CHƯƠNG 5: BIẾN ĐỔI Z VÀ CÁC ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH HỆ THỐNG THỜI GIAN RỜI RẠC

CHƯƠNG 5: BIẾN ĐỔI Z VÀ CÁC ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH HỆ THỐNG THỜI GIAN RỜI RẠC

CHƯƠNG 5: BIẾN ĐỔI Z VÀ CÁC ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH HỆ THỐNG THỜI GIAN RỜI RẠC ThS Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt • Biến đổi Z tín hiệu thời gian rời rạc • Biến đổi Z ngược • Hàm truyền hệ thống LTI thời gian rời rạc • Phân tích hệ thống ThS Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 5.1 Biến đổi Z tín hiệu thời gian rời rạc • Biến đổi Z hai phía tín hiệu rời rạc 𝑥𝑥(𝑛𝑛) định nghĩa sau: ∞ 𝑋𝑋 𝑧𝑧 = Ζ 𝑥𝑥(𝑛𝑛) = � 𝑥𝑥(𝑛𝑛)𝑧𝑧 −𝑛𝑛 𝑛𝑛=−∞ đó, z biến phức → Biến đổi Z chuyển tín hiệu thời gian rời rạc sang không gian phức (mặt phẳng z) • Biến đổi Z 𝑥𝑥(𝑛𝑛) tồn chuỗi biến đổi hội tụ ThS Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 5.1 Biến đổi Z tín hiệu thời gian rời rạc • Biến đổi Z phía tín hiệu rời rạc 𝑥𝑥(𝑛𝑛) định nghĩa sau: ∞ 𝑋𝑋 𝑧𝑧 = Ζ1 𝑥𝑥(𝑛𝑛) = � 𝑥𝑥(𝑛𝑛)𝑧𝑧 −𝑛𝑛 𝑛𝑛=0 • Biến đổi Z hai phía phía tín hiệu nhân giống ThS Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 5.1 Biến đổi Z tín hiệu thời gian rời rạc Vùng hội tụ biến đổi Z • Vùng hội tụ (ROC) biến đổi Z tập giá trị z −𝑛𝑛 cho chuỗi biến đổi ∑∞ hội tụ 𝑛𝑛=−∞ 𝑥𝑥(𝑛𝑛)𝑧𝑧 • Tiêu chuẩn hội tụ biến đổi Z dựa định lý Cauchy: lim |𝑥𝑥(𝑛𝑛)|1/𝑛𝑛 < ↔ ∑∞ 𝑛𝑛=0 𝑥𝑥 𝑛𝑛 < ∞ 𝑛𝑛→∞ Lưu ý: Định lý Cauchy áp dụng cho chuỗi có dạng: ∑∞ 𝑛𝑛=0 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑎𝑎0 + 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 … Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 5.1 Biến đổi Z tín hiệu thời gian rời rạc Vùng hội tụ biến đổi Z • Tiêu chuẩn hội tụ biến đổi Z đạt cách áp dụng định lý Cauchy: 𝑅𝑅𝑥𝑥− < 𝑧𝑧 < 𝑅𝑅𝑥𝑥+ đó: 𝑅𝑅𝑥𝑥− = lim |𝑥𝑥(𝑛𝑛)|1/𝑛𝑛 𝑛𝑛→∞ 𝑅𝑅𝑥𝑥+ = 1/ lim |𝑥𝑥(−𝑛𝑛)|1/𝑛𝑛 𝑛𝑛→∞ • ROC biến đổi Z miền bao hai đường trịn có bán kính 𝑅𝑅𝑥𝑥− 𝑅𝑅𝑥𝑥+ tương ứng mặt phẳng Z Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 5.1 Biến đổi Z tín hiệu thời gian rời rạc Vùng hội tụ biến đổi Z • ROC biến đổi Z số tín hiệu đặc biệt:  Các tín hiệu có chiều dài hữu hạn: ROC toàn mặt phẳng Z trừ gốc tọa độ (𝑅𝑅𝑥𝑥− = 0, 𝑅𝑅𝑥𝑥+ = ∞)  Các tín hiệu nhân có chiều dài vơ hạn: ROC tồn mặt phẳng phía ngồi đường trịn có bán kính 𝑅𝑅𝑥𝑥− (𝑅𝑅𝑥𝑥+ = ∞)  Tín hiệu phản nhân có chiều dài vơ hạn: ROC tồn miền bên đường trịn có bán kính 𝑅𝑅𝑥𝑥+ ngoại trừ gốc tọa độ (𝑅𝑅𝑥𝑥− = 0) • ROC biến đổi Z phía ROC biến đổi Z hai phía tín hiệu nhân CuuDuongThanCong.com Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU https://fb.com/tailieudientucntt 5.1 Biến đổi Z tín hiệu thời gian rời rạc Các tính chất biến đổi Z • Tính tuyến tính: Ζ 𝛼𝛼𝑥𝑥1 𝑛𝑛 + 𝛽𝛽𝑥𝑥2 𝑛𝑛 • Tính dịch thời: = 𝛼𝛼 Ζ 𝑥𝑥1 𝑛𝑛 + 𝛽𝛽Ζ 𝑥𝑥2 𝑛𝑛 Ζ 𝑥𝑥(𝑛𝑛 − 𝑛𝑛0 ) = 𝑧𝑧 −𝑛𝑛0 𝑋𝑋(𝑧𝑧) • Co dãn mặt phẳng Z: 𝑍𝑍 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑥(𝑛𝑛) = 𝑋𝑋 𝑎𝑎−1 𝑧𝑧 với ROC là: 𝑎𝑎 𝑅𝑅𝑥𝑥− < 𝑧𝑧 < 𝑎𝑎 𝑅𝑅𝑥𝑥+ CuuDuongThanCong.com Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU https://fb.com/tailieudientucntt 5.1 Biến đổi Z tín hiệu thời gian rời rạc • Tính phản xạ: với ROC là: Các tính chất biến đổi Z 𝑅𝑅𝑥𝑥+ Ζ 𝑥𝑥(−𝑛𝑛) = 𝑋𝑋(𝑧𝑧 −1 ) < 𝑧𝑧 < • Vi phân mặt phẳng z: 𝑅𝑅𝑥𝑥− Ζ 𝑛𝑛𝑥𝑥(𝑛𝑛) = • Tích chập: 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑧𝑧) −𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑍𝑍 𝑥𝑥1 𝑛𝑛 ∗ 𝑥𝑥2 𝑛𝑛 = 𝑋𝑋1 𝑧𝑧 𝑋𝑋2 𝑧𝑧 • Tính tương quan: 𝑍𝑍 𝑟𝑟𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 (𝑛𝑛) = 𝑋𝑋1 (𝑧𝑧)𝑋𝑋2 (𝑧𝑧 −1 ) CuuDuongThanCong.com Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU https://fb.com/tailieudientucntt 5.1 Biến đổi Z tín hiệu thời gian rời rạc Các tính chất biến đổi Z phía • Tính trễ thời gian: Ζ1 𝑥𝑥(𝑛𝑛 − 𝑘𝑘) = 𝑧𝑧 −𝑘𝑘 𝑋𝑋1 𝑧𝑧 + ∑𝑘𝑘𝑚𝑚=1 𝑥𝑥 −𝑚𝑚 𝑧𝑧 𝑚𝑚−𝑘𝑘 (𝑘𝑘 > 0) • Tăng thời gian: 𝑘𝑘−1 Ζ1 𝑥𝑥(𝑛𝑛 + 𝑘𝑘) = 𝑧𝑧 𝑘𝑘 𝑋𝑋 𝑧𝑧 − � 𝑥𝑥 𝑚𝑚 𝑧𝑧 −𝑚𝑚+𝑘𝑘 (𝑘𝑘 > 0) • Định lý giá trị cuối: 𝑚𝑚=0 lim 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = lim(𝑧𝑧 − 1)𝑋𝑋1 (𝑧𝑧) 𝑛𝑛→∞ 𝑧𝑧→1 ROC (𝑧𝑧 − 1)𝑋𝑋1 (𝑧𝑧) chứa đường tròn đơn vị mặt phẳng Z CuuDuongThanCong.com Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU https://fb.com/tailieudientucntt 10 5.2 Biến đổi Z ngược Tính tốn Biến đổi Z ngược Cách 3: Phương pháp khai triển đa thức hữu tỷ (1) • Khơng tính tổng quát, giả thiết 𝑋𝑋(𝑧𝑧) biểu diễn dạng 𝑁𝑁(𝑧𝑧) đa thức hữu tỷ (𝑁𝑁(𝑧𝑧) 𝐷𝐷(𝑧𝑧) đa thức 𝑁𝑁(𝑧𝑧) 𝐷𝐷(𝑧𝑧) có bậc thấp bậc 𝐷𝐷(𝑧𝑧)) • 𝑧𝑧𝑝𝑝𝑘𝑘 điểm cực X(z): 𝑧𝑧𝑝𝑝𝑘𝑘 phương trình 𝐷𝐷 𝑧𝑧 = nghiệm 15 Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 5.2 Biến đổi Z ngược Tính toán Biến đổi Z ngược Cách 3: Phương pháp khai triển đa thức hữu tỷ (2) • Nếu 𝑧𝑧𝑝𝑝𝑘𝑘 khác nhau, khai triển đa thức 𝑋𝑋(𝑧𝑧) sau: 𝑋𝑋 𝑧𝑧 = 𝐴𝐴𝑘𝑘 ∑𝑘𝑘 𝑧𝑧−𝑧𝑧𝑝𝑝𝑘𝑘 đó, hệ số 𝐴𝐴𝑘𝑘 tính sau: 𝐴𝐴𝑘𝑘 = 𝑧𝑧 − 𝑧𝑧𝑝𝑝𝑘𝑘 𝑋𝑋(𝑧𝑧)|𝑧𝑧=𝑧𝑧𝑝𝑝 𝑘𝑘 16 Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 5.2 Biến đổi Z ngược Tính tốn Biến đổi Z ngược Cách 3: Phương pháp khai triển đa thức hữu tỷ (3) • Trong trường hợp 𝑋𝑋(𝑧𝑧) có điểm cực bội, gọi 𝑅𝑅𝑘𝑘 số lần lặp điểm cực bội 𝑧𝑧𝑝𝑝𝑘𝑘 , khai triển đa thức 𝑋𝑋(𝑧𝑧) sau: 𝐴𝐴𝑘𝑘 𝑠𝑠𝑘𝑘 𝑋𝑋 𝑧𝑧 = ∑𝑘𝑘 ∑𝑠𝑠=1 𝑠𝑠 𝑧𝑧−𝑧𝑧𝑝𝑝𝑘𝑘 đó, hệ số 𝐴𝐴𝑘𝑘𝑠𝑠 tính sau: 𝐴𝐴𝑘𝑘𝑠𝑠 𝑑𝑑 = 𝑅𝑅𝑘𝑘 − 𝑅𝑅 ! 𝑠𝑠𝑘𝑘 −𝑠𝑠 𝑧𝑧 − 𝑧𝑧𝑝𝑝𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑠𝑠𝑘𝑘−𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑘𝑘 𝑋𝑋(𝑧𝑧) |𝑧𝑧=𝑧𝑧𝑝𝑝 17 Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU CuuDuongThanCong.com 𝑘𝑘 https://fb.com/tailieudientucntt 5.2 Biến đổi Z ngược Một số biến đổi Z ngược đa thức hữu tỷ (1) 𝑍𝑍 −1 𝑍𝑍 −1 𝑧𝑧 𝛼𝛼 𝑛𝑛 𝑢𝑢(𝑛𝑛) 𝑧𝑧 > |𝛼𝛼| = � 𝑛𝑛 −𝛼𝛼 𝑢𝑢(−𝑛𝑛 − 1) 𝑧𝑧 < |𝛼𝛼| 𝑧𝑧 − 𝛼𝛼 𝛼𝛼 𝑛𝑛−1 𝑢𝑢(𝑛𝑛 − 1) =� 𝑧𝑧 − 𝛼𝛼 −𝛼𝛼 𝑛𝑛−1 𝑢𝑢(−𝑛𝑛) 𝑧𝑧 > |𝛼𝛼| 𝑧𝑧 < |𝛼𝛼| 18 Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 5.2 Biến đổi Z ngược Một số biến đổi Z ngược đa thức hữu tỷ (2) 𝑧𝑧 𝑍𝑍 (𝑧𝑧 − 𝛼𝛼)𝑚𝑚+1 𝑛𝑛 𝑛𝑛 − … (𝑛𝑛 − 𝑚𝑚 + 1) 𝑛𝑛−𝑚𝑚 𝑧𝑧 > |𝛼𝛼| 𝛼𝛼 𝑢𝑢(𝑛𝑛) 𝑚𝑚! = 𝑛𝑛 𝑛𝑛 − … (𝑛𝑛 − 𝑚𝑚 + 1) 𝑛𝑛−𝑚𝑚 − 𝛼𝛼 𝑢𝑢(−𝑛𝑛 − 1) 𝑧𝑧 < |𝛼𝛼| 𝑚𝑚! −1 Lưu ý: Sẽ dễ tính biến đổi Z ngược ta khai triển 𝑋𝑋(𝑧𝑧)/𝑧𝑧 thay cho X(z) 19 Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 5.2 Biến đổi Z ngược Mối quan hệ với biến đổi Fourier • Biến đổi Fourier tín hiệu thời gian rời rạc 𝑥𝑥(𝑛𝑛) biến đổi Z vòng tròn đơn vị mặt phẳng Z → biến đổi Fourier 𝑥𝑥(𝑛𝑛) tồn ROC biến đổi Z chứa vòng trịn đơn vị • Ứng dụng: Tính biến đổi Fourier biến đổi Fourier ngược tín hiệu thời gian rời rạc thông qua biến đổi Z biến đổi Z ngược tương ứng 20 Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt