nói riêng, tốn Tính infn f (x) x∈R đặt chỉnh theo Zolezzi Chứng minh Định lý 2.0.15 suy từ Bổ đề Bổ đề 2.0.16 ([HP]) Cho F : X × P → Y ánh xạ nửa đại số lớp C ∞ đa tạp nửa đại số Nếu y ∈ Y giá trị quy F, tồn tập nửa đại số Σ P có chiều lớn dim P − 1, cho với p ∈ P \ Σ, y giá trị quy ánh xạ Fp : X → Y, x → F (x, p) Bổ đề 2.0.17 Giả sử đa diện Γ thuận tiện Khi tồn tập nửa đại số, mở trù mật CΓ ⊂ AΓ , cho với f ∈ CΓ , f có điểm tới hạn không suy biến giá trị tới hạn phân biệt Bổ đề 2.0.18 Tập DΓ := {f ∈ AΓ : Γ(f ) ⊂ Γ f không suy biến vô hạn} tập nửa đại số mở trù mật AΓ Bổ đề 2.0.19 Cho f ∈ DΓ đa thức bị chặn Khi đó, với mặt ∆ Γ∞ (f ), ta có f∆ ≥ Rn f∆ > (R \ 0)n Xét hàm nửa đại số PΓ : Rn → R xác định PΓ (x) := α∈V |xα | Bổ đề 2.0.20 Giả sử đa diện Γ thuận tiện f ∈ DΓ đa thức bị chặn Khi tồn số dương c1 , c2 , r cho c1 PΓ (x) ≤ f (x) ≤ c2 PΓ (x) với Nói riêng, f coercive Rn (tức lim x ∈ Rn , x →+∞ f (x) x ≥ r = +∞) Đặt UΓ := CΓ ∩ DΓ , CΓ DΓ tập nửa đại số, mở trù mật AΓ xác định Bổ đề 2.0.17 2.0.18, tương ứng Khi UΓ tập nửa đại số, mở trù mật AΓ Bổ đề 2.0.21 Cho Γ đa diện thuận tiện, cho f đa thức thuộc UΓ Khi đó, f bị chặn f đạt cực tiểu Rn điểm x∗ Bổ đề 2.0.22 Cho đa diện Γ thuận tiện f ∈ UΓ đa thức bị chặn Với u := (uα )α∈C ∈ RN , đặt fu := f + α∈C uα xα ∈ R[x] Khi đó, tồn > cho với u < , ta có fu ∈ UΓ Hơn nữa, khẳng định sau đúng: (i) Tồn số dương c1 , c2 , r cho c1 PΓ (x) ≤ fu (x) ≤ c2 PΓ (x), với (ii) fu coercive; (iii) fu có điểm cực tiểu tồn cục x∗u ∈ Rn ; x ∈ Rn , x ≥ r; (d) Nếu f∗ = hàm dist(x, f −1 (0)) không bị chặn V1 , tồn số c > cho |f (x)| ≥ c min{dist(x, f −1 (0))L0 (V1 ) , dist(x, f −1 (0))L∞ (V1 ) , dist(x, f −1 (0))d }, với x ∈ Rn Bổ đề 3.2.4 Giả sử tồn số c0 > ρ1 > 0, , ρs > cho |f (x)| ≥ c0 min{dist(x, f −1 (0))ρi , i = 1, , s}, (3.5) với x ∈ V1 Khi đó, tồn số c > cho |f (x)| ≥ c min{dist(x, f −1 (0))ρi , dist(x, f −1 (0))d , i = 1, , s}, (3.6) với x ∈ Rn Số mũ bất đẳng thức Lojasiewicz 3.3 Ký hiệu L0 (f ) : = inf{α > : ∃c > 0, δ > cho |f (x)| ≥ cdist(x, f −1 (0))α , ∀x ∈ Rn , |f (x)| < δ}; L∞ (f ) : = sup{β > : ∃c > 0, r > cho |f (x)| ≥ cdist(x, f −1 (0))β , ∀x ∈ Rn , |f (x)| ≥ r} Định nghĩa 3.3.1 ([Ha1]) Các số L0 (f ) L∞ (f ) gọi tương ứng số mũ Lojasiewicz gần tập f −1 (0) số mũ Lojasiewicz xa tập f −1 (0) f Đặt Ω1 : = {x ∈ Rn : dist(x, f −1 (0)) < 1}, Ω2 : = {x ∈ Rn : dist(x, f −1 (0)) ≥ 1} Đặt L(f, Ω1 ) : = inf{ρ > : ∃c > 0, |f (x)| ≥ cdist(x, f −1 (0))ρ , ∀x ∈ Ω1 }, L(f, Ω2 ) : = sup{ρ > : ∃c > 0, |f (x)| ≥ cdist(x, f −1 (0))ρ , ∀x ∈ Ω2 } Mệnh đề 3.3.2 Giả sử f khơng có dãy loại dãy loại hai Khi i) L0 (f ) = L(f, Ω1 ); ii) L∞ (f ) = L(f, Ω2 ) Bổ đề 3.3.3 Ta có (i) L∞ (f ) ≤ min{L∞ (V1 ), d}; (ii) L0 (f ) ≥ L0 (V1 ) Bây xét trường hợp (a) − (d) (iv) Định lý 3.2.3 14 Mệnh đề 3.3.4 Giả sử f dãy loại loại hai V1 , khẳng định sau ln đúng: Trường hợp (a): Nếu f∗ > hàm dist(x, f −1 (0)) bị chặn V1 ta có L0 (V1 ) ≤ L0 (f ) ≤ d L∞ (f ) = d; Trường hợp (b): Nếu f∗ > hàm dist(x, f −1 (0)) không bị chặn V1 ta có L0 (V1 ) ≤ L0 (f ) ≤ max{L∞ (V1 ), d} L∞ (f ) = min{L∞ (V1 ), d}; Trường hợp (c): Nếu f∗ = hàm dist(x, f −1 (0)) bị chặn V1 ta có (i) Nếu L0 (V1 ) ≥ d L∞ (f ) = d L0 (f ) = L0 (V1 ) (ii) Nếu L0 (V1 ) < d L0 (V1 ) ≤ L0 (f ) ≤ d L0 (V1 ) ≤ L∞ (f ) ≤ d Trường hợp (d):Nếu f∗ = hàm dist(x, f −1 (0)) khơng bị chặn V1 ta có (i) Nếu L0 (V1 ) ≤ min{L∞ (V1 ), d} L0 (V1 ) ≤ L0 (f ) ≤ max{L∞ (V1 ), d} L0 (V1 ) ≤ L∞ (f ) ≤ min{L∞ (V1 ), d} (ii) Nếu min{L∞ (V1 ), d} ≤ L0 (V1 ) ≤ max{L∞ (V1 ), d} L0 (V1 ) ≤ L0 (f ) ≤ max{L∞ (V1 ), d} L∞ (f ) = min{L∞ (V1 ), d} (iii) Nếu L0 (V1 ) ≥ max{L∞ (V1 ), d} L0 (f ) = L0 (V1 ) L∞ (f ) = min{L∞ (V1 ), d} 15 Chương Bất đẳng thức Lojasiewicz hàm đa thức R2 Tiếp theo chương 3, chương nghiên cứu bất đẳng thức Lojasiewicz trường hợp f đa thức hai biến Trước hết, đưa phương pháp để kiểm tra tồn bất đẳng thức Lojasiewicz, sau tính ∂f tốn số mũ Lojasiewicz thơng qua khai triển Puiseux f Đặc biệt, chúng ∂y nghiên cứu bất đẳng thức Lojasiewicz trường hợp f không suy biến vô hạn theo lược đồ Newton Nội dung lại chương giới thiệu cách vắn tắt sau: Trong [Ho], Hăormander ó chng minh rng, nu f : Rn R đa thức, tồn số c > µ > 0, µ > 0, µ > cho |f (x)| ≥ cdist(x, f −1 (0))µ , với x ∈ Rn , x < 1; (1 + x )µ |f (x)| ≥ cdist(x, f −1 (0))µ , với x ∈ Rn , x ≥ Rõ ràng, µ số mũ Lojasiewicz f miền x < 1, nhân tử bên trái (1 + x )µ bất đẳng thức thứ hai cần thiết để kiểm soát dáng điệu hàm khoảng cách dist(x, f −1 (0)) x đủ lớn Chúng đưa kết bất đẳng thức trên, giá trị số mũ µ cho với giá trị cụ thể n = Nội dung Chương viết chủ yếu dựa Mục 5, 6, phần Mục báo Huy Vui Ha and Van Doat Dang, On the Global Lojasiewicz inequality for polynomial functions (34 pp)(accepted for publication in Annales Polonici Mathematici.) 4.1 Kiểm tra tồn bất đẳng thức Lojasiewicz 4.1.1 Khai triển Puiseux Xét f (x, y) đa thức hai biến bậc d có dạng f (x, y) = a0 y d + a1 (x)y d−1 + · · · + ad (x) Khi đó, theo định lý Puiseux [GV], f phân tích thành d (y − λj (x)), f (x, y) = a0 j=1 16 (4.1) kj k ajk x p , λj (x) = (4.2) −∞ |x| 1, với kj , p số nguyên Định nghĩa 4.1.1 Mỗi hàm λj (x) xác định (4.2) gọi chuỗi Puiseux vô hạn f nghiệm Puiseux vô hạn f Nghiệm Puiseux λj (x) vô hạn f gọi thực tất hệ số ajk số thực Để xét quỹ tích thực f (x, y) = với x < 0, ta lấy nghiệm thực Puiseux vô hạn f (x, y) : = f (−x, y) ∂f Giả sử x > 0, kí hiệu tập nghiệm Puiseux vơ hạn f lần ∂y ∂f lượt P(f ) = {λ1 (x), , λd (x)} P( ) = {λ1 (x), , λd−1 (x)} ∂y ∂f ∂f Với g ∈ {f, , f , }, kí hiệu PR (g) tập tất nghiệm Puiseux thực ∂y ∂y vô hạn g Xét ψ chuỗi lũy thừa hữu tỉ có dạng ψ(x) = b0 xρ + o(xρ ), |x| 1, với b0 = Khi đó, số mũ ρ gọi bậc ψ vô hạn ta kí hiệu v(ψ(x)) 4.1.2 Phương pháp kiểm tra Theo định lý 3.2.3, để kiểm tra tồn bất đẳng thức Lojasiewicz toàn cục, ta phải kiểm tra dãy loại loại hai f V1 không tồn Mệnh đề 4.1.2 Hai khẳng định sau tương đương (i) Không tồn dãy loại (xk , y k ) f V1 ∩ {x > 0}; (ii) Không tồn λ(x) ∈ PR ( ∂f ) cho ∂y v(λ(x) − λ(x)) ≥ v(f (x, λ(x))) < λ∈PR (f ) Mệnh đề 4.1.3 Hai khẳng định sau tương đương (i) Không tồn dãy loại hai (xk , y k ) f V1 ∩ {x > 0}; (ii) Không tồn λ(x) ∈ PR ( ∂f ) cho ∂y v(f (x, λ(x))) ≤ v(λ(x) − λ(x)) > λ∈PR (f ) Mệnh đề 4.1.4 Hai khẳng định sau tương đương (i) f∗ = inf (x,y)∈V1 |f (x, y)| > 0; 17 (ii) f −1 (0) ∩ ∂f ∂y −1 (0) = ∅ không tồn λ(x) ∈ PR ( cho: ∂f ∂f ) ∪ PR ( ) ∂y ∂y ∂f ); ∂y ∂f v(f (x, λ(x)) < λ(x) ∈ PR ( ) ∂y v(f (x, λ(x)) < λ(x) ∈ PR ( Mệnh đề 4.1.5 Hai khẳng định sau tương đương (i) Hàm dist(x, f −1 (0)) không bị chặn tập V1 ; (ii) Tồn λ(x) ∈ PR ( ∂f ∂f ) ∪ PR ( ) cho ∂y ∂y {v(λ(x) − λ(x))} > λ(x) ∈ PR ( ∂f ); ∂y {v(λ(x) − λ(x))} > λ(x) ∈ PR ( ∂f ) ∂y λ(x)∈PR (f ) λ(x)∈PR (f ) Tương tự, thay f (x, y), PR (f ) PR ( ∂f ) tương ứng f (x, y) = f (−x, y), ∂y ∂f ) Mệnh đề 4.1.2 4.1.3, ta thu tiêu chuẩn cho việc ∂y không tồn dãy loại loại hai (xk , y k ) f V1 ∩ {x < 0} ∂f Bổ đề 4.1.6 Cho λ(x) ∈ PR ( ) λ(x) ∈ PR (f ) Đặt ∂y PR (f ) PR ( Vλ : = {(x, y) ∈ R2 : x > 0, y = λ(x)} Khi dist((x, λ(x)), Vλ ) xv(λ(x)−λ(x)) x Tức là, tồn số c1 > c2 > cho bất đẳng thức sau c1 xv(λ(x)−λ(x)) ≤ dist((x, λ(x)), Vλ ) ≤ c2 xv(λ(x)−λ(x)) , x 4.2 Tính số mũ Lojasiewicz 4.2.1 Tính số mũ L0 (V1 ) Đặt L0,∞ (V1 ) : = inf{ρ > : ∃c, δ, r > cho |f (x, y)| ≥ cdist((x, y), f −1 (0))ρ , ∀(x, y) ∈ V1 , |x| > r, |f (x, y)| < δ}; L0,0 (V1 ) : = inf{ρ > : ∃c, δ, r > cho |f (x, y)| ≥ cdist((x, y), f −1 (0))ρ ∀(x, y) ∈ V1 , |x| ≤ r, |f (x, y)| < δ} Khi L0 (V1 ) = max{L0,∞ (V1 ), L0,0 (V1 )} 18 Mệnh đề 4.2.1 Nếu khơng có dãy loại f V1 số L0,∞ (V1 ), ∂f L0,0 (V1 ) tính tốn thơng qua khai triển Puiseux f ∂y 4.2.2 Tính số mũ L∞ (V1 ) Đặt + L+ ∞ (V1 ) : = min{L∞ (λ) : λ ∈ PR ( ∂f ), v(f (x, λ(x)) > 0}; ∂y − L− ∞ (V1 ) : = min{L∞ (λ) : λ ∈ PR ( ∂f ), v(f (x, λ(x)) > 0} ∂y Mệnh đề 4.2.2 Nếu khơng có dãy loại hai f V1 L∞ (V1 ) > − L∞ (V1 ) = min{L+ ∞ (V1 ), L∞ (V1 )} 4.2.3 Tính số mũ L0 (f ) Đặt L0 (f ) : = inf{ρ > : ∃c > 0, δ > cho |f (x, y)| ≥ cdist((x, y), f −1 (0))ρ , ∀(x, y) ∈ R2 , |f (x, y)| ≤ δ}; L0,∞ (f ) : = inf{ρ > : ∃c > 0, δ > 0, r > cho |f (x, y)| ≥ cdist((x, y), f −1 (0))ρ , ∀(x, y) ∈ R2 , |x| > r, |f (x, y)| ≤ δ}; L0,0 (f ) : = inf{ρ > : ∃c > 0, δ > 0, r > cho |f (x, y)| ≥ cdist((x, y), f −1 (0))ρ , ∀(x, y) ∈ R2 , |x| ≤ r, |f (x, y)| ≤ δ} Khi L0 (f ) = max{L0,∞ (f ), L0,0 (f )} Việc tính số mũ L0,0 (f ) dựa công việc Kuo [Ku] số mũ L0,∞ (f ) tính [HD] 4.2.4 Tính số mũ L∞ (f ) Lấy λi (x) ∈ P(f ) \ PR (f ) λi (x) = a1 xα1 + · · · + as−1 xαs−1 + as xαs + · · · α1 > α2 > · · · as ∈ C Giả sử a1 , a2 , , as−1 ∈ R as ∈ / R, chuỗi λRi (x) := a1 xα1 + · · · + as−1 xαs−1 + cxαs , c ∈ / R c "generic" gọi xấp xỉ thực λi (x) 19 Lấy λi (x), λj (x) ∈ P(f ) \ PR (f ) ký hiệu ρij = v(λRi (x) − λRj (x)) Xét λRi (x) = a1 xα1 + · · · + at−1 xαt−1 + axρij + o(xρij ), λRj (x) = a1 xα1 + · · · + at−1 xαt−1 + bxρij + o(xρij ) Đặt λRij (x) = a1 xα1 + · · · + at−1 xαt−1 + cxρij , c "generic" Đặt D(λRij ) : = L(λRij ) : , PR (f ) = ∅ R minλ∈PR (f ) v(λ(x) − λij (x)), PR (f ) = ∅ , v(f (x, λRij (x))) = D(λRij ) Mệnh đề 4.2.3 Nếu f khơng có dãy loại loại hai L∞ (f ) = min{L(λRij ) : D(λRij ) > 0}, λi λj nghiệm Puiseux vô hạn f f , λi , λj ∈ P(f ) \ PR (f ) λi , λj ∈ P(f ) \ PR (f ) 4.3 Đa thức không suy biến vô hạn Xét f (x, y) đa thức hai biến bậc d có dạng f (x, y) = a0 y d + a1 (x)y d−1 + · · · + ad (x) = cij xi y j i+j≤d Đặt supp(f ) : = {(i, j) : cij = 0}, gọi giá f Γ(f ) = co(supp(f )) bao lồi supp(f ) Định nghĩa 4.3.1 Γ(f ) gọi đa giác Newton f Ký hiệu ∂Γ(f ) biên Γ(f ) σ∗ cạnh ∂Γ(f ) mà gần đường thẳng L := {(i, j) ∈ R2 : i + j = d} Ký hiệu (a∗∗ , b∗∗ ) đỉnh Γ(f ) cho b∗∗ = min{b : ∃a cho (a, b) ∈ Γ(f )} Xét σ1 , σ2 , , σk−1 , σk dãy cạnh ∂Γ(f ) cho σ1 = σ∗ , (a∗∗ , b∗∗ ) ∈ σk σi ∩ σi+1 = ∅, i = 1, , k − Đặt ∂∞ Γ(f ) = {σ1 , σ2 , , σk−1 , σk } Định nghĩa 4.3.2 Tập ∂∞ Γ(f ) gọi phần Newton vơ hạn f Với σ ∈ ∂∞ Γ(f ), đặt fσ (x, y) = (i,j)∈σ 20 aij xi y j Định nghĩa 4.3.3 Đa thức f gọi không suy biến theo phần Newton vơ hạn f (viết tắt, f không suy biến vô hạn) với σ ∈ ∂∞ Γ(f ), hệ ∂fσ ∂fσ (x, y) = (x, y) = khơng có nghiệm (R \ 0)2 ∂x ∂y Với σ = [(a1 , b1 ), (a2 , b2 )], b1 > b2 , đặt d(σ) = b1 − b2 v(σ) = a2 − a1 b1 − b2 Bổ đề 4.3.4 Các phát biểu sau (i) d = d(σ1 ) + · · · + d(σk ) + b∗∗ ; (ii) ≥ v(σ1 ) > v(σ2 ) > · · · > v(σk ); (iii) y = nghiệm Puiseux vô hạn f, với bội b∗∗ ; (iv) Với i ∈ {1, 2, , k}, tồn xác d(σi ) nghiệm Puiseux vô hạn (đếm bội), nghiệm có dạng y(x) = cxv(σi ) + o(xv(σi ) ), c nghiệm khác khơng đa thức hσi (u) := fσi (1, u); (v) Nếu f khơng suy biến vơ hạn, đa thức hσi (u) khơng có nghiệm khác khơng bội lớn Bổ đề 4.3.5 Giả sử ∂∞ Γ(f ) = {σ1 , σ2 , , σk } Nếu ∂∞ Γ( ∂f ) = {σ1 , σ2 , , σk−1 , σk , σk+1 , · · · , σs }, ∂y với i ≥ k, ta có v(σi ) ≤ v(σk ) ∂f ) ∂y có dạng λi0 (x) = cxv(σi0 ) + o(xv(σi0 ) ) Lấy σi cạnh ∂∞ Γ(f ) nối điểm (ai−1 , bi−1 ) (ai , bi ), i = 1, 2, , k Khi đó, phát biểu sau Bổ đề 4.3.6 Giả sử f đa thức không suy biến vô hạn λi0 (x) ∈ PR ( (i) Nếu i0 ∈ {1, 2, , k − 1} i0 v(f (x, λi0 (x))) = k d(σl )v(σl ) + d(σm ) v(σi0 ) m=i0 +1 l=1 k = + d(σm ) v(σi0 ); m=i0 +1 (ii) Nếu i0 ≥ k v(f (x, λi0 (x))) = a∗∗ + b∗∗ v(σi0 ) Định lý 4.3.7 Cho f đa thức thuận tiện không suy biến vô hạn, (i) lim(x,y)∈V1 ;(x,y)→∞ |f (x, y)| = ∞; 21 (ii) Tồn số dương α, β, c cho |f ((x, y))|α + |f ((x, y))|β ≥ cdist((x, y), f −1 (0)), với (x, y) ∈ R2 Định lý 4.3.8 Cho đa thức f thuận tiện không suy biến vô hạn, số L0,∞ (V1 ), L∞ (V1 ), L0,∞ (f ) L∞ (f ) biểu diễn thông qua phần Newton vơ hạn f 4.4 Mt dng bt ng thc Hă ormander Vi ký hiu mục 4.1; 4.2; 4.3 Giả sử tập P ∗ khác rỗng P ∗ := P0∗ ( ∂f ∂f ∗ ∂f ∗ ∂f ) ∪ P∞ ( ) ∪ P0∗ ( ) ∪ P∞ ( ), ∂y ∂y ∂y ∂y f (x, y) = f (−x, y); P0∗ ( ∂f ∂f ) := {λ ∈ PR ( ) : v(f (x, λ(x))) < v(λ(x) − λ(x)) ≥ 0}; λ∈PR (f ) ∂y ∂y ∗ P∞ ( P0∗ ( ∂f ∂f ) := {λ ∈ PR ( ) : v(f (x, λ(x))) ≤ v(λ(x) − λ(x)) > 0}; λ∈PR (f ) ∂y ∂y ∂f ∂f ) := {λ ∈ PR ( ) : v(f (x, λ(x))) < v(λ(x) − λ(x)) ≥ 0}; ∂y ∂y λ∈PR (f ) ∗ P∞ ( ∂f ∂f ) := {λ ∈ PR ( ) : v(f (x, λ(x))) ≤ v(λ(x) − λ(x)) > 0} ∂y ∂y λ∈PR (f ) Lấy λ ∈ P ∗ , đặt ∂f ∗ ∂f ( ) v(f (x, λ(x))) λ ∈ P0∗ ( ) ∪ P∞ ∂y ∂y θ(λ) := ∂f ∗ ∂f v(f (x, λ(x))) λ ∈ P0∗ ( ) ∪ P∞ ( ), ∂y ∂y ∂f λ ∈ P ( ) PR (f ) = ∅ R ∂y ∂f minλ∈PR (f ) {v(λ(x) − λ(x))} λ ∈ PR ( ) PR (f ) = ∅ ∂y D(λ) := ∂f λ ∈ P ( ) PR (f ) = ∅ R ∂y ∂f minλ∈PR (f ) {v(λ(x) − λ(x))} λ ∈ PR ( ) PR (f ) = ∅ ∂y Đặt ν(λ) = D(λ) − θ(λ), 22 đặt ν(f ) = max ν(λ) λ∈P ∗ Rõ ràng, ν(f ) > 0, P ∗ = ∅ Định lý 4.4.1 Cho đa thức f (x, y) = a0 y d + a1 (x)y d−1 + · · · + ad (x), d bậc f Khi đó, tồn µ > c > cho 1 |f (x, y)| µ + |f (x, y)| d + (1 + |x|)ν(f ) |f (x, y)| ≥ cdist((x, y), f −1 (0)), với (x, y) ∈ R2 23 Kết luận Trong luận án này, thu kết sau: 1) Đưa điều kiện đủ để đa thức không âm tổng bình phương đa thức (Định lý 1.0.9) Điều kiện phát biểu thông qua đa diện Newton đa thức 2) Chứng minh tồn tập nửa đại số mở, trù mật không gian tất đa thức có đa diện Newton cho trước, cho đa thức thuộc tập mà bị chặn dưới, tốn tìm infimum toàn cục đa thức đặt chỉnh (Định lý 2.0.17) 3) Đưa tiêu chuẩn tồn bất đẳng thức Lojasiewicz toàn cục (Định lý 3.2.3) Tiêu chuẩn cung cấp thuật toán cho trường hợp hai biến, kiểm tra tồn bất đẳng thức Lojasiewicz toàn cục (Mệnh đề 4.1.2, 4.1.3) 4) • Cho đánh giá số mũ Lojasiewicz thông qua bậc đa thức số mũ khác, dễ tính tốn (Mệnh đề 3.3.4) • Trong trường hợp hai biến: tính tốn cách tường minh số mũ Lojasiewicz (Mệnh đề 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3); Chứng minh rằng, số mũ Lojasiewicz đa thức không suy biến phụ thuộc vào đa giác Newton (Định lý 4.3.8); Đưa dạng bất đẳng thức Hormander, số mũ xuất với giá trị cụ thể (Định lý 4.4.1) 24 Các cơng trình liên quan đến luận án V D Dang and T T Nguyen, Sufficient Conditions for a real Polynomial to be a Sum of Squares of Polynomials Kodai J Math., 39(2016), pp.253 – 275 V D Dang, H V Ha and T S Pham, Well-posedness in unconstrained Polynomial Optimization Problems SIAM J Optim., 26(3)(2016), pp 1411 – 1428 H V Ha and V D Dang, On the Global Lojasiewicz inequality for polynomial functions (34pp)(accepted for publication in Annales Polonici Mathematici) 25 Các kết luận án báo cáo Xêmina Viện Nghiên cứu cao cấp Toán Xêmina phòng Hình học Tơ pơ - Viện Tốn học Xêmina khoa Toán - Trường Đại học Đà Lạt Hội nghị Nghiên cứu sinh Viện Toán học, 10/2014, 10/2015, 10/2016, 11/2017 Hội nghị Đại số - Hình học - Tơpơ, Bn Ma Thuột, 10/2016 Hội thảo Tối ưu tính tốn khoa học lần thứ 15, Ba Vì, 4/2017 The 5th Franco - Japanese - Vietnamese Symposium on Singularities (FJV 2017), Japan, 26/10-02/11/2017 Hội nghị Toán học miền trung - Tây nguyên lần thứ 2, Đà Lạt, 12/2017 Hội nghị Toán học toàn quốc lần thứ 9, Nha Trang, 14-18/08/2018 10 The 6th Franco - Japanese - Vietnamese Symposium on Singularities (FJV 2018), Nha Trang, 15-21/09/2018 26 Tài liệu tham khảo [AGV] V I Arnold, S M Gusein-Zade, A N Varchenko, Singularities of differentiable maps, Vol I and Vol II Springer, (1988) [BM] E Bierstone and P.D Milman,Semianalytic and subanalytic set, Publ Math Inst Hautes Etudes Sci., 67(1988), 5-42 [Br] W.D Brownawell,Bounds for the degrees in the Nullstellensatz, Ann of Math., 126(1987), 577-591 [DHT] S T Dinh, H V Ha, N T Thao, Lojasiewicz inequality for polynomial function on non-compact domains, Internat.J.Math.23(4), (2012), 1-28 [DHP1] S T Dinh, H V Ha and T S Pham, A Frank-Wolfe type theorem for nondegenerate polynomial programs, Math Program Ser A., 147 (1) (2014), 519-538 [DHP2] S T Dinh, H V Ha and T S Pham, Hă older-type global error bounds for non-degenerate polynomial systems, Acta Math Vietnam, 42(2017), 563-585 [DHPT] S T Dinh, H V Ha, T S Pham and N T Thao, Global Lojasiewicz-type inequality for nondegenerate polynomial maps, J Math Anal Appl., 410 (2) (2014), 541-560 [DKL] S T Dinh, K Kurdyka, O Le Gal, Lojasiewicz inequality on non compact domains and singularities at infinity, Internat.J.Math 24(10) (2013), 1-8 [FK] C Fidalgo and A Kovacec, Positive semidefinite diagonal minus tail forms are sum of squares, Math Z 269 (2011), 629-645 [GM1] M Ghasemi and M Marshall, Lower bounds for polynomials in terms of its coefficients, Arch Math 95 (2010), 343-354 [GM2] M Ghasemi and M Marshall, Lower bounds for polynomials using geometric programming, SIAM J Optim 22(2) (2012), 460-473 [GV] S.Gindikin, L.R.Volevich, Method of Newton’s Polyhedron in the Theory of Partial Differential Equations, Kluwer Academic Publishers (1992) [Ha] H V Ha, Nombres de Lojasiewicz et singularites l’ infini des polynômes de deux variables complexes, C R Acad Sci- Paris, Ser I Math 311 (1990), 429-432 [Ha1] H V Ha, Global Hăolderian error bound for non-degenerate polynomials, SIAM J Optim, 23(2), (2013), 917-933 [Ha2] H V Ha, Computation of the Lojasiewicz exponent for a germ of a smooth function in two variables, Studia Math., 240, (2018), 161-176, 27 [HD] H V Ha and N H Duc, Lojasiewicz inequality at infinity for polynomials in two real variables, Math.Z., 266(2) (2010) 243-264 [HNS] H V Ha, H V Ngai and T S Pham, A global smooth version of the classical Lojasiewicz inequality J Math Anal Appl., 421, (2015), 1559-1572 [HP] H V Ha and T S Pham, Genericity in Polynomial Optimization, (Series on Optimization and its Applications-Vol.3), World Scientific Publishing Europe Ltd., (2017) [Ho] L Hăormander, On the division of distributions by polynomials, Ark.Mat.,3, (1958), 555-568 [ILR] A D Ioffe, R E Lucchetti and J P Revalski, Almost every convex or quadratic programming problem is well posed, Math Oper Res., 29(2), (2004), 369-382 [Kh] A G Khovanskii, Newton polyhedra and toroidal varieties, Funct Anal Appl., 11, (1978), 289-296 [Ko] A G Kouchnirenko, Polyhedres de Newton et nombre de Milnor, Invent Math., 32, (1976), 1-31 [KMP] K Kurdyka, T Mostowski, A Parusinski, Proof of the gradient conjecture of R Thom, Ann of Math., 152 (2000), 763-792 [Ku] C T Kuo, Computation of Lojasiewicz exponent of f (x, y), Comment Math Helv., 49,(1974), 201-213 [Kur] K Kurdyka, On gradient of function definable in o-minimal structures, Ann Inst Fourier (Grenoble) 48(1998), 769-783 [Re1] B Reznick, Midpoint polytopes and the map xi → xki In preparation [Re2] B Reznick, Forms derived from the arithmetic-geometric inequality, Math Ann., 383, (1989), 431-464 [La] M Laurent, Sums of squares, moment matrices and optimization over polynomials, Springer, (2009), 157-270 [La1] J B Lasserre, Global optimization with polynomials and the problem of moments, SIAM J Optim., 11, (2001), 796-817 [La2] J B Lasserre, Moments, positive polynomials and their applications, Imperial College Press, (2009) [La3] J B Lasserre, Sufficient conditions for a real polynomial to be a sum of squares, Arch Math (Basel) 89, (2007), 390-398 [Lo] S Lojasiewicz, Sur le problème de la division, Studia Math.18, (1959), 87-136 [Ma1] M Marshall, Positive polynomials and sums of squares, Math Survey Monogr 146, AMS, Providence, RI, (2008) [OR] G Oleksik and A Rozycki The Lojasiewicz exponent at infinity of nonnegative and non-degenerate polynomials, Preprint [Te] B Teissier, Some resonances of Lojasiewicz inequalities, Wiad Mat 48(2), (2012), 271-284 28 ... [AGV] ứng dụng đa diện Newton lý thuyết kỳ dị, [Ko], [Kh] ứng dụng đa diện Newton hình học đại số [GV] ứng dụng đa diện Newton phương trình đạo hàm riêng) Đa diện Newton xác định không cho đa thức. .. viện Viện Toán học Mở đầu Đa diện Newton đa thức nhiều biến bao lồi tập số mũ đơn thức xuất đa thức với hệ số khác không Trong nhiều vấn đề lý thuyết kỳ dị hình học đại số, đa diện Newton đóng... mũ Lojasiewicz cho trường hợp n = Các vấn đề 1) 2) vấn đề thời Tối ưu Đa thức Các bất đẳng thức Lojasiewicz toàn cục (đối tượng nghiên cứu vấn đề 3)) nghiên cứu lần cơng trình [DHT] phát triển