THÔNG TIN TÀI LIỆU
Bài 3: Biến ngẫu nhiên rời rạc BÀI BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC Hướng dẫn học Bài tiếp tục nội dung hai học trước kết hợp với đại lượng đo lường Các biến cố ngẫu nhiên trước xét trở thành biến ngẫu nhiên, từ tính tốn xác suất Với đại lượng đo lường mô tả học này, không quan tâm đến xác suất xảy giá trị mà quan tâm đến đại lượng đặc trưng cách tính đại lượng Để nắm học này, cần nhớ khái niệm xác suất trước, cách tính xác suất Việc tính tốn cần cẩn thận tránh nhầm lẫn Để học tốt này, sinh viên cần tham khảo phương pháp học sau: Học lịch trình mơn học theo tuần, làm luyện tập đầy đủ tham gia thảo luận diễn đàn Đọc tài liệu: Giáo trình Lý thuyết xác suất thống kê toán NXB Đại học KTQD Sinh viên làm việc theo nhóm trao đổi với giảng viên trực tiếp lớp học qua email Tham khảo thông tin từ trang Web môn học Nội dung Khái niệm phân loại biến ngẫu nhiên Bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc Các tham số đặc trưng: kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn Biến ngẫu nhiên phân phối Không – phân phối Nhị thức Khái niệm tham số biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc Mục tiêu Sau học xong sinh viên cần thực việc sau: Hiểu khái niệm biến ngẫu nhiên phân biệt hai loại biến ngẫu nhiên Lập bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc Tính tham số: kỳ vọng toán, phương sai, độ lệch chuẩn áp dụng phân tích kinh tế Biết sử dụng quy luật Không – Một quy luật Nhị thức để tính xác suất đại lượng Hiểu khái niệm biến ngẫu nhiên chiều tính số tham số đặc trưng biến ngẫu nhiên chiều rời rạc 40 TXTOKT02_Bai3_v1.0014106216 Bài 3: Biến ngẫu nhiên rời rạc Tình dẫn nhập Lựa chọn vị trí làm việc Một người lựa chọn hai vị trí làm việc Vị trí thứ văn phòng nhận mức lương tháng cố định mức vừa phải Vị trí thứ hai đơn vị kinh doanh nhận lương theo kết làm việc: kết tốt nhận lương cao, kết vừa phải lương bình thường, khơng hồn thành nhận lương thấp, chí khơng có lương Với đơn vị kinh doanh việc kết công việc hay không ngẫu nhiên, nhận định khả đạt kết khơng chắn có kết tốt hay khơng hồn thành Làm để phân tích tình nhận định, đánh giá mức lương? Có cách so sánh lương hai vị trí trên? Đánh giá mặt trung bình lựa chọn nào? Đánh giá rủi ro lựa chọn nào? Mở rộng tình cho tình kinh doanh: phương án có khả khác nhau: lỗ, hịa, có lãi Mức lỗ lỗ ít, lỗ nhiều; lãi lãi ít, lãi nhiều… Trong trường hợp việc so sánh, đánh giá phương án kinh doanh thực góc độ xem xét môn Xác suất? TXTOKT02_Bai3_v1.0014106216 41 Bài 3: Biến ngẫu nhiên rời rạc 3.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên 3.1.1 Khái niệm Trong giảng trước ta làm quen với biến cố ngẫu nhiên Biến cố ngẫu nhiên thể tượng mà ta quan tâm, xảy khơng xảy thực phép thử Với biến cố ngẫu nhiên ta phải dùng ngôn ngữ thông thường để mô tả, chẳng hạn biến cố: “gieo hai đồng xu hai mặt sấp”, “được mặt sấp”, “được hai mặt ngửa” Trong hầu hết trường hợp người ta nhận thấy mơ tả biến cố ngẫu nhiên cách dùng số mơ tả đối tượng lượng hóa biến cố Chẳng hạn với biến cố gieo hai đồng xu, xét đến đại lượng “số mặt sấp xuất hiện” đặt tên đại lượng ký hiệu X, biến cố “được hai mặt sấp” trở thành biến cố “X 2”, biến cố “được mặt sấp” trở thành biến cố “X 1”, biến cố “được hai mặt ngửa” trở thành biến cố “X 0” Đại lượng X đặt đơn giản hóa biến cố đánh giá giá trị so sánh Cách đặt cho ta khái niệm biến ngẫu nhiên Định nghĩa 3.1 – Biến ngẫu nhiên: Biến ngẫu nhiên biến số mà kết phép thử nhận giá trị có tùy thuộc vào tác động nhân tố ngẫu nhiên Định nghĩa cho thấy trước hết biến ngẫu nhiên phải nhận giá trị số, chất số, ta chuyển thành số Khi ta thực phép thử, tương ứng với biến cố xảy ra, giá trị biến ngẫu nhiên số Thông thường, biến ngẫu nhiên đặt chữ in hoa cuối bảng chữ X, Y, Z Trong số trường hợp khác đặt theo ý nghĩa biến Ví dụ 3.1 Với biến cố số mặt sấp gieo hai đồng xu, đặt X số chấm xuất gieo hai đồng xu thì: X biến số, nhận giá trị 0; 1; Sau gieo hai đồng xu X nhận ba giá trị Do X biến ngẫu nhiên, viết X = {0; 1; 2} Ví dụ 3.2 Đặt Y số chấm xuất gieo xúc sắc thì: Y biến số, nhận giá trị 1, 2, 3, 4, 5, Sau gieo xúc sắc Y nhận giá trị Vậy Y biến ngẫu nhiên, viết Y = {1; 2; 3; 4; 5; 6} Ví dụ 3.3 Khi làm việc doanh nghiệp kinh doanh, người lao động hoàn thành hết cơng việc nhận lương tháng 20 triệu đồng, khơng lương triệu đồng Đặt Z tiền lương nhận Z biến số, nhận giá trị 5, 20 (triệu đồng) Sau thực phép thử (làm sau tháng) Z nhận giá trị hai giá trị Vậy Z biến ngẫu nhiên, viết Z = {5; 20} (triệu đồng) 42 TXTOKT02_Bai3_v1.0014106216 Bài 3: Biến ngẫu nhiên rời rạc Ví dụ 3.4 Tại bến xe buýt 15 phút lại có chuyến xe Một hành khách tới bến vào thời điểm ngẫu nhiên Đặt T thời gian hành khách phải chờ xe buýt, đơn vị phút, thì: T biến số, nhận giá trị thuộc nửa đoạn [0;15) Với hành khách lần đợi xe buýt thời gian chờ xe T nhận giá trị khoảng Vậy T biến ngẫu nhiên, viết T [0;15) 3.1.2 Phân loại biến ngẫu nhiên Qua ví dụ thấy ví dụ 3.1, ví dụ 3.2, ví dụ 3.3 biến ngẫu nhiên liệt kê giá trị số lượng giá trị số giá trị hữu hạn, cách rời Trong ví dụ 3.4 giá trị biến ngẫu nhiên lấp đầy khoảng, liệt kê hết giá trị liền vào Từ phân làm hai loại biến ngẫu nhiên rời rạc liên tục Biến ngẫu nhiên rời rạc: biến ngẫu nhiên mà giá trị có lập thành tập hợp hữu hạn đếm giá trị Nói cách khác, ta liệt kê tất giá trị biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên ví dụ 3.1 đến 3.3 thuộc loại rời rạc Biến ngẫu nhiên liên tục: biến ngẫu nhiên mà tập giá trị có nhận lấp đầy khoảng trục số Biến ngẫu nhiên ví dụ 3.4 thuộc loại liên tục Trong giảng ta xét biến ngẫu nhiên rời rạc, biến ngẫu nhiên liên tục xét giảng số Với biến ngẫu nhiên rời rạc, ta liệt kê giá trị có biến ngẫu nhiên Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc X, có n giá trị có, giá trị có viết chữ thường, chẳng hạn x1 , x2 , , xn , viết X {x1 , x2 , , xn } Lưu ý: số giá trị có biến ngẫu nhiên rời rạc lên đến vô hạn, chẳng hạn X số viên đạn phải dùng bắn trúng hồng tâm bia để xa, X = {1; 2; 3;…} kéo đến vơ hạn Tuy nhiên trường hợp không xét đến giảng Người học quan tâm tham khảo giáo trình 3.1.3 Biến ngẫu nhiên biến cố Như trình bày, biến ngẫu nhiên biến cố có mối liên hệ chặt chẽ Việc biến ngẫu nhiên nhận giá trị cụ thể khoảng giá trị cụ thể tương ứng với biến cố Với biến ngẫu nhiên rời rạc X {x1 , x2 , , xn } việc “biến ngẫu nhiên X nhận giá trị x” biến cố, ký hiệu ( X x) Tổng quát, ( X xi ) với i từ đến n biến cố Tương tự, việc “biến ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ số x” biến cố, ký hiệu ( X x) , việc X nhỏ số x biến cố ký hiệu (X x) Các quan hệ X số tạo thành biến cố TXTOKT02_Bai3_v1.0014106216 43 Bài 3: Biến ngẫu nhiên rời rạc Ví dụ 3.5 Biến ngẫu nhiên X số chấm xuất gieo xúc sắc, X = {1; 2; 3; 4; 5; 6} Biến cố (X = 2) biến cố “được mặt có chấm” Biến cố (X = 2,5) biến cố khơng thể có Biến cố (X > 0) biến cố chắn Biến cố (X < 2) với biến cố (X = 1) “được mặt có chấm” Biến cố (X 2) tổng hai biến cố (X = 1) + (X = 2) Biến cố (X < 1,5) với biến cố (X = 1) với biến cố (X 1,5) Qua ví dụ nhận thấy với biến ngẫu nhiên rời rạc việc xét dấu bất đẳng thức < hay khác giống nhau, tùy thuộc vào số so sánh có nằm số giá trị có hay khơng Trong ví dụ trên, biến cố (X < 2) khác với biến cố (X 2) số nằm số giá trị có (X = 2) xảy ra; biến cố (X < 1,5) với biến cố (X 1,5) số 1,5 không nằm số giá trị xảy 3.2 Bảng phân phối xác suất Với phép thử ta có biến cố, với biến cố có xác suất tương ứng Bài giảng trước xét xác suất xảy biến cố, với giảng ta xét biến ngẫu nhiên rời rạc xác suất tương ứng Nếu liệt kê tất giá trị có biến ngẫu nhiên rời rạc X dạng X {x1 , x2 , , xn } liệt kê xác suất tương ứng với giá trị có Cách liệt kê cho ta cách đánh giá xác suất “phân phối” cho giá trị biến ngẫu nhiên 3.2.1 Lập bảng phân phối xác suất Với biến ngẫu nhiên rời rạc X {x1 , x2 , , xn } ( X xi ) biến cố ngẫu nhiên, có xác suất tương ứng Ký hiệu: pi P ( X xi ) với giá trị xi có xác suất pi , lập thành bảng tương ứng, với xi dòng pi dòng dưới, gọi bảng phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X xác định sau: x x1 x2 … xn p p1 p2 … pn Việc liệt kê giá trị có xác suất tương ứng phải dựa vào việc tính xác suất biến cố học trước Cùng với bảng phân phối xác suất, vẽ đồ thị xác suất để nhận thấy rõ xác suất phân phối 3.2.2 Tính chất bảng phân phối xác suất Vì pi xác suất biến cố nên giá trị pi phải thuộc đoạn từ đến Các giá trị có xi rời rạc tách rời nhau, nên ( X x1 ) , ( X x2 ) ,…, ( X xn ) xung khắc tạo thành nhóm đầy đủ biến cố, tổng xác suất tương ứng Từ ta có hai tính chất bảng phân phối xác suất: 44 Tính chất 1: pi TXTOKT02_Bai3_v1.0014106216 Bài 3: Biến ngẫu nhiên rời rạc n Tính chất 2: p i 1 i p1 p2 pn Các bảng phân phối xác suất phải thỏa mãn hai tính chất này, khơng thỏa mãn khơng phải bảng phân phối xác suất Ví dụ 3.7 Đặt X số chấm xuất tung xúc sắc cân đối đồng chất mặt phẳng cứng lần, ta có X = {1; 2; 3; 4; 5; 6} xác suất tương ứng 1/6 Ta có bảng phân phối xác suất X: x p 1 1 1 6 6 6 Ví dụ 3.6 Hộp có 10 sản phẩm gồm phẩm phế phẩm Lấy đồng thời hai sản phẩm từ hộp Đặt Y số phẩm lấy Do lấy hai sản phẩm từ hộp có phẩm phế phẩm nên Y nhận giá trị {0; 1; 2} Do phép thử lấy đồng thời sản phẩm từ hộp có 10 sản phẩm nên ta dùng công thức xác suất cổ điển để tính xác suất sau: P (Y 0) C22 0, 022 C10 45 P (Y 1) C21C81 16 0,356 C102 45 P (Y 2) C82 28 0, 622 C102 45 16 28 Từ suy bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Y 45 45 45 sau: Ta có Y P 16 45 28 45 45 Minh họa phân phối xác suất hai ví dụ 3.6 3.7 đồ thị, ta có hình 3.1 Ví dụ 3.6 Ví dụ 3.7 P 28/45 P 16/45 1/6 x y 1/45 Hình 3.1 Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên ví dụ 3.6 3.7 TXTOKT02_Bai3_v1.0014106216 45 Bài 3: Biến ngẫu nhiên rời rạc Trong hình 3.1, đồ thị phía có cột nằm vị trí giá trị biến ngẫu nhiên X, chiều cao cột xác suất tương ứng với giá trị đó; đồ thị phía có cột nằm ví trí giá trị biến ngẫu nhiên Y, chiều cao cột xác suất tương ứng với giá trị Qua đồ thị nhận thấy với biến X, xác suất phân phối số từ đến 6, hay nói xác suất rải Với biến Y, xác suất có ba số phân phối không đều, xác suất tập trung nhiều vào giá trị 2, tiếp giá trị 1, giá trị Việc nhìn vào bảng phân phối đồ thị cho biết xác suất phân bố vào giá trị biến ngẫu nhiên Trong số trường hợp khác, giả định xác suất tính từ phương pháp khác (từ thống kê, đánh giá ý kiến chuyên gia), ta có bảng phân phối xác suất 3.3 Các tham số đặc trưng Nghiên cứu biến ngẫu nhiên rời rạc, đánh giá thông qua bảng phân phối xác suất, ta nhận biết giá trị có xác suất tương ứng, mà không dễ dàng đánh giá so sánh biến ngẫu nhiên với Do để đánh giá so sánh biến ngẫu nhiên đặc tính, cần tính tốn số số, gọi tham số đặc trưng Ví dụ 3.8 Có hai dự án kinh doanh A B, lợi nhuận dự án biến ngẫu nhiên rời rạc, đơn vị tỷ đồng Lợi nhuận dự án A ký hiệu XA, lợi nhuận dự án B ký hiệu XB có bảng phân phối xác suất sau: XA –2 10 XB P 0,2 0,6 0,2 P 0,4 0,4 0,2 Giá trị âm cho thấy lợi nhuận âm, dự án bị lỗ Đồ thị phân phối xác suất hai biến XA, XB hình 3.2 P –2 10 x Hình 3.2 So sánh hai biến ngẫu nhiên Trong hình 3.2, cột màu đỏ ứng với phân phối xác suất lợi nhuận dự án A, cột màu xanh ứng với phân phối xác suất lợi nhuận dự án B Nếu nhìn đồ thị việc đánh giá so sánh khơng dễ dàng Dự án A có lợi nhuận nhỏ âm, dự án B, lợi nhuận lớn lại 10 trội dự án B Ta cần phải tính tốn số số để so sánh Để đánh giá biến ngẫu nhiên, cần quan tâm hai đại lượng đại lượng thể xu trung tâm biến ngẫu nhiên, đại lượng thể phân tán biến ngẫu nhiên Đại lượng thể xu trung tâm xét chương trình 46 TXTOKT02_Bai3_v1.0014106216 Bài 3: Biến ngẫu nhiên rời rạc kì vọng, đại lượng thể phân tán phương sai độ lệch chuẩn Tất tính theo xác suất Các tham số đặc trưng khác trung vị, mốt, hệ số biến thiên, giá trị tới hạn… người học quan tâm tự đọc giáo trình 3.3.1 Kỳ vọng toán Xét biến ngẫu nhiên lợi nhuận dự án kinh doanh A XA ví dụ 3.9 có ba giá trị có – 2; 3; 10 Tuy nhiên ba giá trị lại khả xảy nhau, tính đại lượng mang tính chất “bình qn” khơng thể lấy trọng số Trọng số mà ta lấy khả xảy tương ứng với ba giá trị đó, ba xác suất Con số bình qn tính theo trọng số xác suất gọi kỳ vọng tốn, hay gọi tắt kỳ vọng, gọi trung bình Định nghĩa 3.2 – Kỳ vọng tốn: Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị có x1 , x2 , , xn với xác suất tương ứng p1 , p2 , , pn kỳ vọng tốn X, ký hiệu E(X) tính theo cơng thức: n E ( X ) x1 p1 x2 p2 xn pn xi pi i 1 Như kỳ vọng tốn tổng tích giá trị có biến ngẫu nhiên xác suất tương ứng với giá trị Lưu ý: Đơn vị E(X) trùng với đơn vị X Ví dụ 3.9 (Tiếp ví dụ 3.8) Lợi nhuận (tỷ đồng) hai dự án A B, ký hiệu XA XB có bảng phân phối xác suất sau, tính so sánh hai kỳ vọng tốn lợi nhuận hai dự án XA –2 10 XB P 0,2 0,6 0,2 P 0,4 0,4 0,2 Giải: Theo cơng thức tính kỳ vọng tốn ta có: E(XA) = – 0,2 + 0,6 + 10 0,2 = 3,4 (tỷ đồng) E(XB) = 0,4 + 0,4 + 0,2 = 3,3 (tỷ đồng) Như kỳ vọng, lợi nhuận dự án A lớn lợi nhuận dự án B Ý nghĩa ứng dụng kì vọng tốn Kỳ vọng giá trị trung bình theo xác suất giá trị mà biến ngẫu nhiên X nhận Nó phản ánh giá trị trung tâm giá trị biến ngẫu nhiên Trong kinh tế, kỳ vọng tốn đặc trưng cho suất trung bình phương án sản suất, lợi nhuận trung bình danh mục đầu tư, trọng lượng trung bình loại sản phẩm, tuổi thọ trung bình chi tiết máy… Do kinh tế, kì vọng toán tiêu chuẩn để định có nhiều phương án lựa chọn khác Tính chất kỳ vọng toán Từ định nghĩa kỳ vọng, ta chứng minh tính chất sau, với c số, X Y biến ngẫu nhiên TXTOKT02_Bai3_v1.0014106216 47 Bài 3: Biến ngẫu nhiên rời rạc Tính chất Kỳ vọng số nó: E(c) = c Tính chất Tính kỳ vọng tích số biến ngẫu nhiên đưa số ngồi: E(cX) = cE(X) Tính chất Kỳ vọng tổng biến ngẫu nhiên tổng kỳ vọng biến ngẫu nhiên thành phần: E(X + Y) = E(X) + E(Y) Tính chất Kỳ vọng tích hai biến ngẫu nhiên độc lập tích kỳ vọng chúng: E(XY) = E(X) E(Y) Hai biến ngẫu nhiên X, Y độc lập hiểu biến cố (X = x) (Y = y) độc lập, với x giá trị có X, y giá trị có Y Từ tính chất dễ dàng suy ra: E(c + X) = c + E(X) Từ tính chất dễ dàng suy ra: E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) Ví dụ liên quan đến tính chất xét với tính chất phần sau 3.3.2 Phương sai Độ lệch chuẩn Trong ví dụ 3.9, ta thấy hai biến ngẫu nhiên XA XB có kỳ vọng tương ứng 3,4 3,4 tỷ đồng, đánh giá kỳ vọng dự án A tốt dự án B Tuy nhiên đồng ý dự án A tốt hơn, xét thấy dự án A có chênh lệch giá trị lợi nhuận nhiều dự án B, có trường hợp dự án A bị lỗ, dự án B khơng lỗ Vì sử dụng kỳ vọng để đánh giá so sánh chưa đủ, cần đánh giá thêm mức độ phân tán giá trị biến ngẫu nhiên Chẳng hạn với dự án A, để đánh giá mức độ phân tán, ta xét sai lệch giá trị có biến ngẫu nhiên kỳ vọng để xem thay đổi Khi với giá trị có 10 sai lệch 10 – 3,4 = 6,6 điều xảy với xác suất 0,2; với giá trị có sai lệch – 3,4 = – 0,4 điều xảy với xác suất 0,6; với giá trị có –2 sai lệch –2 – 3,4 = –5,4 điều xảy với xác suất 0,2 Việc xét sai lệch mang dấu âm dương lúc gây nhiều phức tạp, người ta bình phương lên để triệt tiêu dấu Sau bình phương lên, tính kỳ vọng đại lượng bình phương sai lệch đó, giá trị gọi phương sai, với nghĩa “bình phương sai lệch” Định nghĩa 3.3 – Phương sai: Phương sai biến ngẫu nhiên X, ký hiệu V(X), kỳ vọng tốn bình phương sai lệch biến ngẫu nhiên so với kỳ vọng tốn nó: V(X) = E[X – E(X)]2 Áp dụng tính chất kỳ vọng, chứng minh được: V(X) = E(X2) – [E(X)]2 Trong E ( X ) kỳ vọng biến X bình phương, với X rời rạc thì: n E ( X ) xi2 pi i 1 48 TXTOKT02_Bai3_v1.0014106216 Bài 3: Biến ngẫu nhiên rời rạc Thông thường tính phương sai ta dùng theo cách tính E(X2) trước lấy E(X2) trừ bình phương E(X) Ý nghĩa phương sai: Phương sai đặc trưng cho độ phân tán giá trị biến ngẫu nhiên xung quanh E(X) Nếu V(X) lớn chứng tỏ biến động X lớn, V(X) nhỏ giá trị X biến động ít, tương đối ổn định Trong kinh tế, phương sai đặc trưng cho độ rủi ro định Tùy tốn, dùng nhiều danh từ khác để độ phân tán giá trị đại lượng ngẫu nhiên tương ứng như: độ dao động, độ biến động, độ bấp bênh, độ phân tán, độ ổn định, độ đồng đều, độ xác… Do kinh tế phương sai tiêu chuẩn để định trường hợp có nhiều phương án lựa chọn khác Lưu ý: Phương sai lớn ta nói biến biến động, dao động, phân tán Phương sai nhỏ ta nói biến ổn định, tập trung, đồng Đơn vị phương sai bình phương đơn vị biến ngẫu nhiên Nếu X có đơn vị USD V(X) đơn vị USD2; X đơn vị mét V(X) có đơn vị mét2 Vì phương sai liên quan đến phép tính bình phương, đơn vị phương sai biến trở thành bình phương đơn vị biến, nên so sánh phương sai với kỳ vọng hay với giá trị biến Để dùng cho phân tích tiếp theo, người ta tính đại lượng bậc hai phương sai, gọi độ lệch chuẩn Định nghĩa 3.4 – Độ lệch chuẩn: Độ lệch chuẩn biến ngẫu nhiên X, ký hiệu σx σ(X), bậc hai phương sai X: n E ( X ) xi2 pi ; x V ( X ) i 1 Như để tính độ lệch chuẩn buộc phải tính phương sai trước Ý nghĩa độ lệch chuẩn tương tự ý nghĩa phương sai, có điều khác biệt lớn độ lệch chuẩn có đơn vị đơn vị X, so sánh độ lệch chuẩn với giá trị có X, so sánh với kỳ vọng X Ví dụ 3.10 (tiếp ví dụ 3.8) Lợi nhuận (tỷ đồng) hai dự án A B, ký hiệu XA XB có bảng phân phối xác suất sau, tính so sánh hai phương sai, độ lệch chuẩn lợi nhuận hai dự án XA –2 10 XB P 0,2 0,6 0,2 P 0,4 0,4 0,2 Giải: Theo kết tính từ ví dụ 3.9 ta có: E(XA) = 3,4 E(XB) = 3,4 (tỷ đồng) Để tính phương sai XA V(XA), ta cần tính E ( X A2 ) E ( X A2 ) (2) 0, 32 0, 102 0, 26, Suy ra: V ( X A ) E ( X A2 ) [ E ( X A )]2 26, 3, 42 14, 64 Và: X A V ( X A ) 14, 64 3,83 TXTOKT02_Bai3_v1.0014106216 49 Bài 3: Biến ngẫu nhiên rời rạc Vậy lợi nhuận dự án A có phương sai 14,64 (tỷ đồng)2 độ lệch chuẩn 3,83 (tỷ đồng) Tương tự với dự án B ta có: E ( X B2 ) 12 0, 42 0, 92 0, 16,5 V(XB) = 16,5 – 3,32 = 5,61 X B 5, 61 2,37 Lợi nhuận dự án B có phương sai 5,61 (tỷ đồng)2 độ lệch chuẩn 2,37 (tỷ đồng) Nếu đánh giá phương sai ta thấy V(XA) lớn V(XB), nói lợi nhuận dự án A phân tán hơn, dao động nhiều hơn, biến động nhiều hơn; lợi nhuận dự án B ổn định hơn, đồng Trong kinh tế phương sai lớn gọi rủi ro nhiều hơn, nên dự án A có rủi ro nhiều Kết hợp kỳ vọng phương sai, thấy lợi nhuận dự án A có kỳ vọng lớn phương sai lớn hơn, độ bất ổn lớn hơn; lợi nhuận dự án B nhỏ phương sai nhỏ hơn, ổn định Việc lựa chọn dự án định nhà đầu tư, môn học cung cấp thông tin để đánh giá so sánh Tính chất phương sai Các tính chất phương sai giúp cho việc tính tốn số đại lượng ngẫu nhiên dễ dàng hơn, đại lượng tổng hợp từ biến ngẫu nhiên Với c số, X Y biến ngẫu nhiên Tính chất Phương sai số khơng: V(c) = Tính chất Phương sai tích biến ngẫu nhiên với số bình phương số nhân với phương sai biến ngẫu nhiên: V(cX) = c2V(X) Tính chất Phương sai tổng, hiệu biến ngẫu nhiên độc lập tổng phương sai hai biến ngẫu nhiên đó: V(X Y) = V(X) + V(Y) Từ tính chất dễ dàng suy ra: V(c + X) = V(X), hay cộng thêm số vào biến ngẫu nhiên phương sai khơng đổi, biến X đơn chuyển vị trí, cịn dao động cũ Ta so sánh tính chất kỳ vọng phương sai qua bảng sau, với c số: Kỳ vọng Phương sai E(c) = c V(c) = E(c + X) = c + E(X) V(c + X) = V(X) E(cX) = cE(X) V(cX) = c2V(X) E(X Y) = E(X) E(Y) V(X Y) = V(X) + V(Y) Ví dụ 3.11 (ví dụ tình dẫn nhập) Một người làm có hai lựa chọn: Lựa chọn thứ nhất: làm văn phòng với lương tháng cố định triệu đồng 50 TXTOKT02_Bai3_v1.0014106216 Bài 3: Biến ngẫu nhiên rời rạc Lựa chọn thứ hai: làm kinh doanh lương tính theo số hợp đồng kí được, hợp đồng nhận triệu đồng Biết số hợp đồng kí tháng có bảng phân phối xác suất sau: Số hợp đồng Xác suất 0,1 0,3 0,4 0,2 Hãy đánh giá hai lựa chọn qua việc so sánh kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn lương tháng Giải: Ta thấy với lựa chọn thứ lương tháng số: c = 6, kỳ vọng số phương sai 0: E(c) = c = (triệu đồng) V(c) = 0; σc = Vậy lựa chọn thứ khơng có rủi ro Với lựa chọn thứ hai, lương tháng số nhân với số hợp đồng kí được, mà số hợp đồng kí biến ngẫu nhiên Đặt X số hợp đồng kí được, ta có Lương = 5X Theo tính chất kỳ vọng phương sai, ta có: E(Lương) = E(5X) = 5E(X) V(Lương) = V(5X) = 52V(X) = 25V(X) Để tính kỳ vọng, phương sai lương, ta tính kỳ vọng phương sai X, với bảng phân phối xác suất X bảng phân phối xác suất số hợp đồng E(X) = 0,1 + 0,3 + 0,4 + 0,2 = 1,7 (hợp đồng) E(X2) = 02 0,1 + 12 0,3 + 22 0,4 + 32 0,2 = 3,7 V(X) = 3,7 – 1,72 = 0,81 (hợp đồng)2 X 0,81 0,9 (hợp đồng) Từ suy ra: E(Lương) = 1,7 = 8,5 (triệu đồng) V(Lương) = 25 0,81 = 20,25 (triệu đồng)2 σLương = 4,5 (triệu đồng) So sánh kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn lương tháng ta thấy lựa chọn làm kinh doanh có kỳ vọng cao hơn, nhiên có phương sai cao hơn, hay biến động nhiều hơn; làm văn phịng kỳ vọng thấp khơng có rủi ro Việc lựa chọn phương án cá nhân người làm định tùy thuộc vào tâm lý, sở thích, cá tính người Lưu ý: Ngồi việc áp dụng tính chất việc tính kỳ vọng phương sai lương tháng trường hợp lựa chọn thứ hai, đặt lương tháng Y (đơn vị: triệu đồng) có bảng phân phối xác suất sau: TXTOKT02_Bai3_v1.0014106216 Y 05=0 15=5 = 10 = 15 P 0,1 0,3 0,4 0,2 51 Bài 3: Biến ngẫu nhiên rời rạc E(Y) = 0,1 + 0,3 + 10 0,4 + 15 0,2 = 8,5 (triệu đồng) E(Y2) = 02 0,1 + 52 0,3 + 102 0,4 + 152 0,2 = 28,8 V(Y) = 28,8 – 8,52 = 20,25 (triệu đồng)2 Y 20, 25 4,5 (triệu đồng) Bạn đọc tùy chọn cách làm thuận tiện cho Ví dụ 3.12 Một doanh nghiệp sản xuất chào hàng hai nơi, độc lập Xác suất nơi đặt hàng cho doanh nghiệp 0,6 0,7 (a) Lập bảng phân phối xác suất tính kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn số đơn hàng mà doanh nghiệp nhận (b) Nếu chi phí cố định 10 triệu đồng, chi phí sản xuất cho đơn hàng 60 triệu đồng, tính kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn tổng chi phí doanh nghiệp (c) Nếu doanh thu đơn hàng 80 triệu đồng, tìm kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn lợi nhuận doanh nghiệp Giải: (a) Đặt X số đơn hàng mà doanh nghiệp nhận được, dễ thấy X (khơng nơi đặt hàng), (chỉ có nơi đặt hàng) (cả hai nơi đặt hàng) Như X = {0; 1; 2} Xác suất X = xác suất để hai nơi từ chối, đó: P(X = 0) = (1 – 0,6) (1 – 0,7) = 0,3 0,4 = 0,12 Xác suất để X = xác suất hai trường hợp: nơi thứ đặt hàng đồng thời nơi thứ hai từ chối, nơi thứ từ chối đồng thời nơi thứ hai đặt hàng, đó: P(X = 1) = 0,6 (1 – 0,7) + (1 – 0,6) 0,7 = 0,18 + 0,28 = 0,46 Xác suất để X = xác suất để hai nơi đặt hàng, đó: P(X = 2) = 0,6 0,7 = 0,42 Kiểm tra lại tính chất, ta thấy: P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) – 0,12 + 0,26 + 0,42 = Như kết thỏa mãn điều kiện bảng phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất số đơn hàng doanh nghiệp nhận là: X (Số đơn hàng) P 0,12 0,46 0,42 Từ tính kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn E(X) = 0,12 + 0,46 + 0,42 = 1,3 (đơn hàng) E(X2) = 02 0,12 + 12 0,46 + 22 0,42 = 2,14 V(X) = 2,14 – 1,32 = 0,45 (đơn hàng)2 X 0, 45 0, 67 (đơn hàng) 52 TXTOKT02_Bai3_v1.0014106216 Bài 3: Biến ngẫu nhiên rời rạc Nhận xét thấy kỳ vọng số đơn hàng tổng hai xác suất: E(X) = 1,3 = 0,6 + 0,7 Tính chất thấy rõ qua phần sau (b) Ta thấy tổng chi phí chi phí cố định cộng với tích chi phí cho đơn hàng nhân với số đơn hàng doanh nghiệp có Đặt Y tổng chi phí doanh nghiệp, đơn vị triệu đồng, ta thấy: Y = 10 + 60X Theo tính chất kỳ vọng phương sai, ta có: E(Y) = E(10 + 60X) = 10 + E(60X) = 10 + 60E(X) = 10 + 60 1,3 = 88 (triệu đồng) V(Y) = V(10 + 60X) = V(60X) = 602V(X) = 3600 0,45 = 1620 (triệu đồng)2 X 1620 40, 23 (triệu đồng) Ta giải câu (b) cách lập bảng phân phối xác suất Y, với Y nhận giá trị 10 (khơng có đơn hàng nào), 70 (có đơn hàng), 130 (có hai đơn hàng) với xác suất tương ứng 0,12; 0,46; 0,42 Việc làm cụ thể bạn đọc tự thực hiện, kết tính tốn giống tính (c) Với câu này, lợi nhuận tổng doanh thu trừ tổng chi phí Ta phải lập bảng phân phối xác suất lợi nhuận Đặt Z lợi nhuận, đơn vị triệu đồng, có trường hợp sau: Khơng có đơn hàng nào: lợi nhuận âm 10 doanh thu chi phí 10 Xác suất xảy 0,12 Có đơn hàng: lợi nhuận 10 doanh thu 80 chi phí 10 + 60 = 70 Xác suất xảy 0,46 Có hai đơn hàng: lợi nhuận 30 doanh thu 80 = 160 chi phí 10 + 60 = 130 Xác suất xảy 0,42 Bảng phân phối xác suất lợi nhuận sau: Z (Lợi nhuận) – 10 10 30 P 0,12 0,46 0,42 Từ tính kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn E(Z) = – 10 0,12 + 10 0,46 + 30 0,42 = 16 (triệu đồng) E(Z2) = ( – 10)2 0,12 + 102 0,46 + 302 0,42 = 436 V(Z) = 436 – 162 = 180 (triệu đồng)2 Z 180 13, 42 (triệu đồng) 3.4 Biến ngẫu nhiên phân phối Không – Một Trong loại biến ngẫu nhiên, biến đơn giản loại nhận hai giá trị 1, gọi biến Không – Một 3.4.1 Định nghĩa Định nghĩa 3.5: Biến ngẫu nhiên Không – Một: Biến ngẫu nhiên X nhận hai giá trị có với xác suất nhận giá trị p, gọi biến ngẫu nhiên phân phối Không – Một với tham số p, ký hiệu X ~ A(p) Như X = {0; 1} P(X = 1) = p, suy P(X = 0) = – p TXTOKT02_Bai3_v1.0014106216 53 Bài 3: Biến ngẫu nhiên rời rạc Bảng phân phối xác suất X có dạng: X P 1–p p Biến ngẫu nhiên phân phối Không – Một gọi tắt biến phân phối Không – Một Tất nhiên p Người ta định nghĩa biến phân phối Không – Một qua công thức sau: Định nghĩa 2: Biến ngẫu nhiên X gọi phân phối Khơng – Một có cơng thức tính xác suất sau: P ( X x) p x (1 p)1 x , x 0;1 Dễ chứng minh hai định nghĩa tương đương, theo định nghĩa thứ hai, X 1, và: P(X = 0) = p0(1 – p)1 – = – p P(X = 1) = p1(1 – p)1 – = p 3.4.2 Tham số đặc trưng Theo bảng phân phối xác suất X, ta có Kỳ vọng tốn: E(X) = (1 – p) + p = p E(X2) = 02 (1 – p) + 12 p = p Phương sai: V(X) = p – p2 = p(1 – p) Độ lệch chuẩn: X p (1 p ) Ví dụ 3.13 Với loại sản phẩm, doanh nghiệp S chiếm 70% thị phần Kiểm tra ngẫu nhiên sản phẩm thị trường, đặt X số sản phẩm doanh nghiệp S mà ta có Khi X biến ngẫu nhiên nhận hai giá trị 1; X nhận giá trị sản phẩm khơng phải doanh nghiệp S, X nhận giá trị sản phẩm doanh nghiệp S Xác suất tương ứng sau: P(X = 1) = 0,7 P(X = 0) = 0,3 Có thể nói X biến ngẫu nhiên phân phối Không – Một với tham số p = 0,7; ký hiệu X ~ A(0, 7) Từ E(X) = p = 0,7 V(X) = p(1 – p) = 0,3 0,7 = 0,21 Kỳ vọng 0,7 nghĩa kiểm tra ngẫu nhiên sản phẩm, ta kỳ vọng có 0,7 sản phẩm doanh nghiệp S Điều nghe lạ lùng, nhiên kinh tế xã hội, giá trị kỳ vọng hoàn toàn số lẻ, thập phân Ví dụ 3.14 Một người chào hàng ba nơi độc lập nhau, xác suất nơi đặt hàng 0,6; 0,7; 0,8 Tìm kỳ vọng phương sai tổng số đơn hàng người có Giải: Đặt Y tổng số đơn hàng người có được, Y = {0; 1; 2; 3} 54 TXTOKT02_Bai3_v1.0014106216 Bài 3: Biến ngẫu nhiên rời rạc Cách Bài giải theo phương pháp thơng thường, lập bảng phân phối xác suất Y: P(Y = 0) = (1 – 0,6) (1 – 0,7) (1 – 0,8) = 0,024 P(Y = 1) = (0,6) (1 – 0,7) (1 – 0,8) + (1 – 0,6) (0,7) (1 – 0,8) + (1 – 0,6) (1 – 0,7) (0,8) = 0,188 P(Y = 2) = (0,6) (0,7) (1 – 0,8) + (1 – 0,6) (0,7) (0,8) + (0,6) (1 – 0,7) (0,8) = 0,452 P(Y = 3) = (0,6) (0,7) (0,8) = 0,336 Bảng phân phối xác suất Y: Y P 0,024 0,188 0,452 0,336 Từ tính được: E(Y) = 2,1 (đơn hàng); V(Y) = 0,61 (đơn hàng)2; σY = 0,78 (đơn hàng) Cách Áp dụng biến phân phối Không – Một Xét riêng nơi mà người đến chào hàng Đặt Xi số đơn hàng người có nơi thứ i, i = 1, 2, Khi tổng số đơn hàng là: Y = X1 + X2 + X3 Suy ra: E(Y)= E(X1) + E(X2) + E(X3) V(Y)= V(X1) + V(X2) + V(X3) Dễ thấy Xi nhận giá trị (khơng chào được, khơng có đơn hàng) (chào được, có đơn hàng) Xi độc lập X1 nhận giá trị với xác suất 0,6 X1 ~ A(0,6), suy E(X1) = 0,6 V ( X ) 0, 0, 0, 24 Tương tự ta có: X2 ~ A(0,7) E(X2) = 0,7 V(X2) = 0,7 0,3 = 0,21 X3 ~ A(0,8) E(X3) = 0,8 V(X3) = 0,8 0,2 = 0,16 Vậy E(Y) = 0,6 + 0,7 + 0,8 = 2,1 V(Y) = 0,24 + 0,21 + 0,16 = 0,61 Cách tính thứ hai ví dụ khơng ngắn so với cách thứ Tuy nhiên người chào hàng nơi mà nơi, nơi cách thứ dài khó, cách thứ hai khơng khó hơn, tiếp tục thêm vào nơi mà ta có xác suất Do biến phân phối Khơng – Một có ứng dụng ta xét riêng trường hợp, trường hợp biến cố xảy không xảy Biến Không – Một thường đặc trưng cho trường hợp nghiên cứu có dạng yếu tố định tính có hai trường hợp ln phiên: Có Khơng có tính chất đó, chẳng hạn giới tính Nam – Nữ, Hồn thành – Khơng hồn thành 3.5 Biến ngẫu nhiên phân phối Nhị thức Xét ví dụ 3.14 người bán hàng ba nơi, theo cách giải thứ hai ta thấy xét kỳ vọng, phương tổng số đơn hàng, xét riêng trường hợp, trường hợp biến ngẫu nhiên phân phối Không – Một Trong ví dụ đó, xác suất bán hàng TXTOKT02_Bai3_v1.0014106216 55 Bài 3: Biến ngẫu nhiên rời rạc nơi khác nhau, 0,6; 0,7 0,8 kỳ vọng tổng số đơn hàng tổng ba xác suất đó, phương sai tổng ba phương sai thành phần Nếu xác suất bán hàng nơi 0,6 dễ thấy kỳ vọng tổng số đơn hàng 0,6 phương sai tổng số đơn hàng 0,6 0,4 Tổng quát hơn, có n nơi xác suất nơi đặt hàng p ta dễ dàng suy kỳ vọng phương sai tổng số đơn hàng Nếu người bán hàng n nơi độc lập nhau, xác suất nơi đặt hàng p, ta có trường hợp lược đồ Bernoulli xét số Từ ta có khái niệm biến ngẫu nhiên phân phối Nhị thức 3.5.1 Định nghĩa Định nghĩa 3.6 – Biến phân phối Nhị thức: Biến ngẫu nhiên rời rạc X gọi có phân phối theo quy luật Nhị thức với tham số p, ký hiệu X ~ B(n, p), X nhận giá trị: 0, 1, 2,…, n với xác suất tương ứng cho công thức Bernoulli: P ( X x) Cnx p x (1 p) n x , x 0,1, 2, , n Nếu toán thỏa mãn lược đồ Bernoulli, nghĩa được: 3.5.2 Có n phép thử độc lập Trong phép thử, xác suất xuất biến cố A không đổi P(A) = p X số lần xuất biến cố A n phép thử X phân phối theo quy luật Nhị thức Tham số đặc trưng Từ ví dụ thấy X biến ngẫu nhiên phân phối Nhị thức B(n; p) X tổng n trường hợp riêng độc lập nhau, trường hợp riêng phân phối theo quy luật Không – Một A(p) với tham số p, kỳ vọng X tổng kỳ vọng thành phần phương sai X tổng phương sai thành phần, mà kỳ vọng phương sai thành phần n X ~ B(n; p) X X i i 1 Trong Xi độc lập, Xi ~ A(p), i = 1, 2,…, n Kỳ vọng: n n E ( X ) E X i E ( X i ) np i 1 i 1 n n Phương sai: V ( X ) V X i V ( X i ) np(1 p ) i 1 i 1 Ví dụ 3.15 Một người chào hàng nơi độc lập nhau, xác suất để nơi đặt hàng 0,6 Phân phối xác suất tổng số đơn hàng, kỳ vọng phương sai số đơn hàng nào? 56 TXTOKT02_Bai3_v1.0014106216 Bài 3: Biến ngẫu nhiên rời rạc Giải: Đặt X tổng số đơn hàng, X = {0; 1; 2; 3; 4; 5} Vì có nơi độc lập, xác suất đặt hàng nhau, nên X hình thành từ lược đồ Bernoulli, X có phân phối Nhị thức với hai tham số: n = p = 0,6 Vậy X ~ B(n = 5; p = 0,6) Tham số đặc trưng là: E(X) = np = 0,6 = (đơn hàng) V(X) = np(1 - p) = 0,6 (1 - 0,6) = 1,2 (đơn hàng)2 Chỉ cần viết X ~ B(n = 5; p = 0,6) đủ thông tin, nhiên ta tính chi tiết phân phối xác suất để thấy rõ hơn, giá trị xác suất lấy từ bảng phụ lục P(X = | n = 5, p = 0,6) = 0,0102 P(X = | n = 5, p = 0,6) = 0,0768 P(X = | n = 5, p = 0,6) = 0,2304 P(X = | n = 5, p = 0,6) = 0,3456 P(X = | n = 5, p = 0,6) = 0,2592 P(X = | n = 5, p = 0,6) = 0,0778 Cách tính tính theo phương pháp xác suất biến cố đối lập P x Hình 3.3 Phân phối xác suất – Ví dụ 3.16 Qua giá trị xác suất đồ thị thấy phân bố xác suất vào giá trị biến ngẫu nhiên 3.6 Biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc Trong phần trước ta đề cập biến ngẫu nhiên xét cách riêng biệt, với biến ngẫu nhiên có giá trị rời rạc, có phân phối xác suất, tham số đặc trưng Trong thực tế biến ngẫu nhiên không hồn tồn riêng biệt mà kết hợp với nhau, ta phải xét lúc nhiều biến ngẫu nhiên Chẳng hạn đánh giá kết học môn học sinh viên KTQD, không xét biến riêng biệt điểm thi hết học phần, mà cần xét nhiều điểm thành phần: điểm chuyên cần, điểm kiểm tra, điểm hết học phần Khi đánh giá so sánh hai doanh nghiệp, không đánh giá biến nhất, mà cần xét đồng thời nhiều biến: lợi nhuận, quy mô, thị phần Khi so sánh đánh giá nhân hộ gia đình, xét đồng thời số người làm có thu nhập số người ăn theo, số người lớn số trẻ em Rất nhiều tượng kinh tế xã hội phải nhìn nhận với nhiều khía cạnh lúc, cần đến tập hợp nhiều biến ngẫu nhiên lúc Trong phạm vi môn học này, ta xét trường hợp có hai biến ngẫu nhiên xét lúc, gọi biến ngẫu nhiên hai chiều, biến rời rạc nên gọi biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc 3.6.1 Khái niệm Khi xét hai biến ngẫu nhiên X Y lúc đối tượng, ta có hệ hai biến ngẫu nhiên, gọi hệ biến ngẫu nhiên hai chiều, ký hiệu (X,Y) TXTOKT02_Bai3_v1.0014106216 57 Bài 3: Biến ngẫu nhiên rời rạc Với biến ngẫu nhiên hai chiều (X, Y), hai biến X, Y gọi hai thành phần Ví dụ 3.16 Xét nhân hộ gia đình, khơng quan tâm đến tổng số người, mà cần xem xét số người lớn (từ 18 tuổi trở lên) đồng thời với số trẻ em (dưới 18 tuổi), ký hiệu số người lớn X, số trẻ em Y, ta có hệ hai biến ngẫu nhiên (X, Y), biến ngẫu nhiên hai chiều Để đơn giản, giả sử với thành phần X, có X = {1; 2; 3}, nghĩa số người lớn tối thiểu phải 1, có người lớn gia đình, số người lớn tối đa Giả sử thành phần Y có Y = {0; 1; 2} nghĩa khơng có trẻ em, tối đa có trẻ em Khi biến ngẫu nhiên hai chiều (X, Y) cặp giá trị, từ (1;0), (1;1),…, đến (3;2), tổng cộng có trường hợp Lưu ý: Biến hai chiều phải có thứ tự Trong ví dụ trên, viết (1;2) khác với (2;1) (1;2) hộ có người lớn trẻ em (2;1) hộ có người lớn trẻ em Phân biệt biến hai chiều với tổng hai biến thành phần Với hai trường hợp (1;2) (2;1) tổng số người 3, hai trường hợp khác cấu trúc thành phần hộ gia đình Tổng qt: Nếu thành phần X có n giá trị có: X {x1 , x2 , , xn } Và thành phần Y có m giá trị có: Thì biến ngẫu nhiên hai chiều nm cặp giá trị có: ( X , Y ) ( xi , y j ), i 1, 2, , n ; j 1, 2, , m 3.6.2 Bảng phân phối xác suất hai chiều Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc thông thường có bảng phân phối xác suất bảng dạng hàng với biến ngẫu nhiên hai chiều có phân phối xác suất dạng bảng hai chiều, thành phần dòng thành phần cột Trong ô bảng xác suất tương ứng, theo điều kiện bảng phân phối xác suất tổng xác suất lòng bảng phải Ví dụ 3.17 Xét bảng phân phối xác suất số người lớn (X) số trẻ em (Y) hộ gia đình, để đơn giản biến có ba giá trị có: Y 0,05 0,1 0,05 0,1 0,2 0,15 0,05 0,2 0,1 X Với bảng giải thích sau: Với dịng X = 1, cột Y = có với giá trị 0,01 nghĩa xác suất để hộ gia đình có người lớn khơng có trẻ em 0,05, hay P(X = 1; Y = 0) = 0,05 Tương tự, ô ứng với dòng X = cột Y = 0,2 cho biết P(X = 2; Y = 1) = 0,2 Nếu tính tổng số số xác suất lòng bảng, tổng xác suất Nếu khơng khơng phải bảng phân phối xác suất 58 TXTOKT02_Bai3_v1.0014106216 Bài 3: Biến ngẫu nhiên rời rạc Tổng quát: Nếu X có n giá trị: X {x1 , x2 , , xn } , Y có m giá trị: Y { y1 , y2 , , ym } bảng phân phối xác suất hai chiều có n dịng m cột, ô là: pij P( X xi ; Y y j ) với i = 1,2,…, n; j = 1,2,…, m Điều kiện bảng là: pij n m p i 1 j 1 3.6.3 ij 1 Bảng phân phối xác suất biên Từ bảng phân phối xác suất hai chiều, tính bảng phân phối xác suất thành phần cách tính tổng xác suất theo dịng theo cột Các bảng phân phối xác suất thành phần cộng ngồi bảng nên gọi bảng phân phối xác suất biên Với bảng phân phối xác suất biên, ta tính tham số đặc trưng thành phần với biến ngẫu nhiên thơng thường Ví dụ 3.17 (tiếp) Từ bảng phân phối xác suất hai chiều X Y cộng ngang theo dịng cộng dọc theo cột, bảng sau: Y Tổng 0,05 0,1 0,05 0,2 0,1 0,2 0,15 0,45 0,05 0,2 0,1 0,35 Tổng: PY 0,2 0,5 0,3 Tổng = X PX Ta thấy tổng dịng thứ 0,2 tổng xác suất ứng với X = 1, Y Như P(X = 1) = 0,2 Tương tự có P(X = 2) = 0,45 P(X = 3) = 0,35 Tổng cột thứ 0,2 tổng xác suất ứng với Y = X nào, hay P(Y = 0) = 0,2; tương tự P(Y = 1) = 0,5 P(Y = 2) = 0,3 Từ ta có hai bảng phân phối xác suất biên X Y Bảng phân phối xác suất biên X: X PX 0,2 0,45 0,35 Do tính được: E(X) = 0,3 + 0,45 + 0,35 = 2,15 V(X) = 12 0,3 + 22 0,45 + 32 0,35 – 2,152 = 0,5275 Y 0,5275 0, 73 Như số người lớn có kỳ vọng 2,15 (người), phương sai 0,5275 (người)2, độ lệch chuẩn 0,73 (người) Bảng phân phối xác suất biên Y: TXTOKT02_Bai3_v1.0014106216 Y PY 0,2 0,5 0,3 59 Bài 3: Biến ngẫu nhiên rời rạc Do tính được: E(Y) = 0,2 + 0,5 + 0,3 = 1,1 V(Y) = 02 0,2 + 12 0,5 + 22 0,3 – 1,12 = 0,49 Y 0, 49 0, Như số trẻ em có kỳ vọng 1,1 (người), phương sai 0,49 (người)2, độ lệch chuẩn 0,7 (người) 3.6.4 Hệ số tương quan Khi xét hai biến ngẫu nhiên lúc thành biến ngẫu nhiên hai chiều, ý nghĩa quan trọng phân tích quan hệ qua lại hai thành phần Để đánh giá hai thành phần biến ngẫu nhiên hai chiều liên quan với có chặt chẽ hay khơng, người ta tính tham số gọi hệ số tương quan Tuy nhiên để tính hệ số tương quan, cần tính tham số hiệp phương sai hai biến ngẫu nhiên thành phần Nếu phương sai đo độ phân tán, dao động biến ngẫu nhiên thành phần, hiệp phương sai dùng để đo độ phân tán, dao động kết hợp hai biến ngẫu nhiên với Định nghĩa 3.7 – Hiệp phương sai: Hiệp phương sai hai biến ngẫu nhiên X Y, ký hiệu Cov(X,Y), tính theo công thức sau: Cov( X , Y ) E X E ( X ) Y E (Y ) Chứng minh được: Cov( X , Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y ) Với biến rời rạc thì: E ( XY ) xi y j pij n m i 1 j 1 Chi tiết ý nghĩa hiệp phương sai bạn đọc xem giáo trình Tại ta tập trung việc tính hệ số tương quan Định nghĩa 3.8 – Hệ số tương quan: Hệ số tương quan hai biến ngẫu nhiên X Y, ký hiệu XY tính theo cơng thức: XY Cov( X , Y ) X Y (Chữ đọc “rô” tiếng Việt, “rho” tiếng Anh) Chứng minh hệ số tương quan nằm đoạn đến 1: XY Hệ số XY gọi hệ số đo mức độ tương quan hai biến ngẫu nhiên Tương quan hiểu có liên quan qua lại với theo xu thẳng Vì có trường hợp sau: XY = 1: X Y có tương quan chiều chặt chẽ nhất, dạng đường thẳng dốc lên 60 < XY < 1: X Y có tương chiều, gần chặt chẽ, gần yếu XY = 0: X Y tương quan – < XY < 0: X Y có tương quan ngược chiều, gần – chặt chẽ, gần yếu XY = – 1: X Y có tương quan ngược chiều chặt chẽ nhất, dạng đường thẳng dốc xuống TXTOKT02_Bai3_v1.0014106216 Bài 3: Biến ngẫu nhiên rời rạc Ví dụ 3.17 (tiếp) Tính hệ số tương quan số người lớn số trẻ em Ta tính đại lượng n m E ( XY ) xi y j pij i 1 j 1 Giá trị xi y j pij tức số đầu hàng nhân với số đầu cột nhân với xác suất cột tương ứng với hàng cột Do với ví dụ này: E(XY) = 0,05 + 0,1 + 0,05 + 0,1 + 0,2 + 0,15 + 0,05 + 0,2 + 0,1 = 2,4 Suy hiệp phương sai: Cov(X,Y) = E(XY) – E(X)E(Y) = 2,4 – 2,15 1,1 = 0,035 Hệ số tương quan: XY Cov( X , Y ) 0, 035 0, 07 X Y 0, 73 0, Như số người lớn số trẻ em có tương quan chiều, yếu Ví dụ 3.18 Từ kết phân tích số liệu thống kê tháng doanh số bán hàng (D) chi phí cho quảng cáo (Q) (đơn vị triệu đồng) công ty, thu bảng phân phối xác suất đồng thời sau: D 100 200 300 0,15 0,1 0,04 1,5 0,05 0,2 0,15 0,01 0,05 0,25 Q (a) Tính giá trị trung bình phương sai doanh số bán hàng (b) Tính giá trị trung bình phương sai chi phí cho quảng cáo Giải: Từ bảng phân phối xác suất đồng thời ta có bảng phân phối xác suất doanh số bán hàng chi phí cho quảng cáo sau: D 100 200 300 P 0,21 0,35 0,44 Q 1,5 P 0,29 0,4 0,31 Từ ta có: (a) Giá trị trung bình phương sai doanh số bán hàng là: E(D) = 100 0,21 + 200 0,35 + 300 0,44 = 223 E(D2) = 1002 0,21 + 2002 0,35 + 3002 0,44 = 55700 V(D) = E(D2) – [E(D)]2 = 5971 (b) Giá trị trung bình phương sai chi phí cho quảng cáo là: E(Q) = 0,29 + 1,5 0,4 + 0,31 = 1,51 E(Q2) = 12 0,29 + 1,52 0,4 + 22 0,31 = 2,43 V(Q) = E(Q2) – [E(Q)]2 = 0,1499 TXTOKT02_Bai3_v1.0014106216 61 Bài 3: Biến ngẫu nhiên rời rạc Tóm lược cuối Biến ngẫu nhiên phân phối Không – biến ngẫu nhiên nhận hai giá trị có với xác suất nhận giá trị p, gọi biến ngẫu nhiên phân phối Không – với tham số p, ký hiệu X ~ A(p) Biến ngẫu nhiên rời rạc X gọi có phân phối theo quy luật nhị thức với tham số p, ký hiệu X ~ B(n, p), X nhận giá trị: 0, 1, 2,…, n với xác suất tương ứng cho công thức Bernoulli: P ( X x) Cnx p x (1 p) n x , x 0,1, 2, , n Khi xét hai biến ngẫu nhiên X Y lúc đối tượng, ta có hệ hai biến ngẫu nhiên, gọi hệ biến ngẫu nhiên hai chiều, ký hiệu (X,Y) Với X, Y biến ngẫu nhiên rời rạc (X,Y) biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc Xác suất biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc phân phối dạng bảng phân phối xác suất đồng thời Từ bảng tính kì vọng, phương sai thành phần, hiệp phương sai hệ số tương quan hai thành phần Hệ số tương quan đo mức độ tương quan hai biến ngẫu nhiên Tương quan hiểu có liên quan qua lại với theo xu thẳng 62 TXTOKT02_Bai3_v1.0014106216 Bài 3: Biến ngẫu nhiên rời rạc Câu hỏi ôn tập Biến ngẫu nhiên gì? Có loại biến ngẫu nhiên? Bảng phân phối xác suất gì? Tính chất nào? Kỳ vọng biến ngẫu nhiên rời rạc tính nào? Nó cho biết điều gì? Phương sai biến ngẫu nhiên rời rạc tính nào? Ý nghĩa phương sai? Độ lệch chuẩn tính nào? Tại phải tính độ lệch chuẩn? Thế biến ngẫu nhiên phân phối Khơng – Một, tham số tính nào? Thế biến ngẫu nhiên phân phối Nhị thức, tham số tính nào, xác suất tính nào? Thế biến ngẫu nhiên hai chiều? Tính chất bảng phân phối xác suất hai chiều bảng phân phối biên nào? 10 Hệ số tương quan tính cho biết điều gì? TXTOKT02_Bai3_v1.0014106216 63
Ngày đăng: 16/12/2021, 12:41
Xem thêm: