Một phân loại và xây dựng bất đẳng thức trong tam giác

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ THOAN MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2013 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ THOAN MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NGUYỄN MINH TUẤN Hà Nội - 2013 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn, người tận tình hướng dẫn để em hoàn thành luận văn Em xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy cô trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội bảo em học viên khác suốt trình học tập nghiên cứu trường; cán công nhân viên tạo điều kiện cho chúng em có mơi trường học tập tốt Nhân dịp em xin gửi lời tri ân tới gia đình, bạn bè bên cạnh, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực luận văn tốt nghiệp Hà Nội, ngày 18 tháng 11 năm 2013 Học viên Nguyễn Thị Thoan Mục lục Chương Áp dụng tính chất tam thức bậc hai chứng minh xây dựng số bất đẳng thức tam giác 1.1.Một số kiến thức 1.1.1 Định lý dấu tam thức bậc hai 1.1.2 Một số công thức lượng giác cung liên quan đặc biệt 1.2.Áp dụng tính chất tam thức bâc hai chứng minh số bất đẳng thức tam giác 1.3.Áp dụng tính chất tam thức bậc hai xây dựng số bất đẳng thức tam giác 20 Chương Áp dụng tính lồi lõm hàm số chứng minh xây dựng số bất đẳng thức tam giác 29 2.1.Một số kiến thức hàm số lồi, lõm 29 2.2.Phương pháp áp dụng Định lý biểu diễn hàm lồi, lõm 34 2.2.1 Áp dụng Định lý biểu diễn hàm lồi, lõm chứng minh số bất đẳng thức tam giác 34 2.2.2 Áp dụng Định lý biểu diễn hàm lồi, lõm xây dựng số bất đẳng thức tam giác 2.3.Phương pháp áp dụng bất đẳng thức Karamata 37 40 2.3.1 Áp dụng bất đẳng thức Karamata chứng minh số bất đẳng thức tam giác 40 2.3.2 Áp dụng bất đẳng thức Karamata xây dựng số bất đẳng thức tam giác 43 2.4.Phương pháp áp dụng bất đẳng thức Jensen 45 2.4.1 Áp dụng bất đẳng thức Jensen chứng minh số bất đẳng thức tam giác 45 2.4.2 Áp dụng bất đẳng thức Jensen xây dựng số bất đẳng thức tam giác 49 Chương Áp dụng bất đẳng thức đại số cổ điển chứng minh xây dựng số bất đẳng thức tam giác 53 3.1.Phương pháp áp dụng bất đẳng thức Cauchy 53 3.1.1 Bất đẳng thức Cauchy 53 3.1.2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy chứng minh số bất đẳng thức tam giác 54 3.1.3 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy xây dựng số bất đẳng thức tam giác 66 3.2.Phương pháp áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki 74 3.2.1 Bất đẳng thức Bunhiacopxki 74 3.2.2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki chứng minh số bất đẳng thức tam giác 75 3.2.3 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki xây dựng bất đẳng thức tam giác 78 MỞ ĐẦU Bất đẳng thức đề tài trừu tượng học sinh, đặc biệt bất đẳng thức tam giác Chưa kể đến việc sáng tạo bất đẳng thức mới, nói đến việc chứng minh bất đẳng thức phức tạp Mặc dù năm trở lại đây, bất đẳng thức tam giác không đề cập nhiều chương trình tốn phổ thơng ln vấn đề thu hút với ham mê Toán học, đặc biệt học sinh chun tốn Bởi vì, bất đẳng thức tam giác kết hợp yếu tố: Đại số, Giải tích Hình học nên mang vẻ đẹp riêng Đối với bất đẳng thức nói chung bất đẳng thức tam giác nói riêng, học sinh ln băn khoăn: làm để phân loại nhận diện dạng toán Đồng thời, tương ứng với dạng cụ thể việc áp dụng phương pháp chứng minh hiệu Mặt khác, biết, người học sinh đánh giá giỏi tốn khơng phải biết nắm vững phương pháp hay, giải nhiều tốn khó mà cịn phải biết tự tìm tịi sáng tạo tốn Do đó, song song với nguyện vọng giúp học sinh phân loại bất đẳng thức tam giác, tác giả cịn muốn kích thích sáng tạo em ý tưởng xây dựng bất đẳng thức nằm tài liệu sẵn có Việc chứng minh xây dựng bất đẳng thức hai trình bổ trợ đắc lực cho Bởi nắm vững phương pháp chứng minh, học sinh tự sáng tạo bất đẳng thức Cùng với đó, việc sáng tạo bất đẳng thức giúp học sinh củng cố phương pháp chứng minh Các em chủ động tiếp thu kiến thức không thụ động giải tốn có sách Tất điều thơi thúc tác giả tìm hiểu, nghiên cứu đề tài Một phân loại xây dựng bất đẳng thức tam giác Do khuôn khổ hạn chế luận văn nên tác giả tập trung khai thác bất đẳng thức có liên quan đến đại lượng góc tam giác Ngồi dạng bất đẳng thức khác, tác giả xin dành cho chuyên đề sau Luận văn bao gồm ba chương: • Chương Áp dụng tính chất tam thức bậc hai chứng minh xây dựng số bất đẳng thức tam giác Tác giả trình bày Định lý dấu tam thức bậc hai số biến đổi lượng giác Từ nêu phương pháp chứng minh xây dựng bất đẳng thức tam giác Nội dung phương pháp biến đổi biểu thức cần chứng minh dạng tam thức bậc hai theo biến Sau đó, áp dụng định lý dấu tam thức bậc hai để suy điều phải chứng minh • Chương Áp dụng tính lồi, lõm hàm số để chứng minh xây dựng bất đẳng thức tam giác Thơng qua việc xét tính lồi, lõm hàm số lượng giác, sử dụng số định lý Giải tích lồi: Định lý biểu diễn hàm lồi, lõm; Bất đẳng thức Karamata; Định lý Jensen để chứng minh xây dựng bất đẳng thức tương đối phức tạp • Chương Áp dụng bất đẳng thức đại số cổ điển để chứng minh xây dựng số bất đẳng thức tam giác Trong toàn chương này, tác giả trình bày phương pháp áp dụng bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh lớp bất đẳng thức tam giác; đồng thời nêu ý tưởng kết hợp bất đẳng thức đại số cổ điển với bất đẳng thức để xây dựng bất đẳng thức tam giác Mặc dù bất đẳng thức tam giác nội dung tương đối rộng, có nhiều cách phân loại có nhiều phương pháp chứng minh Tuy nhiên tác giả xin trình bày ba nội dung phân loại phạm vi luận văn hạn hẹp Các phương pháp chứng minh chưa bao qt hết tồn bất đẳng thức tam giác phần giải lớp lớn bất đẳng thức tương đối phức tạp Chắc chắn bên cạnh thành cơng cịn nhiều thiếu sót nên tác giải mong nhận quan tâm góp ý thầy cô anh chị đồng nghiệp để nội dung luận văn hoàn thiện Hà Nội, ngày 18 tháng 11 năm 2013 Học viên Nguyễn Thị Thoan Chương Áp dụng tính chất tam thức bậc hai chứng minh xây dựng số bất đẳng thức tam giác Tính chất tam thức bậc hai có nhiều ứng dụng giải tốn Việc áp dụng tính chất để chứng minh bất đẳng thức cách làm mẻ với học sinh phổ thông mà trở thành cộng cụ hữu hiệu quen thuộc Tuy nhiên, việc ứng dụng tam thức bậc hai để chứng minh bất đẳng thức tam giác lại đem đến cho điều thú vị Bởi vì, thân bất đẳng thức có đặc trưng khác hẳn với bất đẳng thức thông thường 1.1 Một số kiến thức 1.1.1 Định lý dấu tam thức bậc hai Định lý 1.1.1 Cho tam thức bậc hai f (x) = ax2 + bx + c, (a = 0) Đặt ∆ = b2 − 4ac - Nếu ∆ < f (x) dấu với hệ số a với x ∈ R - Nếu ∆ = f (x) dấu với hệ số a với x = − b 2a - Nếu ∆ > f (x) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 , giả sử x1 < x2 Khi f (x) dấu với hệ số a với x ∈ (−∞, x1 ) ∪ (x2 , +∞) trái dấu với hệ số a với x ∈ (x1 , x2 ) Cách giải phương trình bậc hai Cho phương trình bậc hai có dạng ax2 + bx + c = 0, (a = 0) Đặt ∆ = b2 − 4ac - Nếu ∆ < phương trình vơ nghiệm - Nếu ∆ = phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = − - Nếu ∆ > phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,2 1.1.2 b 2a √ −b ± ∆ = 2a Một số công thức lượng giác cung liên quan đặc biệt Để làm tốt việc chứng minh bất đẳng thức tam giác, việc nắm vững công thức lượng giác vô quan trọng Đây công cụ để biến đổi biểu thức lượng giác dạng mà ta cần Công thức lượng giác sin x cos x cos x • cot x = sin x • sin2 x + cos2 x = • tan x = cos2 x • + cot2 x = sin2 x • tan x cot x = • + tan2 x = Cơng thức góc liên quan đặc biệt ∗ Hai góc bù nhau: (x π − x) ∗ Hai góc đối nhau: (x −x) • cos (−x) = cos x • sin (π − x) = sin x • sin (−x) = − sin x • cos (π − x) = − cos x • tan (−x) = − tan x • tan (π − x) = − tan x • cot (−x) = − cot x • cot (π − x) = − cot x ∗ Hai góc phụ nhau: (x π −x π • cos −x π −x • tan π • cot −x • sin π − x) ∗ Hai góc hơn, π +x π • cos +x π • tan +x π • cot +x • sin = cos x = sin x = cot x = tan x ∗ Hai góc hơn, π: (x π + x) • sin (π + x) = − sin x • cos (π + x) = − cos x • tan (π + x) = tan x • cot (π + x) = cot x Cơng thức cộng • cos (x + y) = cos x cos y − sin x sin y • cos (x − y) = cos x cos y + sin x sin y • sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y • sin (x − y) = sin x cos y − cos x sin y tan x + tan y − tan x tan y tan x − tan y • tan (x − y) = + tan x tan y • tan (x + y) = π π : (x + x) 2 = cos x = − sin x = − cot x = − tan x sin A cos B + sin B cos C + sin C cos A ≤ √ Bài toán 3.1.10 Chứng minh tam giác ABC ta có cos2 A + B +1 sin cos2 B sin √ ≥ + C +1 cos2 C sin A +1 Bất đẳng thức xây dựng từ kết hợp hai bất đẳng thức: cos2 A + sin B +1 cos2 B + sin C +1 C cos2 A +1 sin ≥ cos2 A sin B +1 + cos2 B sin C +1 + cos2 C sin A +1 A cos2 B sin + + B cos2 C sin + + C cos2 A sin + √ 339 ≤ Bài toán 3.1.11 Chứng minh tam giác nhọn ABC ta ln có 1 sin A cos B + + sin B cos C + + sin C cos A + ≥ Bất đẳng thức xây dựng từ kết hợp hai bất đẳng thức: sin A cos B + ≥ sin A cos B + + cos C + sin B + sin B cos C + + sin C cos A + + sin C 4 cos A + sin A cos B + + sin B cos C + + sin C cos A + ≤ 4 Kết 3.1.2 (Kết hợp Hệ 3.1.2 với bất đẳng thức bản) Bài toán 3.1.12 Chứng minh tam giác nhọn ABC ta ln có (1 + tan A) (1 + tan B) (1 + tan C) ≥ + 70 √ 3 Bất đẳng thức xây dựng dựa kết hợp hai bất đẳng thức: (1 + tan A) (1 + tan B) (1 + tan C) ≥ + √ 3 tan A tan B tan C √ tan A tan B tan C ≥ 3 Bài toán 3.1.13 Chứng minh tam giác nhọn ABC ta ln có + cot A + cot B + cot C ≥ 1+ √ 3 Bất đẳng thức xây dựng từ kết hợp hai bất đẳng thức: A + cot B + cot cot C + cot ≥ 1+ A B C cot cot cot 2 √ B C A cot cot ≥ 3 2 Nhận xét 3.1.3 Từ Hệ 3.2.2, với số thực dương a, b, c ta có (1 + a) (1 + b) (1 + c) ≥ + √ 3 abc , Thay số a, b, c bất đẳng thức số thực dương có 1+ a 1+ b 1+ c ≥ 1+ abc 1 , , Khi ta a b c (∗) Kết hợp bất đẳng thức (∗) với bất đẳng thức bản, ta có bất đẳng thức sau Bài toán 3.1.14 Chứng minh tam giác ABC ta có 1+ sin A 1+ sin B 1+ sin C √ 1+ ≥ Bất đẳng thức xây dựng từ kết hợp hai bất đẳng thức: 1+ sin A 1+ sin B 1+ sin C 71 ≥ 1+ sin A sin B sin C √ 3 sin A sin B sin C ≤ Bài toán 3.1.15 Chứng minh tam giác nhọn ABC ta ln có 1+ cos A 1+ cos B 1+ cos C ≥ 27 Bất đẳng thức xây dựng từ kết hợp hai bất đẳng thức: 1+ cos A 1+ cos B 1+ cos C ≥ cos A cos B cos C 1+ cos A cos B cos C ≤ Bài toán 3.1.16 Chứng minh tam giác nhọn ABC ta ln có 1+ cot A 1+ cot B 1+ cot C ≥ 1+ √ 3 Bất đẳng thức xây dựng từ kết hợp hai bất đẳng thức: 1+ cot A 1+ cot B 1+ cot C ≥ 1+ cot A cot B cot C 3 cot A cot B cot C ≤ √ 3 Bài toán 3.1.17 Chứng minh tam giác ABC ta ln có      1 + sin  1+ A sin  1+ B  sin  ≥ 27 C Bất đẳng thức xây dựng từ kết hợp hai bất đẳng thức:       1 + sin  1+ A sin  1+ B  sin   ≥ 1+ C  sin A B C sin sin ≤ 2 72 sin 3  C A B sin sin 2 Bài toán 3.1.18 Chứng minh tam giác ABC ta ln có     √     1+ 1+ ≥ 1+ 1 + A B  C cos cos cos 2 Bất đẳng thức xây dựng từ kết hợp hai bất đẳng thức:       1 + 1     ≥ 1+ 1+ 1+ A B  C  cos cos cos 2 3  A B C cos cos cos 2 √ B C 3 A cos cos cos ≤ 2 Bài toán 3.1.19 Chứng minh tam giác ABC ta ln có     √     1+ 1+ ≥ 1+ 1 + A B  C tan tan tan 2 Bất đẳng thức xây dựng từ kết hợp hai bất đẳng thức:       1 +     1+ 1+ ≥ 1+ A B  C  tan tan tan 2 3  A B C tan tan tan 2 tan A B C tan tan ≤ √ 2 3 Trên đây, tác giả trình bày ý tưởng việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh xây dựng bất đẳng thức tam giác Các bất đẳng thức chứng minh xây dựng phần có dạng đối xứng tương đối phức tạp Có thể đánh giá phương pháp hay, thể vai trò quan trọng bất đẳng thức Cauchy việc chứng minh bất đẳng thức đại số nói chung bất đẳng thức tam giác nói riêng 73 3.2 Phương pháp áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki 3.2.1 Bất đẳng thức Bunhiacopxki Bất đẳng thức Bunhiacopxki đóng vài trị quan trọng trọng Toán học Bất đẳng thức quen thuộc với học sinh phổ thông Tuy nhiên em vận dụng định lý để chứng minh bất đẳng thức đại số thông thường Áp dụng Bunhiacopxki để chứng minh bất đẳng thức tam giác ý tưởng cịn gặp tài liệu Chính vậy, tác giả tìm hiểu, nghiên cứu trình bày nội dung luận văn để đưa đến cho độc giả nhìn mẻ Định lý 3.2.1 Với hai số (a1 , a1 , , an ) (b1 , b1 , , bn ) ta ln có (a1 b1 + a2 b2 + + an bn )2 ≤ a21 + a21 + + a2n b21 + b22 + + b2n Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có b21 a21 + ≥ a21 + a21 + + a2n b21 + b22 + + b2n b22 a22 + ≥ a21 + a21 + + a2n b21 + b22 + + b2n a2n b2n + ≥ a21 + a21 + + a2n b21 + b22 + + b2n |a1 b1 | (a21 + a21 + + a2n ) (b21 + b22 + + b2n ) |a2 b2 | (a21 + a21 + + a2n ) (b21 + b22 + + b2n ) |an bn | (a21 + a21 + + a2n ) (b21 + b22 + + b2n ) ; ; Cộng vế bất đẳng thức ta a21 + a21 + + a2n b21 + b22 + + b2n [|a1 b1 | + |a2 b2 | + + |an bn |] + ≥ 2 2 a1 + a1 + + a2n b1 + b2 + + b2n (a21 + a21 + + a2n ) (b21 + b22 + + b2n ) [|a1 b1 | + |a2 b2 | + + |an bn |] ⇔1≥ (a21 + a21 + + a2n ) (b21 + b22 + + b2n ) ⇔ (a1 b1 + a2 b2 + + an bn )2 ≤ (a21 + a21 + + a2n ) (b21 + b22 + + b2n ) Vậy bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xảy a2 an a1 = = = b1 b2 bn (quy ước mẫu tử 0) Bất đẳng thức tương đương với a1 b1 + a2 b2 + + an bn ≤ (a21 + a21 + + a2n ) (b21 + b22 + + b2n ) 74 3.2.2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki chứng minh số bất đẳng thức tam giác Ví dụ 3.2.1 Chứng minh tam giác ABC ta có B sin A sin + + C sin B sin + + A sin C sin + √ 27 ≤ Phân tích Ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy để giải tốn đại lượng dương, song việc áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki đem lại cách giải ngắn gọn Lời giải Đặt P = sin A sin B +1 + sin B sin C +1 + sin C sin A +1 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có P ≤ (sin A + sin B + sin C) sin B C A + sin + sin + 2 Dấu đẳng thức xảy sin A sin B sin C = = B C A sin + sin + sin + 2 Áp dụng bất đẳng thức √ 3 sin A + sin B + sin C ≤ , A B C sin + sin + sin ≤ 2 2 Từ ta suy P ≤ √ 3 +3 √ 27 = Vậy bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xảy A = B = C hay ABC tam giác Ví dụ 3.2.2 Chứng minh tam giác ABC ta ln có √ √ √ sin A sin B sin C + sin B sin C sin A + sin C sin A sin B ≤ 75 √ Lời giải Đặt √ √ √ P = sin A sin B sin C + sin B sin C sin A + sin C sin A sin B Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có sin2 A + sin2 B + sin2 C (sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A) P ≤ Dấu đẳng thức xảy √ sin A sin B sin C =√ =√ sin B sin C sin C sin A sin A sin B Mặt khác ta lại có sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A ≤ sin2 A + sin2 B + sin2 C Dấu đẳng thức xảy sin B sin C sin A = = sin B sin C sin A Từ suy P ≤ sin A + sin B + sin C ≤ 2 sin A + sin B + sin C 2 √ Vậy bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xảy A = B = C hay ABC tam giác Ví dụ 3.2.3 Chứng minh tam giác ABC ta ln có B C sin A cos cos + sin B 2 C A cos cos + sin C 2 A B cos cos ≤ 2 √ Lời giải Đặt P = sin A cos B C cos + sin B 2 cos C A cos + sin C 2 cos A B cos 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có P ≤ sin2 A + sin2 B + sin2 C cos A B B C C A cos + cos cos + cos cos 2 2 2 76 Dấu đẳng thức xảy sin A B C cos cos 2 = sin B C A cos cos 2 = sin C A B cos cos 2 Mặt khác ta lại có cos B B C C A A cos + cos cos + cos cos ≤ 2 2 2 cos2 A B C + cos2 + cos2 2 Dấu đẳng thức xảy B C A cos cos = = B C A cos cos cos 2 cos Từ suy P ≤ 2 sin A + sin B + sin C cos2 A B C + cos2 + cos2 2 ≤ √ Vậy bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức khiA = B = C hay ABC tam giác Ví dụ 3.2.4 Chứng minh tam giác ABC ta ln có cos A√ B√ C√ 9√ cos B + + cos cos C + + cos cos A + ≤ 2 2 Lời giải Đặt P = cos B√ C√ A√ cos B + + cos cos C + + cos cos A + 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có P ≤ cos2 A B C + cos2 + cos2 2 (cos A + cos B + cos C + 3) Dấu đẳng thức xảy A B C cos cos 2 √ =√ =√ cos B + cos C + cos A + cos 77 Mặt khác ta lại có B C A + cos2 + cos2 ≤ , 2 cos A + cos B + cos C ≤ cos2 Từ suy P ≤ +3 = 9√ Vậy bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xảy A = B = C hay ABC tam giác 3.2.3 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki xây dựng bất đẳng thức tam giác Việc áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki xây dựng bất đẳng thức tam giác dựa phương pháp chứng minh bất đẳng thức có liên quan kết hợp chúng cách khéo léo với bất đẳng thức Các bất đẳng thức đại số liên quan đến bất đẳng thức Bunhiacopxki số vơ lớn Tuy nhiên tác giả trình bày bất đẳng thức đại số so sánh với đại lượng a + b + c abc mục đích nhằm kết hợp chúng với bất đẳng thức tam giác Trước tiên ta chứng minh số bất đẳng thức sau Hệ 3.2.1 (Bất đẳng thức Schwarz) Với hai số thực (a1 , a2 , a3 ) (b1 , b2 , b3 ) bi > 0, ∀i = 1, 2, ta có a21 a22 a23 (a1 + a2 + a3 )2 + + ≥ b1 b2 b3 b1 + b2 + b3 Chứng minh Ta có (a1 + a2 + a3 )2 = a √1 · b1 a2 b1 + √ · b2 78 a3 b2 + √ · b3 b3 √ √ √ a a a √1 , √2 , √3 b1 , b2 , b3 , b1 b2 b3 Áp dụng bất đẳng thức Bunhicopxki ta có Với hai số √ √ √ a a a a21 a22 a23 √ · b1 + √ · b2 + √ · b3 ≤ + + b1 b2 b3 b1 b2 b3 2 a1 a2 a3 ⇔ (a1 + a2 + a3 )2 ≤ + + (b1 + b2 + b3 ) b1 b2 b3 a21 a22 a23 (a1 + a2 + a3 )2 ⇔ + + ≥ b1 b2 b3 b1 + b2 + b3 (b1 + b2 + b3 ) Vậy bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xảy a1 a2 an = = = b1 b2 bn (quy ước mẫu tử 0) Hệ 3.2.2 Với hai số thực (a1 , a1 , a3 ) (b1 , b1 , b3 ) ta ln có a21 + b21 + a22 + b22 + a23 + b23 ≥ (a1 + a2 + a3 )2 + (b1 + b2 + b3 )2 Chứng minh Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sau a21 + b21 + a22 + b22 ≥ (a1 + a2 )2 + (b1 + b2 )2 với a1 , a2 , b1 , b2 số thực Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với a21 + b21 + a22 + b22 + (a21 + b21 ) (a22 + b22 ) ≥ (a1 + a2 )2 + (b1 + b2 )2 ⇔ (a21 + b21 ) (a22 + b22 ) ≥ (a1 a2 + b1 b2 ) ⇔ (a21 + b21 ) (a22 + b22 ) ≥ (a1 a2 + b1 b2 )2 Điều theo bất đẳng thức Bunhiacopxki Vậy bổ đề chứng minh Dấu đẳng thức xảy (quy ước mẫu tử 0) Áp dụng bất đẳng thức ta chứng minh Hệ 3.2.2 Ta có a21 + b21 + a22 + b22 + a23 + b23 ≥ (a1 + a2 )2 + (b1 + b2 )2 + ≥ (a1 + a2 + a3 )2 + (b1 + b2 + b3 )2 79 a23 + b23 a1 a2 = b1 b2 Vậy bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xảy a1 a2 a3 = = b1 b2 b3 (quy ước mẫu tử 0) Nhận xét 3.2.1 Các bất đẳng thức đai số hệ so sánh với đại lượng a + b + c abc Từ đó, ta kết hợp Hệ với bất đẳng thức Kết 3.2.1 (Kết hợp Hệ 3.2.1 với bất đẳng thức bản) Bài toán 3.2.1 Chứng minh tam giác nhọn ABC ta ln có √ tan2 B tan2 C 3 tan2 A + + ≥ tan B + tan C tan C + tan A tan A + tan B Bất đẳng thức xây dựng từ hai bất đẳng thức tan2 A tan2 B tan2 C + + tan B + tan C tan C + tan A tan A + tan B (tan A + tan B + tan C)2 tan A + tan B + tan C ≥ = (tan A + tan B + tan C) √ tan A + tan B + tan C ≥ 3 Bài toán 3.2.2 Chứng minh tam giác nhọn ABC, với n ∈ N ta ln có √ cot2 A cot2 B cot2 C + + ≥ cot B + n cot C cot C + cot nA cot A + n cot B n+1 Bất đẳng thức xây dựng từ hai bất đẳng thức cot2 A cot2 B cot2 C + + cot B + cot C cot C + cot A cot A + cot B (cot A + cot B + cot C)2 cot A + cot B + cot C ≥ = (n + 1) (cot A + cot B + cot C) (n + 1) cot A + cot B + cot C ≥ √ Bài toán 3.2.3 Chứng minh tam giác ABC, với n ∈ N ta ln có tan2 tan A B C + n tan 2 tan2 + tan B tan2 C A + n tan 2 80 + tan C A B + n tan 2 √ ≥ n+1 Bất đẳng thức xây dựng từ kết hợp hai bất đẳng thức tan2 A tan2 B tan2 C + + B C A C A B tan + n tan tan + n tan tan + n tan 2 2 2 B C A B C A tan + tan + tan + tan + tan tan 2 2 2 = ≥ A B C n+1 (n + 1) tan + tan + tan 2 tan √ B C A + tan + tan ≥ 2 Bài toán 3.2.4 Chứng minh tam giác ABC, với n ∈ N ta ln có A B C √ 3 + + ≥ C A B B C A n+1 cot + n cot cot + n cot cot + n cot 2 2 2 cot2 cot2 cot2 Bất đẳng thức xây dựng từ kết hợp hai bất đẳng thức cot2 A cot2 B cot2 C + + B C C A A B cot + n cot cot + n cot cot + n cot 2 2 2 A B C A B C cot + cot + cot cot + cot + cot 2 2 2 = ≥ A B C n+1 (n + 1) cot + cot + cot 2 cot √ A B C + cot + cot ≥ 3 2 Kết 3.2.2 (Kết hợp Hệ 3.2.2 với bất đẳng thức bản) Bài toán 3.2.5 Chứng minh tam giác nhọn ABC ta có + tan2 A + + tan2 B + + tan2 C ≥ Bất đẳng thức xây dựng từ kết hợp hai bất đẳng thức + tan2 A + + tan2 B + + tan2 C ≥ 81 + (tan A + tan B + tan C)2 √ tan A + tan B + tan C ≥ 3 Bài toán 3.2.6 Chứng minh tam giác ABC ta ln có 1+ + sin2 A 1+ + sin2 B √ ≥ 21 sin2 C 1+ Bất đẳng thức xây dựng từ kết hợp hai bất đẳng thức + 1+ sin2 A 1+ + sin2 B 1+ ≥ sin2 C 9+ 1 + + sin A sin B sin C √ 1 + + ≥ sin A sin B sin C Bài toán 3.2.7 Chứng minh tam giác ABC ta ln có 1+ + cos2 A 1+ + cos2 B 1+ √ ≥ cos C Bất đẳng thức xây dựng từ kết hợp hai bất đẳng thức + 1+ cos2 A + 1+ cos2 B ≥ 1+ cos2 C 9+ 1 + + cos A cos B cos C 1 + + ≥ cos A cos B cos C Bài toán 3.2.8 Chứng minh tam giác nhọn ABC ta ln có + tan2 A + tan2 B + √ + tan2 C + tan2 A ≥ + tan2 B + tan2 C + Bất đẳng thức xây dựng từ kết hợp ba bất đẳng thức √ √ √ + tan2 A + tan2 B + + tan2 B + tan2 C + + tan2 C + tan2 A ≥ √ √ √ + tan2 A + + tan2 B + + tan2 C + tan2 A + + tan2 B + + (tan A + tan B + tan C)2 + tan2 C ≥ √ tan A + tan B + tan C ≥ 3 82 KẾT LUẬN Như biết bất đẳng thức tam giác nội dung trừu tương điều e ngại học sinh Lý tác giả lựa chọn đề tài muốn trang bị cho em kiến thức nhất, phương pháp hữu hiệu để giải toán Trong phạm vi ngắn gọn Luận văn đạt kết sau: Phân loại cách rõ ràng có hệ thống dạng bất đẳng thức tam giác, cụ thể bất đẳng thức có liên quan đến đại lượng góc tam giác Đồng thời trình bày phương pháp chứng minh tương ứng cho dạng Mỗi ví dụ đưa ví dụ tiêu biểu giúp học sinh nắm bắt nhanh chóng dạng cách giải Các phương pháp chứng minh phù hợp Nó vừa đem lại cách giải ngắn gọn, lại vừa thể mối quan hệ sâu sắc Đại số, Giải tích Hình học Một điều thành công không kể đến luận văn kích thích sáng tạo Luận văn gợi mở cho học sinh ý tưởng để xây dựng bất đẳng thức Từ đây, em làm chủ kiến thức, tự tìm hiểu sáng tạo tốn nằm sách Tuy nhiên, thời gian thực đề tài khơng nhiều, chưa có điều kiện để tác giả đối chiếu kỹ lưỡng nên luận văn gặp phải thiếu sót vơ đáng tiếc Rất mong quý thầy cô bạn đọc cảm thông góp ý với tác giả để luân văn hoàn chỉnh 83 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu, Phạm Thị Bạch Ngọc, (2005), Một số toán chọn lọc lượng giác, NXB Giáo dục, Hà Nội [2] Nguyễn Văn Mậu, (2007), Các toán nội suy áp dụng, NXB Giáo dục, Hà Nội [3] Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Dũng, Nguyễn Vũ Lương, Nguyễn Minh Tuấn, (2008), Chuyên đề chọn lọc lượng giác áp dụng, NXB Giáo dục, Hà Nội [4] Phạm Kim Hùng, (2012), Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Hà Nội, Hà Nội [5] Hội nghị khoa học, (2004), Các chuyên đề chọn lọc bồi dưỡng học sinh khiếu Toán hệ THPT Chuyên, Hà Nội [6] Hoàng Văn Minh, (2012), 1000 tập trọng tâm điển hình mơn Tốn, NXB Đại học sư phạm, Hà Nội [7] Nguyễn Văn Tiến, (2004), Một số kĩ thuật chứng minh bất đẳng thức, Hội thảo khoa học "30 năm Việt Nam tham dự Olympic Toán quốc tế, Hà Nội [8] Đàm Nhật Quang, (2004), Những quy luật dẫn tới bất đẳng thức Cauchy, Jensen, Karamata suy rộng, Hội thảo khoa học "30 năm Việt Nam tham dự Olympic Toán quốc tế, Hà Nội 84 ... bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh lớp bất đẳng thức tam giác; đồng thời nêu ý tưởng kết hợp bất đẳng thức đại số cổ điển với bất đẳng thức để xây dựng bất đẳng thức tam. .. tam thức bậc hai chứng minh xây dựng số bất đẳng thức tam giác Tác giả trình bày Định lý dấu tam thức bậc hai số biến đổi lượng giác Từ nêu phương pháp chứng minh xây dựng bất đẳng thức tam giác. .. Phương pháp áp dụng bất đẳng thức Karamata 2.3.1 Áp dụng bất đẳng thức Karamata chứng minh số bất đẳng thức tam giác Việc áp dụng bất đẳng thức Karamata chứng minh bất đẳng thức tam giác nội dung xa