Một phân loại và xây dựng bất đẳng thức trong tam giác

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN - NGUYEN TH± THOAN M®T PHÂN LOAI VÀ XÂY DUNG BAT ĐANG THÚC TRONG TAM GIÁC LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Hà N®i - 2013 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN NGUYEN TH± THOAN M®T PHÂN LOAI VÀ XÂY DUNG BAT ĐANG THÚC TRONG TAM GIÁC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cap Mã so: 60.46.01.13 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: PGS TS NGUYEN MINH TUAN LèI CAM ƠN Trưóc trình bày n®i dung cna khóa lu¾n, em xin bày to lịng biet ơn sâu sac tói PGS.TS Nguyen Minh Tuan, ngưịi t¾n tình hưóng dan đe em có the hồn thành lu¾n văn Em xin bày to lòng biet ơn chân thành tói tồn the thay cna trưịng Đai HQc Khoa HQc Tn Nhiên, Đai HQc Quoc Gia Hà N®i chi bao em HQ c viên khác suot q trình HQ c t¾p nghiên cúu tai trưịng; cán b® cơng nhân viên tao đieu ki¾n cho chúng em có mơi trưịng HQc t¾p tot nhat Nhân d%p em xin đưoc gui lòi tri ân tói gia đình, ban bè ln bên canh, cő vũ, đ®ng viên, giúp đõ em suot q trình HQ c t¾p thnc hi¾n lu¾n văn tot nghiắp H Nđi, ngy 18 thỏng 11 nm 2013 HQc viên Nguyen Th% Thoan Mnc lnc Chương Áp dnng tính chat cua tam thÉc b¾c hai chÉng minh xây dEng m®t so bat thÉc tam giác 1.1 M®t so kien thÉc ban 1.1.1 Đ%nh lý ve dau cna tam thúc b¾c hai 1.1.2 M®t so cơng thúc lưong giác cung liên quan đ¾c bi¾t 1.2 Áp dnng tính chat cua tam thÉc bâc hai chÉng minh m®t so bat thÉc tam giác .9 1.3 Áp dnng tính chat cua tam thÉc b¾c hai xây dEng m®t so bat thÉc tam giác 20 Chương Áp dnng tính loi lõm cua hàm so chÉng minh xây dEng m®t so bat thÉc tam giác 29 2.1 M®t so kien thÉc ban ve hàm so loi, lõm .29 2.2 Phương pháp áp dnng Đ%nh lý bieu dien hàm loi, lõm 34 2.2.1 Áp dung Đ%nh lý bieu dien hàm loi, lõm chúng minh m®t so bat thúc tam giác 34 2.2.2 Áp dung Đ%nh lý bieu dien hàm loi, lõm xây dnng m®t so bat thúc tam giác 37 2.3 Phương pháp áp dnng bat thÉc Karamata 40 2.3.1 Áp dung bat thúc Karamata chúng minh m®t so bat thúc tam giác 40 2.3.2 Áp dung bat thúc Karamata xây dnng m®t so bat thúc tam giác 43 2.4 Phương pháp áp dnng bat thÉc Jensen .45 2.4.1 Áp dung bat thúc Jensen chúng minh m®t so bat thúc tam giác 45 2.4.2 Áp dung bat thúc Jensen xây dnng m®t so bat thúc tam giác 49 Chương Áp dnng bat thÉc đai so co đien chÉng minh xây dEng m®t so bat thÉc tam giác 53 3.1 Phương pháp áp dnng bat thÉc Cauchy 53 3.1.1 Bat thúc Cauchy 53 3.1.2 Áp dung bat thúc Cauchy chúng minh m®t so bat thúc tam giác 54 3.1.3 Áp dung bat thúc Cauchy xây dnng m®t so bat thúc tam giác 66 3.2 Phương pháp áp dnng bat thÉc Bunhiacopxki .74 3.2.1 Bat thúc Bunhiacopxki 74 3.2.2 Áp dung bat thúc Bunhiacopxki chúng minh m®t so bat thúc tam giác 75 3.2.3 Áp dung bat thúc Bunhiacopxki xây dnng bat thúc tam giác 78 Me ĐAU Bat thúc m®t đe tài rat trùu tưong đoi vói HQc sinh, đ¾c bi¾t bat thúc tam giác Chưa ke đen vi¾c sáng tao bat thúc mói, chi nói đen vi¾c chúng minh bat thúc ban phúc tap roi M¾c dù may năm tro lai đây, bat thúc tam giác không đưoc đe c¾p nhieu chương trình tốn phő thơng ln van đe thu hút vói nhung ham mê Tốn HQc, đ¾c bi¾t nhung HQc sinh chun tốn Boi vì, bat thúc tam giác sn ket hop cna yeu to: Đai so, Giai tích Hình HQc nên mang ve đep riêng Đoi vói bat thúc nói chung bat thúc tam giác nói riêng, HQ c sinh băn khoăn: làm the đe phân loai nh¾n di¾n dang tốn Đong thịi, tương úng vói tùng dang cu the vi¾c áp dung phương pháp chúng minh hi¾u qua nhat M¾t khác, biet, m®t ngưịi HQ c sinh đưoc đánh giá gioi tốn khơng nhung phai biet nam vung phương pháp hay, giai quyet đưoc nhieu tốn khó mà cịn phai biet tn tìm tịi sáng tao tốn mói Do đó, song song vói nguy¾n vQNG giúp HQc sinh phân loai bat thúc tam giác, tác gia cịn muon kích thích sn sáng tao cna em bang nhung ý tưong xây dnng bat thúc nam ngồi nhung tài li¾u san có Vi¾c chúng minh xây dnng bat thúc hai trình bő tro đac lnc cho Boi nam vung đưoc phương pháp chúng minh, HQc sinh có the tn sáng tao bat thúc mói Cùng vói đó, vi¾c sáng tao bat thúc mói giúp HQ c sinh cnng co đưoc phương pháp chúng minh Các em se chn đ®ng tiep thu kien thúc khơng thu đ®ng giai quyet tốn có sách vo Tat ca nhung đieu thơi thúc tác gia tìm hieu, nghiên cúu đe tài M®t phân loai xây dnng bat thúc tam giác Do khn khő han che cna lu¾n văn nên tác gia chi t¾p trung khai thác bat thúc có liên quan đen đai lưong góc tam giác Ngồi dang bat thúc khác, tác gia xin dành cho nhung chuyên đe sau Luắn bao gom ba chng: ã Chng Áp dung tính chat cna tam thúc b¾c hai chúng minh xây dnng m®t so bat thúc tam giác Tác gia trình bày Đ%nh lý ve dau cna tam thỳc bắc hai v mđt so bien đői lưong giác ban Tù nêu phương pháp chúng minh xây dnng bat thúc tam giác N®i dung cna phương pháp bien đői bieu thúc can chúng minh ve dang tam thỳc bắc hai theo mđt bien no ú Sau ú, áp dung đ%nh lý ve dau cna tam thúc b¾c hai đe suy đieu phai chúng minh • Chương Áp dung tính loi, lõm cna hàm so đe chúng minh xây dnng bat thúc tam giác Thơng qua vi¾c xét tính loi, lõm cna hàm so lưong giác, su dung m®t so đ%nh lý ban Giai tích loi: Đ%nh lý bieu dien hàm loi, lõm; Bat thúc Karamata; Đ%nh lý Jensen đe chúng minh xây dnng bat thúc tương đoi phúc tap • Chương Áp dung bat thúc đai so cő đien đe chúng minh xây dnng m®t so bat thúc tam giác Trong tồn b® chương này, tác gia trình bày phương pháp áp dung bat thúc Cauchy bat thúc Bunhiacopxki đe chúng minh m®t lóp bat thúc tam giác; đong thòi nêu ý tưong ket hop giua bat thúc đai so cő đien vói bat thúc ban đe xây dnng bat thúc mói tam giác Mắc dự bat ang thỳc tam giỏc l mđt n®i dung tương đoi r®ng, có nhieu cách phân loai có nhieu phương pháp chúng minh Tuy nhiên tác gia chi xin trình bày ba n®i dung phân loai boi pham vi cna lu¾n văn han hep Các phương pháp chúng minh có the chưa bao qt het tồn b® bat thúc tam giác phan giai quyet đưoc m®t lóp lón nhung bat thúc tương đoi phúc tap Chac chan rang bên canh nhung thành công van cịn nhieu thieu sót nên tác giai rat mong nh¾n đưoc sn quan tâm góp ý cna thay cụ v cỏc anh ch% ong nghiắp e nđi dung cna bi luắn oc hon thiắn hn H Nđi, ngày 18 tháng 11 năm 2013 HQc viên Nguyen Th% Thoan Chương Áp dnng tính chat cua tam thÉc bắc hai chẫng minh v xõy dEng mđt so bat thÉc tam giác Tính chat cna tam thúc b¾c hai có nhieu úng dung giai tốn Vi¾c áp dung tính chat đe chúng minh bat thúc khơng phai cách làm q mói me vói HQ c sinh phő thơng mà tro thnh mđt cđng cu huu hiắu v khỏ quen thuđc Tuy nhiên, vi¾c úng dung tam thúc b¾c hai đe chúng minh bat thúc tam giác lai đem đen cho nhung đieu rat thú v% Boi vì, ban thân bat thúc có nhung đ¾c trưng ban khác han vói bat thúc thơng thưịng 1.1 M®t so kien thÉc ban 1.1.1 Đ%nh lý ve dau cua tam thÉc b¾c hai Đ%nh lý 1.1.1 Cho tam thúc b¾c hai f (x) = ax2 + bx + c, (a ƒ= 0) Đ¾t ∆ = b2 − 4ac -Neu ∆ < f (x) dau vái h¾ so a vái MQI x ∈ R -Neu ∆ = f (x) dau vái h¾ so a vái b x ƒ= − 2a -Neu ∆ > f (x) có hai nghi¾m phân bi¾t x1 , x2 , gia su x1 < x2 Khi f (x) dau vái h¾ so a vái MQI x ∈ (−∞, x1 ) ∪ (x2 , +∞) trái dau vái h¾ so a vái MQI x ∈ (x1 , x2 ) MQI Cách giai cna phương trình b¾c hai Cho phương trình b¾c hai có dang ax2 + bx + c = 0, (a ƒ= 0) Đ¾t ∆ = b2 − 4ac -Neu ∆ < phương trình vơ nghi¾m b -Neu ∆ = phương trình có nghi¾m kép x1 = x2 = − -Neu ∆ > phương trình có hai nghi¾m phân bi¾t x 1, 2a √ −b ± ∆ = 2a 1.1.2 M®t so cơng thÉc lưang giác cung liên quan đ¾c bi¾t Đe làm tot vi¾c chúng minh bat thúc tam giác, vi¾c nam vung cơng thúc lưong giác vô quan TRQNG Đây công cu đe bien đői bieu thúc lưong giác ve dang mà ta can Cơng thÉc lưang giác ban • sin x + cos x = 1 •1+ tan2x = •1+ cot2x = sin x cos2x • tan x = cos x cos x • cot x sin x = sin2x • tan x cot x = cos2 A ... thúc tam giác; đong thòi nêu ý tưong ket hop giua bat thúc đai so cő đien vói bat thúc ban đe xây dnng bat thúc mói tam giác M¾c dù bat thúc tam giác m®t n®i dung tương đoi r®ng, có nhieu cách phân. .. bat thúc tam giác 75 3.2.3 Áp dung bat thúc Bunhiacopxki xây dnng bat thúc tam giác 78 Me ĐAU Bat thúc m®t đe tài rat trùu tưong đoi vói HQc sinh, đ¾c bi¾t bat thúc tam giác Chưa... tam giác 40 2.3.2 Áp dung bat thúc Karamata xây dnng m®t so bat thúc tam giác 43 2.4 Phương pháp áp dnng bat thÉc Jensen .45 2.4.1 Áp dung bat thúc Jensen chúng minh m®t so bat thúc tam giác