Giải hệ phương trình bằng cách sử dụng bất đẳng thức

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN VĂN SƠN GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – năm 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN VĂN SƠN GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC Chuyên ngành : Phƣơng pháp toán sơ cấp Mã số : 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - năm 2016 Mục Lục LỜI NÓI ĐẦU CHƢƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Bất đẳng thức AM – GM 1.2 Bất đẳng thức Bunhia – Cauchy – Schwart (B – C – S) 1.3 Bất đẳng thức Minkowski 1.4 Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối 1.5 Các bổ đề bất đẳng thức thƣờng dùng CHƢƠNG SÁNG TÁC HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC 10 CHƢƠNG GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC 33 Phần Bài tập ví dụ 33 Phần Bài tập tự luyện .60 KẾT LUẬN 63 LỜI CẢM ƠN 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO .65 LỜI NĨI ĐẦU Hệ phƣơng trình phân mơn quan trọng chƣơng trình Tốn học trƣờng trung học phổ thông Các giải hệ phƣơng trình hay xuất đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng ( trƣớc đây) kì thi trung học phổ thơng Quốc gia Bên cạnh đó, bất đẳng thức lĩnh vực xuất lâu đời đóng góp nhiều vào phát triển Toán học, từ toán học sơ cấp tới toán học cao cấp Trong chƣơng trình Tốn học quốc gia giới có Việt Nam bất đẳng thức phần khơng thể thiếu đƣợc Ta tìm thấy nhiều tài liệu liên quan tới giải hệ phƣơng trình phƣơng pháp nhƣ: biến đổi đại số, ẩn, lƣợng giác, dùng hàm số,… nhƣng cịn tài liệu sử dụng kiến thức bất đẳng thức để giải hệ phƣơng trình Chính thế, tác giả chọn đề tài “Giải hệ phƣơng trình cách sử dụng bất đẳng thức” Luận văn gồm ba chƣơng : Chương Các kiến thức Trong chƣơng này, tác giả nhắc lại chứng minh hai bất đẳng thức kinh điển bất đẳng thức AM – GM, bất đẳng thức Bunhia – Cauchy – Schwart (B – C – S), với bất đẳng thức Minkowski, bất đẳng thức giá trị tuyệt đối số bổ đề bất đẳng thức hay đƣợc sử dụng chƣơng trình Trung học phổ thơng mà tác giả đề cập tới chƣơng luận văn Chương Sử dụng bất đẳng thức để sáng tác hệ phương trình Trong chƣơng tác giả sử dụng bất đẳng thức đƣợc nhắc lại chƣơng để sáng tác tốn hệ phƣơng trình Mục đích chƣơng giúp ngƣời đọc dần đƣợc làm quen với ý tƣởng ngƣời đề qua giúp việc giải hệ cách sử dụng bất đẳng thức trở nên dễ dàng Chương Giải hệ phương trình cách sử dụng bất đẳng thức Cấu trúc chƣơng gồm hai phần tập ví dụ tập tự luyện Chƣơng phân tích để tìm hƣớng giải tốn cách tự nhiên, cuối nhận xét từ tác giả Cần nhấn mạnh rằng, giải hệ phƣơng trình phƣơng pháp khác nhƣng cho lời giải không “đẹp” đƣợc nhƣ phƣơng pháp sử dụng bất đẳng thức Hà Nội, tháng 11 năm 2016 Nguyễn Văn Sơn CHƢƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Bất đẳng thức AM – GM Cho số thực x1, x2 ,., xn khơng âm, ta ln có x1  x2  xn  n Dấu xảy Chứng minh Đặt   n 1  x1 x2x n x1  x2  xn x1  x2   xn n Khi bất đẳng thức cần chứng minh tƣơng đƣơng với 2  n  x x x 12 n Với n 1, bất đẳng thức hiển nhiên Giả thiết quy nạp: Giả sử bất đẳng thức với n n  1 , tức với x1 , x2 , ., xn khơng âm  n  x  x   x n n  x1 x2 n   Xét n 1 số thực xn  không âm  x1 , x2 , , x n , xn ta có n 1  x1  x2   xn  xn1 Nếu tất số 1  bất đẳng thức cần chứng minh Xét trƣờng hợp lại, dễ thấy tồn số nhỏ  số lớn  Khơng tính tổng quát ta giả sử x n   xn 1   Khi ta có  xn    xn1     Xét n số 3 x1 , x2 , ., xn1 , x x 'n  xn  xn1    xn    'n Từ suy n  x1  x2   xn1   xn  xn1     x1  x2  xn1  x 'n Do  trung bình cộng x1 , x2 , , x n 1 , nên theo giải thiết quy nạp , ta có x 'n  n   n    x x x x '    x x x .x  ' n1 n n1 4 n Mặt khác từ 3 ta lại có xn  xn1     xn xn1  xn     xn1   Suy  x n  xn1      x n Hiển nhiên 5 hay .x 'n  x n xn 1 xn1 x1 , x2 , , xn khơng bất   , có số 1 đẳng thức hiển nhiêu dấu không xảy Xét trƣờng hợp lại,  kết hợp   5 thu đƣợc  n   x x x  x x   x x x x n1 n n1 n n1 Vậy bất đẳng thức đƣợc chứng minh 1.2 Bất đẳng thức Bunhia – Cauchy – Schwart (B – C – S) Cho hai dãy số thực a b  a b 1 22 b1, b2 ,., bn Khi ta có a1 , a2 , ., an  2   a b  a  a   a n nn Dấu xảy b i  1, 2, , khơng n Từ đẳng thức a n   i i1 Suy  ab  n  b b  b2 b2 n i n tƣơng ứng không n ab 2  b    n   i1 với quy ƣớc số b an b a1 a2   Chứng minh  i     i1 2  n  2    i   b i1   i1 ii 2    (ab 1i jn i j  a b )2 ji n i  i   i1  a a1 a2   n  b1 b2 bn Đẳng thức xảy Hệ a, b, x, + Với số thực y ta ln có  ax  by 2   a  b2  x  y  Dấu xảy ay  bx + Với số thực a, b, c, x, y, z ta ln có  ax  by  cz 2   a  b2  c  x  y  z  a b c Dấu xảy   x y z + Ngoài ta hay sử dụng B – C – S dạng phân số với số dƣơng a, b ta có số thực a  b2   a  Dấu xảy ay  bx b 2 x y xy Bất đẳng thức đƣợc gọi B – C – S dạng Engel x, y với 1.3 Bất đẳng thức Minkowski Với số thực a, b, x, ta ln có y a2  b2  x2  y2   a  x 2   b  y  Dấu xảy ay  bx Chứng minh Với hai vecto u   a, b  , v   x, y  Khi u a2  b2 , v x2  y2 Ta có u  v   a  x;b  y  u  v  a  x 2   b  y 2 Vì u  v  u  v  a2  b2  x2  y2   a  x 2   b  y 2 Dấu xảy hai vecto u, v phƣơng hay ay  bx 1.4 Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối i.1  a  a  a Dấu " " xảy a  i.2 a  b  a  b Dấu " " xảy a.b  i.3 a  b  a  b Dấu " " xảy khia  b.b  1.5 i.1 Các bổ đề bất đẳng thức thƣờng dùng 2 a  b  2ab;a,b  R Dấu " " xảy a  b Chứng minh Bất đẳng thức tƣơng đƣơng vớia  b2  Điều Vậy bất đẳng thức đƣợc chứng minh i.2  a  b 2  4ab;a,b  R Dấu "  " xảy a  b Chứng minh Bất đẳng thức cần chứng minh a  b2  4ab  a  b2  Điều Vậy bất đẳng thức đƣợc chứng minh i.3 Với số tự nhiên n thực dƣơng a ta ln có an 1 na  Dấu xảy  n 1n1 a n 1   x  y 2  4x  7xy  y    x6  y6 6  x2  y2  x4  x2 y2  y4   2  x2  y2  Suy x2  xy  y2  x2  xy  y2 Biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng trình thứ hai hệ ta đƣợc  x 6 2x6  y6   x2  xy  y2  x  y2   Suy  x  x2  y2  * Biến đổi phƣơng trình thứ hệ, áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta đƣợc xy6 ** xy   3 x  y   2x  y  Lấy vế cộng với vế * ** ta đƣợc x  y  xy  x2  y2  Thay x  y vào ** ta đƣợc x  y  Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm  x; y   1;1 Phân tích: Đây hệ đánh giá khó ta nhận trƣớc đƣợc nghiệm đòi hỏi ngƣời giải cần tinh tế giải Bƣớc ngoặt toán tới từ hai đánh giá dự đốn đƣợc nghiệm thấy đƣợc mối liên hệ hệ số tự hệ Bài tốn 21 Giải hệ phƣơng trình     x  y   x y  2x  y    x, y  y x  2x  y  R 1 2 x 11y  36x 18  44 25x  y  54  Phân tích :Trong hệ ta thấy việc giải phƣơng trình thứ hai khó chênh lệch bậc biểu thức nhƣ không phân tích để thấy đƣợc điểm chung với đại lƣợng Phƣơng trình thứ lại phƣơng trình đẳng cấp, có cấu trúc tựa nhƣ bất đẳng thức a 12    b 12 Do để có đƣợc 1ab dạng ta phải tìm cách đặt để có dạng này, phƣơng trình đẳng cấp nên ta có ý định chia hai vế cho biến (cách giải giống nhƣ giải phƣơng trình đẳng cấp) Với ý tƣởng ta có lời giải cho tốn nhƣ sau Giải x  y 0 Điều kiện : 25x  y  54  0, 2x  y  0, x  0; y  0, Nếu ( vơ lí) Nên y    x x 2x2 y  phƣơng trình đầu hệ trở thành Với x  2x  y  Phƣơng trình thứ hệ vô nghĩa Vậy x  0; y  Khi đặt x   t  0 Phƣơng trình thứ hệ trở thành ty   t 12 1 1 1     t  1  Phƣơng trình *  t 2t 1 1t 21 1 Đặt * 2t 1 1  1 t 211 a 12  b 12 a, b  0 2t 1 b đƣợc viết lại thành  a  t   1ab Áp dụng bất đẳng thức B – C – S ta đƣợc 1  ab a  b   a  ab  b  a 1 b 2   1  b  Tƣơng tự ta có 1  a  abab  b Suy  a   b  1 1 a abab 1  Dấu " " xảy a  b  t  2t   t   x  y  VP  ab Thay x  y vào phƣơng trình thứ hai hệ ta đƣợc x3  11x2  36x  18  4 27x  ( điều kiện x  2) 54 Ta có 44 27x  54  4 3.3.3. x  2      x  2  x  Suy x3 11x  36x 18  x    x  2  x 1   x   y  Đối chiếu với điều kiện, thấy thỏa mãn Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm  x; y   5;5  x y   xy  xy 1 y x 1 1      x 1 y 1  Bài tốn 22 Giải hệ phƣơng trình Phân tích : Trong hai phƣơng trình rõ ràng ta nhận phƣơng trình cần giải trƣớc phƣơng trình hệ Phƣơng trình ta thấy có đối xứng hệ thấy giống cấu trúc bất đẳng thức 1 1  1 y2  1 xy x2 với xy  xác đinh đƣợc điều kiện hai biến x, y từ phƣơng trình thứ hai Nhƣng rõ ràng ta khơng thể đặt ẩn phụ để đƣa giống cấu trúc với bất đẳng thức Để giải trƣờng hợp này, ta để ý kĩ mà ta cộng với số ta có đƣợc nhân tử chung Khi biểu thức bên nhân tử xy 1  mà vế phải phƣơng trình lại có x 1 y 1 Đến ta dƣờng nhƣ hƣớng với ý tƣởng tác giả Ta có lời giải sau Giải Điều kiện x  1, y  Xét phƣơng trình thứ hệ, ta có : y x   y 1  xy xy 1 x 1 2 1 1   x  y  1  2   1x  y    x  y 1  1 xy x y 1 1 2 y 1 x 1 xy xy 1 xy  1 xy 1       xy 1 Ta có  1    1 x 1 y Nên 1  x  y 1xy   1 x 1 y         VP xy 1   Dấu " " xảy x  y Thay y  x vào phƣơng trình thứ hai hệ, ta có   x 1   x  x 1 Suy y  Đối chiếu với điều kiện, thấy thỏa mãn Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm  x; y   5;5 Nhận xét : Ban đầu rõ ràng nhìn cấu trúc phƣơng trình giống với bất đẳng thức quen thuộc nhƣng ta lại không biến đổi đƣợc để sử dụng đƣợc bất đẳng thức để giải Nhƣng hay đừng nản bƣớc mà cố gắng biến đổi, có câu nói “ In theory there is no difference between theory and practice In the pactice there is” ta tiếp tục tìm tịi lời giải, chắn lời giải tự tìm tới Phần Bài tập tự luyện Dƣới số tập hệ phƣơng trình sử dụng bất đẳng thức để giải, bên cạnh đáp án câu hỏi để ngƣời đọc quan tâm kiểm tra lại đáp án   x  y 1 x2  y2   xy  y2   Bài  10  x2  94  x  y 10y  x2  2x   y  4y    Bài  6x  2x2  4x 10  y 11 Đáp án  x; y   1; 3 Đáp án  x; y   1; 3  Bài  3x  y  Đáp án  3x  y  5 3x  7y4  y  3x  43  10  y   3x     x    y     x  5y x  y Bài   y x  2y    y  x  y 1 3  35  x; y      ;5   Đáp án  x; y   2;1   x 12     xy  y 1 x2  y  x 1 1 Bài    x  x 1 x2  xy  y2   Đáp y án  x;    1  5; y  y 1     Bài   5x2  2xy  y2   2x2  2xy  5y2   x  Đáp án  x; y   0;  , 1;1 y  x  y 1  23 12x  y   2xy  x  Đáp án  x; y   1; 2 Bài 2x y 1  y   2x  y 4 2x 1  27x 2  x 1  y  4x  Bài  1   y Đáp án  x; y   3; 4 x 1  x 13 y8  3y2  x  53 Đáp án  x; y   1; 0  y  2x 1 1 y  y   Bài   y x 1 x2  y  x x     y 1 xy Bài 10  x  Đáp án  x; y   1; 2  2 x  y  4xy  4x  y  x Bài 11   3x   1 y x  35  y     2x Đáp án  x; y   1;1 y2  3y  y  2x  y  6  x 1 y 12 32x 1 y 1  2 Bài 12 x y   x  y   x2 y2  2  5x  y  xy    Đáp án  x; y      2;    y  x  2 x  y  2  x  y   Bài 13 x 1  x2  y3        y 1   ,  2;   Đáp án  x; y   3;1 KẾT LUẬN Luận văn đạt đƣợc số kết sau: Luận văn nêu lên chứng minh số bất đẳng thức quan trọng bổ đề bất đẳng thức hay đƣợc sử dụng chƣơng trình Trung học phổ thơng Luận văn nêu lên ý tƣởng, phân tích, đánh giá tác giả trƣớc toán giải hệ để độc giả có cách nhìn tự nhiên lời giải toán Giới thiệu hệ phƣơng trình đề thi chọn học sinh giỏi số đề thi thử Trung học phổ thông Quốc gia trƣờng tồn quốc Trình bày quy trình sáng tác tốn giải hệ phƣơng trình từ bất đẳng thức Từ kết luận văn này, ta thấy với bất đẳng thức thay đổi biến cho ta lớp hệ phƣơng trình khác hay lạ Tác giả hy vọng với ý tƣởng giúp cho độc giả xây dựng đƣợc nhiều hệ phƣơng trình khác làm phong phú thêm tốn hệ phƣơng trình vốn đa dạng Tác giả mong nhận đƣợc góp ý thầy cô đồng nghiệp để đề tài tiếp tục đƣợc hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 11 năm 2016 LỜI CẢM ƠN Tác giả xin đƣợc bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy cô tham gia giảng dạy, thầy phịng đào tạo Sau đại học trƣờng đại học Khoa học tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội giảng dạy, hƣớng dẫn, tạo điều kiện thuận lợi trình học tập tâc giả Xin gửi tới lời cảm ơn sâu sắc tới T.S Phạm Văn Quốc – ngƣời thầy tâm huyết đáng kính hƣớng dẫn, bảo , động viên tác giả hoàn thành luận văn Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn tới thầy hội đồng giám khảo có nhận xét quý báu để tác giả hoàn thiện luận văn Mặc dù cố gắng trau chuốt nhƣng khơng thể tránh đƣợc thiếu sót Tác giả mong nhận đƣợc nhận xét góp ý để luận văn đƣợc hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, năm 2016 TÀI LIỆU THAM KHẢO Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Quốc Anh (2010), “Sử dụng phương pháp CauchySchwarz để chứng minh bất đẳng thức”, NXB Đại học Sƣ phạm, Hà Nội Nguyễn Tài Chung (2013), “ Sáng tạo giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình”, NXB Tổng hợp thành phố Hồ Chí Minh Nguyễn Văn Mậu (2006), “Bất đẳng thức định lí áp dụng”, NXB Giáo Dục, Hà Nội Phạm Kim Hùng (2007), “Sáng tạo bất đẳng thức”, NXB Hà Nội, Hà Nội Nguyễn Vũ Lƣơng (chủ biên), Nguyễn Ngọc Thắng (2009), “Các giảng bất đẳng thức Bunhiacopxki”, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội Nguyễn Vũ Lƣơng (chủ biên), Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng (2008), “Các giảng bất đẳng thức Côsi”, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội Danh sách Website www.diendantoanhoc.net www.math.vn www.mathlinks.ro www.mathscope.org www.mathnfriend.net ... 1.5 Các bổ đề bất đẳng thức thƣờng dùng CHƢƠNG SÁNG TÁC HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC 10 CHƢƠNG GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ... việc giải hệ cách sử dụng bất đẳng thức trở nên dễ dàng Chương Giải hệ phương trình cách sử dụng bất đẳng thức Cấu trúc chƣơng gồm hai phần tập ví dụ tập tự luyện Chƣơng phân tích để tìm hƣớng giải. .. Để trả lời câu hỏi này, tác giả trình bày số quy trình để sáng tác tốn giải hệ phƣơng cách sử dụng kiến thức bất đẳng thức Bất đẳng thức Với x  theo bất đẳng thức AM – GM ta x 2 có x Nhƣng