các bất đẳng thức kiểu hardy một chiều

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ CÔNG VIÊN CÁC BẤT ĐẲNG THỨC KIỂU HARDY MỘT CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ CÔNG VIÊN CÁC BẤT ĐẲNG THỨC KIỂU HARDY MỘT CHIỀU Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS ĐẶNG ANH TUẤN Hà Nội - Năm 2012 Danh mục kí hiệu Danh mục kí hiệu I gian R µ∗ (I) độ đo ngồi Lebesgue I µ(I) độ đo Lebesgue I p L (I) gian hàm có lũy thừa bậc p modun khả tích I Lp (I) loc khơng gian hàm có lũy thừa bậc p modun khả tích địa phương I V arI u biến phân hàm u I BP V (I) không gian hàm có biến phân bị chặn I BP Vloc (I) khơng gian hàm có biến phân bị chặn địa phương I AC(I) không gian hàm liên tục tuyệt đối I ACloc (I) không gian hàm liên tục tuyệt đối địa phương I ACL ((a, b)) = ACR ((a, b)) = ACLR ((a, b)) = ACL ((a, b)) ∩ ACR ((a, b)) (HL f ) (x) = u ∈ ACloc ((a, b)) : lim+ u(x) = x→a u ∈ ACloc ((a, b)) : lim u(x) = − x→b x f (t)dt a b (HR f ) (x) = f (t)dt x W(I) tập hàm trọng I M + (I) tập hàm đo không âm h.k.n I kết thúc chứng minh ví dụ Mục lục Lời cảm ơn Danh mục kí hiệu Lời nói đầu Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Nhắc lại vài kết độ đo tích phân Lebesgue 1.2 Hàm đơn điệu 14 1.3 Hàm có biến phân bị chặn 25 1.4 Hàm liên tục tuyệt đối 27 Các bất đẳng thức kiểu Hardy chiều 59 2.1 Bất đẳng thức Hardy gốc không gian chiều 59 2.2 Các bất đẳng thức kiểu Hardy chiều 70 2.3 Một số ví dụ 91 Kết luận 97 Tài liệu tham khảo 98 Lời nói đầu Lời nói đầu Bất đẳng thức liên quan đến tích phân hàm đạo hàm hàm xuất thường xuyên ngành khác tốn học coi cơng cụ hữu ích tốn học, ví dụ lý thuyết tập phương trình vi phân, lý thuyết xấp xỉ, xác suất, Trong thập kỷ qua, chủ đề tiếp tục mở rộng Một bất đẳng thức liên quan đến tích phân quan trọng là: Bất đẳng thức Hardy Năm 1920, G.H.Hardy chứng minh bất đẳng thức Hardy dạng không gian chiều Nhưng chứng minh ông chưa đầy đủ chưa tìm số tốt bất đẳng thức Năm 1926, E.Landau giá trị tốt số bất đẳng thức Những năm sau nhiều nhà toán học nghiên cứu độc lập tìm cách mở rộng bất đẳng thức Hardy cổ điển Trong hướng mở rộng có hướng mở rộng lớp hàm trọng, nghĩa hàm đo dương hầu khắp nơi Luận văn tơi tìm hiểu bất đẳng thức Hardy không gian chiều số bất đẳng thức kiểu Hardy mở rộng theo hướng thêm “hàm trọng” Luận văn chia làm hai chương Chương 1: Cơ sở lý thuyết Trong chương này, tơi trình bày kết liên quan đến khả vi, khả tích Lebesgue hàm đơn điệu dựa tài liệu tham khảo [1] Hoàng Tụy, Định lý Funini việc chuyển dấu đạo hàm qua dấu tổng dựa tài liệu [2] Ralph Howard, hàm có biến phân bị chặn hàm liên tục tuyệt đối dựa tài liệu tham khảo [3] Giovanni Leoni Phần cuối chương chứng minh kết quan trọng, định lý phép tính vi tích phân tích phân Lebesgue Chương 2: Các bất đẳng thức kiểu Hardy chiều Trong chương này, tơi trình bày chứng minh bất đẳng thức Hardy gốc dựa tài liệu tham khảo [5] D.T.Shum Sau trình bày mở rộng bất đẳng thức Hardy bổ sung thêm hàm trọng, chứng minh điều kiện ràng buộc để kiểu mở rộng dựa tài liệu tham khảo [4] B Opic and A Kufner Vì trình độ cịn hạn chế nên luận văn tránh khỏi sai sót, tác giả hy vọng nhận nhiều ý kiến đóng góp từ thầy giáo bạn đọc để luận văn hoàn chỉnh Chương Các kiến thức chuẩn bị Trong chương đề cập đến số tính chất hàm đơn điệu, hàm có biến phân bị chặn hàm liên tục tuyệt đối Các hàm có vai trị quan trọng để nghiên cứu bất đẳng thức Hardy bất đẳng thức kiểu Hardy 1.1 Nhắc lại vài kết độ đo tích phân Lebesgue Định nghĩa 1.1.1 [1](Độ đo ngồi Lebesgue) Cho hàm µ∗ (A) : R → [0;+∞] µ∗ (A) = inf { +∞ +∞ |∆i |: i=1 ∆i ⊃ A, ∆i gian, i = 1, 2, }, i=1 gọi độ đo Lebesgue R Hàm tập µ∗ độ đo ngồi R ta áp dụng định lý Caratheodory để xây dựng độ đo R, độ đo Lebesgue Định nghĩa 1.1.2 [1](Độ đo Lebesgue) Cho hàm µ∗ : L → [0,∞] L lớp tất tập A R cho µ∗ (E) = µ∗ (E ∩ A) + µ∗ (E\A) với E ⊂ R, độ đo Lebesgue R, ký hiệu µ A gọi tập đo Lebesgue Theo định lí Caratheodory lớp tập đo Lebesgue L σ- đại số Chú ý 1.1.1 Định nghĩa 1.1.1 thay µ∗ (A) = inf{ ∞ ∞ |∆i | : i=1 ∆i ⊃ A, ∆i khoảng mở, i = 1, 2, } i=1 1.1 Nhắc lại vài kết độ đo tích phân Lebesgue ∞ ∆i ⊃ A Khi với ε > tồn khoảng mở ∆i , i = 1, 2, cho i=1 ∞ |∆i | < µ∗ (A) + ε i=1 ∞ ∆i , ta có G tập mở, G ⊃ A Đặt G = i=1 ∞ |∆i | < µ∗ (A) + ε µ(G) ≤ i=1 Như với ε > tồn tập mở G ⊃ A cho µ(G) < µ∗ (A) + ε Định nghĩa 1.1.3 [1](Tập mở) Một tập hợp G không gian mêtric X gọi tập hợp mở điểm a ∈ G có lân cận V điểm a cho V ⊂ G, điều tương đương với điều kiện: với a ∈ G tồn r > cho hình cầu mở B(a, r) ⊂ G Định nghĩa 1.1.4 [1](Tập đóng) Tập F khơng gian mêtric X gọi tập đóng F c = X\F tập mở Định nghĩa 1.1.5 [1](Phần trong) Cho tập hợp A không gian mêtric X Điểm x ∈ X gọi điểm tập tập hợp A tồn lân cận V x cho x ∈ V ⊂ A; điều tương đương với điều kiện tồn số r > cho hình cầu B(x, r) ⊂ A Tập hợp tất điểm A ký hiệu A0 intA Định nghĩa 1.1.6 [1](Tập compact): Một tập hợp A ⊂ Rn gọi tập compact dãy điểm {xk }k ⊂ A có dãy {xkl }l hội tụ đến giới hạn thuộc A Định nghĩa 1.1.7 [1](Tập Borel) σ−đại số nhỏ bao hàm lớp tập mở không gian R gọi σ−đại số Borel không gian R tập thuộc σ−đại số gọi tập Borel không gian R Tập Borel tập xuất phát từ tập mở thực số hữu hạn hay đếm phép toán hợp, giao tập Mệnh đề 1.1.1 [1]Mọi tập Borel đo Lebesgue Chứng minh: xem [1] 1.1 Nhắc lại vài kết độ đo tích phân Lebesgue Định lý 1.1.1 [1]Cho µ : L → [0,∞] độ đo, Ai , i = 1, 2, tập đo được, ∞ A1 ⊂ A2 ⊂ Ai tập đo Khi i=1 ∞ µ Ai = lim µ(Ai ) i→∞ i=1 Chứng minh: xem [1] Định lý 1.1.2 [1]Đối với tập A R ba điều kiện sau tương đương : i) A đo Lebesgue ii) Với ε > tìm tập mở G ⊃ A cho µ∗ (G\A) < ε iii) Với ε > tìm tập đóng F ⊂ A cho µ∗ (A\F ) < ε Chứng minh: xem [1] Chú ý 1.1.2 Với tập A đo ta viết thành A = E0 ∪ Kn , n với Kn tập compact, Kn ⊂ Kn+1 , n = 1, 2, µ(E0 ) = Thật Với n ∈ N, lấy ε = n Khi theo Định lý 1.1.2 tồn tập đóng Fn ⊂ A cho µ(A\Fn ) ≤ n ∞ Fn ⊂ A\Fn Ta có A\ n=1 ∞ ≤ µ A\ Fn ≤ µ (A\Fn ) ≤ n=1 ∞ Do µ A\ Fn = n=1 ∞ Khi ta có E0 = A\ Fn n=1 Đặt Fnk = Fn ∩ [−k, k] ∞ Ta có Fn = Fnk k=1 Với N ∈ N ta lấy N N KN = Fnk n=1 k=1 hợp hữu hạn tập compact nên compact Lại có KN ⊂ KN +1 ∞ ∞ ∞ KN = N =1 Fnk = A n=1 k=1 , ∀n ∈ N n 1.1 Nhắc lại vài kết độ đo tích phân Lebesgue Trong trường hợp đặc biệt A gian E0 = ∅ ta viết sau: Cho a, b hữu hạn, a < b ∞ (a, b) = n=1 ∞ (−∞, b) = n=1 a, b − n=1 [a, +∞) = (a, +∞) = b−a ,n , 2n a+ n=1 ∞ b−a −n, b − , 2n ∞ [a, b) = ∞ b−a b−a ,b − , a+ 2n 2n (−∞, +∞) = [−n, n], n=1 ∞ b−a , 2n (a, b] = a+ n=1 [a, n], b−a ,b , 2n (−∞, b] = n∈N n>a [−n, b] n∈N n>−b Định nghĩa 1.1.8 [1](Hàm đo Lebesgue) Hàm số f : A → [-∞, +∞] gọi đo A với tập đo Lebesgue ∀a ∈ R, E1 = {x ∈ A:f(x) lim µ({x ∈ A: |fn (x) − f (x)| ≥ ε}) = n→+∞ Nói cách khác với ε > 0, với δ > 0, tồn n0 ∈ N cho ∀n ∈ N : n > n0 µ({x ∈ A: |fn (x) − f (x)| ≥ ε}) < δ Định nghĩa 1.1.11 [1](Tích phân hàm đơn giản) Cho hàm A tập đo được, f : A → [-∞, +∞] hàm đơn giản, đo A Gọi f1 , f2 , fn giá trị khác đôi f (x) Đặt Ak = {x ∈ A : f (x) = fk } , k = 1, , n n n A= fk χAk , ∀x ∈ A Ak f (x) = k=1 k=1 Khi tích phân hàm đơn giản f (x) A với độ đo µ số n fk µ(Ak ) f (x)dµ = A k=1 1.1 Nhắc lại vài kết độ đo tích phân Lebesgue Định nghĩa 1.1.12 [1](Tích phân hàm khơng âm) Cho A tập đo Lebesgue, hàm f : A → [0,+∞] hàm đo Khi tồn dãy đơn điệu tăng hàm đơn giản đo fn (x) ≥ hội tụ h.k.n f (x) A Tích phân hàm f (x) A độ đo µ fn (x)dµ f (x)dµ = lim n→+∞ A A Định nghĩa 1.1.13 [1](Tích phân hàm có dấu bất kỳ) Cho A tập đo Lebesgue, hàm f : A → R hàm đo A Khi ta có f (x) = f + (x) − f − (x) với f + (x), f − (x) ≥ Các hàm số f + (x), f − (x) có tích phân tương ứng A với độ đo µ f − (x)dµ f + (x)dµ, A f − (x)dµ có nghĩa tích phân hàm đo f (x) A với f + (x)dµ − Nếu A A A độ đo µ A f − (x)dµ f + (x)dµ − f (x)dµ = A A Định lý 1.1.3 [1](Hội tụ đơn điệu Beppo Levi) Nếu fn (x) ≥ fn (x) đơn điệu tăng đến f (x) A lim fn (x)dµ = n→∞ A f (x)dµ A Chứng minh: xem [1] Định lý 1.1.4 [1](Bổ đề Fatou) Nếu fn (x) ≥ A lim fn (x)dµ ≤ lim n→∞ fn (x)dµ n→∞ A A Chứng minh: xem [1] Định lý 1.1.5 [1](Hội tụ chặn Lebesgue) Nếu |fn (x)| ≤ g(x), g(x) khả tích fn (x) → f (x) (h.k.n hay theo độ đo) A fn (x)dµ → A Chứng minh: xem [1] f (x)dµ n → ∞ A 2.2 Các bất đẳng thức kiểu Hardy chiều 84 Nếu J = ∞ bất đẳng thức (2.2.8) ln Nếu J < ∞ Với x ∈ (a, b), áp dụng bất đẳng thức Holder ta có b b x 1 f (t)v p (t)v − p (t)dt f (t)dt = x  p  b v 1−p (t)dt f p (t)v(t)dt  ≤ p b x x  p b p v 1−p (t)dt ≤J  < ∞ x Do f (t) khả tích Lebesgue địa phương (a, b) nên theo Bổ đề 1.4.4 ta có  y  f (t)dt = f (y) h.k.n (a, b)  a Ta có b b (HL f )q (x)w(x)dx =  a b =q  x  a f (t)dt  a a q−1 y  f (y)dy  w(x)dx =  a q x  f (y)dy w(x)dx a y (Áp dụng Mệnh đề 1.4.5 cho g(y) = f (t)dt α = q) a Theo định lý Fubini ta có b b (HL f )q (x)w(x)dx = q a a a w(x)dx dy  w(x)dx dy y b = q(p − 1)  b y a b (HL f )q−1 (y)f (y)  =q  f (y)  f (t)dt   b q−1 y  1−q p  a v 1−p (t)dt w(x)dx   y q−1 y  b (1−p )(p−q) p (y)f (y)v p (y) a y  (p − 1) v q−1 p (HL f )q−1 (y) 1−q v 1−p (t)dt a v (1−p )(q−1) p (y)dy 2.2 Các bất đẳng thức kiểu Hardy chiều 85 Áp dụng định lý Holder cho tích ba hàm với số mũ p ,p p−q p q−1 ta có b (HL f )q (x)w(x)dx ≤ q(p − 1) 1−q p a  b    p  q−p  b w(x)dx   v 1−p (t)dt  y a  p−q p  p(q−1) p−q y  v 1−p (y)dy  a p b f p (y)v(y)dy   a  (p − 1)(HL f )p (x)  a 1−q p v 1−p (t)dt v 1−p (y)dy  a  = q(p − 1)  q−1 p −p y  b p  b Aq  L (HL f )p (y)w(y)dy  ˜ f p (y)v(y)dy   a  q−1 p b , (2.2.18) a w hàm trọng xác định ˜  y −p v 1−p (t)dt v 1−p (y) , y ∈ (a, b) w(y) = (p − 1) ˜ a Với hai hàm trọng w v ta có ˜  p  b FL (x) = FL (x, a, b, w, v, p, p) =  ˜ w(t)dt  ˜ b x  a b (p − 1)  = x −p  v a 1 p v 1−p (t)dt a y  (t)dt x v 1−p (t)dt v 1−p (y)dt  (p − 1) = v p  −p y  p 1−p a x  1 x 1−p y (t)dt   v a 1−p p  1 x p v  (t)dt dt  a 1−p (t)dt 2.2 Các bất đẳng thức kiểu Hardy chiều   =  1−p x v 1−p  − (t)dt a  1−p  p   v 1−p (t)dt   v 1−p (t)dt v (t)dt p v a p 1−p 1 x  1 x a a  1−p  p x ≤ b 86 1−p (t)dt = a x v 1−p (t)dt, α = − p) (Theo Mệnh đề 1.4.5 cho g(x) = a Khi ta có BL (a, b, w, v, p, p) ≤ ˜ Áp dụng Định lý 2.2.1 với p = q v, w ∈ W (a, b) ta có ˜  p b  (HL f )p (y)w(y)dy  ≤ k(p, p) ˜  a p b f p (y)v(y)dy  (2.2.19) a với 1 k(p, p) = p p (p ) p Kết hợp (2.2.18) (2.2.19) ta có  1 q b (HL f )q (x)w(x)dx ≤  a  ≤ q q (p − 1) 1−q pq k q−1 q p b f p (y)v(y)dy  AL  a  = q(p − 1) 1−q p q p b k q−1 Aq  L f p (y)v(y)dy  a Do  1 q b  (HL f )q (x)w(x)dx ≤ q q (p − 1)  1−q pq k q−1 q f p (y)v(y)dy  AL  a p b a hay  b 1 q  b (HL f )q (x)w(x)dx ≤ q q (p ) q AL   a p f p (y)v(y)dy  a 2.2 Các bất đẳng thức kiểu Hardy chiều 87 Khi bất đẳng thức (2.2.7) với u ∈ ACL (a, b) số tốt CL thỏa mãn điều kiện 1 CL ≤ q q (p ) q AL Bổ đề 2.2.6 [4]Cho < q < p < ∞ v, w ∈ W(a,b).Giả sử bất đẳng thức  1 q b  p |u (x)| v(x)dx |u(x)|q w(x)dx ≤ CL   a p b (2.2.7) a với số CL hữu hạn cho u ∈ ACL (a, b).Khi pq q q ( ) A L ≤ CL r q r = q − p Chứng minh Theo bổ đề 2.2.4 ta có BL ≤ CL < ∞ Do với x ∈ (a, b) ta có b x v 1−p (t)dt < ∞ w(t)dt < ∞, x a Do v 1−p (y), w(y) hàm khả tích Lebesgue địa phương (a, b) nên theo Bổ đề 1.4.4, với t ∈ (a, b) ta có   t  v 1−p (y)dy  = v 1−p (t),   a  t w(y)dy  = w(t) h.k.h (a, b) a Theo Chú ý 1.1.2 ta chọn hai dãy số thực {an }và {bn }, n ∈ N cho a < an < bn < b an b với n ∈ N a, bn Với x ∈ (a; b) ta xét hàm  b fn (x) =  r  pq  v 1−p (t)dt w(t)dt  x  x r pq v 1−p (x)χ(an ;bn ) (x) (2.2.20) an Ta có fn (x) > h.k.n (an , bn ) b p fn (x)v(x)dx > a (2.2.21) 2.2 Các bất đẳng thức kiểu Hardy chiều 88 Đặt   bn  An =  r  q b Ta có bn Ar n =  ≤ x  b r q +1 bn w(t)dt bn w(t)dt q 1−p (t)dt v 1−p (x)dx   qr x / v 1−p (t)dt v 1−p (x)dx  an  qr  x an r q  x v 1−p (t)dt   an an = r v  an r q b r q bn w(t)dt an = (t)dt v 1−p (x)dx an r q b ≤ v x w(t)dt  an an q 1−p/ an r  q b   (2.2.22) r x w(t)dt   bn r  q b an   v 1−p (t)dt v 1−p (x)dx an x an q w(t)dt   r r x v 1−p (t)dt dx an +1 v 1−p (t)dt (Áp dụng Mệnh đề 1.4.5) an an  = b p r r  q r p bn / v 1−p (t)dt w(t)dt  an < ∞ (2.2.23) an Lại có b bn p fn (x)v(x)dx a bn =  b an x bn =  q v r  q 1−p/ (t)dt v (1−p )p (x)v(x)dx r x w(t)dt  x r x an b  an an r  q w(t)dt   p fn (x)v(x)dx = q v 1−p (t)dt v 1−p (x)dx = Ar n (2.2.24) an Theo giả thiết ta có bất đẳng thức (2.2.7) với u ∈ ACL (a, b) nên ta có bất đẳng thức  b 1 q  b (HL f )q (x)w(x)dx ≤ CL   a p f p (x)v(x)dx a (2.2.8) 2.2 Các bất đẳng thức kiểu Hardy chiều 89 với f ∈ M + (a, b) Do fn ∈ M + (a, b) nên ta có  1 q b  (HL fn )q (x)w(x)dx ≤ CL   p b fn p (x)v(x)dx a a Từ (2.2.21) , (2.2.23) (2.2.24) ta có < An < ∞, hay ta có b p fn (x)v(x)dx < ∞ 0< a Với y ∈ (a, b), áp dụng bất đẳng thức Holder ta có y y a a p  y  a 1 y p fn (t)v(t)dt  ≤ 1 fn (t)v p (t)v − p (t)dt ≤ fn (t)dt = p v 1−p (t)dt < ∞ a Do fn (t) khả tích Lebesgue địa phương (a, b) nên theo Bổ đề 1.4.4 ta có  y  fn (t)dt = fn (y) h.k.n (a, b)  a Ta có  1 q b (HL fn )q (x)w(x)dx =  a   b = q  a x q−1 y  fn (t)dt  1 q  fn (y)dy  w(x)dx a a y (Áp dụng Mệnh đề 1.4.5 với g(y) = fn (t)dt α = q) a Áp dụng định lý Fubini ta có  1 q b (HL fn )q (x)w(x)dx =  a  b y  = qq  fn (t)dt  a q−1 a  b fn (y)   1 q w(x)dxdy = y 2.2 Các bất đẳng thức kiểu Hardy chiều  bn q−1 y  = qq  fn (t)dt  an fn (t)dt = an r  pq  b  r pq y  w(x)dx r pq y w(x)dx 1−p v 1−p (x)dx  v 1−p (t)dt r pq v 1−p (x)dx v 1−p (t)dt b +1 (x)dx v r pq an an y  t   = (2.2.25) an t y r +1 pq w(x)dx dy t w(t)dt   b r pq fn (y)  1 q  b y an ≥  an Với y ∈ (an ; bn ), từ (2.2.20) ta có  b y y  90 (Áp dụng Mệnh đề 1.4.5) an = qp  r r  pq  y r qp v 1−p (x)dx w(x)dx  y  (2.2.26) an Kết hợp (2.2.25) (2.2.26) ta có  b 1 q (HL fn )q (x)w(x)dx ≥  a q−1 q qp r ≥ qq       bn    an       = qq r  pq  b y qp r q bn     r qp v 1−p (x)dx / v 1−p (x)dx r qp q−1         1−p v (x)    b  1 q w(x)dx dy  y r y w(x)dx   an r  q b  an an  y w(x)dx  y w(x)dx  y r  pq  b q 1 q  v 1−p (x)dx v 1−p (y)dy  an y =q q qp r q r q An (2.2.27) Kết hợp (2.2.24) bất đẳng thức (2.2.8) ta có :  b 1 q r p (HL fn )q (x)w(x)dx ≤ CL An  a (2.2.28) 2.3 Một số ví dụ 91 Từ (2.2.27) (2.2.28) ta có : q q qp r q Lại có < An < ∞, q q r r q p An ≤ CL An q qp An ≤ CL Cho n → ∞ ta có điều phải chứng minh Các Định lý 2.2.1 Định lý 2.2.2 điều kiện với xét trường hợp hàm u ∈ ACL (a, b) Tương tự ta có kết hàm u ∈ ACR (a, b) 2.3 Một số ví dụ Ví dụ 2.3.1 Cho < p, q < ∞, α, β ∈ R bất đẳng thức 1 ∞ p ∞ q p |u(x)|q xα dx ≤ C   |u (x)| xβ dx (2.3.1) 0 Khi bất đẳng thức cho u ∈ ACL (0, ∞) < p ≤ q < ∞ q q β < p − 1, α = β − − p p Giải: Trong bất đẳng thức ta có (a, b) = (0, ∞) , w(x) = xα , v(x) = xβ Khi  1  q ∞ α FL (x) =  xα+1 −(α + 1) p β(1−p ) t dt  x 1 x t dt q xβ(1−p )+1 = β(1 − p ) + 1 = (−α − 1) q (β(1 − p ) + 1) p p (do α + < 0, β(1 − p ) + > 0) Do BL = 1 q (−α − 1) (β(1 − p ) + 1) p < ∞ 2.3 Một số ví dụ 92 Theo Định lý 2.2.1 ta có bất đẳng thức cho u ∈ ACL (0, ∞) Xét trường hợp < q < p < ∞ ta có AL =      =    ∞ ∞ 1  q ∞ tα dt  x  x r  r q    tβ(1−p ) dt  xβ(1−p ) dx    (β(1−p )+1)r q (α+1)r q 1 r x β(1−p )   x dx r r x q (β(1 − p ) + 1) q  (−α − 1) =       ∞ 1 r x =∞ r dx r  (−α − 1) q (β(1 − p ) + 1) q Do khẳng định bất đẳng thức không trường hợp Làm tương tự ta có kết quả: Bất đẳng thức (2.3.1) cho u ∈ ACR (0, ∞) < p ≤ q < ∞ q q β > p − 1, α = β − − p p Hằng số C (2.3.1) lựa chọn cơng thức C = k(p, q)B, với k(p, q) = q 1+ p q p p 1+ q B BL BR Ví dụ 2.3.2 Cho < p, q < ∞; α, β ∈ R, với < b < ∞ bất đẳng thức  b 1 q  p |u(x)|q xα dx ≤ C   p b |u (x)| xβ dx (2.2.2) Khi bất đẳng thức cho u ∈ ACL (0, ∞) hai điều kiện sau thỏa mãn q q < p ≤ q < ∞, β < p − 1, α ≥ β − − 1, p p q q < q < p < ∞, β < p − 1, α > β − − p p 2.3 Một số ví dụ 93 Giải Trường hợp < p ≤ q < ∞ ta có  1  q b = q dt xβ(1−p )+1 β(1 − p ) + 1 q xα+1 −(α + 1) ≤ t t dt  x xα+1 − bα+1 −(α + 1) p β(1−p ) α FL (x) =  1 x x = p (do α + < 0, β(1 − p ) + > 0) xβ(1−p )+1 β(1 − p ) + 1 p β(1−p )+1 α+1 + q p 1 (−α − 1) q (β(1 − p ) + 1) p Do α + β(1 − p ) + + ≥0 q p nên b BL = β(1−p )+1 α+1 + q p 1 < ∞ (−α − 1) q (β(1 − p ) + 1) p Theo Định lý 2.2.1 ta có bất đẳng thức cho u ∈ ACL (0.∞) Xét trường hợp < q < p < ∞ ta có AL =      ≤    b b    x tα dt  x  (α+1)r q r  r q   β(1−p )   β(1−p ) t dt dx x    (β(1−p )+1)r q r  x β(1−p )   x dx r r x  (−α − 1) q (β(1 − p ) + 1) q =    Do 1  q ∞ b r  x r dx r  (−α − 1) q (β(1 − p ) + 1) q (α+1)r (β(1−p )+1)r + +β(1−p q q ) (α + 1)r (β(1 − p ) + 1)r + + β(1 − p ) > q q nên ta có AL < ∞ Theo Định lý 2.2.2 ta có bất đẳng thức cho u ∈ ACL (0, ∞) Làm tương tự ta có kết quả: Bất đẳng thức (2.3.2) cho u ∈ ACR (0, ∞) 2.3 Một số ví dụ 94 hai điều kiện sau xảy i) < p ≤ q < ∞ q q β > p − 1, α ≥ β − − 1, p p β ≤ p − 1, α > −1 ii) < q < p < ∞ q q β > p − 1, α > β − − 1, p p β ≤ p − 1, α > −1 Trong Ví dụ 2.3.2 ta thấy ảnh hưởng điểm cuối b tới tập giá trị α, β So với Ví dụ 2.3.1 tập giá trị α, β ví dụ nhiều Ví dụ 2.3.3 Cho < p, q < ∞; α, β ∈ R, bất đẳng thức  1 q  |u(x)|q |ln x|α dx ≤ C  x  p p |u (x)| xp−1 |ln x|β dx (2.3.3) 0 Khi bất đẳng thức cho u ∈ ACL (0, ∞) q q < p ≤ q < ∞, β > p − 1, α = β − − p p Giải Trong bất đẳng thức (a, b) = (0, 1) , w(x) = Ta có  1 |ln x|α , v(x) = xp−1 |ln x|β x 1  q |ln t|α dt  t FL (x) =  1 q   x = (− ln x)α+1 α+1 tp−1 |ln t| x (− ln t)α dt  t = q p β 1−p dt x  1 x (− ln x)β(1−p )+1 −β(1 − p ) − 1 p (− ln t)β(1−p ) dt t p (do α + > 0, β(1 − p ) + < 0) 2.3 Một số ví dụ 95 = 1 q (α + 1) (−β(1 − p ) − 1) p Khi BL = < ∞ 1 q (−α − 1) (β(1 − p ) + 1) p Theo Định lý 2.2.1 ta có bất đẳng thức cho u ∈ ACL (0, ∞) Tương tự ta có kết quả: Bất đẳng thức (2.3.3) cho u ∈ ACR (0, ∞) q q < p ≤ q < ∞, β < p − 1, α = β − − p p Tương tự Ví dụ 2.3.1, trường hợp p > q số AL , AR vô hạn Hằng số C lựa chọn Ví dụ 2.3.1 Chú ý: Trong Ví dụ 2.3.3 mở rộng khoảng (0, 1) thành khoảng (0, ∞) hỏi có tồn hàm w ∈ W (0, ∞) cho bất đẳng thức  1 q ∞  |u (x)| xp−1 |ln x|β dx |u(x)|q w(x)dx ≤ C   p p ∞ 0 cho u ∈ ACL (0, ∞) với < p ≤ q < ∞? Ta có  ∞ FL (x) =  1  q ∞ t β 1−p |ln t| dt 1  q 1 x p |ln t|β(1−p ) dt t w(t)dt  = p p−1 w(t)dt  x  1 x x Khi BL = ∞ với cách chọn w(x) Vậy câu trả lời không tồn hàm w(x) Ví dụ 2.3.4 Cho Cho < p, q < ∞; α, β ∈ R, bất đẳng thức  +∞  −∞ 1 q p  +∞ |u(x)|q eαx dx ≤ C  p |u (x)| eβx dx −∞ Khi bất đẳng thức cho u ∈ ACL (0, ∞) < p ≤ q < ∞, β < 0, α = β q p 2.3 Một số ví dụ 96 Giải Trong bất đẳng thức (a, b) = (−∞, +∞) , w(x) = eαx , v(x) = eβx Ta có 1  q  +∞ αt FL (x) =  = eαx −α q p βt(1−p ) e dt  x 1 x e dt p eβx(1−p ) β(1 − p ) (do α < 0, β(1 − p ) > 0) = 1 q (−α) (β(1 − p )) p Khi BL = 1 q < ∞ (−α) (β(1 − p )) p Theo Định lý 2.2.1 ta có bất đẳng thức cho u ∈ ACL (0, ∞) Tương tự ta có kết quả: Bất đẳng thức (2.3.4) cho u ∈ ACR (0, ∞) q < p ≤ q < ∞, β > 0, α = β p Hằng số C lựa chọn Ví dụ 2.3.1 Kết luận 97 KẾT LUẬN Luận văn trình bày hai nội dung Chỉ số tính chất hàm đơn điệu, hàm có biến phân bị chặn, hàm liên tục tuyệt đối định lý phép tính vi tích phân tích phân Lebesgue Chứng minh bất đẳng thức Hardy gốc, tìm điều kiện để mở rộng bất đẳng thức Hardy cách bổ sung thêm hàm trọng ta bất đẳng thức Tài liệu tham khảo [1] Hồng Tụy (2005), Hàm thực Giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Howard, R (2006), Fubini’s theorem on the termwise differentiability of series with monotone terms, lecture notes [3] Leoni, G (1967), A First Course in Sobolev Spaces, American Mathematical Society [4] Opic, B and Kufner, A (1990), Hardy-type inequlities, Longman Scientific Technical [5] Shum, D.T (1971), On integral inequalities related to Hardy, Canad Math Bull Vol 14(2) 225-230 ... 27 Các bất đẳng thức kiểu Hardy chiều 59 2.1 Bất đẳng thức Hardy gốc không gian chiều 59 2.2 Các bất đẳng thức kiểu Hardy chiều 70 2.3 Một số ví dụ ... Chương 2: Các bất đẳng thức kiểu Hardy chiều Trong chương này, tơi trình bày chứng minh bất đẳng thức Hardy gốc dựa tài liệu tham khảo [5] D.T.Shum Sau trình bày mở rộng bất đẳng thức Hardy bổ... chủ đề tiếp tục mở rộng Một bất đẳng thức liên quan đến tích phân quan trọng là: Bất đẳng thức Hardy Năm 1920, G.H .Hardy chứng minh bất đẳng thức Hardy dạng không gian chiều Nhưng chứng minh ông