Bài giảng Phương pháp số trong tính toán kết cấu: Chương 5 - TS. Nguyễn Ngọc Tuyển

Bài giảng Phương pháp số trong tính toán kết cấu - Chương 5: Phần tử hai chiều chịu uốn ngoài mặt phẳng phần tử (tấm chịu uốn) trình bày các kiến thức: Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn, phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác. Mời các bạn cùng tham khảo.

5/30/2015 TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG Bộ mơn Cầu Cơng trình ngầm Website: http://www.nuce.edu.vn Website: http://bomoncau.tk/ PHƯƠNG PHÁP SỐ  TRONG TÍNH TỐN KẾT CẤU TS. NGUYỄN NGỌC TUYỂN Website mơn học: http://phuongphapso.tk/ Link dự phịng: https://sites.google.com/site/tuyennguyenngoc/courses‐in‐ vietnamese/phuong‐phap‐so‐trong‐tinh‐toan‐ket‐cau Hà Nội, 5‐2015 CHƯƠNG V Phần tử hai chiều chịu uốn mặt phẳng phần tử (tấm chịu uốn) 275 5/30/2015 5.1. Khái niệm chịu uốn • Định nghĩa phân loại chịu uốn – Phần tử chịu uốn giới hạn 2 mặt phẳng song  song cách khoảng t (gọi chiều dày tấm). Tùy theo tỷ số bề dày (t) và kích thước nhỏ mặt phẳng (b) mà người ta có thể chia tấm chịu uốn làm 2 loại sau: t  b t   • Tấm mỏng:                                   và độ võng lớn 20 b • Tấm dày: zmax  t Chú ý: Trường hợp với mỏng có độ võng z > zmax tác dụng tải trọng vng góc với tấm, các ứng suất bao gồm ứng suất màng ứng suất do tấm bị uốn => khi phải tính tốn sử dụng lý thuyết có biến dạng lớn 276 Khái niệm chịu uốn (t.theo) • Lý thuyết cổ điển Kirchhoff – Các giả thiết • (1) Các đoạn thẳng vng góc với mặt trung bình cịn thẳng vng góc với mặt trung bình chịu uốn độ dài chúng không đổi • (2) Khi bị uốn, mặt trung bình khơng bị kéo nén hay trượt • (3) Bỏ qua ứng suất pháp vng góc với mặt phẳng z – Xét chịu uốn lực vng góc với mặt phẳng hình vẽ.  Mặt phẳng xy hệ tọa độ trùng với mặt trung bình y t x b a Mặt trung bình 277 5/30/2015 Khái niệm chịu uốn (t.theo) – Áp dụng giả thiết, các thành phần chuyển vị u và v của biểu diễn theo độ võng q và góc xoay θx , θy mặt phẳng trung bình sau: v   z x   z q y y   q x  q u  z y   z x đó: q = q(x,y) là hàm độ võng, tức chuyển vị theo phương z của mặt phẳng trung bình x  q y q x q y 278 Khái niệm chịu uốn (t.theo) – Khi đó, các thành phần biến dạng điểm thuộc tính sau: x  u   z y  2q    z  z  kx x x x y  v    z x  2q   z  z  ky y y y  xy  u v   z y     z x  2q 2q 2q     z z  2 z  z  k xy y x y x yx xy xy đó: kx, ky kxy độ cong theo phương x, y và hai lần độ xoắn – Các biến dạng góc εzx = εyz = 0 theo giả thiết số (1) – Ứng suất theo phương z là σz = 0 theo giả thiết số (3) 279 5/30/2015 Khái niệm chịu uốn (t.theo) – Áp dụng định luật Hooke để tìm thành phần ứng suất khác phần tử sau:  x    E  y       xy   Với:  2q k x   x   2q k y   y   2q k xy  2 xy    1    x     zE   y    1      xy  0       1   k x      k y      k xy  0      2q     x   'x   x  1     z  E      q         ' y  z   y    y          'xy   xy   0   q    2    xy  280 Khái niệm chịu uốn (t.theo) – Nội lực hợp lực thành phần ứng suất tương ứng, do đó: t /2 Mx    t /2 t /2 x zdz My   t /2 y zdz  t /2 M xy   xy zdz  t /2 – Hoặc viết lại dạng véc tơ sau: t /2  t /2   t /2     2   zdz  ' z dz  '  x   x   x  z dz   'x t   t /2   12     t /2    'x   M x    t /2 t /2     t /2       t /2 t3  t3  2   M  zdz  ' z dz  ' z dz    'y   ' y   y   y    y  y 12 12  t /2          t /2    t /2   t /2  'xy   M xy   t /2     t /2   t3     xy zdz     'xy z dz   'xy  z dz   'xy  12   t /2     t /2    t /2   281 5/30/2015 Khái niệm chịu uốn (t.theo) – Như giá trị nội lực kể biểu diễn theo hàm độ võng q(x,y) của phần tử sau:  2q   2q        x x   M x   'x  1  1      t3   t3  E      q      q        D      M y    ' y     y y   12   12               M xy   'xy  0   q  0   q   2  2      xy   xy  đó: D được gọi độ cứng trụ chịu uốn D  – Nếu đặt:   1      D t  D      0    Et 12 1   với [D]t ma trận hệ số đàn hồi chịu uốn 282 Khái niệm chịu uốn (t.theo) – Ta có:  2q     x  M x      q   M y    D t     D t k    y   M xy   2q  2   xy  đó: {k} được gọi véc tơ độ cong chịu uốn k   k x k y k xy  T   2q    x 2q  y T 2q  2  xy  283 5/30/2015 Khái niệm chịu uốn (t.theo) • Lý thuyết có kể tới biến dạng trượt Mindlin – Các giả thiết • (1) Các đoạn thẳng vng góc với mặt trung bình trước biến dạng thẳng không thiết vng góc với mặt phẳng trung hịa biến dạng • (2) Độ võng nhỏ, mặt trung bình khơng bị kéo nén mặt trung hịa biến dạng • (3) Bỏ qua ứng suất pháp vng góc với mặt phẳng z – Xét chịu uốn lực vng góc với mặt phẳng hình vẽ.  Mặt phẳng xy hệ tọa độ trùng với mặt trung bình y a t x Mặt trung bình b 284 Khái niệm chịu uốn (t.theo) – Nếu gọi γx biến dạng trượt trung bình mặt cắt x =  const góc xoay θy tính sau: y   q x x  q x – Tương tự góc xoay θx bằng:  x   q  y y đó: q = q(x,y) là hàm độ võng, tức chuyển vị theo phương z của mặt phẳng trung bình   q x q y 285 5/30/2015 Khái niệm chịu uốn (t.theo) – Do vậy, các biến dạng trượt trung bình tính sau:  x  y  q x  y   x  q y – Như vậy, so với lý thuyết Kirchhoff, sự khác biệt ở giả thiết thứ tức biến dạng trượt khác 0.  Nếu bỏ qua biến dạng trượt ta sẽ trở lại kết lý thuyết Kirchhoff tức là: x  q y y   q x  x   y  286 Khái niệm chịu uốn (t.theo) – Các biến dạng trượt  x ,  y cơng thức Mindlin có quan hệ với ứng suất tiếp  xz ,  yz theo định luật Hooke – Đối với vật liệu đẳng hướng quan hệ biến dạng  x ,  y với ứng suất  xz ,  yz sau: E 1   x   xz        yz  1   0 1  y  – Các biến dạng trượt giả thiết không đổi suốt bề dày nên hợp lực ứng suất tiếp 1 đơn vị dài mặt cắt tính theo biến dạng trượt sau Qx   xz  E  t   1   x     t         Qy   yz  1   0 1  y  287 5/30/2015 Khái niệm chịu uốn (t.theo) Qx  E  t   1   x       Qy  1   0 1  y   Q   Dc   Trong đó: • α = 5/6 = hệ số hiệu chỉnh kể đến phân bố bậc 2 theo bề dày biến dạng trượt • t = bề dày • E  G  mô đun đàn hồi trượt 1    – Như vậy, lực cắt {Q} trong biểu diễn theo biến dạng trượt – Mô men {M} trong biểu diễn theo độ cong {k} giống phân tích ở bài tốn theo lý thuyết Kirchhoff 288 Khái niệm chịu uốn (t.theo) – Với có vật liệu đẳng hướng, mơ men {M} và lực cắt {Q}  tính sau: M x  1 M     y   Et   M xy  12 1        0    0 Q   0  x     Qy   0    1   / 2   0 0  0 E  t   1 1   0 k x  0     ky     k     xy     0    x  1     y  – Hoặc viết ở dạng gọn sau:  M    Du                 T  Q    0  0  k   x             Dc     y  289 5/30/2015 Khái niệm chịu uốn (t.theo) – Các thành phần nội lực chịu uốn 290 5.2. Phần tử chịu uốn dạng tam giác • Phần tử dạng tam giác theo lý thuyết Kirchoff – Xét phần tử mỏng dạng tam giác chịu uốn hệ tọa độ địa phương xyz như hình vẽ sau: y y  0,b  q7  qk k  q  q9      x  k z b k j i  a,   0,  a x q1  qi i  q  q2     y i  q  q3      x i  q  q8     y k q4  q j j  q  q5     y  j x  q  q6      x  j • Mỗi nút thuộc phần tử có 3 bậc tự do => phần tử có 9 bậc tự qe  qi  xi  yi q j  xj  yj qk  xk  yk   q1 q2 q3 q4 q5 q6 q7 q8 q9  T T 291 5/30/2015 Phần tử chịu uốn dạng tam giác (t.theo) – Do phần tử tam giác có 9 bậc tự do nên hàm độ võng q(x,y)  xấp xỉ hóa 1 đa thức chứa 9 tham số ae  a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9  T – Ngoài ra, để đảm bảo tính đẳng hướng hình học, hàm đa thức xấp xỉ độ võng có dạng sau: q  x, y   a1  a2 x  a3 y  a4 x  a5 xy  a6 y  a7 x3  a8  x y  xy   a9 y – Nhận xét: loại phần tử khơng tương thích • Giả sử có 2 phần tử liền kề có chung biên ij độ dốc nút i và j là 2 phần tử độ dốc khác điểm khác dọc theo cạnh biên chung ij (sẽ chứng minh tính khơng tương thích phần tử tam giác chịu uốn ở phần sau) • Mặc dù phần tử tam giác phần tử khơng tương thích cho kết tốt sử dụng rộng rãi thực tế 292 Phần tử chịu uốn dạng tam giác (t.theo) – Hàm xấp xỉ độ võng biểu diễn dạng ma trận quen thuộc sau: q  x, y    P  x, y   a Trong đó: [P(x,y)] = ma trận đơn thức:  P  x, y    1 x y x xy y x x y  xy  y  {a} là véc tơ tham số: ae  a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9  T – Chuyển vị nút biểu diễn dạng véc tơ {q}e  qe  qi   q   q       y i  x i qj  q   q       y  j  x  j  q  qk    y k T  q       x k  293 10 5/30/2015 Phần tử chịu uốn dạng tam giác (t.theo) – Thực đồng chuyển vị nút với giá trị hàm chuyển vị nút.  qe   qi  q     y i q1       q  q2   x i q3     q j q4      q   q5     q   y  j  6  q7    q     x  j q8   q9  qk  q     y  k    q   x  k        1  0    0    1     0  0    1    0    0      0 0 0 0 0 1 0 0 a a2 0 a3 2a 0 3a 0 1 a 0 b 0 b2 0 b 0 1 0  2b 0  a1    a2    0  a3    0  a4    0  a5    H  x, y   a  a  a6   b3  a7    b  a8     3b  a9  0 294 Phần tử chịu uốn dạng tam giác (t.theo) – Nghịch đảo ma trận [H] là ma trận [H]‐1 This image cannot currently be display ed y  0, b  k b j i  a,   0,  x a đó: c = b ‐ a 295 11 5/30/2015 Phần tử chịu uốn dạng tam giác (t.theo) – Như sau thực đồng bậc tự do của phần tử với giá trị hàm chuyển vị nút ta có thể tìm véc tơ tham số {a} như sau:  qe   H  x, y   a  a   H  qe 1 – Thay {a} vào công thức hàm độ võng ta có: q  x, y    P  x, y   a   P  x, y    H  1 qe   N  x, y   qe [N] là ma trận hàm dạng  N    P  x, y   H  1   N1 N N N N N N N N  Sau thực phép nhân ma trận hàm dạng Ni như sau:  P  x, y    H  ta được 1 296 Phần tử chịu uốn dạng tam giác (t.theo) N1   3 2 3 x  y  3x  3y a2 b a b N2  x  2 a 1 x  xy  x3  x y  xy a bc a bc bc N3   y  N4  b 1 xy  y  y  x y  xy ac b b ac ac 2 x  3x a2 a N7  2 y  3y b2 b N5   x  2x a a N8   N6   b 1 xy  x y  xy ac ac ac N9  a 1 xy  x y  xy bc bc bc y  y b b 297 12 5/30/2015 Phần tử chịu uốn dạng tam giác (t.theo) – Các biến dạng bao gồm 3 thành phần:  e  2q     x   x  k x    q        y   z k y    z        y   xy  k xy   2q  2   xy  – Do: q  x, y    P  x, y   a   P  x, y    H  1 qe   N  x, y   qe nên biến dạng biểu diễn theo véc tơ chuyển vị nút {q}e sau: 298 Phần tử chịu uốn dạng tam giác (t.theo)   e     P  x, y    H  q   e   2q     x    x  1 P x , y       H  qe     q    z    z  y  y   1  2q   2     P  x, y    H  qe 2  xy  xy  1         P  x, y        x    1     P  x, y      z    H  qe  y        P  x, y      2  xy     – Hoặc viết gọn lại sau:  e   B qe [B] được gọi ma trận tính biến dạng  B    z  L  H  1 299 13 5/30/2015 Phần tử chịu uốn dạng tam giác (t.theo)    P  x, y      x      P  x, y    0     L     0 y    0    P  x, y      2  xy   0 0 6x 0 0 0 2 0 0  2x y  x  y  2y 300 Phần tử chịu uốn dạng tam giác (t.theo) • Xác định ma trận độ cứng – Ma trận độ cứng phần tử uốn dạng tam giác xác định sau:  K e    B   D  B  dV T V – Thay  B    z  L  H 1 vào phương trình ta có:  K e     z  L A 1 T   V t /2  K e    t /2  z dz   H   D    z  L A 1  dV    L  D L H  1 T T 1 dA A 301 14 5/30/2015 Phần tử chịu uốn dạng tam giác (t.theo) – Do [H]‐1 chưa số => có thể đưa [H]‐1 ngồi dấu tích phân sau:  K e   K e  t /2   t /2  z dz   H    L  D L H  1 T 1 T dA A  t3 1 H  12  T   T 1    L   D  L  dA   H  A  với A là diện tích phần tử.  – Ta có thể viết [K]e ở dạng gọn sau:  K e   H    I  H  1 T 1  I     L   D t  L  dA T với A 302 Phần tử chịu uốn dạng tam giác (t.theo) – Ma trận [D]t công thức  I     L   D t  L  dA T gọi A ma trận hệ số đàn hồi chịu uốn:   1      D t  D      0    với D t3 E 12 1   độ cứng trụ 303 15 5/30/2015 Phần tử chịu uốn dạng tam giác (t.theo)  I     L   D t  L  dA T – Khi tính tích phân cần lưu ý: y A  0, b   dA  A  A ab k Là diện tích tam giác phần tử b j i a,   0,  x a  xdA  S y  A a 2b  x dA  J y  A a 3b 12 a 2b A xydA  J xy  Là mô men tĩnh tam giác phần tử với trục y Là mơ men qn tính tam giác phần tử với trục y Là mô men quán tính ly tâm tam giác phần tử hệ trục xy … 304 Phần tử chịu uốn dạng tam giác (t.theo) – Thực tính tích phân 0  0 0  0 D I   0 0  0 0  0  I     L   D t  L  dA T được: A Đối xứng 0 0 12ab 0 0 12 ab 1   ab 0 12a b I 84 0 12 ab 0 I 85 12ab 12 a 2b 18a 3b I 86 I 87 12ab 27 a 2b I 88 6 a 3b  3a 2b              3 18ab  đó: I 84   ab  a 2b  I85  1    a 2b  ab  I84   ab  a 2b  I 87  9a 2b  6 a 3b I 88   a 3b  ab3    2   a 2b     305 16 5/30/2015 Phần tử chịu uốn dạng tam giác (t.theo) – Sau tính ma trận [I] xác định ma trận độ cứng phần tử tam giác chịu uốn hệ tọa độ địa phương sau:  k e   H    I  H  1 T 1 – Để xác định ma trận độ cứng [K]e phần tử hệ tọa độ tổng thể (OXYZ) cần sử dụng ma trận chuyển hệ trục tọa độ [T]e sau:   K e  T e  k e T e T 306 17 ... kxy độ cong theo phương x, y và hai lần độ xoắn – Các biến dạng góc εzx = εyz = 0 theo giả thiết số (1) – Ứng suất theo phương z là σz = 0 theo giả thiết số (3) 279 5/ 30/20 15 Khái niệm chịu uốn... 2   a 2b     3 05 16 5/ 30/20 15 Phần tử chịu uốn dạng tam giác (t.theo) – Sau tính ma trận [I] xác định ma trận độ cứng phần tử tam giác chịu uốn hệ tọa độ địa phương sau:  k e  ... θy tính sau: y   q x x  q x – Tương tự góc xoay θx bằng:  x   q  y y đó: q = q(x,y) là hàm độ võng, tức chuyển vị theo phương z của mặt phẳng trung bình   q x q y 2 85 5/30/2015