Thông tin tài liệu
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN −−−−−−−−− BÙI THỊ GIANG TÍCH CHẬP CỦA MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN VỚI NHÂN LƯỢNG GIÁC VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 62 46 01 01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2012 Cơng trình hoàn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội Cán hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Minh Tuấn Phản biện 1: GS TSKH Đinh Dũng Phản biện 2: PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Phản biện 3: TS Nguyễn Văn Ngọc Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp nhà nước họp Trường ĐHKHTN vào hồi 00 ngày 26 tháng năm 2012 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc Gia Việt Nam - Trung tâm thông tin thư viện- ĐHQGHN MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN MỞ ĐẦU Chương TÍNH CHẤT TỐN TỬ CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER 1.1 1.2 1.3 1.4 Phép biến đổi Fourier 1.1.1 Định nghĩa tính chất 1.1.2 Định lý ngược định lý 1.1.3 Định lý Plancherel Phép biến đổi Hartley Phép biến đổi Fourier-cosine Fourier-sine Đặc trưng đại số phép biến đổi dạng Fourier 19 19 20 27 32 35 45 51 Chương TÍCH CHẬP ĐỐI VỚI PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 Định nghĩa tích chập tích chập suy rộng Tích chập phép biến đổi tích phân Fourier với phép biến đổi hình học 2.2.1 Tích chập phép biến đổi Fourier với dịch chuyển 2.2.2 Tích chập phép biến đổi Fourier với đồng dạng 2.2.3 Tích chập phép biến đổi Fourier với nghịch đảo Tích chập liên kết phép biến đổi Fourier Fourier ngược Tích chập phép biến đổi Fourier-sine Fourier-cosine 2.4.1 Tích chập khơng có trọng phép biến đổi Fouriersine Fourier-cosine 2.4.2 Tích chập phép biến đổi Fourier-sine Fouriercosine với hàm trọng lượng giác Tích chập phép biến đổi Hartley liên kết với Fourier 55 57 58 58 60 62 63 67 67 71 76 2.5.1 2.5.2 2.5.3 Tích chập phép biến đổi Hartley H1 Tích chập phép biến đổi Hartley H2 Tích chập Hartley liên kết với Fourier 76 82 84 Chương ỨNG DỤNG CỦA TÍCH CHẬP 92 d 3.1 Các cấu trúc vành định chuẩn L (R ) 93 3.2 Phương trình tích phân 98 3.2.1 Phương trình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel hỗn hợp 98 3.2.2 Phương trình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel hỗn hợp có dịch chuyển 103 3.2.3 Phương trình tích phân dạng tích chập tổng quát với nhân Toeplitz-Hankel hỗn hợp 113 3.2.4 Phương trình tích phân với nhân Gaussian 116 KẾT LUẬN 129 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 130 TÀI LIỆU THAM KHẢO 131 −5− CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN Các khơng gian: • L1 (R) = {f : R → C | f khả tích Lebesgue R} • L2 (R) = {f : R → C | |f |2 khả tích Lebesgue R} • f p = 1/p p R |f (x)| dx , p = 1, • C0 (R)là không gian Banach hàm liên tục R triệt tiêu vơ với chuẩn sup • S không gian Schwartz, tập hợp tất hàm f khả vi vô hạn R cho sup sup(1 + |x|2 )m |(Dn f )(x)| < ∞ n≤m x∈R với m, n = 0, 1, 2, • L0 (X): tập tốn tử tuyến tính từ khơng gian X vào X cho dom X = X • D(R) khơng gian hàm khả vi vô hạn R với giá compact Các tốn tử: • Dn := d i dx n • Hn (x) := (−1)n ex n • Φn (x) := (−1) e • (F f )(x) := d (2π) 2 2x Rd d dx d dx n e−x , đa thức Hermite bậc n n e−x , hàm Hermite e−i x,y f (y)dy, phép biến đổi Fourier • (F −1 f )(x) := d (2π) Rd • (Fh f )(x) := d (2π) Rd ei x,y f (y)dy, phép biến đổi Fourier ngược e−i x+h,y f (y)dy, phép biến đổi Fourier với phép dịch chuyển • Fh−1 Fh f (y) (x) := d (2π) Rd ei x,y+h (Fh f )(y)dy, phép biến đổi ngược phép biến đổi Fourier với phép dịch chuyển • (Fα f )(x) := |α| d (2π) Rd e−i α·x,y f (y)dy, phép biến đổi Fourier với phép đồng dạng d αj • Fα−1 (Fα f ) (x) := ei α·x,y (Fα f )(y)dy, phép biến đổi ngược j=1 d |α|(2π) Rd phép biến đổi Fourier với phép đồng dạng d e−i y, x f (y)dy xi = ∀i = 1, , d, • (Fv f )(x) := (2π) Rd 0 x = 0, i phép biến đổi Fourier với phép nghịch đảo • cos xy := cos x, y ; sin xy := sin x, y , x, y tích vơ hướng x, y Rd • (Tc f )(x) := • (Ts f )(x) := d (2π) d (2π) cos xyf (y)dy, phép biến đổi Fourier-cosine Rd sin xyf (y)dy, phép biến đổi Fourier-sine Rd • Phép biến đổi Hartley: (H1 f )(x) := (H2 f )(x) := cas xyf (y)dy, d (2π) Rd cas(−xy)f (y)dy, d (2π) cas xy := cos xy + sin xy Các hàm số −7− Rd • γ1 (x) := e− |x| 1 • γ2 (x) := e− | x | xi = ∀i = 1, , d, xi = • γ3 (x) := cas x • α(x) := e−i x,h , α1 (x) := e−i x,h1 , α2 (x) := e−i x,h2 • β(x) = ei x,h • γ(x) = cos x, h • δ(x) = sin x, h • δ1 (x) := cos xh1 • δ2 (x) := sin xh1 • δ3 (x) := cos xh2 • δ4 (x) := sin xh2 −8− MỞ ĐẦU Phép biến đổi tích phân chủ đề phát triển sớm lịch sử giải tích tốn học, chiếm vị trí quan trọng tốn học phép biến đổi tích phân dùng để giải phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, áp dụng cho toán vật lý, học, y học, Phép biến đổi tích phân đời sớm phép biến đổi tích phân Fourier xác định cơng thức sau: (F f )(x) = √ 2π e−ixy f (y)dy (0.1) R Phép biến đổi tích phân Fourier có phép biến đổi ngược (F −1 f )(x) = √ 2π eixy f (y)dy (0.2) R Về mặt tốn học, phép biến đổi tích phân Fourier phát triển từ chuỗi Fourier việc biểu diễn hàm thành chuỗi hàm lượng giác đơn Về mặt lịch sử, nhà toán học Joseph Fourier (1768-1830) người biểu diễn thành công hàm thành chuỗi hàm lượng giác ông nghiên cứu trình truyền nhiệt vật chất Trải qua hai kỷ phát triển, lý thuyết toán học gọi ngắn gọn Giải tích Fourier phát triển mạnh mẽ, lý thuyết có ứng dụng nhiều lĩnh vực tốn học nhiều ngành khoa học ứng dụng khác Ngồi phép biến đổi tích phân Fourier kể trên, người ta xét đến phép biến đổi Fourier-cosine Fourier-sine xác định công thức sau đây: (Tc f )(x) = √ 2π R (Ts f )(x) = √ 2π R cos xyf (y)dy := gc (x), (0.3) sin xyf (y)dy := gs (x) (0.4) Hai phép biến đổi Tc , Ts có tính chất khác biệt so với phép biến đổi tích phân Fourier chỗ: miền xác định Tc , Ts L1 (R), tốn tử không khả nghịch chúng ánh xạ không đơn ánh, phép biến đổi tích phân Fourier F có phép biến đổi ngược L1 (R), nữa, F toán tử tuyến tính khả nghịch liên tục khơng gian Hilbert L2 (R) Người ta thường gọi phép biến đổi tích phân mà hàm nhân (hàm dấu tích phân) có dạng k(x, y) = a cos xy + b sin xy, a, b ∈ C phép biến đổi tích phân dạng Fourier Trong số phép biến đổi tích phân dạng Fourier, cần phải kể đến phép biến đổi tích phân Ralph Vinton Lyon Hartley kỹ sư vô tuyến điện đề xuất vào năm 1942, xác định công thức sau (Hf )(x) = √ 2π cas(xy)f (y)dy, (0.5) R hàm nhân dấu tích phân biết đến hàm cas (cosine-and-sine) xác định công thức: cas xy = cos xy + sin xy (xem [5, 18]) Phép biến đổi Hartley phép biến đổi dạng Fourier, có mối liên hệ gần gũi với phép biến đổi tích phân Fourier Thật vậy, hàm nhân phép biến đổi Hartley biểu diễn qua nhân phép biến đổi Fourier Fourier ngược: cas(xy) := cos(xy) + sin(xy) = − i ixy + i −ixy e + e , 2 hàm nhân phép biến đổi Fourier lại biểu diễn qua nhân phép biến đổi Hartley: 1+i 1−i e−ixy = cas(xy) + cas(−xy) 2 (xem [5, 18]) Trong sách phép biến đổi tích phân [29], K J Olejniczak viết: " có lẽ đóng góp giá trị Hartley phép biến đổi tích phân đối xứng phát triển khởi đầu từ vấn đề truyền tải sóng điện thoại Mặc dù phép biến đổi bị quên lãng gần 40 năm, nghiên cứu lại thập kỷ qua hai nhà toán học Wang Bracewell người tạo lý thuyết hấp dẫn đề tài " Bằng chứng tuyên bố danh sách dài cơng trình cơng bố ứng dụng phép biến đổi Hartley (xem [5, 6, 7, 18, 27, 43] −10− tài liệu tham khảo đó) Trong cơng trình kể trên, tác giả nhiều ứng dụng hiệu phép biến đổi Hartley toán thực tế như: xử lý tín hiệu, khơi phục ảnh, xử lý âm thanh, xử lý tín hiệu số, v.v Mặt khác, tốn tử tích phân Hartley toán tử thực đối xứng Do vậy, ưu việt phép biến đổi Hartley so với phép biến đổi Fourier, mặt tính tốn số, chỗ phép biến đổi Hartley hàm thực hàm thực, phép biến đổi Fourier hàm thực hàm phức, máy tính (computer) làm việc với số thực thuận tiện nhanh với số phức Liên quan đến lý thuyết phép biến đổi tích phân, lý thuyết khác nghiên cứu phát triển, đời muộn Đó lý thuyết tích chập phép biến đổi tích phân, lý thuyết tốn tử tích chập Lý thuyết tích chập tốn tử tích chập xây dựng khởi đầu từ nửa đầu kỷ 20, sau phát triển mạnh mẽ năm gần chúng có nhiều ứng dụng không vào nhiều lý thuyết khác tốn học như: phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng, đại số Banach, mà cịn ứng dụng hiệu nhiều lĩnh vực khoa học cơng nghệ Tích chập xây dựng nghiên cứu phép biến đổi tích phân Fourier (f ∗ g)(x) = √ f (x − y)g(y)dy (0.6) F 2π R Đối với tích chập (0.6), điều đáng nhấn mạnh đẳng thức sau thỏa mãn, thường gọi đẳng thức nhân tử hóa F (f ∗ g)(x) = (F f )(x)(F g)(x) F Tiếp sau tích chập (0.6) phép biến đổi tích phân Fourier, Churchill xây dựng thành cơng tích chập khác phép biến đổi Fourier-cosine, xác định công thức sau (f ∗ g)(x) = Fc +∞ f (y)[g(|x − y|) + g(x + y)]dy d (2π) Đẳng thức nhân tử hóa tích chập Fc (f ∗ g)(x) = (Fc f )(x)(Fc g)(x), Fc −11− (0.7) Sử dụng Bổ đề 3.2.14, ta thu Fα g (x) λ + γ1 (Fα k) ϕ(x) = Fα−1 Do Fα−1 Fα g ∈ L1 (Rd ) λ + γ1 (Fα k) Điều kiện đủ chứng minh tương tự Định lý 3.2.10 Vậy phần (b) chứng minh Phần (a) hệ (3.52)do hàm phương trình liên tục Rd Định lý 3.2.13 chứng minh ✷ Mệnh đề sau chứng minh tương tự Mệnh đề 3.2.11 Mệnh đề 3.2.15 Giả sử λ = Khi λ + γ1 (x)(Fα k)(x) = với x nằm ngồi hình cầu có bán kính hữu hạn Hơn nữa, Fα g ∈ L1 (Rd ), λ + γ1 (x)(Fα k)(x) = với x ∈ Rd , Fα g ∈ L1 (Rd ) λ + γ1 Fα k Phương trình thứ ba Xét phương trình sau λϕ(x) + (2π)d k1 (u)e Rd −|x−u+v|2 + Rd k2 (u)e −|x−u−v|2 ϕ(v)dudv = p(x), (3.53) λ ∈ C cho trước, k1 (x), k2 (x), p(x) xác định L1 (Rd ), ϕ hàm cần tìm Do tích chập Chương xét L1 (Rd ), hàm cho giả sử L1 (Rd ), hàm cần tìm xác định Trong phương trình (3.53), xét K(x, v) = (2π)d k1 (u)e −|x−u+v|2 Rd −120− + k2 (u)e −|x−u−v|2 du (3.54) nhân Ta biết hàm Gaussian d-chiều có dạng − |x−u| 2σ e q(x) = √ d ( 2πσ ) Biến đổi Fourier hàm Gaussian hàm Gaussian (sai khác số, xem [4, §3], [32, Bổ đề 7.6]), tích phân hàm Gaussian 1, mà thỏa mãn tính chất hàm delta Mặt khác, lấy giới hạn hàm Gaussian độ lệch chuẩn tiến dần không, thỏa mãn số tính chất khác Nghĩa là, phương trình sau xác định hàm delta d-chiều giới hạn hàm Gaussian đồng vị d-chiều δ(x − u) = lim σ →0 − d e |x−u|2 2σ (2πσ ) Phương trình tích phân dạng tích chập với nhân Gaussian có nhiều ứng dụng vật lý, học sinh học (xem [13, 15, 16]) Với f ∈ L1 (Rd ), ta viết f˘(x) = f (−x) Đặt A(x) : = λ + γ1 (x)(F k2 )(x), B(x) := γ1 (x)(F k1 )(x), DF,F −1 (x) : = λ2 + λγ1 (x)[(F k2 )(x) + (F k2 )(−x)] + γ1 (x)H1 [(k2 DF (x) : = DF −1 (x) : = γ1 ∗ k˘2 ) − (k1 γ1 ∗ k˘1 )](x), H1 ,F,F H1 ,F,F γ1 γ1 λ(F p)(x) + H1 [(k˘2 ∗ p) − (k1 ∗ p˘)](x), H1 ,F,F H1 ,F,F γ1 γ1 λ(F p)(−x) + H1 [(k2 ∗ p˘) − (k˘1 ∗ p)](x) H1 ,F,F H1 ,F,F (3.55) (3.56) (3.57) (3.58) Hay DF,F −1 (x) :=λ2 + λγ1 (x)[(F k2 )(x) + (F k2 )(−x)] + γ12 (x)F k2 (x)F k2 (−x) − γ12 (x)(F k1 )(x)(F k1 )(−x), DF (x) :=λ(F p)(x) + γ1 (x)(F k2 )(−x)(F p)(x) − γ1 (x)(F k1 )(x)(F p)(−x), DF −1 (x) :=λ(F p)(−x) + γ1 (x)(F k2 )(x)(F p)(−x)− γ1 (x)(F k1 )(−x)(F p)(x) −121− (3.59) (3.60) (3.61) (3.62) Định lý 3.2.16 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn DF,F −1 (x) = với x ∈ Rd , DF ∈ L1 (Rd ) DF,F −1 Khi đó, phương trình (3.53) có nghiệm L1 (Rd ) F −1 DF DF,F −1 ∈ L1 (Rd ) (3.63) Nếu điều kiện (3.63) thỏa mãn, nghiệm tìm có dạng DF DF,F −1 ϕ(x) = F −1 (x) Chứng minh Từ tích chập (2.45), (2.43) suy (2π)d e Rd −|x−u+v|2 f (u)g(v)dudv = Rd (1 + i) (f γ1 ∗ F,F,H1 g)(x) + (1 − i) (f g)(x) + (1 + i) (f γ1 ∗ F,F,H2 g)(x), (3.64) (2π)d e Rd −|x−u−v|2 f (u)g(v)dudv = Rd (1 − i) (f γ1 ∗ F,F,H1 γ1 ∗ F,F,H2 g)(x) (3.65) Từ đẳng thức nhân tử hóa tích chập này, ta có F (2π)d e Rd −|x−u+v|2 Rd (1 + i) γ1 (x)(F f )(x)(H1 g)(x) (1 − i) + γ1 (x)(F f )(x)(H2 g)(x), (3.66) f (u)g(v)dudv = f (u)g(v)dudv = F (2π)d e Rd −|x−u−v|2 Rd −122− (1 − i) γ1 (x)(F f )(x)(H1 g)(x) + (1 + i) γ1 (x)(F f )(x)(H2 g)(x) (3.67) Điều kiện cần Giả sử phương trình (3.53) có nghiệm ϕ ∈ L1 (Rd ) Suy hàm ϕ thỏa mãn phương trình (3.53) Kết hợp k1 , k2 , ϕ ∈ L1 (Rd ) đẳng thức (3.64), (3.65), ta kết luận số hạng vế trái đẳng thức (3.53) thuộc L1 (Rd ) Tác động F vào hai vế đẳng thức (3.53) sử dụng (3.66), (3.67) ta (1 + i) γ1 (x)(F k1 )(x)(H1 ϕ)(x) (1 − i) (1 − i) γ1 (x)(F k1 )(x)(H2 ϕ)(x) + γ1 (x)(F k2 )(x)(H1 ϕ)(x) + 2 (1 + i) γ1 (x)(F k2 )(x)(H2 ϕ)(x) = (F p)(x) (3.68) + λ(F ϕ)(x) + Nhờ công thức Euler hàm cos x, sin x, ta có H1 = (1 − i) −1 (1 + i) F+ F , 2 (1 − i) (1 + i) −1 F+ F 2 Phương trình (3.68) viết lại dạng H2 = A(x)(F ϕ)(x) + B(x)(F −1 ϕ)(x) = (F p)(x), (3.69) A(x), B(x) xác định (3.55) Thay x −x phương trình (3.69), ta nhận hệ tuyến tính hai phương trình sau A(x)(F ϕ)(x) + B(x)(F −1 ϕ)(x) = (F p)(x) B(−x)(F ϕ)(x) + A(−x)(F −1 ϕ)(x) = (F p)(−x), (3.70) (F ϕ)(x), (F −1 ϕ)(x) hàm cần tìm Các định thức hệ (3.70) ký hiệu DF,F −1 (x), DF (x), DF −1 (x) xác định (3.56), (3.57), (3.58) cách tương ứng Nhờ có DF,F −1 (x) = với x ∈ Rd , ta tìm (F ϕ)(x) = DF (x) , DF,F −1 (x) −123− (F −1 ϕ)(x) = DF −1 (x) DF,F −1 (x) DF (x) ∈ L1 (Rd ), ta sử dụng định lý ngược phép biến đổi DF,F −1 (x) Fourier để nhận Do ϕ(x) = F −1 DF DF,F −1 (x) Điều kiện cần chứng minh Điều kiện đủ Từ (3.59), (3.61), (3.62) suy DF,F −1 (x) ≡ DF,F −1 (−x), DF (x) ≡ DF −1 (−x) Vì ta có F −1 DF DF,F −1 Xét hàm ϕ(x) := F −1 (x) ≡ F DF DF,F −1 DF −1 DF,F −1 (x) = F (x) DF −1 DF,F −1 (x) Suy ϕ ∈ L1 (Rd ) Áp dụng định lý ngược phép biến đổi Fourier ta tìm DF (x) (F ϕ)(x) = , DF,F −1 (x) (F −1 ϕ)(x) = DF −1 (x) DF,F −1 (x) Hiển nhiên hàm (F ϕ)(x) (F −1 ϕ)(x) thỏa mãn (3.70) Vậy suy A(x)(F ϕ)(x) + B(x)(F −1 ϕ)(x) = (F p)(x) Do phương trình (3.69) tương đương với phương trình (3.68), ta F λϕ + γ1 γ1 (1 + i) (1 − i) (k1 ∗ ϕ) + (k1 ∗ ϕ) F,F,H1 F,F,H2 2 γ1 γ1 (1 − i) (1 + i) + (k2 ∗ ϕ) + (k2 ∗ ϕ) (x) = (F p)(x) F,F,H1 F,F,H2 2 −124− Vậy F λϕ(x) + (2π)d k1 (u)e Rd −|x−u+v|2 Rd + k2 (u)e −|x−u−v|2 ϕ(v)dudv − p(x) = Do định lý tồn phép biến đổi Fourier, hàm ϕ(x) thỏa mãn phương trình (3.53) với x ∈ Rd hầu khắp nơi Định lý chứng minh ✷ Đối với phương trình tích phân Fredholm loại hai, ta chứng minh mệnh đề sau Mệnh đề 3.2.17 Cho λ = (i) Khi đó, DF,F −1 = với x nằm hình cầu có bán kính hữu hạn (ii) Giả sử k1 , k2 , p ∈ L1 (Rd ) Nếu F p ∈ L1 (Rd ), DF,F −1 (x) = với x ∈ Rd DF ∈ L1 (Rd ) DF,F −1 Chứng minh (i) Từ bổ đề Riemann-Lebesgue phép biến đổi tích phân Fourier, ta kết luận hàm DF,F −1 (x) liên tục Rd , lim DF,F −1 (x) = λ |x|→∞ (xem [32, Định lý 7.5]) Bây giờ, phần (i) suy từ λ = tính liên tục DF,F −1 (x) (ii) Nhờ tính liên tục DF,F −1 (x) lim DF,F −1 (x) = λ = 0, |x|→∞ tồn R > 0, > cho inf |DF,F −1 (x)| > |x|>R −125− Do DF,F −1 (x) liên tục không triệt tiêu tập compact S(0, R) = {x ∈ Rd : |x| ≤ R}, tồn > cho inf |DF,F −1 (x)| > |x|≤R Do sup x∈Rd Vì vậy, hàm 1 |DF,F −1 (x)| 1 ≤ max{ , } < ∞ liên tục bị chặn Rd |DF,F −1 (x)| Mặt khác, theo bổ đề Riemann-Lebesgue F , hàm γ1 (x), hàm (F k1 )(x), (F k2 )(x) liên tục bị chặn Rd Do F p ∈ L1 (Rd ), số hạng vế phải đẳng thức (3.61) thuộc L1 (Rd ) Vì vậy, DF ∈ L1 (Rd ) DF Từ tính liên tục bị chặn hàm số suy ∈ L1 (Rd ) |DF,F −1 (x)| DF,F −1 Mệnh đề chứng minh ✷ Nhận xét 3.2.18 (i) Bốn số hạng cuối vế phải (3.59) hàm liên tục bị chặn Rd Vì vậy, |λ| đủ lớn, DF,F −1 (x) = với x ∈ Rd (ii) Biết (F γ1 )(x) = (F γ1 )(−x) = γ1 (x) Vì vậy, trường hợp đặc biệt như: k1 (x) = k2 (x) = γ1 (x), ta có DF,F −1 (x) = λ2 + 2λe−|x| Nhờ có < e−|x| ≤ với x ∈ Rd , ta kết luận DF,F −1 (x) = với x ∈ Rd , λ ∈ C \ {[−2, 0]} (iii) Phương trình với bốn hạng tử nhân λϕ(x) + (2π)d k1 (u)e Rd −|x−u+v|2 + k2 (u)e −|x+u+v|2 Rd + k3 (u)e −|x+u−v|2 + k4 (u)e −|x−u−v|2 ϕ(v)dudv = p(x) rút xuống thành phương trình có dạng (3.53) cách thay biến u −u số hạng thứ hai thứ ba hàm tích phân, nhóm k2 (−u), k3 (−u) với k1 (u), k4 (u) tương ứng −126− Phương trình thứ tư Xét phương trình λf (x) + 2(2π)d h(v) − ie Rd −|x+y+v|2 +e −|x−y+v|2 Rd +e −|x−y−v|2 + ie −|x+y−v|2 f (y)dydv = g(x), (3.71) h, g cho L1 (Rd ), f hàm cần tìm Nhân phương trình h(v) − ie k(x, y) = −|x+y+v|2 +e −|x−y+v|2 Rd +e −|x−y−v|2 + ie −|x+y−v|2 dv (3.72) Theo Định lý 2.5.1, phương trình (3.71) viết sau λf (x) + (f γ1 ∗ H1 ,H1 ,F h)(x) = g(x) Định lý sau chứng minh tương tự Định lý 3.2.8 H1 g ∈ λ + γ1 F h L1 (Rd ) Khi đó, phương trình (3.71) có nghiệm L1 (Rd ) Định lý 3.2.19 Giả sử λ+γ1 (x)(F h)(x) = với x ∈ Rd H1 H1 g λ + γ1 F h ∈ L1 (Rd ) Nếu điều kiện thỏa mãn nghiệm xác định cơng thức sau f = H1 H1 g λ + γ1 F h Mệnh đề 3.2.20 Giả sử λ = Khi đó, hàm λ + (H1 k)(x) λ + γ1 (x)(F h)(x) khơng triệt tiêu ngồi khoảng hữu hạn Nếu |λ| đủ lớn, phương trình (3.45) (3.71) giải L1 (Rd ) Chứng minh Từ Mệnh đề 1.2.4, ta có lim (H1 k)(x) = x→±∞ −127− Hàm (H1 k)(x) liên tục Rd |λ| > 0, tồn số R > cho |(H1 k)(x)| < |λ|, ∀|x| > R Vì λ + (H1 k)(x) = 0, ∀|x| > R Tương tự, sử dụng bổ đề Riemann-Lebesgue cho phép biến đổi Fourier F ta chứng minh λ + γ1 (x)(F h)(x) = với x nằm khoảng hữu hạn Từ Mệnh đề 1.2.4 bổ đề Riemann-Lebesgue, hàm (H1 k), γ1 (F h) liên tục Rd triệt tiêu vô cực Suy ra, tồn x1 , x2 ∈ Rd cho M0 := |(H1 k)(x1 )| ≥ |(H1 k)(x)|, N0 := |γ1 (x2 )(F h)(x2 )| ≥ |γ1 (x)(F h)(x)| với x ∈ Rd Vì vậy, |λ| > max{M0 , N0 }, λ + γ1 (x)(F h)(x) = λ + (H1 k)(x) = 0, ∀x ∈ Rd ✷ Mệnh đề 3.2.20 chứng minh So sánh Có cách tiếp cận phương trình tích phân dạng tích chập việc sử dụng tích chập định lý Wiener-Lèvy [19, 25, 36, 39] Tuy nhiên, cách tiếp cận bao gồm điều kiện đủ (khơng có điều kiện cần) để giải phương trình tìm nghiệm dạng ẩn (khơng phải nghiệm hiện) Bằng điều kiện giải thông thường chúng tơi phát biểu điều kiện cần đủ phương trình (3.49),(3.51), (3.53), (3.71), đưa nghiệm dạng cách sử dụng tích chập xây dựng Nội dung chương dựa vào phần báo 1, 2, 3, 4, 5, phần "Danh mục cơng trình cơng bố liên quan đến luận án" −128− KẾT LUẬN Luận án xây dựng tích chập phép biến đổi Fourier-sine, Fouriercosine Rd , phép biến đổi Hartley, tích chập Hartley Fourier đưa ứng dụng Các kết đạt luận án là: • Xét tính chất bản, tính chất tốn tử phép biến đổi Fourier, Fourier-cosine, Fourier-sine phép biến đổi Hartley Phép biến đổi Hartley có số tính chất giống phép biến đổi Fourier, có định lý ngược, định lý định lý Plancherel Hơn nữa, hai phép biến đổi Fourier Hartley toán tử unita L2 (R), chúng cáctoán tử đối hợp cấp bốn cấp hai tương ứng, tức F = I, H12 = I Còn phép biến đổi Fourier cosine, Fourier-sine tốn tử khơng đẳng cự, không đơn ánh L2 (R) Bởi vậy, hai tốn tử khơng có định lý ngược • Xây dựng tích chập phép biến đổi Fourier với phép biến đổi hình học: phép tịnh tiến, phép đồng dạng phép nghịch đảo, tích chập phép biến đổi Fourier phép biến đổi Fourier ngược Luận án cịn xây dựng tích chập có trọng khơng có trọng phép biến đổi Fourier-cosine, Fourier-sine, tích chập phép biến đổi Hartley tích chập có trọng liên kết Fourier Hartley • Luận án đưa ứng dụng tích chập xây dựng Không gian L1 (Rd ) trang bị với phép nhân chập trở thành vành định chuẩn khơng có đơn vị Tiếp theo, tích chập dùng để giải phương trình tích phân Đó phương trình tích phân với nhân ToeplitzHankel hỗn hợp, phương trình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel hỗn hợp có dịch chuyển, phương trình tích phân dạng tích chập tổng quát với nhân Toeplitz-Hankel hỗn hợp phương trình tích phân với nhân hàm Gaussian Bằng điều kiện giải thông thường, luận án đưa điều kiện cần đủ để phương trình có nghiệm tìm nghiệm dạng tường minh 129 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN B T Giang, N V Mau and N M Tuan (2008), "Convolutions of the Fourier-cosine and Fourier-sine integral transforms and integral equations of the convolution type", Herald of Polotsk state Uni,Vol L (9), pp 7-16 B T Giang and N M Tuan (2008), "Generalized convolutions for the Fourier integral transforms and applications", Journal of Siberian Federal Univ, Vol (4), pp 371-379 B.T Giang, N.V Mau and N.M Tuan (2009), "Operational properties of two integral transforms of Fourier type and their convolutions", Integral Equations And Operator Theory, Vol 65 (3), pp 363-386 B T Giang and N M Tuan (2009), "Generalized convolutions for the integral transforms of Fourier type and applications", Fract Calc Appl Anal, Vol 12 (3), pp 253-268 B T Giang and N M Tuan (2010), "Generalized convolutions and the integral equations of the convolution type", Complex Var Elliptic Equ, Vol 55 (4), pp 331-345 B T Giang and N V Mau and N M Tuan (2010), "Convolutions for the Fourier transforms with geometric variables and applications", Math Nachr, Vol 283 (12), pp 1758-1770 130 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] S.Z Agranovich and V.A Marchenko (1963), The inverse problem of scattering theory, Gordon Breach, New York [2] G Arfken (1985), Mathematical methods for physicists, Academic Press [3] H Bateman and A Erdelyi (1954), Tables of integral transforms, MC Graw-Hill, New York-Toronto-London [4] S Bochner and K Chandrasekharan (1986), Fourier transforms, Princeton Uni Press [5] R N Bracewell (1986), The Fourier transform and its applications, McGraw-Hill [6] R N Bracewell (1986), The Hartley transform, Oxford University Press [7] R N Bracewell (1994), Aspects of the Hartley transform, Proc IEEE 82, no 3, 381–387 [8] L E Britvina (2002), ”Polyconvolutions for the Hankel transform and differential operators”, Doklady Mathematics 65, no 1, 32–34 [9] L E Britvina (2004), ”On polyconvolutions generated by the Hankel transform”, Mathematical Notes 76, no 1, 18–24 [10] L E Britvina (2005), ”A class of integral transforms related to the Fourier cosine convolution”, Integral Transforms Spec Funct 16, no 5-6, 379–389 [11] L E Britvina (2007), ”Generalized convolutions for the Hankel transform and related integral operators”, Math Nachr 280, no 9-10, 962–970 [12] J W Brown and R V Churchill (2006), Fourier series and boundary value problems, McGraw-Hill [13] P S Cho, H G Kuterdem, and R J Marks II (1998), ”A spherical dose model for radio surgery plan optimization”, Phys Med Bio 43, 3145–3148 131 [14] R V Churchill (1941), Fourier series and boundary value problems, New York, McGraw-Hill, 206 pp [15] F Garcia-Vicente, J M Delgado, and C Peraza (1998), ”Experimental determination of the convolution kernel for the study of the spatial response of a detector”, Med Phys 25, 202–207 [16] F Garcia-Vicente, J M Delgado, and C Rodriguez (2000), ”Exact analytical solution of the convolution integral equation for a general profile fitting function and Gaussian detector kernel”, Phys Med and Biol 45, no 3, 645–650 [17] I C Gohberg and I A Fel’dman (1974), Convolution equations and projection methods for their solution, American Mathematical Society, Provindence, Rhode Island, Vol 41, 261 p [18] R V L Hartley (1942), ”A more symmetrical Fourier analysis applied to transmission problems”, Proc I R E 30, no 30, 144–150 [19] H Hochstadt (1973), Integral equations, John Wiley & Sons [20] L Hăomander (1983), The analysis of linear partial differential operators I, Springer-Verlag [21] V A Kakichev (1967), ”On the convolution for integral transforms”, Izv ANBSSR, Ser Fiz Mat, no 2, 48–57, [22] V A Kakichev (1997), ”Polyconvolution”, Taganskij Radio-tekhnicheskij Universitet , no ISSBN: 5-230-24745-2, [23] V A Kakichev and N X Thao (1998), ”On the design method of generalized convolution for the integral transforms”, Izv Vuzov Mat., no 1, p.31-40 [24] V A Kakichev and N X Thao (1994), ”On the convolution for generalized H-transforms”, Izv Vuzov Mat, no 8, p 21-28 [25] V A Kakichev, N X Thao, and V K Tuan (1998), ”On the generalized convolutions for Fourier cosine and sine transforms”, East-West Jour Math , no 1, 85–90 −132− [26] Dambaru Bhatta Lokenath Debnath (2007), Integral transforms and their applications, Taylor & Francis Group, LLC [27] R P Millane (1994), ”Analytic properties of the Hartley transform”, Proc IEEE 82, no 3, 413–428 [28] M A Naimark (1959), Normed rings, Groningen, Netherlands [29] K J Olejniczak (2000), ”The Hartley transform”, The Transforms and Applications Handbook (A D Poularikas, ed.),The Electrical Engineering Handbook Series, CRC Press with IEEE Press, Florida, second ed., pp 341–401 [30] M A O’Neill (1988), ”Faster than fast fourier”, BYTE 13, no 4, 293–300 [31] D P Rolewicz and Stefan Rolewicz (1968), Equations in linear spaces, PWN-Polish scientific Pub [32] W Rudin, Functional analysis (1991), McGraw-Hill [33] H M Srivastava and V K Tuan (1995), ”A new convolution theorem for the Stieltjes transform and its application to a class of singular integral equations”,Arch Math 64, 144–149 [34] N X Thao and N M Khoa (2004), ”On the convolution with a weightfunction for the cosine-fourier integral transform”,Acta Math Vietnam 29, no 2, 149–162 [35] N X Thao and N M Khoa (2005), On the generalized convolution with a weight-function for Fourier, Fourier cosine and sine transforms, Vietnam J Math 33, no 4, 421–436 [36] N X Thao and N M Khoa (2006), ”On the generalized convolution with a weight function for the Fourier sine and cosine transforms”, Integral Transforms Spec Funct 17, no 9, 673–685 [37] N X Thao and Tr Tuan (2003),”On the generalized convolution for Itransform”, Act Math Vietnam 28, no 2, 159–174 −133− [38] N X Thao, V K Tuan, and N T Hong (2007), ”Integral transforms of Fourier cosine and sine generalized convolution type”, Int J Math Math Sci 17, 11 pp [39] N X Thao, V K Tuan, and N T Hong (2008), ”Generalized convolution transforms and Toeplitz plus Hankel integral equation”, Frac Calc App Anal 11, no 2, 153–174 [40] N X Thao, V K Tuan, and N T Hong (2011), ”Toeplitz plus Hankel integral equation”, Integral Transforms Spec Funct, iFirst, p 1–15 [41] E C Titchmarsh 1986, Introduction to the theory of Fourier integrals, New York [42] V K Tuan (1985), ”Integral transform of Fourier type in a new class of functions”, Dokl Akad Nauk BSSR 29, no 7, 584–587, (in Russian) [43] J D Villasenor (1994), ”Optical Hartley transform”, Proc IEEE 82, no 3, 391–399 [44] S B Yakubovich and Y Luchko (1994), The hypergeometric approach to integral transforms and convolutions, Mathematics and its applications 287 [45] W B Vasantha Kadasamy (2002), Smarandache Non-associative rings, American Research Press, Rehoboth, NM −134− ... Chương TÍCH CHẬP ĐỐI VỚI PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 Định nghĩa tích chập tích chập suy rộng Tích chập phép biến đổi tích phân Fourier với phép biến đổi hình... 2.2.1 Tích chập phép biến đổi Fourier với dịch chuyển 2.2.2 Tích chập phép biến đổi Fourier với đồng dạng 2.2.3 Tích chập phép biến đổi Fourier với nghịch đảo Tích chập liên kết phép biến đổi. .. dựng tích chập phép biến đổi Fourier phép biến đổi Fourier với phép biến đổi hình học, phép biến đổi Hartley, hai phép biến đổi Fourier-cosine Fourier-sine, xét ứng dụng tích chập xây dựng Sử dụng
Ngày đăng: 14/04/2021, 17:53
Xem thêm:
