Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 256 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Cấu trúc
ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
BÙI TH± GIANG
CÁC KÝ HIfiU DÙNG TRONG LU¾N ÁN
Me ĐAU
Chương 1
1.1 Phép bien đoi Fourier
1.1.1 Đ%nh nghĩa và các tính chat cơ ban
1.1.2 Đ%nh lý ngưac và đ%nh lý duy nhat
1.1.3 Đ%nh lý Plancherel
1.2 Phép bien đoi Hartley
1.3 Phép bien đoi Fourier-cosine và Fourier- sine
1.4 Đ¾c trưng đai so cua phép bien đoi dang Fourier
Chương 2
2.1 Đ%nh nghĩa tích ch¾p và tích ch¾p suy r®ng
2.2 Tích ch¾p đoi vái phép bien đoi tích phân Fourier vái phép bien đoi hình hqc
2.2.1 Tích ch¾p đoi vái phép bien đoi Fourier vái d%ch chuyen
2.2.2 Tích ch¾p đoi vái phép bien đoi Fourier vái đong dang
2.2.3 Tích ch¾p đoi vái phép bien đoi Fourier vái ngh%ch đao
2.3 Tích ch¾p liên ket giEa phép bien đoi Fourier và Fourier ngưac
2.4 Tích ch¾p đoi vái phép bien đoi Fourier- sine và Fourier-cosine
2.4.1 Tích ch¾p không có trqng đoi vái phép bien đoi Fourier-sine và Fourier-cosine
2.4.2 Tích ch¾p đoi vái phép bien đoi Fourier-sine và Fourier-cosine vái hàm trqng lưang giác
2.5 Tích ch¾p đoi vái phép bien đoi Hartley liên ket vái Fourier
2.5.1 Tích ch¾p đoi vái phép bien đoi Hartley H1
2.5.2 Tích ch¾p đoi vái phép bien đoi Hartley H2
2.5.3 Tích ch¾p đoi vái Hartley liên ket vái Fourier
Chương 3
3.1 Các cau trúc vành đ%nh chuan trên L1(Rd)
3.2 Phương trình tích phân
3.2.1 Phương trình tích phân vái nhân Toeplitz-Hankel hőn hap
3.2.2 Phương trình tích phân vái nhân Toeplitz-Hankel hőn hap có d%ch chuyen
3.2.3 Phương trình tích phân dang tích ch¾p tong quát vái nhân Toeplitz-Hankel hőn hap
3.2.4 Phương trình tích phân vái nhân Gaussian
KET LU¾N
DANH MUC CÔNG TRÌNH KHOA HOC CUA TÁC GIA ĐÃ CÔNG BO LIÊN QUAN ĐEN LU¾N ÁN
TÀI LIfiU THAM KHAO
Nội dung
ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN −−−−−−−−− BÙI TH± GIANG TÍCH CH¾P CUA M®T SO PHÉP BIEN ĐOI TÍCH PHÂN VéI NHÂN LƯeNG GIÁC VÀ ÚNG DUNG Chun ngành: Tốn Giai tích Mã so: 62 46 01 01 TĨM TAT LU¾N ÁN TIEN SĨ TỐN HOC Hà N®i - 2012 Cơng trình đưoc hồn thành tai: Trưịng Đai hoc Khoa hoc Tu nhiên, Đai hoc Quoc gia Hà N®i Cán b® hưóng dan khoa hoc: PGS TS Nguyen Minh Tuan Phan bi¾n 1: GS TSKH Đinh Dũng Phan bi¾n 2: PGS TS Nguyen Xuõn Thao Phan biắn 3: TS Nguyen Vn Ngoc LuÔn ỏn se oc bao vắ trúc Hđi ong cham luÔn án cap nhà nưóc hop tai Trưịng ĐHKHTN vào hoi giị 00 ngày 26 tháng năm 2012 Có the tỡm hieu luÔn ỏn ny tai: - Th viắn Quoc Gia Vi¾t Nam - Trung tâm thơng tin thư vi¾n- ĐHQGHN MUC LUC LèI CAM ĐOAN LèI CAM ƠN MUC LUC CÁC KÝ HIfiU DÙNG TRONG LU¾N ÁN Me ĐAU Chương TÍNH CHAT TỐN TU CUA PHÉP BIEN ĐOI TÍCH PHÂN 19 Phép bien đői Fourier 19 1.1.1 Đ%nh nghĩa tính chat ban 20 1.1.2 Đ%nh lý ngưoc đ%nh lý nhat 27 1.1.3 Đ%nh lý Plancherel 32 Phép bien đői Hartley 35 Phép bien đői Fourier-cosine Fourier-sine .45 Đ¾c trưng đai so cna phép bien đői dang Fourier .51 DANG FOURIER 1.1 1.2 1.3 1.4 Chương TÍCH CH¾P ĐOI VéI PHÉP BIEN ĐOI TÍCH PHÂN DANG FOURIER 55 2.1 Đ%nh nghĩa tích chắp v tớch chắp suy rđng 57 2.2 Tích ch¾p đoi vói phép bien đői tích phân Fourier vói phép bien đői hình HQc 58 2.2.1 Tích ch¾p đoi vói phép bien đői Fourier vói d%ch chuyen 58 2.2.2 Tích ch¾p đoi vói phép bien đői Fourier vói đong dang 60 2.2.3 Tích ch¾p đoi vói phép bien đői Fourier vói ngh%ch đao 62 2.3 Tích ch¾p liên ket giua phép bien đői Fourier Fourier ngưoc 63 2.4 Tích ch¾p đoi vói phép bien đői Fourier-sine Fourier-cosine 67 2.4.1 Tích ch¾p khơng có TRQNG đoi vói phép bien đői Fouriersine Fourier-cosine .67 2.4.2 Tích ch¾p đoi vói phép bien đői Fourier-sine Fouriercosine vói hàm TRQNG lưong giác 71 2.5 Tích ch¾p đoi vói phép bien đői Hartley liên ket vói Fourier 76 2.5.1 Tích ch¾p đoi vói phép bien đői Hartley H1 76 2.5.2 Tích ch¾p đoi vói phép bien đői Hartley H2 82 2.5.3 Tích ch¾p đoi vói Hartley liên ket vói Fourier 84 Chương ÚNG DUNG CUA TÍCH CH¾P 92 d 3.1 Các cau trúc vành đ%nh chuan L (R ) 93 3.2 Phương trình tích phân 98 3.2.1 Phương trình tích phân vói nhân Toeplitz-Hankel hon hop 98 3.2.2 Phương trình tích phân vói nhân Toeplitz-Hankel hon hop có d%ch chuyen 103 3.2.3 Phương trình tích phân dang tích ch¾p tőng qt vói nhân Toeplitz-Hankel hon hop .113 3.2.4 Phương trình tích phân vói nhân Gaussian 116 KET LU¾N 129 DANH MUC CƠNG TRÌNH KHOA HOC CUA TÁC GIA Đà CƠNG BO LIÊN QUAN ĐEN LU¾N ÁN 130 TÀI LIfiU THAM KHAO 131 − 5− CÁC KÝ HIfiU DÙNG TRONG LUắN N Cỏc khụng gian: ã L1(R) = {f : R → C | f kha tích Lebesgue R} • L2(R) = {f : R → C | |f|2 kha tích Lebesgue R} • ǁf ǁp = ∫R p |f (x)| dx Σ1/p , p = 1, • C0(R)là khơng gian Banach cna hàm liên tuc R tri¾t tiêu tai vơ vói chuan sup • S khơng gian Schwartz, t¾p hop tat ca hàm f kha vi vơ han R cho sup sup(1| + | x| 2)m (Dnf |)(x) < n≤m x∈R ∞ vói MQI m, n = 0, 1, 2, • L0(X): t¾p tốn tu tuyen tính tù khơng gian X vào X cho dom X = X • D(R) không gian hàm kha vi vô han R vói giá compact Các tốn tu: • D n := d Σn i d x • Hn(x) := (−1)nex Σn d e−x , đa thúc Hermite b¾c n d x Φ (x) := (−1)ne1 x2 d Σne−x2 , hàm Hermite • n • (Ff )(x) := d d ∫R −i(x,y) de x f (y)dy, phép bien đői Fourier (2π) ∫ (F −1f )(x) R := d • (2π) ei(x,y)f (y)dy, phép bien đői Fourier ngưoc ∫ (F h f )(x)R := 1d e−i(x+h,y)f (y)dy, phép bien đői Fourier vói phép • (2π) d2 d%ch chuyen Σ −1 i(x,y+h) h f )(y)dy, phép bien đői ngưoc • Fh d e h f (y) (x) := d (2π) F ∫ (F R cna phép bien đői Fourier vói phép d%ch chuyen ∫ R • (Fα d f )(x) := |α| e−i(α·x,y)f (y)dy, phép bien đői Fourier vói phép (2π) đong dang • α Σ f) ) (x) α F −1 (F := d d Q j= αj d |α|(2π) ∫ f )(y)dy, phép bien đői ngưoc cna ei(α·x,y) (F α Rd vói phép đong dang phép bien đői Fourier • (Fvf )(x) := ∫ (2π) d e−i(y,x)f (y)dy neu ƒ= ∀i = 1, , d, Rd xi neu xi = 0, phép bien đői Fourier vói phép ngh%ch đao • cos xy := cos(x, y); sin xy := sin(x, y), (x, y) tích vơ hưóng cna x, y Rd • (T cos xyf (y)dy, phép bien đői Fourier-cosine ∫ f )(x) := c (2π) Rd • (T f )(x) := s 2d (2π) Rd ∫ sin xyf (y)dy, phép bien đői Fourier-sine d • Phép bien đői Hartley: (H1f )(x) := cas xyf (y)dy, d ∫ (2π) (H2f )(x) := Rd ∫ d (2π) Rd cas xy := cos xy + sin xy Các hàm so cas(−xy)f (y)dy, • γ1 (x) := e2−1 |x|2 | | e− x • γ2(x) : = x ƒ= ∀i = 1, , d, neu i neu x i = • γ3(x) := cas x • α(x) := e−i(x,h), α1(x) := e−i(x,h1), α2(x) := e−i(x,h2) • β(x) = ei(x,h) • γ(x) = cos(x, h) • δ(x) = sin(x, h) • δ1(x) := cos xh1 • δ2(x) := sin xh1 • δ3(x) := cos xh2 • δ4(x) := sin xh2 −1 0− Xét hàm ϕ(x) := F −1 Σ DF DF,F (x) = F −1 DF −1 −1 DF,F Σ (x) Suy ϕ ∈ L1(Rd) Áp dung đ%nh lý ngưoc cna phép bien đői Fourier ta tìm đưoc DF (x) (Fϕ)(x) = , DF,F −1 (x) DF (x) (F−1ϕ)(x) = −1 DF,F −1 (x) Hien nhiên rang hàm (Fϕ)(x) (F−1ϕ)(x) thoa mãn (3.70) V¾y suy A(x)(F ϕ)(x) + B(x)(F −1 ϕ)(x) = (Fp)(x) Do phương trình (3.69) tương đương vói phương trình (3.68), ta đưoc (1 + Σ F λϕ + i) (k + iϕ) ) + (1 − (k ∗ F,F γ1 γ1 F,F ∗ ϕ) ,H ,H (1 − i) γ1 ∗ (k F,F ,1 H (1 + i) ϕ) + (k 2 F,F γ1 ∗ ϕ)Σ(x) = (Fp)(x) ,H ∫ V¾y Σλϕ(x) + −|x−u+v|2 ∫ R d (2π) Σ d Σ F k1(u) −|x−u−v|2 Σ Rd e = ϕ(v)dudv − p(x) + k2(u)e Do đ%nh lý ton tai nhat cna phép bien đői Fourier, hàm ϕ(x) thoa mãn phương trình (3.53) vói x ∈ Rd hau khap nơi Đ%nh lý đưoc chúng minh Q Đoi vói phương trình tích phân Fredholm loai hai, ta chúng minh m¾nh đe sau M¾nh đe 3.2.17 Cho λ ƒ= (i) Khi đó, DF,F −1 ƒ= vái MQI x nam ngồi m®t hình cau có bán kính huu han (ii) Gia su rang k1, k2, p ∈ (R ) Neu d L1 neu Fp ∈ L1(Rd), DF DF,F DF,F −1 (x) vái MQI x ∈ Rd ∈ L1 (Rd) −1 Chúng minh (i) Tù bő đe Riemann-Lebesgue đoi vói phép bien đői tích phân Fourier, ta có the ket lu¾n rang hàm DF,F −1 (x) liên tuc Rd, lim DF,F −1 (x) = λ |x| →∞ (xem [32, Đ%nh lý 7.5]) Bây giò, phan (i) đưoc suy tù λ ƒ= tính liên tuc cna DF,F −1 (x) (ii) Nhị tính liên tuc cna DF,F −1 (x) lim DF,F −1 (x) = λ 0, |x| →∞ ton tai R > 0, s1 > cho inf |DF,F −1 (x)| > s1 |x| >R Do DF,F −1 (x) liên tuc khơng tri¾t tiêu t¾p compact S(0, R) = {x ∈ Rd : |x| ≤ R}, ton tai s2 > cho inf |x| ≤R |DF,F −1 (x)| > s2 Do sup x∈Rd |DF,F −1 ≤ max{ , 1 } < ∞ s1 s2 (x)| Vì v¾y, hàm liên tuc b% ch¾n Rd |DF,F −1 (x)| M¾t khác, theo bő đe Riemann-Lebesgue đoi vói F , hàm γ1(x), hàm (Fk1)(x), (Fk2)(x) liên tuc b% ch¾n Rd Do Fp ∈ L1(Rd), moi so hang ve phai cna thúc (3.61) thuđc L1(Rd) Vỡ vắy, DF L1(Rd) DF suy ∈ L1(Rd) DF,F −1 Tù tính liên tuc b% ch¾n cna hàm so |DF,F −1 (x)| M¾nh đe đưoc chúng minh Q Nh¾n xét 3.2.18 (i) Bon so hang cuoi ve phai cna (3.59) đeu hàm liên tuc b% ch¾n Rd Vì v¾y, neu |λ| đn lón, DF,F −1 (x) ƒ= vói d MQI x ∈ R (ii) Biet rang (Fγ1)(x) = (Fγ1)(−x) = γ1(x) Vì v¾y, trưịng hop −|x| đ¾c bi¾t như: k1(x) = k2(x) = γ1(x), ta có DF,F −1 (x) = + Nhị có 2 λ 2λe < −|x| ≤ vói MQI x ∈ , ta ket lu¾n DF,F −1 (x) vói MQI x ∈ , neu e Rd Rd λ ∈ C \ {[−2, 0]} (iii) Phương trình vói bon hang tu nhân λϕ(x) + (2π)d ∫ ∫Rd R Σk1(u)e −|x−u+v|2 + k2(u)e −|x+u−v|2 −|x+u+v|2 Σ −|x−u−v|2 + 2 + ϕ(v)dudv = k3(u)e k4(u)e p(x) có the đưoc rút xuong thành phương trình có dang (3.53) bang cách thay bien u boi −u so hang thú hai thú ba cna hàm tích phân, nhóm k2(−u), k3(−u) vói k1(u), k4(u) tương úng Phương trình thÉ tư − Xét phương trình ie ∫ ∫R d h(v) Σ λf (x) + −|x+y+v|2 e + −|x−y+v|2 2(2π)d Rd Σ + + f (y)dydv = g(x), e ie (3.71) h, g cho L1(Rd), f hàm can tìm Nhân cna phương trình ∫R −|x+y+v|2 h(v) −|x−y+v|2 k(x, y) d Σ −i + = e e −|x−y−v|2 −|x+y−v|2 Σ + + dv e ie Theo Đ%nh lý 2.5.1, phương trình (3.71) có the đưoc viet sau −|x−y−v|2 γ1 λf (x) + (f ∗ ,H H1,F −|x+y−v|2 h)(x) = g(x) Đ%nh lý sau đưoc chúng minh tương tn Đ%nh lý 3.2.8 Đ%nh lý 3.2.19 Gia su λ+ γ1 (x)(F h)(x) ƒ = vái MQI x H1 g Rd ∈ λ + γ Fh L (R ) Khi đó, phương trình (3.71) có nghi¾m L (R ) chs d d H 1g H λ + γ Fh Σ ∈ L1(Rd) Neu đieu ki¾n đưac thóa mãn nghi¾m đưac xác đ%nh bái cơng thúc sau H1g Σ f = H1 λ + γ Fh M¾nh đe 3.2.20 Gia su λ ƒ= Khi đó, mői hàm λ + (H1k)(x) λ + 1(x)(F h)(x) khụng triắt tiờu ngoi mđt khoang huu han Neu |λ| đu lán, phương trình (3.45) (3.71) giai đưac L1(Rd) Chúng minh Tù M¾nh đe 1.2.4, ta có lim (H1k)(x) = x→±∞ Hàm (H1k)(x) liên tuc Rd |λ| > 0, ton tai so R > cho |(H1k)(x)| < |λ|, ∀|x| > R Vì v¾y λ + (H1k)(x) ƒ= 0, ∀|x| > R Tương tn, su dung bő đe Riemann-Lebesgue cho phép bien đői Fourier F ta có the chúng minh đưoc λ + γ1(x)(F h)(x) ƒ= x nam mđt khoang huu han Tự Mắnh e 1.2.4 v b đe Riemann-Lebesgue, hàm (H1k), γ 1(Fh) liên tuc Rd tri¾t tiêu tai vơ cnc Suy ra, ton tai x1, x2 ∈ Rd cho vói MQI M0 := |(H1k)(x1)| ≥ |(H1k)(x)|, N0 := |γ1(x2)(F h)(x2)| ≥ |γ1(x)(F h)(x)| vói MQI x ∈ Rd Vì v¾y, neu |λ| > max{M0, N0}, λ + γ1(x)(F h)(x) ƒ= λ + (H1k)(x) ƒ= 0, ∀x ∈ Rd M¾nh đe 3.2.20 đưoc chúng minh Q So sánh Có mđt cỏch tiep cắn phng trỡnh tớch phõn dang tớch ch¾p vi¾c su dung tích ch¾p đ%nh lý Wiener-Lèvy [19, 25, 36, 39] Tuy nhiên, cách tiep c¾n chi bao gom đieu ki¾n đn (khơng có đieu ki¾n can) đe giai phương trình tìm đưoc nghi¾m dưói dang an (khơng phai nghi¾m hi¾n) Bang đieu ki¾n giai đưoc thơng thưịng chúng tơi có the phát bieu đieu ki¾n can đn cna phương trình (3.49), (3.51), (3.53), (3.71), đưa nghi¾m dưói dang hi¾n bang cách su dung tích chắp ó xõy dnng Nđi dung chớnh cna chng dna vào moi phan cna moi báo 1, 2, 3, 4, 5, phan "Danh mnc cơng trình cơng bo liên quan đen lu¾n án" KET LU¾N Lu¾n án xây dnng tích ch¾p cna phép bien đői Fourier-sine, Fourier- cosine Rd, phép bien đői Hartley, tích ch¾p giua Hartley Fourier đưa úng dung Các ket qua đat oc cna luắn ỏn l: ã Xột tớnh chat c ban, tính chat tốn tu cna phép bien đői Fourier, Fourier-cosine, Fourier-sine phép bien đői Hartley Phép bien đői Hart- ley có m®t so tính chat giong phép bien đői Fourier, có đ%nh lý ngưoc, đ%nh lý nhat đ%nh lý Plancherel Hơn nua, hai phép bien đői Fourier Hartley toán tu unita L2(R), chúng cáctoán tu đoi hop cap bon cap hai tương úng, túc F = I, H = I Còn phép bien đői Fourier cosine, Fourier-sine tốn tu khơng cn, khơng đơn ánh L2(R) Boi v¾y, hai tốn tu khơng có đ %nh lý ngưoc • Xây dnng tích ch¾p cna phép bien đői Fourier vói phép bien đői hình HQc: phép t%nh tien, phép đong dang phép ngh%ch đao, tích ch¾p cna phép bien đői Fourier phép bien đői Fourier ngưoc Lu¾n án cịn xây dnng tích ch¾p có TRQNG khơng có TRQNG cna phép bien đői Fourier-cosine, Fourier-sine, tích ch¾p cna phép bien đői Hartley tích chắp cú TRQNG liờn ket giua Fourier v Hartley ã Lu¾n án đưa úng dung cna tích ch¾p xây dnng Khơng gian L1(Rd) đưoc trang b% vói moi phộp nhõn chắp tro thnh mđt vnh %nh chuan khơng có đơn v% Tiep theo, tích ch¾p đưoc dùng đe giai phương trình tích phân Đó phương trình tích phân vói nhân Toeplitz- Hankel hon hop, phương trình tích phân vói nhân Toeplitz-Hankel hon hop có d%ch chuyen, phương trình tích phân dang tích ch¾p tőng quát vói nhân Toeplitz-Hankel hon hop phương trình tích phân vói nhân hàm Gaussian Bang đieu ki¾n giai đưoc thơng thưịng, lu¾n án đưa đieu ki¾n can đn đe phương trình có nghi¾m tìm đưoc nghi¾m dưói dang tưịng minh 129 DANH MUC CƠNG TRÌNH KHOA HOC CUA TÁC GIA Đà CƠNG BO LIÊN QUAN ĐEN LU¾N ÁN B T Giang, N V Mau and N M Tuan (2008), "Convolutions of the Fourier-cosine and Fourier-sine integral transforms and integral equations of the convolution type", Herald of Polotsk state Uni,Vol L (9), pp 7-16 B T Giang and N M Tuan (2008), "Generalized convolutions for the Fourier integral transforms and applications", Journal of Siberian Federal Univ, Vol (4), pp 371-379 B.T Giang, N.V Mau and N.M Tuan (2009), "Operational properties of two integral transforms of Fourier type and their convolutions", Integral Equations And Operator Theory, Vol 65 (3), pp 363-386 B T Giang and N M Tuan (2009), "Generalized convolutions for the integral transforms of Fourier type and applications", Fract Calc Appl Anal, Vol 12 (3), pp 253-268 B T Giang and N M Tuan (2010), "Generalized convolutions and the integral equations of the convolution type", Complex Var Elliptic Equ, Vol 55 (4), pp 331-345 B T Giang and N V Mau and N M Tuan (2010), "Convolutions for the Fourier transforms with geometric variables and applications", Math Nachr, Vol 283 (12), pp 1758-1770 130 TÀI LIfiU THAM KHAO [1] S.Z Agranovich and V.A Marchenko (1963), The inverse problem of scattering theory, Gordon Breach, New York [2] G Arfken (1985), Mathematical methods for physicists, Academic Press [3] H Bateman and A Erdelyi (1954), Tables of integral transforms, MC Graw-Hill, New York-Toronto-London [4] S Bochner and K Chandrasekharan (1986), Fourier transforms, Princeton Uni Press [5] R N Bracewell (1986), The Fourier transform and its applications, McGraw-Hill [6] R N Bracewell (1986), The Hartley transform, Oxford University Press [7] R N Bracewell (1994), Aspects of the Hartley transform, Proc IEEE 82, no 3, 381–387 [8] L E Britvina (2002), ”Polyconvolutions for the Hankel transform and differential operators”, Doklady Mathematics 65, no 1, 32–34 [9] L E Britvina (2004), ”On polyconvolutions generated by the Hankel trans- form”, Mathematical Notes 76, no 1, 18–24 [10] L E Britvina (2005), ”A class of integral transforms related to the Fourier cosine convolution”, Integral Transforms Spec Funct 16, no 5-6, 379–389 [11] L E Britvina (2007), ”Generalized convolutions for the Hankel transform and related integral operators”, Math Nachr 280, no 9-10, 962–970 [12] J W Brown and R V Churchill (2006), Fourier series and boundary value problems, McGraw-Hill 131 [13] P S Cho, H G Kuterdem, and R J Marks II (1998), ”A spherical dose model for radio surgery plan optimization”, Phys Med Bio 43, 3145– 3148 −13 2− [14] R V Churchill (1941), Fourier series and boundary value problems, New York, McGraw-Hill, 206 pp [15] F Garcia-Vicente, J M Delgado, and C Peraza (1998), ”Experimental de- termination of the convolution kernel for the study of the spatial response of a detector”, Med Phys 25, 202–207 [16] F Garcia-Vicente, J M Delgado, and C Rodriguez (2000), ”Exact ana- lytical solution of the convolution integral equation for a general profile fitting function and Gaussian detector kernel”, Phys Med and Biol 45, no 3, 645–650 [17] I C Gohberg and I A Fel’dman (1974), Convolution equations and projection methods for their solution, American Mathematical Society, Provindence, Rhode Island, Vol 41, 261 p [18] R V L Hartley (1942), ”A more symmetrical Fourier analysis applied to transmission problems”, Proc I R E 30, no 30, 144–150 [19] H Hochstadt (1973), Integral equations, John Wiley & Sons [20] L Hăomander (1983), The analysis of linear partial differential operators I, Springer-Verlag [21] V A Kakichev (1967), ”On the convolution for integral transforms”, Izv ANBSSR, Ser Fiz Mat, no 2, 48–57, [22] V A Kakichev (1997), ”Polyconvolution”, Taganskij Radio-tekhnicheskij Universitet , no ISSBN: 5-230-24745-2, [23] V A Kakichev and N X Thao (1998), ”On the design method of generalized convolution for the integral transforms”, Izv Vuzov Mat., no 1, p.31-40 [24] V A Kakichev and N X Thao (1994), ”On the convolution for generalized H-transforms”, Izv Vuzov Mat, no 8, p 21-28 [25] V A Kakichev, N X Thao, and V K Tuan (1998), ”On the generalized convolutions for Fourier cosine and sine transforms”, East-West Jour Math , no 1, 85–90 [26] Dambaru Bhatta Lokenath Debnath (2007), Integral transforms and their applications, Taylor & Francis Group, LLC [27] R P Millane (1994), ”Analytic properties of the Hartley transform”, Proc IEEE 82, no 3, 413–428 [28] M A Naimark (1959), Normed rings, Groningen, Netherlands [29] K J Olejniczak (2000), ”The Hartley transform”, The Transforms and Applications Handbook (A D Poularikas, ed.),The Electrical Engineering Handbook Series, CRC Press with IEEE Press, Florida, second ed., pp 341–401 [30] M A O’Neill (1988), ”Faster than fast fourier”, BYTE 13, no 4, 293–300 [31] D P Rolewicz and Stefan Rolewicz (1968), Equations in linear spaces, PWN-Polish scientific Pub [32] W Rudin, Functional analysis (1991), McGraw-Hill [33] H M Srivastava and V K Tuan (1995), ”A new convolution theorem for the Stieltjes transform and its application to a class of singular integral equations”,Arch Math 64, 144–149 [34] N X Thao and N M Khoa (2004), ”On the convolution with a weightfunction for the cosine-fourier integral transform”,Acta Math Vietnam 29, no 2, 149–162 [35] N X Thao and N M Khoa (2005), On the generalized convolution with a weight-function for Fourier, Fourier cosine and sine transforms, Vietnam J Math 33, no 4, 421–436 [36] N X Thao and N M Khoa (2006), ”On the generalized convolution with a weight function for the Fourier sine and cosine transforms”, Integral Trans- forms Spec Funct 17, no 9, 673–685 [37] N X Thao and Tr Tuan (2003),”On the generalized convolution for Itransform”, Act Math Vietnam 28, no 2, 159–174 −133− [38] N X Thao, V K Tuan, and N T Hong (2007), ”Integral transforms of Fourier cosine and sine generalized convolution type”, Int J Math Math Sci 17, 11 pp [39] N X Thao, V K Tuan, and N T Hong (2008), ”Generalized convolution transforms and Toeplitz plus Hankel integral equation”, Frac Calc App Anal 11, no 2, 153–174 [40] N X Thao, V K Tuan, and N T Hong (2011), ”Toeplitz plus Hankel integral equation”, Integral Transforms Spec Funct, iFirst, p 1–15 [41] E C Titchmarsh 1986, Introduction to the theory of Fourier integrals, New York [42] V K Tuan (1985), ”Integral transform of Fourier type in a new class of functions”, Dokl Akad Nauk BSSR 29, no 7, 584–587, (in Russian) [43] J D Villasenor (1994), ”Optical Hartley transform”, Proc IEEE 82, no 3, 391–399 [44] S B Yakubovich and Y Luchko (1994), The hypergeometric approach to integral transforms and convolutions, Mathematics and its applications 287 [45] W B Vasantha Kadasamy (2002), Smarandache Non-associative rings, American Research Press, Rehoboth, NM −13 4− ... HQc, Phép bien đői tích phân đưoc địi sóm nhat phép bien đői tích phân Fourier đưoc xác đ%nh boi cơng thúc sau: (0.1) ∫ e−i f (y)dy (Ff )(x) = √ xy 2π R Phép bien đői tích phân Fourier có phép. .. hàm nhân (hàm dưói dau tích phân) có dang k(x, y) = a cos xy + b sin xy, a, b ∈ C phép bien đői tích phân dang Fourier Trong so phép bien đői tích phân dang Fourier, can phai ke đen m®t phép. .. tích phân vói nhân Toeplitz-Hankel hon hop 98 3.2.2 Phương trình tích phân vói nhân Toeplitz-Hankel hon hop có d%ch chuyen 103 3.2.3 Phương trình tích phân dang tích ch¾p tőng quát vói nhân