Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 6: Tích phân số

Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 6: Tích phân số cung cấp cho học viên các kiến thức về khái niệm tích phân xác định và không xác định, công thức Newton-Cotes, công thức hình chữ nhật (bên trái - phải - giữa), công thức hình thang, công thức Simpson 1/3, công thức Gauss 2 điểm và 3 điểm,... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng!

Trường Đại học Cơng nghiệp thành phố Hồ Chí Minh Khoa Cơng nghệ Cơ khí Bộ mơn Cơ sở - Thiết kế Bài 6: Tích phân số Thời lượng: tiết Nội dung học Tích phân xác định không xác định x  x dx   c Tích phân khơng xác định khác số c Là biểu thức hàm số khơng có giá trị cụ thể x 0 x dx   Tích phân xác định số cụ thể Nếu hàm f(x) liên tục khoảng [a,b] F(x) nguyên hàm f(x), ta có: b  f  x  dx  F  b   F  a  a (1) Ý nghĩa tích phân xác định b I  f    f  x  dx (2) a Tích phân xác định diện tích hình giới hạn đường cong f(x) đường thẳng x=a, x=b trục x Vì phải dùng tích phân số 1) Khi hàm số cho dạng biểu thức tường minh, ngun hàm tính phương pháp giải tích để từ tính theo cơng thức (1) 2) Khi: • Hàm số xác định số lượng hữu hạn điểm rời rạc • Hàm số dạng hộp đen (tức quy trình bên nội hàm, cho phép xác định giá trị hàm biết giá trị tham biến đầu vào)  cần sử dụng phương pháp số để tính tích phân Các cách tiếp cận để tính tích phân số Trong phương pháp đóng điểm cuối (a,f(a)), (b,f(b)) sử dụng để ước tính giá trị tích phân Phương pháp hình thang Simpson Trong phương pháp mở khoảng tích phân mở rộng ngồi phạm vi điểm cuối để ước tính giá trị tích phân Phương pháp điểm cầu phương Gauss Công thức Newton-Cotes Ý tưởng Công thức NewtonCodes nằm chiến lược thay hàm số f(x) có dạng phức tạp hay dạng bảng liệu hàm gần dễ tích phân Thơng thường hàm đa thức fn(x) b b   I  f    f  x  dx  f n  x  dx  a a (3)  f x  a  a x  a x   a x n 1  a x n n 1 n  n  Quy tắc hình chữ nhật A f  a   b  a  b n  f  x  dx    f  x  x a i 1 i i 1 ba n n (4)  xi   O  h   h   f  xi   O  h  h i 1 Quy tắc hình chữ nhật A f b   b  a  b n 1 a i 2 ba h n (5) n 1  f  x  dx    f  x  x  x   O  h   h   f  x   O  h  i i i 1 i 2 i 10 Quy tắc hình chữ nhật A f  m  b  a  b  a ba h n n   xi 1  xi   f  x  dx    f    xi 1  xi    O  h   h    i 1   i 1  n x x f  i 1 i  (6)   O h     27 1 1 I  f    f  x  dx   dx x2 1 1     f   f   3   3 1   1  2 2 3  1.090909091 1.090909091  1.098612289 I  1.098612289  0.7% 28 1 1 I  f    f  x  dx   dx x2 1 1  15  f     f         9 02 15  2  1.098039216  15  f     15 2 1.098039216  1.098612289 I  1.098612289  0.052% Thu gọn hệ lực phân bố (22) 29 (23) 30 Cho dầm chịu tải phân bố hình Lực phân bố thu gọn lại thành lực tổng FR Hãy xác định giá trị lực tổng vị trí xC tính từ lề O bên trái Sử dụng tất phương pháp học Slide với khoảng chia đoạn n=8 1) Tính xác: Exact R F   32 32   x dx   x  x   24    43.59591794 3  0    5/2  52 x  x x  x dx   72   0  0     3.269693847 Exact Exact 32 FR FR 24   6 xRExact  31 2) Cỡ bước: 3) Chuỗi điểm: ba 60 h    0.75 n x1  0; x2  0.75; x3  1.5; x4  2.25 x5  3; x6  3.75; x7  4.5; x8  5.25; x9  32 f  x   x b Left R F h   f  xi    f  x  dx i 1 a  3    f  0  f     4  41.50788142  21    f     41.50788142  43.59591794 100% R 43.59591794  4.8%   FLeft  b xCLeft   x  f  x  dx a FRLeft  3  21     fx    fx     fx     4   41.50788142  2.959492239 2.959492239  3.269693847 100% C 3.269693847  9.5%   xLeft  33 f  x   x b Right R F h   f  xi    f  x  dx i 2 a  3   f   f  4  45.18211603 3   2   f    45.18211603  43.59591794 100% R 43.59591794  3.64%   FRight  b xCRight   x  f  x  dx a FRRight  3  3   fx    fx     fx     4 2  45.18211603  3.605135725 3.605135725  3.269693847 100% C 3.269693847  10.26%   xLeft  f  x   x 34 b MidPoint R F h   f  mi    f  x  dx i 1 a  3   f   f  8  43.66544931 9   8  45    f     43.66544931  43.59591794 100% 43.59591794  0.16%   FMidPoint  R b xFMidPoint  R  x  f  x  dx a FRMidPoint  3 9  45     fx    fx     fx     8 8   43.66544931  3.26091014 3.26091014  3.269693847 100% C 3.269693847  0.27%   xMidPoint  35 f  x   x b Trap R F   f  x  dx a h    f  xi   f  xi 1   i 1   3    f  0  f  6  f     4  43.34499872  21    f     43.34499872  43.59591794 100% 43.59591794  0.58%   FTrap  R b xFTrap  R  x  f  x  dx a FRTrap  3   fx    fx    fx     4 43.34499872  3.295996333 3.295996333  3.269693847 100% C 3.269693847  0.8%   Trap  x  21    fx      f  x   x 36 b Simp R F   f  x  dx a n n 1  h    f  x1    f  xi    f  x j   f  xn 1    i  2,4,6, j 3,5,7,    3  f  0  f  6   f    f   4     3   2  f    f  3  f      2    9   4  15  f    4  21    f             43.49047074 43.49047074  43.59591794 100% 43.59591794  0.24%   FSimp  R b xFSimp  R  x  f  x  dx a FRSimp   3 9  15   21    fx  fx  fx  fx  fx  fx               4 4                3    2  fx    fx  3  fx           43.49047074  3.277934822 3.277934822  3.269693847 100% C 3.269693847  0.25%   xSimp  37 b F  a 1   f  x  dx   f  x  dx   f   t  3 dt 1 1  43.80816148  43.59591794 100% 43.59591794  0.49% a FRGauss baba ba ba ba  t  f  t     dt 1  2   2   FRGauss 1  xf  x  dx   t  1 f   t  3 dt Gauss R F  1 FRGauss 1  x   x  dx   t  1    t  dt         3  3               3   3      43.80816148   FGauss  R xCGauss   1    x  dx      1 baba ba f  t  dt  1  2  b Gauss R  xf  x  dx 1  Gauss R F    t  dt 1 FRGauss           9   1                          3        43.80816148  3.248916998 3.248916998  3.269693847 100% 3.269693847  0.63%   xGauss  C 38 1) Tính hợp lực: a 1 1 FRGauss   f  x  dx    f  x  dx   f   t  3 dt 1    x  dx      1 baba ba f  t  dt  1  2  b 1   t  dt     15   15                                           43.6697838  43.6697838  43.59591794 100% 43.59591794  0.17%   FGauss  R  39 2) Tính vị trí hợp lực: b xCGauss   xf  x  dx a FRGauss 1 baba ba ba ba  t  f  t      dt 1  2   2   FRGauss 1   xf  x  dx   t  1 f   t  3 dt Gauss R F  1 FRGauss 1  x   x  dx   t  1    Gauss R F    t  dt 1 FRGauss    15   15    15   15   9   1      1             1          3               43.6697838  3.263405692  3.263405692  3.269693847 100% 3.269693847  0.19%   xGauss  C  40 Vẽ theo kết có sai số vị trí xC nhỏ nhất: FR  43.67 xC  3.2634 41 f = @(x) (4+2*sqrt(x)); fplot(f, [0, 6], 'm-','Linewidth',2) title('Do thi ham f(x)=4+2*sqrt(x)') xlabel('x'),ylabel('f(x)') set(gca,'xTick',0:6/8:6) grid on Vẽ đồ thị MATLAB in nhiều để tiếp tục vẽ tay thêm biểu đồ slides 32÷36 40 ... cần sử dụng phương pháp số để tính tích phân Các cách tiếp cận để tính tích phân số Trong phương pháp đóng điểm cuối (a,f(a)), (b,f(b)) sử dụng để ước tính giá trị tích phân Phương pháp hình thang... pháp hình thang Simpson Trong phương pháp mở khoảng tích phân mở rộng ngồi phạm vi điểm cuối để ước tính giá trị tích phân Phương pháp điểm cầu phương Gauss Công thức Newton-Cotes Ý tưởng Công thức... dạng biểu thức tường minh, ngun hàm tính phương pháp giải tích để từ tính theo cơng thức (1) 2) Khi: • Hàm số xác định số lượng hữu hạn điểm rời rạc • Hàm số dạng hộp đen (tức quy trình bên nội