Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 4: Trị riêng và Véctơ riêng

Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 4: Trị riêng và Véctơ riêng cung cấp cho học viên các kiến thức về khái niệm Trị riêng và Véctơ riêng, phương pháp phương trình đặc trưng (cổ điển), phương pháp lũy thừa, phương pháp lũy thừa nghịch đảo, bài toán kỹ thuật: hệ khối lượng - lò xo, bài toán kỹ thuật: mất ổn định của thanh chịu nén,... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng!

Trường Đại học Cơng nghiệp thành phố Hồ Chí Minh Khoa Cơng nghệ Cơ khí Bộ mơn Cơ sở - Thiết kế Bài 4: Trị riêng Véctơ riêng Thời lượng: tiết Nội dung học Khái niệm Trị riêng Véctơ riêng  a11 a Cho ma trận vuông [A] 21  A     véctơ : nn   an1 a12 a22 a13 a23 an an a1n   v1     a2 n  v2  ; v    n x1    vn  ann  λ giá trị riêng véctơ véctơ riêng ma trận [A] thỏa mãn điều kiện đẳng thức sau:  A  n n v  v n x1 (1) n x1 Ý nghĩa: [A] hoạt động để mang lại λ lần Khái niệm Trị riêng Véctơ riêng 1  Lv    v (2) L tốn tử biểu diễn phép nhân với ma trận, đạo hàm, tích phân, v.v., v vectơ hàm số Và λ số vơ hướng d - L tốn tử thể đạo hàm bậc theo x:  dx - v hàm số y phụ thuộc x: y(x) - λ = k2 số d y  x  k y  x  2  dx  Ví dụ ứng dụng trị riêng véctơ riêng Phương Tần số dđ thức riêng (Modes) (Frequencies) v Thứ Thứ hai Thứ ba Thứ tư 2L v L 3v 2L 2v L Trong nghiên cứu dao động, giá trị riêng đại diện cho tần số riêng tự nhiên (the natural frequencies) hệ thống thành phần, véctơ riêng đại diện cho phương thức dao động (the modes of vibrations) Việc xác định tần số riêng tự nhiên quan trọng hệ thống thành phần chịu tải trọng bên (lực) cách tuần hoàn gần tần số này, cộng hưởng làm cho ứng xử (chuyển động) kết cấu khuếch đại, có khả dẫn đến hỏng hóc thành phần hệ thống Ví dụ ứng dụng trị riêng véctơ riêng  11  12  13  σ ij   21  22  23  33  31  32  33    0  σ     33  0   1     A  σ ij ; λ  2    ;  v    v1 v 33 31  31 31 3 31 33 3       A  v i  i v i ; i  1, 2,3 33 31 31   nx1      1  v3    ny  31      nz    nx 2    2   ny    2   nz   nx3     3    ny     3    nz   Các ứng suất xác định giá trị riêng ma trận ứng suất, hướng hiểu hướng véctơ riêng liên quan Phương trình đặc trưng    A  v    v   A    I   v  n x1 n x1 nn n x1 nn  n x1  n n (3) Δ nn a12 a13 a1n   v1  0   a11    a  v  0  a   a a  2   21 22 23 2n                     a a a a   n2 n3 nn  n1  vn  0  - Nếu ma trận [Δ]=[A-λ.I] không đặc biệt (tức tồn ma trận đảo ngược [A-λ.I]-1) hệ phương trình (3) có nghiệm đơn giản T= {0 … 0} - Nếu ma trận [Δ]=[A-λ.I] đặc biệt (tức không tồn ma trận đảo ngược [A-λ.I]-1) hệ (3) tồn nghiệm khơng tầm thường (nontrivial solution) Để đạt điều ta cần điều kiện:     Phương trình đặc trưng det   Δ    det   A     I    (3) (Characteristic Equation) n n   nn   n n Phương pháp cổ điển   Δ    A    I   nn n n   n n Trong đó: - Là ma trận đặc trưng (Characteristic Matrix) Phương trình đặc trưng (3) phương trình đa thức bậc n có dạng (4) có n nghiệm: λ1,λ2,…, λn Mỗi nghiệm λi có véctơ riêng n n 1 n2    C   C     n 1 n2 n 1    2  L    n1   n   1 V   v  n n    n x1 v  2 n x1  C2   C1  C0  v  n n x1 - Là ma trận (của) véctơ riêng - Là véctơ (của) giá trị riêng    (4) Có nghĩa có n đẳng thức sau:  A  v 1  1  v 1  nn n x1 n x1     n  n  n  v  A  v n x1  nn n x1 Phương pháp cổ điển Khi có λi ta làm sau để tìm véctơ riêng :  A  nn v i   i  v n x1 i  n x1   i     A  i   I    v  n x1 n n   n n n x1  Δi  nn  Δi   n n 1 Dùng phép khử Gauss để đưa dạng bậc thang (Reduced Row Echelon Form) 10 Phương pháp cổ điển Tìm giá trị riêng véctơ riêng ma trận sau: Tính ma trận đặc trưng (Characteristic Matrix) 3 1      Δ   A    I    5   33  33 33   6 1 3   A   3 5 3 33 6 6       Tính phương trình đặc trưng (Characteristic Equation)   det   Δ     12  16            33  Giải phương trình đặc trưng ta có nghiệm λ, từ có véctơ giá trị riêng: L   2 2 T 31 39  2k  m  A    k 22  m  v 0 21 k    m1 10 5    ;  2k   5 10  m2  2   ; 1    0.01 1  15  12  1  3.873  s 1   Tp1  2 1  1.6223  s  40 B   A 1 22 v 22  0 21 2 1   ;  15 1  2   ; 1    0.0001 2   22  2  2.236  s 1   Tp  2 2  2.81 s  41 1  3.873  s 1  2  2.236  s 1  Tp1  1.6223  s  Tp  2.81 s  1  v1    21  1 Tần số dao động riêng thứ lớn nên chu kz nhỏ Véc tơ riêng có thành phần đối có nghĩa biên độ chúng ngược chiều dao động Tp = 1.62 s A1 = A2 Tp = 2.81 s A1 = A2 Giá trị cụ thể biên độ xác định có ngoại lực tác dụng vào ban đầu để khiến cho vật chuyển vị đến vị trí cân thả v2 21 1   1 Tần số dao động riêng thứ nhỏ nên chu kz lớn Véctơ riêng có thành phần có nghĩa biên độ chúng chiều dao động 42 43 k k k k k k k Cho hệ vật khối lượng m1 = m2 = m3 = m (các vật mầu vàng) liên kết với lị xo có độ cứng k hình vẽ Bỏ qua ma sát Hãy xác định tần số dao động riêng hệ? 44 k k 1) Bước 1: Vẽ lại hệ vật vị trí biến dạng: Để thuận lợi giả sử x bên phải lớn x bên trái: x3 > x2 > x1 Khi ta biết nén hay giãn lò xo k k k k k k k 2k k x1 x2 x3 k 2) Bước 2: Vẽ sơ đồ vật thể tự xét vật: 2.1 Xét vật m1: 45 k  x3  x1  1 F  kx k x1 d x1 k  m1a1x  m   x1  k  x3  x1   k  x2  x1  dt (10) k  x2  x1  2.2 Xét vật m2: k x  x  2 2k  x3  x2  F  2 kx d x2  m2 a2 x  m  k  x2  x1   2k  x3  x2  dt (11) 2.3 Xét vật m3: k  x3  x1  2k  x3  x2  46  3 F  kx d x3  m3a3 x  m  k  x3  x1   2k  x3  x2   kx3 dt kx3 (12) Gọi ω tần số dao động hệ Do khơng có ma sát lực cưỡng nên hệ dao động điều hòa Giả sử biên độ dao động vật m1, m2, m3 A1, A2, A3 Ta có phương trình dao động vật là:  d x1 2   A  sin  t    x1     x1  A1 sin t   dt   d x2 2 x  A sin  t    A  sin  t    x2       2   dt  x3  A3 sin t   d x3 2   A  sin  t    x3     dt 3) Bước 3: Xây dựng hệ phương trình đại số nhất: 47  2 k  k  m  x1  kx2  kx3    10   m  x   x  k x  x  k x  x        1  2      11   m x2   k  x2  x1   2k  x3  x2   kx1   3k  m  x2  2kx3    2 12   m  x   k x  x  k x  x  kx       3 3  kx1  2kx2   4k  m  x3     k k k 2    A  A  A3  2    k  m  A  kA  kA   2m m m        k k   k   kA1   3k  m  A2  2kA3    A1      A2  A3  m m  m    kA1  2kA2   4k  m  A3   k k  k 2   A1  A2      A3  m  m   m (13) 5 k 2 m  k   A    m 33   k  m   2 k  m k m k 2 m k    m  k 2 ; m  k  m  Các toán kỹ thuật ứng dụng trị riêng véctơ riêng Curvature: d2y dx 48 Cho chiều dài L chịu tác dụng lực nén P Xác định lực P tới hạn khiến ổn định Xác định dạng ổn định Cho biết:  M – Nội lực mômen uốn  E – Môđun đàn hồi  I – Mơmen qn tính 49 d2 y M   EI  dx  M   Py  d2y P   y dx EI y (0)  y ( L)  y  A sin  px   B cos  px   (14) Khi ổn định, đường cong đàn hồi có dạng hình sin-cos nên ta giả sử phương trình gần nó: dy  Ap cos  px   Bp sin  px  dx d2y d y    Ap sin  px   Bp cos  px    p  A sin  px   B cos  px      p y dx dx y d2 y   p y ; y(0 )  y( L)  dx (15) Vấn đề giá trị riêng: (Xem lại slide 4) Từ (14) (15) ta suy ra:  y (0)  B   pL  n ; n  1, 2,   y ( L)  A sin  pL    n   p  ; n  1, 2,  L   P y   p y  P  p EI   EI n  EI  L Ptoi _ han 50 51 d2 y M    p y ; y(0 )  y( L)  EI dx • ODE • Phương pháp sai phân hữu hạn: yi   yi  yi  2  p y    y  (  h p ) yi  y i   i i 1 hi   h2 p   1      1  h2 p 1 1  h2 p 1 0 • Phương trình đặc trưng: det    h p   y1  0        y2  0    y3   0  1               h p   yn  0    n  0 52 • Có nút (h = L/2) pexact   L 2 2 (  h p ) y1   p   ( a  10 %) h L • Có nút (h = L/3) 2 L L    y1  0  2   (  h p ) 10    2   h p   y2  0  pexact    h2 p   1  , 3 ph  1,   p  , ( a  4.5 %, 17.3 %) L L 53 • Three interior nodes (h = L/4)  2  h2 p   1   2 3 pexact  , , L L L 1   y1  0       h2 p 1   y2   0   1  h p   y3  0  (2  h p )3  2(2  h p )   ph   2,   2 4 2 p , , ( a  2.6 %, 10.0 %, 21.6 %) L L L ... tìm trị riêng véctơ riêng 33 Sử dụng MATLAB để tính trị riêng véctơ riêng Tìm giá trị riêng véctơ riêng ma trận sau: 1 3   A   3 5 3 33 6 6  format long A = [1 -3 3; -5 3; -6 ... hàm số Và λ số vô hướng d - L toán tử thể đạo hàm bậc theo x:  dx - v hàm số y phụ thuộc x: y(x) - λ = k2 số d y  x  k y  x  2  dx  Ví dụ ứng dụng trị riêng véctơ riêng Phương Tần số. .. Chỉ cần tính trị riêng lớn - Giá trị riêng lớn khơng thể nghiệm lặp lại phương trình đặc trưng Nói cách khác, khơng thể có giá trị riêng khác có độ lớn với giá trị riêng lớn - Giá trị riêng lớn