BÀI TẬP TOÁN RỜI RẠC TÀI LIỆU HỌC TẬP THEO HỌC CHẾ TÍN CHỈ DÀNH CHO SINH VIÊN KHOA CNTT

BÀI TẬP TOÁN RỜI RẠC TÀI LIỆU HỌC TẬP THEO HỌC CHẾ TÍN CHỈ DÀNH CHO SINH VIÊN KHOA CNTT

BÀI T P Toán r i r c TƠi li u h c t p theo h c ch tín dành cho sinh viên Khoa CNTT Phiên 1.0 2011 M CL C CH NG 1: C S LOGIC CH NG 2: PH NG PHÁP Đ M CH NG 3: QUAN H CH NG 4: Đ I S BOOLE N I DUNG B SUNG: PH NG PHÁP HÀM SINH Đ THI TR C NGHI M GI A Kǵ (THAM KH O) 24 Đ THI K T THÚC MỌN H C (THAM KH O) 25 M T S Đ THI THAM KH O TR NG KHÁC 26 Bài tập toán r i r c CH NG 1: C S LOGIC Lập bảng chân trị mệnh đề đúng: a x  (y  z)  x b [(a  b)  (c  b)]  (a  c) c [m  (n  p)]  (m  p) d [ p  (r  p)]  [( p  q)  (r  p)] Áp dụng luật logic để rút gọn mệnh đề đâu công thức hằng: a (a  c)  (b  c)  (a  b) b [( x  y)  (y  z)]  ( x  z) c m  (n  p)  (m  n  p) d [[(m  n)  p]  [(m  p)  p]]  n Một x thủ bắn cung vào mục tiêu, kết thể theo mệnh đề sau: Pk = { Phát thứ k trúng đích} k = 1, 2, Hãy giải thích mệnh đề phức hợp sau: a P1  P2  P3 b P1  P2  P3 c (P1  P2  P3 )  (P1  P1  P3 )  (P1  P2  P3 ) d (P1  P2 )  (P1  P2  P3 )  (P1  P2  P3 ) Cho thí sinh A, B, C, D tham gia thi đấu xếp h ng Kết xếp h ng nếu: - Ngư i thứ dự đoán: B h ng nhì, C h ng ba - Ngư i thứ dự đốn: A h ng nhì, C h ng tư - Ngư i thứ dự đoán: B h ng nhất, D h ng nhì - Được biết ngư i có phần phần sai Trong chatroom, có tổng cơng ngư i An, Bình, Chinh, Dung, Yến thảo luận đề tài logic toán v i m ng Biết rằng: - Hoặc An, Bình thảo luận - Hoặc Chinh, Dung, thảo luận - Nếu Yến thảo luận Chinh Bài tập tốn r i r c - Dung An, thảo luận, khơng thảo luận - Nếu Bình thảo luận Yến An Hãy giải thích xem tất khẳng định t i thảo luận? Sau thu gọn, tìm nghiệm (x, y, z, t ) để công thức hàm sau đ t giá 0: a F  [( yt  xz)  ( xt  y z)]  [ x yt  ( y z  xt )] b F  [( x y  zt )  ( yz  xt )]  [( xz  yt )  ( y z  xt )] c F  [( x y z  yt )  ( xt  y z)]  [( yt  xz)  x y z] Chuyển tất công thức sau thành d ng chuẩn tuyển hoàn toàn chuẩn hội hoàn toàn: a (m  n)  (n  p) b [m  (n  p)]  (n  p) c n  (m  (m  n  p)) d [(m  n)  (n  m)]  (m  n) e m  (n  p)  (m  n  p) f [m  (n  p)]  [(m  p)  (n  p)] Tìm chân trị vị từ ứng v i giá trị tương ứng sau: m(x): “x > 2” n(x): “ x-1 lẻ ” p(x): “ x < ” a m(2) b n(210) c m(1)  n(3) d m(0)  n(4) e [m(7)  n(1)]  p(1) f [m(1)  n(1)]  p(1) g [m(3)  n(3)]  p(3) h m(1)  [n(1)  p(1)] Xác định chân trị vị từ sau: p(x,y) : ắx c y ” a b c d p(1,5) p(3,4) x, p( x, x) y, p( y, y) Bài tập toán r i r c e xy, p( x, y) f yx, p( x, y) g xy,( p( x, y)  p(y, x))  ( x  y) h xyz,( p( x, y)  p(y, z))  p( x, z) 10 Xác định chân trị mệnh đề sau : a x  R,[( x2  x   0)  ( x   0)] b x  R, y  R,[( x  y  1)  ( x  y  3)] c x  R, y  R, z  R,[( x  y  z )  ( x  z)] d x  R, y  R, z  R,[( x  y  z)  (2 x  y  z  0)] e x  R, y  R, z  R,[( x  y  z )  ( x  z )] f x  , y  , z  ,[( x  y  z)  (2 x  y  z  0)] g x  R, y  R, z  R,[( x2  y  z )  ( x  z)] 11 Xác định suy luận cho biết qui tắc suy diễn áp dụng: a Nếu Bình chơi Bình khơng học logic tốn Nếu Bình khơng học thi trượt mơn logic tốn Mà Bình l i chơi nên Bình thi trượt mơn logic tốn b Nếu sinh viên CNTT trư ng Đ i học Sư Ph m phải học tốn r i r c Hùng khơng học Tốn r i r c nên Hùng sinh viên ngành công CNTT trư ng Đ i học Sư Ph m c Mọi sinh viên nghiêm túc không nộp chưa làm xong Minh không nộp chưa làm xong Vậy Minh sinh viên nghiêm túc d Mọi sinh viên lư i học không chịu đến l p học thư ng xuyên Tân đến l p học thư ng xun Vì Vân sinh viên khơng lư i học 12 Dùng qui tắc suy diễn để chứng minh kết luận sau: a {p  q , (s   q) , (r  s) , p  u }  r, u b {(x  y) z , z(w  u) , (t w) , w  t } x 13 Trong trận thi đấu đối kháng võ thuật Vovinam, thí sinh tính điểm có số trọng tài phất c Ngư i ta thiết kế máy chấm điểm cho trận đấu v i thể thức thi đấu a Tìm công thức logic tương ứng v i máy chấm điểm b Hãy vẽ m ch điện tử tương ứng v i công thức (không rút gọn công thức) Bài tập toán r i r c CH NG 2: PH NG PHÁP Đ M Cho t p X={5, 6, , 200} a Có s chẵn, lẻ b Có s chia h t cho c Có s g m nh ng ch s phơn bi t d Có s khơng chứa s e Có s l n h n 101 vƠ không chứa s f Có s có ch s đ c s p tăng thực g Có s có d ng xyz  x  y, y  z Có 10 cu n sách khác nhau, có cu n sách thu c lĩnh vực tin h c, cu n sách thu c lĩnh vực toán h c, cu n sách thu c lĩnh vực văn h c a Có cách lấy cu n sách bất kǶ? b Có cách lấy cu n sách có cu n sách tin h c? c Có cách lấy cu n sách v i đủ c lo i sách? d Có cách x p cu n sách nƠy giá sách? e Có cách x p cu n sách nƠy giá sách cho theo thứ tự đƣ li t kê? f Có cách x p cu n sách nƠy giá sách cho cu n sách toán h c không đ c x p c nh nhau? M t ng i lƠm vi c máy tính đƣ quên m t đăng nh p vƠo tƠi kho n s d ng, nh m t có d ng XXXX-YYY XXXX lƠ ch s khác lấy từ 10 s , vƠ YYY lƠ ch khác lấy từ 26 ch H i tr ng h p xấu ph i th lần để có đ c m t ban đầu? Có ng i m t lúc đăng ký th tƠi tin h c lƠ A, B, C, D, E, F: a Có cách x p thứ tự thi đấu để DEF đứng c nh nhau? b Có cách x p thứ tự thi đấu để b t đầu b i A vƠ k t thúc b i F Có chu i bit b t đầu 1100? Có chu i bit bit thứ vƠ bit thứ lƠ 1? Có chu i bit đ c xuôi hay ng c đ u gi ng nhau? Có xơu nh phơn có đ dƠi b t đầu b i 110 vƠ 101? Có chu i bit b t đầu 100 có bit thứ 1? 10 Có chu i bit b t đầu 10 k t thúc b i 01? 11 Có xơu nh phơn đ dƠi 16 mƠ có s 1? 12 Các ký thự ABCDEF dùng để t o thƠnh chu i có đ dƠi lƠ 3? a Có chu i nh v y n u cho phép lặp b Có chu i nh v y n u không cho phép lặp c Có chu i b t đầu A n u cho phép lặp d Có chu i b t đầu A n u khơng cho phép lặp e Có chu i khơng chứa A n u cho phép lặp f Có chu i không chứa A n u không cho phép lặp 13 Có xơu ký tự đ c t o từ ch Telecommunication? 14 Ph ng trình x1  x2  x3  x4  23 Có b nghi m tự nhiên ( x1 , x2 , x3 , x4 ) cho  x1  15 Ph ng trình x1  x2   x10  100 Có b nghi m tự nhiên ( x1 , x2 , , x10 ) cho x1  1, x2  2, , x10  10 Bài tập toán r i r c CH NG 3: QUAN H Cho tập hợp X={a, b, c} Y = {b, c, d, e} a Tính X x Y b Tìm số quan hệ ngơi Y c Tìm số quan hệ X Y chứa (b, c), (b, d) d Hãy tìm quan hệ X có tính phản x bắc cầu khơng đối xứng e Hãy tìm quan hệ Y có tính phản x đối xứng không bắc cầu R quan hệ A = {1, 2, 3, 4, 5} v i: R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 3) , (4, 1), (4, 2), (4, 4), (5, 2), (5, 5)} R có phải quan hệ tương đương hay không? Cho R quan hệ tập hợp số tự nhiên v i R = {(x, y): x+y chẵn} Chứng minh R quan hệ tương đương Cho R quan hệ A x A v i A= {1, 3, 5, 7, 8, 9} cho : (a, b) R (c, d)  b = d a Chứng minh R quan hệ tương đương b Tìm l p tương đương chứa (1, 3) c Phân ho ch A x A thành l p tương đương tách biệt phân ho ch R R quan hệ A x A v i A = {1, 2, 3, 4, 5}: R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (2, 5), (3, 3), (3, 5) , (4, 4), (4, 5), (5, 5)} R có phải quan hệ thứ tự hay không? Cho quan hệ X={ 2, 3, 4, 5, 12, 15, 60} xác định bởi: x, y  X , x a Chứng minh y  y  kx, k  Z  quan hệ thứ tự b Tìm phần tử tối đ i, tối tiểu, l n nhất, nhỏ xác định quan hệ c Vẽ biểu đồ Hasse tương ứng Cho quan hệ A x A v i A ={2, 4, 6, 12, 24} xác định bởi: ( x, y),( z, t )  A,( x, y) ( z, t )  x  y  z  t có phải quan hệ thứ tự hay không? Nếu quan hệ thứ tự xác định phần tử tối đ i, tối tiểu, l n nhất, nhỏ xác định quan hệ Bài tập toán r i r c CH NG 4: Đ I S BOOLE Cho (A, , ) Đ i số Boole chứng minh: a b c d e f g h x  A, x  x  x x  A, x  x  x x  A, x    x x  A, x   x x, y  A, x  y  x  y x, y  A, x  y  x  y x, y  A, x  ( x  y)  x x, y  A, x  ( x  y)  x Cho U30 = (1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30) Trên U30 ta định nghĩa phép toán   sau: x, y U30 , x  y  UCLN ( x, y) x, y U30 , x  y  BCLN ( x, y) Chứng minh (U30, , ) Đ i số Boole Đơn giản hàm Bool sau vẽ m ch hàm đơn giản: a f ( x, y, z )  x y z  x y z  x y z  x y z  x y z c f ( x, y, z, t )  x y z t  x y z t  x y z t  x y z t  x y zt  x y zt  x y zt  x y z t  x y z t e f ( x, y, z, t )  x y z t  x y z t  x y z t  x y z  x y zt  y zt  x y z  y z t b f ( x, y, z, t )  x y zt  x y z t  x y z t  x y z t  x y zt  x y zt  x y zt  x y z t  x y z t d f ( x, y, z, t )  x y z  x y z  x y z t  x y z t  x y zt  y zt  x y zt  x y z t  x y t Bài tập toán r i r c PH NG PHÁP HÀM SINH Hàm sinh sáng t o thần tình, bất ng , nhiều ứng dụng tốn r i r c Nói cách nơm na, hàm sinh chuyển toán dãy số thành toán hàm số Điều tuyệt v i có tay cỗ máy l n để làm việc v i hàm số Nh vào hàm sinh, áp dụng cỗ máy vào tốn dãy số Bằng cách này, sử dụng hàm sinh việc giải tất d ng tốn phép đếm Có ngành tốn học l n nghiên cứu hàm sinh, thế, này, tìm hiểu vấn đề chủ đề Trong viết này, dãy số để ngoặc < > để phân biệt v i đối tượng toán học khác Hàm sinh Hàm sinh thường dãy số vô h ng chuỗi luỹ thừa hình thức G(x) = g0 + g1x + g2x2 + g3x3 … Ta gọi làm sinh chuỗi hình thức thơng thư ng ta coi x ký hiệu thay thay số Chỉ vài trư ng hợp ta cho x nhận giá trị thực, ta gần khơng để ý đến hội tụ chuỗi Có số lo i hàm sinh khác này, ta xét đến hàm sinh thư ng Trong này, ta ký hiệu tương ứng dãy số hàm sinh dấu mũi tên hai chiều sau  g0 + g1x + g2x2 + g3x3 +… Ví dụ, dư i số dãy số hàm sinh chúng  + 0.x + 0.x2 + 0.x3 + … =  + 0.x + 0.x2 + 0.x3 + … =  + 2x + x2 + 0.x3 + … = x2 + 2x + Quy tắc đơn giản: Số h ng thứ i dãy số (đánh số từ 0) hệ số x i hàm sinh Nhắc l i cơng thức tính tổng số nhân lùi vô h n  z  z  z   1 z Đẳng thức không v i |z|  1, lần ta không quan tâm đến vấn đề hội tụ Công thức cho công thức tư ng minh cho hàm sinh hàng lo t dãy số  + x + x2 + x3 + … = 1/(1-x) Bài tập toán r i r c  - x + x2 - x3 + … = 1/(1+x)  + ax + a2x2 + a3x3 + … = 1/(1-ax)  + x2 + x4 + … = 1/(1-x2) Các phép toán hàm sinh Phép màu hàm sinh nằm chỗ ta chuyển phép tốn thực dãy số thành phép toán thực hàm sinh tương ứng chúng Chúng ta xem xét phép toán tác động chúng thuật ngữ dãy số 2.1 Nhơn v i s Khi nhân hàm sinh v i số dãy số tương ứng, số h ng nhân v i số Ví dụ  + x2 + x4 + … = 1/(1-x2) Nhân hàm sinh v i 2, ta 2/(1-x2) = + 2x2 + 2x4 + … hàm sinh dãy số Quy t c (Quy tắc nhân v i số) Nếu  F(x)  cF(x) Chứng minh  cf0 + (cf1)x + (cf2)x2 + (cf3)x3 + … = c(f0 + f1x+f2x2 + f3x3 + …) = cF(x) 2.2 C ng Cộng hai hàm sinh tương ứng v i việc cộng số h ng dãy số theo số Ví dụ, ta cộng hai dãy số trư c  1/(1-x) +  1/(1+x)  1/(1-x) + 1/(1+x) Bây gi ta thu hai biểu thức khác sinh dãy (2, 0, 2, 0, …) Nhưng điều khơng có ng c nhiên thực chúng nhau: 1/(1-x) + 1/(1+x) = [(1+x) + (1-x)]/(1-x)(1+x) = 2/(1-x2) Quy t c (Quy tắc cộng) Nếu  F(x),  G(x)