Giao trinh toan roi rac

Create by F4VN Ebook Team ! Upload and edit by lythanhthuan http://free4vn.org-lythanhthuan@gmail.com Trần Quốc Chiến Toán rời rạc hương : c 1.1 s t án học "#$ %&'!()*% + 1.1.1 Nguyên lý quy nạp toán học Giả sử với số nguyên dương n = 1,2, ta có mệnh đề lôgic S(n) hoặc sai Giả thiết a) Bước sở : S(1) b) B­íc qui n¹p : NÕu víi mäi k > 1, S(i) với i < k , S(k) ®óng Khi ®ã S(n) ®óng víi mäi n Ta minh hoạ nguyên lý qui nạp qua hình ¶nh sau : Cho mét d·y viªn bi xÕp theo thứ tự 1,2, , n, Giả sử viên bi thứ có màu đỏ với k > 1, k-1 viên bi đầu màu đỏ viên bi thứ k màu đỏ Khi ta kết luận tất viên bi màu đỏ 1.1.2 Bài toán xếp Tromino Tromino vật gồm ô vuông đơn vị kích thước 1x1 ghép lại dạng bên Cho hình B gồm nhiều ô vuông đơn vị ghép lại Ta nói hình B phủ Tromino dùng quân Tromino xếp kín hình B với điều kiện Tromino không chồng lên không phủ hình B Bàn cờ kích thước n x n gọi khuyết thiếu ô vuông đơn vị Ta chứng minh bàn cờ khuyết n x 2n cã thĨ phđ Tromino a) B­íc sở : n =1 Tromino bàn cờ khut 2x2 Bµn cê khut 4x4 cã thĨ phđ Tromino hình bên: b) Bước qui nạp : Giả thiết r»ng bµn cê khut n−1x2n−1 cã thĨ phđ Tromino Ta phải chứng minh bàn cờ khuyết 2nx2n có thĨ phđ Tromino ThËt vËy bµn cê khut nx2n cã thĨ chia thµnh bµn cê khut n−1x2n−1 nh­ sau : 2n-1 2n−1 2n Ch­¬ng Cơ sở toán học 1 Trần Quốc Chiến Toán rời rạc Bàn cờ chứa ô khuyết phủ Tromino theo giả thuyết qui nạp Quân Tromino làm cho bàn cờ khác bị khuyết Như theo giả thiết qui nạp chúng cã thĨ phđ Tromino Nh­ vËy bµn cê khut nx2n phủ quân Tromino Tổng quát ta cã thĨ chøng minh : Mäi bµn cê khut n x n víi n2 -1 chia hÕt vµ n phủ Tromino ã Bài tập Sử dụng nguyên lí qui nạp toán học chứng minh đẳng thức sau với n nguyên d­¬ng + + + + (2n − 1) = n2 12 + 22 + + n2 = n(n+1)(2n + 1)/6 1(1!) + 2(2!) + + n(n!) = (n + 1)! − n + + + =1− 2! 3! (n + 1)! (n + 1)! 12 − 22 + 32 − + (−1)n+1.n2 = (1)n+1.n(n+1) Chương Cơ sở toán học Trần Quốc Chiến Toán rời rạc 1.2 Tập hợp 1.2.1 Các khái niệm ã Định nghĩa: Khái niệm tập hợp khái niệm tảng cho toán học ứng dụng Tập hợp coi kết hợp đối tượng có chất (thuộc tính, dấu hiệu) chung Tập hợp thường ký hiệu chữ A, B, C , Các phần tử tập hợp ký hiệu chữ thường a, b, c, ể ch! x phần tử " ta viết : x ∈ " (®äc : x thc " ) Ĩ ch! x phần tử " ta viết : x " (đọc : x không thuộc " ) Tập phần tử gọi tập rỗng ký hiệu ã Biểu diễn tập hợp: # $iệt kê phần tử : A = % a, b, c & " = % x1, x2, , xn & # Biểu di'n tập hợp cách mô t¶ tÝnh chÊt : C = % n ( n lµ sè ch)n & * = % x ( x nghiệm phương trình x + 2x - = + & ã Lực lượng tập hợp: Số phần tử A, ký hiệu A card(A), gọi lực lượng tập A Nếu A < , ta nói A tập hữu hạn, A = , ta nói A tập vô hạn Trong chương trình ta giả thiết tập hợp hữu hạn ã Quan hệ bao hàm: Cho hai tập A, B Nếu phần tử thuộc A cịng thc B ta nãi A lµ tËp cđa B (hoặc A bao hàm B) ký hiệu A B Nếu A tập B ta ký hiÖu A ⊄ B NÕu A ⊂ B vµ B ⊂ A ta nãi A b»ng B ký hiệu A = B Tập tất tập A ký hiệu P(A) ã Định lý NÕu A = n , th× P (A) = 2n Chng minh Quy nạp theo n ã Định lý Quan hệ bao hàm có tính chất sau # ,hản xạ A:AA # ,hản đối xứng A, B : A ⊂ B - B ⊂ A ⇒ A = B # B.c cÇu ∀A, B, C : A ⊂ B - B ⊂ C ⇒ A ⊂ C Chương Cơ sở toán học Trần Quốc Chiến Toán rời rạc Chng minh /iển nhiên 1.2.2 Các phép toán tập hợp Cho tập A B Ta định ngh0a phép toán sau # PhÐp hiƯu: /iƯu cđa A vµ B, ký hiƯu A B lµ tËp: A1B = %xx ∈A - x∉ B& # Phần bù: Cho tập " A " ,hần bù A (trong ") tập A" = " A # PhÐp hỵp: /ỵp cđa A vµ B, ký hiƯu A ∪ B lµ tËp A ∪ B = % x  x ∈ A hc x ∈ B & # PhÐp giao: Giao cña A vµ B, ký hiƯu A ∩ B lµ tËp A∩B = %xx A - x B& # Phân hoạch: - NÕu A ∩ B = ∅, ta nãi A vµ B rêi - NÕu c¸c tËp "1, "2, , "n tho¶ A = "1 ∪ "2 ∪ "n chúng rời t2ng đôi một, ta nãi % "1, "2, , "n & lµ mét phân hoạch tập hợp A ã Định lý (nguyên lí cộng) Giả sử % "1, "2, , "n & phân hoạch tập S Khi ®ã S= "1+ "2 + + "n  Chng minh /iển nhiên ã Hệ : A B = A+ B − A ∩ B  • Định lý Cho tập A, B, C tËp vị trơ 3, ®ã ta cã : a) Lt kÕt hỵp : (A∪B)∪C = A∪(B ∪C) (A∩B)∩C = A∩(B ∩C) b) LuËt giao ho¸n : A∪B = B ∪ A A∩B = B ∩A Ch­¬ng C¬ sở toán học Trần Quốc Chiến Toán rời rạc c) Luật phân bố : A ( B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) A ∩ ( B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) d) LuËt phủ định kép A =A e) Luật đối ngẫu De Morgan: A∪ B = A ∩ B & A∩ B = A ∪ B A1 ∪ A2 ∪ ∪ An = A1 ∩ A2 ∩ ∩ An A1 ∩ A2 ∩ ∩ An = A1 ∪ A2 ∪ ∪ An Chứng minh /iĨn nhiªn 1.2.3 TÝch Đề-các ã Định nghĩa: # Tích Đề-các hai tập A, B lµ tËp A x B = % (a,b) a ∈ A - b ∈ B & # TÝch Đề-các tập "1, "2, , "n tËp "1x "2 x x "n = % (x1, x2, , xn)  x1∈ "1 - x2 ∈ "2 - - xn ∈ "n & ◊ VÝ dơ Cho A = %a, b& vµ B = %1, 2, 3& Ta cã A x B = %(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3)& vµ B x A = %(1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b)& ã Định lý Ta cã "1x "2 x x "n = "1 "2 "n ã Bài tập Chứng minh tính chất sau a A, B, C : A ⊂ B ⇒ (A C) ⊂ (B C) b ∀ A, B, C : A ⊂ B ⇒ (A∩C) ⊂ (B∩C) c ∀ A, B, C :A⊄B⇒A1B≠∅ d ∀ A, B, C : A ⊄ B vµ B ∩ C = ∅ ⇒ (A ∪ C) ⊄ (B ∪ C) Chøng minh c¸c tÝnh chÊt sau ®©y a ∀ A, B : A⊂B⇔A∩B=A- A∪B=B b ∀ A, B :A B = A ⇔ B A = B c ∀ A, B, C : A⊂ (B∪C) ⇔ A B ⊂ C d ∀ A,B, C : A⊂ B⊂ C ⇔ A∪B = B∩C Ch­¬ng Cơ sở toán học Trần Quốc Chiến Toán rời rạc Chứng minh tính chất sau a A, B, C : (AB)ìC = (A×C)∩(B×C) b ∀ A, B, C : (A∪B)×C = (A×C)∪(B×C) c ∀ A, B, C : (A B)×C = (A × C) (B × C) d ∀ A, B : A × B = ∅ ⇔ A = B = Chương Cơ sở toán học Trần Quốc Chiến Toán rời rạc 1.3 Quan hệ 1.3.1 Định nghĩa # Quan hệ hai t2 tập " vào tập * tập cña tÝch " x * NÕu " = * ta nói quan hệ (hai ngôi) " NÕu (x,y) ∈ ta viÕt x y # Quan hệ " gọi phản x¹ nÕu ∀ x ∈ " : (x,x) ∈ # Quan hệ " gọi đối xứng nÕu (x,y) ∈ ⇒ (y,x) ∈ # Quan hệ " gọi phản đối xứng (x,y) ∈ - (y,x) ∈ ⇒ x=y # Quan hệ " gọi bắc cầu (truyền øng) nÕu (x,y) ∈ - (y,5) ∈ ⇒ (x,5) ∈ ◊ VÝ dơ Quan hƯ 6®ång nhÊt7 I = %(x, x) | x ∈ "& Quan hÖ 6chia hÕt7 D = %(x, y) ∈ N2 | ∃n ∈ N, y = n.x & Quan hƯ ®ång d­ 9:modul p:: M = %(x, y) | ∃n ∈ N, x − y = n.p & ; Quan hệ 9bao hàm: tập tập tËp ", B = %(A, B) | A ⊂ B , A, B ∈ P(") & Quan hÖ 9:song song:: , = %(d, e) | d // e, d, e tập hợp đường thẳng& 1.3.2 Quan hệ tương đương phân hoạch ã Định nghĩa Quan hệ " gọi tương đương phản xạ, đối xứng b.c cầu ã Định lý Cho phân hoạch S = % "1, "2, , "n & tập " Ta định ngh0a quan hƯ trªn " nh­ sau x y ⇔ ∃ i : x ∈ "i - y ∈ "i Khi quan hệ tương đương Chng minh /iển nhiên ã Định lý Cho quan hệ tương đương "  a ∈ " & lµ mét phân hoạch " Chng minh /iển nhiên # Ghi Các tập =a> định lí gọi lớp tương đương Tập hợp lớp tương đương gọi tập thương tập " kí hiƯu lµ "/? ◊ VÝ dơ " lµ tËp 1+ viên bi màu đỏ, màu xanh, màu tr ng Gọi A tập viên bị màu đỏ, B tập viên bị màu xanh C tập viên bị màu tr.ng /iển nhiên %A,B,C& phân hoạch " chúng lớp tương đương quan hệ sau : x y ⇔ x, y cïng mµu ◊ VÝ dơ "Ðt quan hƯ 9:®ång d­ modul p:: tập số nguyên N Khi k N, + ≤ k < p ta cã =k> = % x | x = q.p + k& vµ N /? = %=+>, =1>, , =p -1>& 1.3.3 Quan hÖ thứ tự ã Định nghĩa Quan hệ hai xác định tập " gọi quan hệ thứ tự có đồng thời ba tính chất phản xạ, phản đối xứng b.c cầu Quan hệ thứ tù cã thªm tÝnh chÊt ∀ x, y ∈ " : x y y x gọi quan hệ thứ tự toàn phần Nếu quan hệ tính chất gọi quan hệ thứ tự phận Tập hợp có xác định quan hệ thứ tự gọi tập hợp s p thø tù Ta dïng kÝ hiƯu ≤ ®Ĩ ch! quan hƯ thø tù, ®ã kÝ hiƯu x ≤ y đọc 9:x bé y:: VÝ dơ Trªn tËp sè tù nhiªn N, quan hƯ 6bé bằng7 quan hệ thứ tự toàn phần, quan hệ 6chia hết7 @ quan hệ thứ tự phận ã Định nghĩa Cho A tập cña tËp s.p thø tù < ", ≤ > # ,hần tử a A gọi phần tử cực tiểu (cực đại) tập A x ∈ A, x ≤ a (a ≤ x) ⇒ x = a # ,hần tử b A gọi phÇn tư bÐ nhÊt (lín nhÊt) cđa tËp A nÕu ∀ x ∈ A, b ≤ x (x ≤ b) # ,hần tử c " gọi cận (cËn trªn) cđa tËp A nÕu ∀x # Ký hiƯu ∈ A, c ≤ x (x ≤ c) Inf(A) = % c ∈ " | c lµ cËn d­íi cđa tập A& Chương Cơ sở toán học TrÇn Quèc ChiÕn ② (9) (10) = x = = = = = = Toán rời rạc x + x.y x x +0 x + (x +x) x + (x + x) ( x + x ) + x (x + x ) + x x , luËt lu+ ®,ng (() , ®,ng thøc trªn , luËt ®)ng nhÊt (4) , luËt b& trõ (5) , luËt giao ho¸n (2) , luËt kÕt h-p (1) , luËt giao ho¸n (2) , luËt b& trõ (5) 0 = 0 + = , luËt ®)ng nhÊt (4) , luËt b& trõ (5) 1 = 1.1 = , luËt ®)ng nhÊt (4) , luËt b& trõ (5) (11) uËt de /organ §Ĩ chøng minh: x + y = x y theo định lí ta ch0 cần chứng minh (x + y).x ⋅y = (1) vµ (x + y) +x ⋅y = (11) Ta cã (x + y).x ⋅y = x ⋅y (x + y) = (x ⋅y) x + (x ⋅y) y = (y x ) x + (x ⋅y) y = y (x x) + x ⋅(y y) = y (x.x ) + x ⋅(y.y ) = y + x ⋅ = + = vµ (x + y) +x ⋅y = = = = = = ((x + y) +x )⋅((x + y) +y ) ((y + x) +x )⋅((x + y) +y ) (y + (x +x ))⋅(x + (y +y )) (y + )⋅(x + ) + 1 , luật giao hoán (2) , luật phân phèi (3) , luËt giao ho¸n (2) , luËt kÕt h-p (1) , luËt giao ho¸n (2) , luËt b& trõ (5) , lt giíi néi (*) , lt ®)ng nhÊt (4) , luËt ph©n phèi (3) , luËt giao ho¸n (2) , luËt kÕt h-p (1) , luËt b& trõ (5) , lt giíi néi (*) , lt ®)ng (4) Tiếp theo, theo đ,ng thức ta có Chương Đại số Boole Trần Quốc Chiến Toán rời rạc x + y = x y = x.y Tõ ®ã , sư dơng lt bï kÐp, suy x ⋅ y = x + y =x + y ã Định nghĩa Đối ng2u biểu thức Boole biểu thức nhận đư-c từ biểu thức đà cho cách 1, b»ng 0, + b»ng vµ b»ng + ◊ VÝ dơ §èi ng2u cđa biĨu thøc x + y = x ⋅y lµ biĨu thøc x ⋅ y = x + y ã Định lý (Nguyên lý ®èi ngÉu) §èi ng2u cđa mét ®,ng thøc Boole đ,ng thức Boole Chứng minh Giả sử T đ,ng thức Boole % chứng minh T % bao g)m dÃy đ,ng thức cho định nghĩa $ý hiệu %4 dÃy đ,ng thức đối ng2u % (chú ý m"i đ,ng thức định nghĩa có đ,ng thức đối ng2u) $hi %4 chứng minh đối ng2u T4 T Chương Đại số Boole Trần Quốc Chiến Toán rời rạc 7.1.2 Hàm Boole ã Định nghĩa Cho B = {0, 1} BiÕn x gäi lµ biÕn Boole, nÕu nã ch0 nhận giá trị B /ột hàm từ Bn vµo B, 5(x1, , xn), gäi lµ hµm Boole bËc n Các hàm Boole thư6ng đư-c biểu diễn bảng ◊ VÝ dơ 7µm : B2 → B , 5(x,y) = x = 1, y = 5(x,y) = trư6ng h-p khác ®­-c biĨu diƠn b»ng b¶ng sau x 1 0 y 1 f(x,y) 0 Các hàm Boole đư-c biểu diễn b3i biểu thức Boole ã Định nghĩa Cho B = {0, 1} víi c¸c phÐp to¸n b&, tỉng tích Boole Biểu thức Boole với biến x1, , xn, đư-c định nghĩa đệ quy sau (1) 0, 1, x1, , xn lµ biĨu thøc Boole (2) Nếu E biểu thức Boole, E biểu thức Boole (3) Nếu E1 E2 biểu thức Boole, E1 + E2 E1E2 biểu thức Boole Ví dụ Tìm bảng giá trị hàm 5(x,y,z) cho b3i biểu thức sau f(x,y,z) = x y + z Giải Các giá trị hàm cho b3i bảng sau x y z x⋅y  z 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 f(x,y,z) = x ( y +( z 1 1 ã Định nghÜa 7ai hµm Boole 5(x1, , xn) vµ g(x1, , xn) gọi Chương Đại số Boole Trần Quốc Chiến Toán rời rạc 5✇✘1, , xn) = g(x1, , xn) ∀(x1, , xn) Bn 7ai biểu thức Boole gọi tương đương , nÕu chóng c&ng biĨu diƠn mét hµm ◊ VÝ dơ C¸c biĨu thøc x ⋅ y, x ⋅ y + 0, x y tương đương ã Định nghĩa Phần bù hàm 5(x1, , xn) hàm định nghĩa sau 5(x1, , xn) = f (x1 , , xn ) ∀(x1, , xn) ∈ Bn Tỉng Boole cđa hµm 5(x1, , xn) vµ hµm g(x1, , xn) lµ hµm + g định nghĩa sau (5 + g)(x1, , xn) = 5(x1, , xn) + g(x1, , xn) ∀(x1, , xn) ∈ Bn TÝch Boole cđa hµm 5(x1, , xn) vµ hµm g(x1, , xn) lµ hµm ⋅ g ®Þnh nghÜa nh­ sau (5 ⋅ g)(x1, , xn) = 5(x1, , xn) ⋅ g(x1, , xn) ∀(x1, , xn) Bn 2n ã Định lý Số hàm Boole bậc n Chứng minh Theo quy tắc nhân có 2n n phần tử khác g)m số số 8ì hàm Boole s9 g¸n ho'c cho m"i bé sè 2n n phần tử đó, nên lại theo quy tắc nhân có 22 n hàm Boole khác đpcm Bảng sau cho số hàm Boole khác tõ bËc ®Õn bËc ( BËc ( Chương Đại số Boole Số hàm Boole 1( 25( (5 53( 294 9(* 29( 18 44( *44 0*3 *09 551 (1( −7 TrÇn Quốc Chiến Toán rời rạc 7.2 biểu diễn hàm boole toán quan trọng đại số Boole nghiên cứu Bài toán thứ là: cho giá trị hàm Boole, làm tìm biểu thức Boole biểu diễn hàm Bài toán giải cách chứng minh hàm Boole biểu diễn tổng tích Boole biến phần bù chúng .6i giải toán chứng t: hàm Boole đư-c biểu diễn cách d&ng ba toán tử Boole tích ( ), tỉng ( + ) vµ b& ( ) Bµi toán thứ hai là: liệu d&ng tập toán tử nh: để biểu diễn hàm Boole hay không Ta thấy hàm Boole đư-c biểu diễn cách d&ng ch0 toán tử Các toán có tầm quan trọng th9c tiễn việc thiết kế mạch 7.2.1 Các dạng chuẩn tắc Xét ví dụ sau Ví dụ Tìm biểu thức Boole biểu diễn hàm 5(x,y,z) g(x,y,z) có giá trị cho b¶ng sau x 1 1 0 0 y 1 0 1 0 z 1 1 f 0 0 0 g 0 0 Giải Cần phải lập biểu thức có giá trị x = z =1 & y = 0, có giá trị trư6ng h-p c#n lại, để biểu diễn hàm f Biểu thức x.y z thoả mÃn yêu cầu Để biểu diễn hàm g ta cần biểu thức b»ng x = y = & z = ho'c x = z = & y = Chương Đại số Boole Trần Quốc Chiến Toán rời rạc có giá trị trưng hợp c#n lại Biểu thức x.y.z + x.y. z thoả mÃn yêu cầu ã Định nghÜa /ét biÕn Boole ho'c b& cña nã gäi tục biến Tích Boole y1.y2 yn yi = xi ho'c yi =  xi ∀ i = 1, , n với xi biến Boole, đư-c gọi tiểu hạng (minterm) /ột tiểu hạng có giá trị ch0 yi = i = 1, , n tøc lµ xi = 1, nÕu yi = xi & xi = 0, nÕu yi = xi ∀ i = 1, , n ◊ VÝ dụ Tìm tiểu hạng có giá trị nÕu x1 = x3 = vµ x2 = x4 = x5 = trư6ng h-p c#n lại Giải Theo trên, tiểu hạng cần tìm lµ  x1 x2  x3 x4 x5 B»ng c¸ch lÊy tỉng Boole cđa c¸c tiĨu hạng phân biệt ta lập đư-c biểu thức Boole với tập giá trị cho trước Định lý sau kh,ng định hàm Boole biểu diễn tổng tiểu hạng ã Định lý Cho hµm Boole cÊp n f(x1, , xn) ≠ Gi¶ sư ;1, , ;k ∈ Bn , B = {0, 1}, giá trị thoả 5(;i) = ∀i=1, , k 8íi m"i ;i = (a1, , an), ta ®'t mi = y1 yn ®ã x j ,aj = y< =  , ∀< = 1, , n x j , a j = $hi ®ã f(x1, , xn) = m1 + m2 + + mk Chøng minh Ch­¬ng Đại số Boole Trần Quốc Chiến Toán rời r¹c íi mäi i =1, , k, ta ký hiƯu mi(a1, , an) giá trị mi sau thay xj b»ng aj víi m"i j = 1, , n Ta cã ✽ 1 , A = Ai , ∀ i = 1, , k 0 , A ≠ Ai mi(A) =  $hi ®ã víi mäi ; ∈ Bn ta cã m1(A) + m2(A) + + mk(A) = 1, nÕu ∃i: ; = ;i vµ m1(A) + m2(A) + + mk(A) = 0, nÕu ∀i: ; ≠ ;i Từ suy định lý ã Định nghĩa BiĨu diƠn f(x1, , xn) = m1 + m2 + + mk định lý gọi dạng tuyển chuẩn tắc hàm Boole f Ví dụ Tìm dạng tuyển chu=n tắc hàm 5(x,y,z) = (x + y) z Giải Trước tiên ta tìm giá trị hàm Các giá trị cho b¶ng sau x 1 1 0 0 y 1 0 1 0 z 1 1 x+y 1 1 1 0 z 1 1 (x + y) z 1 0 Tiếp theo ta tìm tiểu hạng tương ứng với giá trị cho biểu thức giá trị Ta cã m1 = x.y z , øng víi hµng thø , øng víi hµng thø m2 = x y z , øng víi hµng thø ( m3 = x y z 8Ëy 5(x,y,z) = x.y z + x y z + x y z ã Định nghĩa Tổng Boole Chương Đại số Boole 10 Trần Quốc Chiến Toán rời rạc y1 + y2 + + yn ®ã yi = xi ho'c yi = xi ∀ i = 1, , n với xi biến Boole, đư-c gọi đại hạng (maxterm) /ột đại hạng có giá trÞ ch0 yi = ∀ i = 1, , n tøc lµ xi = 0, nÕu yi = xi & xi = 1, nÕu yi = xi i = 1, , n Định lý sau kh,ng định hàm Boole biểu diễn tích đại hạng ã Định lý Cho hàm Boole cÊp n f(x1, , xn) ≠ Gi¶ sư ;1, , ;k ∈ Bn , B = {0, 1}, giá trị thoả 5(;i) = i=1, , k 8íi m"i ;i = (a1, , an), ta ®'t Mi = y1 + y2 + + yn ®ã x j y< =  x j ,aj = , ∀< = 1, , n ,aj = $hi ®ã f(x1, , xn) = /1 M2 Mk Chøng minh 8íi mäi i =1, , k, ta ký hiệu /i(a1, , an) giá trị cđa /i sau thay xj b»ng aj víi m"i j = 1, , n Ta cã 0 , A = Ai , ∀ i = 1, , k 1 , A ≠ Ai Mi(A) =  $hi ®ã víi mäi ; ∈ Bn ta cã M1(A) M2(A) Mk(A) = 0, nÕu ∃i: ; = ;i vµ M1(A) M2(A) Mk(A) = 1, i: ; ;i Từ suy định lý ã Định nghĩa Biểu diễn f(x1, , xn) = M2 Mk định lý gọi dạng hội chuẩn tắc hàm Boole f Chương Đại số Boole 11 Trần Quốc Chiến Toán rời rạc Ví dụ Tìm dạng hội chun tắc hàm 5(x,y,z) = (x + y) z Giải Trước tiên ta tìm giá trị hàm Các giá trị cho bảng sau x 1 1 0 0 y 1 0 1 0 z 1 1 x+y 1 1 1 0 z 1 1 (x + y) z 1 0 TiÕp theo ta tìm đại hạng tương ứng với giá trị cho biểu thức giá trị Ta có , øng víi hµng thø /1 = x + y + z , øng víi hµng thø /2 = x + y + z /3 = x + y + z , øng víi hµng thø , øng víi hµng thø * /4 = x + y + z /5 = x + y + z , øng víi hµng thø 8Ëy 5(x,y,z) = ( x + y + z ).( x + y + z ).(x + y + z ).(x + y + z ).(x + y + z) 7.2.2 Tính đầy đủ $ết mục cho thấy hàm Boole biĨu diƠn b»ng c¸c phÐp to¸n Boole +, , ã Định nghĩa /ột tập h-p phép toán Boole gọi đầy đủ hàm Boole ®Ịu cã thĨ biĨu diƠn b»ng c¸c phÐp to¸n cđa Như vậy, ta có ã Định lý Tập h-p phép toán { +, , } đầy đủ Ta tìm đư-c tập đầy đủ phép toán nh: không > Ta làm đư-c điều ba phép toán biểu diễn qua hai phép toán c#n lại Điều làm đư-c ta sử dụng luật de /organ Trước tiên, ta loại b: tổng Boole + cách d&ng đ,ng thức x + y = x y Chương Đại số Boole 12 Trần Quốc Chiến Toán rời rạc (suy tõ ®,ng thøc de /organ thø nhÊt x + y = x ⋅y ) Nh­ vËy, ta cã • Định lý Tập h-p phép toán { , } đầy đủ Tương t9, ta loại b: tích Boole cách d&ng đ,ng thức xãy= x+y (suy từ đ,ng thức de /organ thứ nhÊt x ⋅ y = x + y ) §iỊu chứng minh ã Định lý Tập h-p phép toán { + , } đầy đủ Chú ý: Tập { +, ã } không đầy đủ, biểu diễn x hai phép toán +, ã (bài tập) .iệu có t)n tập đầy đủ ch0 có phép toán không > Câu trả l6i t)n Ta xây d9ng phép toán ã Định nghĩa %hép toán hay N;N?: 0 , ∀( x1 , x2 ) = (1,1) 1 , ∀( x1 , x2 ) ≠ (1,1) x1 ↑ x2 = x1 N;N? x2 =  %hÐp to¸n ↓ hay N@A: 1 , ∀( x1 , x2 ) = (0,0) 0 , ∀( x1 , x2 ) ≠ (0,0) x1 ↓ x2 = x1 N@A x2 = ã Định lý Các tập h-p phép toán { } { } đầy đủ Chứng minh ập bảng giá trị biểu thức ta thÊy x =x↑x vµ x.y = (x ↑ y) (x y) Như phép toán b& nhân ã biểu diễn đư-c phép toán /'t khác tập { ã , } đầy đủ, suy tập h-p phép toán { } đầy ®đ T­¬ng t9 ta cã thĨ chøng minh x = x ↓ x , x.y = (x ↓ x) ↓ (y ↓ y) vµ x+y = (x ↓ y) ↓ (x y) Chương Đại số Boole 13 Trần Quốc Chiến Toán rời rạc suy tập hợp phép toán { } đầy đủ tập Tìm giá trị biÓu thøc sau b) + c) 0 a) d) + Tìm giá trị biến Boole x thoả phương trình sau a) x.1 = b) x + x = c) x.1 = x d) x x = Tìm giá trị biến Boole x y thoả x.y = x + y Có hàm Boole bậc * khác Chứng minh a) x + x.y = x b) x y + y z + z x = x y + y z + z x To¸n tư Boole ⊕ , đư-c gọi toán tử X@A, đư-c định nghĩa sau ⊕ = ⊕ = 1, ⊕ = ⊕ =1 ( Aót gän c¸c biĨu thøc sau a) x ⊕ b) x ⊕ c) x ⊕ x d) x ⊕ x * Chøng minh a) x ⊕ y = (x + y) x y b) x ⊕ y = x y + x y Các đ,ng thức sau hay kh«ng > a) x ⊕ y = y ⊕ x b) x ⊕ (y ⊕ z) = (x ⊕ y) ⊕ z c) x + (y ⊕ z) = (x + y) ⊕ (x + z) d) x ⊕ (y + z) = (x ⊕ y) + (x ⊕ z) Tìm đối ng2u biểu thức sau c) x.y.z + x y z a) x + y b) x y d) x z + x.0 + x 101 Cho hµm Boole B(x1, , xn) Chøng minh Bd(x1, , xn) = F (x1 , , xn ) 111 Cho hµm Boole B(x1, , xn), G(x1, , xn) Chøng minh B = ? ⇒ Bd = Gd 121 Có hàm Boole B(x,y,z) kh¸c cho B( x , y , z ) = B(x, y, z) ∀ x, y, z 131 Có hàm Boole B(x,y,z) khác cho Chương Đại số Boole 14 Trần Quốc Chiến Toán rời rạc x , y, z) = ✚(x, y , z) = ✚(x, y, z ) ∀ x, y, z 14 Tìm tích Boole biến x, y, z ho'c phÇn b& cđa chóng, biÕt r»ng tích có giá trị ch0 a) x = y = 0, z = b) x = 0, y = 1, z = c) x = 0, y = z = d) x = y = z = 15 T×m khai triĨn tổng tích hàm Boole hai biến x, y a) x + y b) x y c) d) y 1( Tìm khai triển tổng tích hàm Boole ba biến x, y, z a) x + y + z b) (x + z).y c) x d) x y 1* Tìm khai triển tổng tích hàm Boole B(x, y, z) biết B = nÕu vµ ch0 nÕu a) x = b) x.y = c) x + y = d) x.y.z = 18 Tìm khai triển tổng tích hàm Boole B(C, x, y, z) biết B = nÕu vµ ch0 nÕu mét sè lD cđa C, x, y, z có giá trị 20 Tìm khai triển tổng tích hàm Boole B(v, C, x, y, z) biÕt B = nÕu vµ ch0 số biến có giá trị lớn ho'c Chương Đại số Boole 15 Trần Quốc Chiến Toán rời rạc MụC LụC Chương : ngôn ngữ toán học 1.1 quy nạp toán học 1.1.1 Nguyên lý quy nạp toán học 1.1.2 Bài toán xếp Tromino ã Bài tập 1.2 tập hợp 1.2.1 Các khái niệm 1.2.2 Các phép toán tập hợp 1.2.3 Tích Đề-các ã Bài tập 1.3 quan hệ 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Quan hệ tương đương phân hoạch 1.3.3 Quan hệ thứ tự ã Bài tập 1.4 ánh xạ 1.4.1 Định nghĩa 1.4.2 Các phép toán ánh xạ ã Bài tập 1.5 công thức truy hồi 1.5.1 Công thức truy hồi 1.5.3 Giải công thức truy hồi phương pháp lặp 1.5.4 Giải công thức truy hồi phương trình đặc trưng ã Bài tập 1.6 hệ số nhị thức ã Bài tập 1-1 1-1 1-1 1-1 1-2 1-3 1-3 1-4 1-6 1-6 1-7 1-7 1-7 1-8 - 10 - 11 - 11 - 13 - 15 - 16 - 16 - 16 - 17 - 19 - 20 - 21 Ch­¬ng : NHẬP MÔN Tổ HợP 2.1 SƠ LƯợC LịCH Sử 2.2 BàI TOáN Tổ HợP 2.2.1 Bài toán tháp Hà nội 2.2.2 Bài toán n cặp vợ chồng 2.2.3 Bài toán đường quân ngựa 2.2.4 Bài toán hình vuông La-tinh 2.2.5 Bài toán hình lục giác thần bí Chương 3: toán tồn 3.1 số ví dụ 3.1.1 Bài toán 36 sĩ quan 3.1.2 Bài toán 2n điểm lưới n x n điểm 3.2 nguyên lý dirichlet 3.2.1 Nguyên lý Dirichlet 3.2.2 Nguyên lý Dirichlet tổng quát BàI TËP 12($32($ 2-1 2-1 2-2 2-2 2-2 2-3 2-4 2-4 3-1 3-1 3-1 3-2 3-3 3-3 3-3 3-5 i TrÇn Quốc Chiến Chương : toán đếm 4.1 CáC nguyên lý 4.1.1 Nguyên lý nhân 4.1.2 Nguyên lý cộng 4.2 cấu hình tổ hợp 4.2.1 Chỉnh hợp lặp 4.2.2 Chỉnh hợp không lặp 4.2.3 Hoán vị 4.2.4 Tổ hợp 4.2.5 Hoán vị lặp 4.2.6 Tổ hợp lặp 4.3 số tập ứng dụng 4.3.1 Bài toán đếm cách xếp chỗ 4.3.2 Bài toán đếm số đường 4.3.3 áp dụng công thức truy håi 4.4 nguyªn lý bï trõ 4.4.1 Nguyªn lý 4.4.2 Bài toán ứng dụng tập Toán rời rạc 4-1 4-1 4-1 4-2 4-4 4-4 4-4 4-5 4-5 4-6 4-6 4-8 4-8 4-9 - 11 - 13 - 13 - 14 - 18 ch­¬ng : toán liệt kê 5.1 phát biểu toán liệt kê 5.2 phương pháp sinh 5.2.1 Thứ tự từ điển phương pháp sinh 5.2.2 DÃy nhị phân độ dài n 5.2.3 Tổ hợp chập r từ n phần tử 5.2.4 Hoán vị 5.3 thuật toán quay lui 5.3.1 Nội dung thuật toán 5.3.2 Liệt kê dÃy nhị phân độ dài n 5.3.3 Liệt kê hoán vị 5.3.4 Tổ hợp chập r từ n phần tử 5.3.5 Bài toán xếp Hậu 5.3.6 Bài toán hình chữ nhật La tinh tập 5-1 5-1 5-2 Chương 6: toán tối ưu 6.1 Giới thiệu 6.1.1 Phát biểu toán tối ­u 6.1.2 Mét sè vÝ dô 6-1 6-1 6-1 6-1 6.2 thuật toán johnson giải toán lập lịch gia công máy Chương 7: đại số boole 7.1 đại số boole 7.1.1 Đại số Boole 12($32($ 5-2 5-3 5-4 5-5 5-7 5-7 5-8 5-9 - 10 - 11 - 13 - 15 6-5 7-1 7-1 7-1 ii Trần Quốc Chiến 7.1.2 Hàm Boole 7.2 biểu di n hàm boole 7.2.1 Các dạng chu!n t"c 7.2.2 Tính đầy đ# tập Chương 8: mạch tổ hợp 8.1 mạch tổ hợp 8.1.1 Định nghĩa 8.1.2 Tổ hợp cổng 8.2 cực tiểu hoá mạch 8.2.1 Bài toán cực tiểu hoá mạch 8.2.2 Phương pháp đồ $arnaugh 8.2.3 Phương pháp Quine-McCluskey 8.3 ứng dụng 8.3.1 Mạch biểu theo đa số 8.3.2 Mạch điều khiển nhiều công t"c tập Toán rời rạc 7-6 7-8 7-8 - 12 - 14 8-1 8-1 8-1 8-2 8-4 8-4 8-5 - 10 - 14 - 14 - 16 - 19 tµi liƯu tham kh¶o 12($32($ iii ... tập A" = " A # Phép hợp: /ợp A B, ký hiƯu A ∪ B lµ tËp A ∪ B = % x  x ∈ A hc x ∈ B & # PhÐp giao: Giao cđa A vµ B, ký hiƯu A ∩ B lµ tËp A∩B = %xx A - x B& # Phân hoạch: - Nếu A ∩ B = ∅, ta nãi... tinh trực giao cấp 4k % # Giả thuyết tồn suốt # k& 'Ãi đến năm !6" ba nhà toán học '( Boce, Parker, Srikanda lời giải với n = " sau đưa phương pháp xây dựng hình vuông la tinh trùc giao cÊp 4k... biểu diễn hai hình vuông với chữ hoa thường xếp cạnh nên có tên gọi toán hình vuông la tinh trực giao Euler đà nhiều công sức để tìm lời giải cho toán không thành công Vì ông đưa giả thuyết cách