CHUYÊN ĐỀ TOÁN LOGIC VÀ RỜI RẠC

CHUYÊN ĐỀ TOÁN LOGIC VÀ RỜI RẠC

Chuyên đ :Toán Logic& R i r |1 c Lê Trần Nh c Long ( Chủ Biên) ậ Trần Nguyễn Quc C ng Chuyên đề Toán logic rời rạc Đà Nẵng 1/2011 ⎈ Chuyên đ :Toán Logic& R i r |2 c Lời nói đầu Thng cú tt lời giải ngắn hay c a toán (P.Erdos) Hiện toán v lí thuy t tổ h p ngày xa l v i học sinh vƠ có xa l v i nhi u b n học sinh chun tốn, b n cịn e ng i nhìn vào tốn “ dao to búa l n” sao? Khơng hiểu h t đ hay khó q Đi u cƠng n cho ng i tị mị ham học hỏi muốn lao vào Những tốn tổ h p đ u lƠm cho ng i rèn m t t cao, nh câu hỏi IQ thú vị Có m t số tốn b n s nghĩ u hiển nhiên mà chứng minh l i khó q? Đó lƠ m u chốt v n đ m t toán tổ h p Để làm tốt bƠi tốn nƠy địi hỏi b n m t t cao, suy lu n tinh t , sắc bén Để đ c nh v y yêu cầu b n m t luyện t p Trong vi t , xin đ c p đ n m t số v n đ s c p phổ bi n toán tổ h p để mong phần truy n t i đ n m t số b n yêu toán dễ dàng ti p c n vƠ e ng i h n v i toán tổ h p Vì ki n thức cịn h n hẹp nên có m t vài sai xót , mong b n thông c m Qua đơy xin gi i thiệu v i b n m t số website cho b n yêu toán: w.w.w.diendantoanhoc.net;( Diễn đàn VMF) m t số diễn đƠn khác nh : w.w.w.mathscope.org ; w.w.w.mathlinks.ro ; w.w.w.math.vn… b n s học hỏi đ c nhi u kinh nghiệm ti p xúc v i b n bè bốn ph ng Cuối xin trân trọng c m n anh Ph m Hy Hi u ( Sinh viên đ i học ngo i th ng SƠi Gòn- Huy ch ng b c IMO 2009) , anh Võ Quốc Bá C n (sinh viên Đaị học Y D c Cần Th ) đƣ sửa chữa, đóng góp giúp tơi hoƠn thƠnh bƠi vi t này.C m n b n đƣ đón đọc vi t tơi Mọi ý ki n đóng góp xin gửi v đựa chỉ: winwave1995@yahoo.com.vn liên hệ trực ti p qua nick yahoo: winwave1995 Lê Trần Nh c Long Chuyên đ :Toán Logic& R i r c |3 M CL C L i nói đầu…………………………………………………………………………… Problem 1:Các toán gi i đồ thị Lê Trần Nhạc Long……………………………………………………………………… …… Problem 2:Các tốn gi i tơ màu Lê Trần Nhạc Long………………………………………………………………………………………10 Problem 3: Nguyên lí b t bi n, đ n bi n Lê Trần Nhạc Long……………………………………………………………………………18 Problem 4: Nguyên lí cực h n Trần Nguyễn Quốc Cường………………………………………………………… ………26 Problem 5: Nguyên lí Dirichlet ứng d ng Lê Trần Nhạc Long, Võ Quốc Bá Cẩn………………………………………………………41 Problem 6:Các tốn v trị ch i Trần Nguyễn Quốc Cường……………………………………………………………………53 Problem 7:Gi i thiệu v định lí Ramsey-số Ramsey Lê Trần Nhạc Long…………………………………………………………………………….58 M t số t p tổng h p……………………………………………………………… 60 Tài liệu tam kh o……………………………………………………………………….63 Chuyên đ :Toán Logic& R i r |4 c Problem 1: Lý thuy t đồ thị “Toán học người hai đỉnh nối với đoạn thẳng” Lê Trần Nh c Long Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn –tp Đà Nẵng Lý thuy t đồ thị nói chung , đặc biệt đồ thị tơ mƠu đ không mẫu mực hiệu qu đặc biêt Tổ Hợp Đại Số c v n d ng để gi i toán Ta s thể mối qua hệ gi thi t tốn khơng gian có khẳng định t ng ứng v đồ thị tơ mƠu để có v n d ng g i quy t hàng lo t bƠi toán đ c xét Và ta s đ n bƠi tốn sau để hiểu rõ thêm v lí thuy t đồ thị Ví d 1: phịng có người ch ng minh tồn lại người đôi quen đôi không quen Gi i: xét điểm mặt phẳng Chọn điểm b t kì ta dùng đo n nối li n điểm thể quen vƠ vƠ điểm nối nét đứt v i không quen Bây gi ta xét điểm O,A,B,C,D,E l y O làm tâm , Trong điểm l i , ta th y ng i b t kì quen , khơng quen , hình theo ngun lí Dirichlet tồn t i nh t đ ng thẳng nét li n từ O đ n điểm A,B,C,D,E đ ng nối nét đứt Bây gi ta cần xét quen th t v y n u điểm A,B,C mà nối l i v i ta đ c tam giác có đỉnh O => thỏa mãn tốn, n u khơng nối l i điểm A,B,C s nối nét đứt lƠ u ph i chứng minh V y ln tìm đ c ng i đôi m t quen không quen Nhận xét: để lời giải ngắn gọn ta dùng thêm mệnh đề Đại số , A B  A B Bây gi câu hỏi đặt ta tổng quát bƠi toán nƠy lên n ng i mà có k ng i đơi m t quen m ng i đôi m t không quen đ c không? Đáp án s đ c tr l i phần sau Chuyên đ :Toán Logic& R i r c |5 Ví d 2: có 17 nhà tốn học viết thư cho , viết đề tài khác người phải viết thư cho người cịn lại biết, cặp nhà tốn học viết thư trao đổi đề tài Ch ng minh có nhà tốn học viết thư cho trao đổi đề tài Gi i: t t ng nh bƠi toán trên.chọn 17 điểm mặt phẳng vƠ đặt tên OA1 , OA2 , , OA6 Và điểm b t kì ta dùng mƠu đỏ nối hai điểm trao đổi đ tài thứ nh t , màu xanh đ tài thứ vàng đ tài thứ Gi sử c nh đ c tô nhi u nh t lƠ mƠu đỏ theo ngun lí Dirichlet 16 c nh có nh t c nh đ c tô mƠu đỏ gi sử lƠ c nh OA1 , OA2 , , OA6 sáu điểm n u có điểm đ c nối v i mƠu đỏ t o than tam giác mƠu đỏ có đỉnh O tức lƠ đƣ có ng i trao đổi đ tài Bây gi xét điểm nƠy khơng có điểm đ c nối v i mƠu đỏ ph i nối v i màu xanh vàng theo ví d ln tồn t i điểm điêm đ c nối b i màu xanh màu vàng.V y toán đ c chứng minh  Ví d 3:(ví dụ khơng mang tính đồ thị mà dựa vào tư tưởng c a nó) Trong nhóm gồm 2n+1 người , với n người tồn người 2n+1 người quen n người Ch ng minh a) Có n+1 người đội quen b) Tồn người quen hết tất người Gi i: a) Ta s quy n p: rõ có ng i quen , gi sử có k ng i đơi m t quen (k ≤ n ) tồn t i ng i quen k ng i theo gi thi t => có k+1 ng i đơi m t quen Do tồn t i n+1 ng i đôi m t quen b) Xét n ng i cịn l i câu a tồn t i ng i n+1 ng i nƠy quen n ng i suy ng i quen t t c ng i l i Chuyên đ :Toán Logic& R i r c |6 BÀI T P: Bài 1.1:(TST Hong Kong 1999) Các học sinh phát kiểm tra , môn , n (n≥ 3)môn học Biết với mơn học có học sinh đạt điểm tối ưu ,cịn với hai mơn tùy ý có học sinh đạt điểm tối ưu cho mơn hai mơn Hãy xác định n bé cho từ điều kiện suy có học sinh đạt điểm tối ưu cho môn n môn học (ĐS:8) Bài 1.2:Có trường học, trường học có n học sinh Một học sinh có tổng số người quen từ hai trường học n+1 Ch ng minh chọn trường học sinh cho học sinh đôi quen Bài 1.3:trong phịng có người, người ln tìm người quen người không quen Ch ng minh nhóm người ngồi quanh bàn tròn cho người quen hai người ngồi cạnh Bài 1.4: Trong phịng có người , biết người có người quen Ch ng minh rằng, tìm người mà người số quen Bài 1.5:(Trần Nam Dũng-Preparation VMO-2010) Cho 2010 tập hợp, tập hợp ch a 45 phần tử Biết hợp c a hai tập hợp ch a 89 phần tử Hỏi hợp c a tất tập hợp nói ch a phần tử? L I GI I CÁC BÀI T P DÙNẢ Đ TH Bài 1.1:(TST Hong Kong 1999) Các học sinh phát kiểm tra , môn , n (n≥ 3)mơn học Biết với mơn học có học sinh đạt điểm tối ưu ,cịn với hai mơn tùy ý có học sinh đạt điểm tối ưu cho môn hai mơn Hãy xác định n bé cho từ điều kiện suy có học sinh đạt điểm tối ưu cho môn n môn học Gi i: Ta s biểu thị học sinh m t điển mặt phẳng cho khơng có điểm thẳng hàng , hai học sinh đ t điểm tối u cho m t mơn nƠo ta s nối hai điểm t ng ứng l i v i Nh v y mơn ta s có nh t m t tam giác Vì hai mơn b t kì ln có học sinh đ t điểm tối u cho c mơn nên hai tam giác ln có chung đỉnh Ta có nhận xét sau: n u tam giác có chung m t đỉnh t t c tam giác đ u có ching đỉnh Th t v y b i n u khơng tam giác thứ có chung đỉnh v i tam giác t o thành tứ giác => vơ lí! Bây gi xét tam giác b t kì s có chung đỉnh v i m t tam giác cịn l i theo ngun lí Dirichlet tồn t i m t đỉnh tam giác đƣ chọn có chung Chun đ :Tốn Logic& R i r c |7 n  2 đỉnh v i nh t   tam giác khác Theo nh n xét ta cần   n  2 n  2          n  V y n nhỏ nh t Bài 1.2:Có trường học, trường học có n học sinh Một học sinh có tổng số người quen từ hai trường học n+1 Ch ng minh chọn trường học sinh cho học sinh đôi quen Gi i: Trong tr ng ta chọn học sinh có số ng i quen k (k ≤ n) nhi u nh t v i m t hai tr ng kia.Gi sử ng i lƠ A quen k học sinh tr ng thứ Khi s quen n-k+1 học sinh tr ng thứ 3.Xét học sinh B tr ng số nằm số ng i quen A, n u B quen ng i học sinh C tr ng thứ nằm k ng i quen A A,B,C lƠ ng i cần tìm Cịn n u B quen C không nằm k ng i quen A B s quen khơng q n-k học sinh tr ng thứ => B s quen khơng h n (n+1)-(n-k)=k+1 học sinh tr ng Mà theo cách chọn k k số l n nh t => mâu thu n v y toán đ c chứng minh Bài 1.3:trong phịng có người, người ln tìm người quen người khơng quen Ch ng minh nhóm người ngồi quanh bàn tròn cho người quen hai người ngồi cạnh Gi i: Chuyên đ :Toán Logic& R i r xét ng i lƠ điểm Mặt phẳng ng thành m t ngũ giác lồi ABCDE ta s thể đ ng i b t kì ng đ |8 c i s lƠ điểm ko thẳng hàng t o c nối li n quen nét đứt ko quen ta s chứng minh hình lƠ u cần chứng minh th t v y n u ta đƣ ng i quen v i ng i ngồi c nh gi sử ng i l i quen v i ng i đối diện ti p theo gi i sử nh A quen B E mà n u A quen c C Tam giác ACE thỏa mƣn đ bƠi nh ng ABC ko s ko có ng i ko quen cách s p nh lƠ nh t để thỏa nãm yêu cầu toán Bài 1.4: a) Trong phịng có người , biết người có người quen Ch ng minh rằng, tìm người mà người số quen Gi i: Trên mặt phẳng ta l y điểm n u điểm đ c tô mƠu đỏ thể quen màu xanh thể khơng quen có tr ng h p x y TH1: n u tồn t i m t điểm có chung đỉnh v i h n c nh màu xanh ,gi sử c nh lƠ OA1 , OA2 , OA3 , OA4 ng i b t kì có hai ng i quen nên điểm OA1 , OA2 , OA3 , OA4 , khổng thể nối v i c nh xanh th chings đ u ph i nối v i mƠu đỏ => điểm l p thành m t tứ giác có c nh vƠ đ mƠu đỏ , đơy lƠ ng i đôi m t quen ng chéo TH2:n u tồn t i m t điểm có chung đỉnh v i khơng q c nh màu xanh , theo ngun lí Dirichlet tồn t i nh t m t đỉnh lƠ đầu mút hai c nh màu xanh , ví d lƠ H, suy ph i lƠ đầu mút c nh , mà theo ví d m t đỉnh chứa c nh y tồn t i đỉnh nối v i mƠu đỏ khơng tồn t i điểm nối v i mà xanh ( gi thi t) , nh v y điểm h p v i H thành m t tứ giác có c nh đ ng chéo nối v i thành c nh mƠu đỏ => đơy lƠ điểm cần tìm Bài 1.5:(Trần Nam Dũng-Preparation VMO-2010) Cho 2010 tập hợp, tập hợp ch a 45 phần tử Biết hợp c a hai tập hợp ch a 89 phần tử Hỏi hợp c a tất tập hợp nói ch a phần tử? Gi i: Do h p hai t p h p b t kỳ chứa 89 phần tử nên giao hai t p h p b t kỳ chứa phần tử Ta chọn m t t p h p A0 gồm 45 phần tử : X  {x1 , x2 , , x45} Do 2009 t p h p l i, t p h p đ u chứa phần tử A0 nên theo nguyên lí Dirichlet suy có m t phần tử X (gi sử x1) nằm nh t  2009   45    45 t p h p Đặt 45 t p h p A1 , A2 , … , A45 Chuyên đ :Toán Logic& R i r c |9 Suy x1 nằm nh t 46 t p h p (bao gồm 45 t p h p A1 , A2 , … , A45 t p h p A0) Ta chứng minh t t c t p h p l i đ u x1 ph n chứng : gi sử tồn t i m t t p h p B không chứa x1 (B nằm số 2010 t p h p xét vƠ khác A0 , A1 , A2 , … , A45 ) Lần l t xét giao B v i A0 , A1 , A2 , … , A45 : | B  A0 | b0 ; | B  A1 | b1 ; … ; | B  A45 | b45 Nh n th y t p h p Ai (i  0,1, 2, , 45) đƣ có chung m t phần tử x1 vƠ khơng có chung phần tử khác, từ phần tử bi (i  0,1, 2, , 45) đơi m t phân biệt V y B có nh t 46 phần tử (vơ lí) Đi u gi sử vơ lí nên t t c t p h p 2010 t p xét đ u chứa x1 Do h p của t t c t p h p xét có : (2010.45-2009) phần tử Chun đ :Tốn Logic& R i r | 10 c Problem 2: Tô màu “Tốn học mn màu” Tơ màu mang m t khái niệm biểu diễn t ng tự nh đồ thị nh ng mang tính trừu t ng h n, tô mƠu không tô màu mà lƠ đánh số hay đặt khái niệm cho m t tính ch t nƠo bƠi toán Bây gi ta đ n v i bƠi tốn sau đơy Ví d 1: ( Kiểm tra 15’-10A2-LQĐ 2010)Cho hình chữ nhật 3×7 chia thành 21 ô Mỗi ô tô màu xanh đỏ ch ng minh tồn hình chững nhật khơng tầm thường có đỉnh tô màu Gi i: Cách 1: ( Lê Trần Nhạc Long) Ta gi sử số ô đ c tô mƠu đỏ nhi u h n số ô đ có nh t 11 đ c tơ mƠu đỏ c tơ màu xanh , theo ngun lí Dirichlet Bây gi ta xét cách tô mƠu đỏ N u tồn t i m t c t có đ c tơ màu số màu cịn l i theo nguyên lí Dirichlet s tồn t i nh t m t c t có đ c tơ màu c t có tơ mƠu đỏ c t có tơ mƠu đỏ t o thành hình chữ nh t cần tìm Do ta xét c t có nhi u nh t đ c t có ô đ c tô mƠu đỏ Xét theo hang ngang ta có c tơ mƠu đỏ, theo ngun lí Dirichlet có  cách tơ cho c t mà ta l i có cách tơ nên theo ngun lí Dirichlet có cách tô trùng hai cách tô nàylà hai c t t o thành hình chữ nh t có đỉnh đ c tô màu