Xây dựng bài toán đạo hàm có liên quan đến tài chính

Bài viết trình bày quy trình xây dựng bài toán đạo hàm có liên quan đến tài chính. Các bài toán được xây dựng chú trọng đến tính ứng dụng của đạo hàm trong lĩnh vực tài chính, đây là cách làm cho kiến thức có ý nghĩa, từ đó tạo động lực học tập cho học sinh.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GỊN SAIGON UNIVERSITY TẠP CHÍ KHOA HỌC SCIENTIFIC JOURNAL ĐẠI HỌC SÀI GÒN OF SAIGON UNIVERSITY Số 75 (03/2021) No 75 (03/2021) Email: tcdhsg@sgu.edu.vn ; Website: http://sj.sgu.edu.vn/ XÂY DỰNG BÀI TỐN ĐẠO HÀM CĨ LIÊN QUAN ĐẾN TÀI CHÍNH Constructing a derivative problem related to finance TS Phạm Sỹ Nam(1), TS Lê Thái Sơn(2) Trường Đại học Sài Gịn (1),(2) TĨM TẮT Đạo hàm kiến thức tốn học trừu tượng, có nguồn gốc phát sinh từ thực tiễn có nhiều ứng dụng sống việc giải toán tối ưu, tốn liên quan đến tài chính, v.v Có nhiều khó khăn xây dựng tốn đạo hàm có liên quan đến tài Để giải vấn đề này, báo trình bày quy trình xây dựng tốn đạo hàm có liên quan đến tài Các tốn xây dựng trọng đến tính ứng dụng đạo hàm lĩnh vực tài chính, cách làm cho kiến thức có ý nghĩa, từ tạo động lực học tập cho học sinh Từ khóa: tốn có liên quan đến tài chính, đạo hàm, giáo dục toán học thực tế ABSTRACT Derivative which is an abstract mathematical knowledge is derived from practical situations and widely used in real life such as solving optimal problems, economic problems There are many difficulties in constructing derivative problems related to finance To solve this problem, this article presents the process of constructing derivative problems related to finance The problems are constructed to focus on the applicability of the derivative related to finance, which is the way to make the knowledge meaningful, thereby creating learning motivation for students Keywords: mathematical problems related to finance, derivative, realistic mathematics education với giới thực (Realistic Mathematics Education - thuộc Viện Freudenthal Trường Đại học Utrecht Hà Lan, viết tắt RME) xuất từ thập kỷ 70 kỷ trước RME thành lập từ ý tưởng Freudenthal năm 1971, cho toán học phần sống người Theo ông, học sinh nên có hội để khám phá lại tốn học việc tổ chức xử lý tình thực tế mối quan hệ toán học trình phù hợp với họ [1] Trường phái RME Hà Lan coi “thực tiễn” nghĩa liên hệ tốn học nhà trường với thực tế mà bao gồm Giới thiệu Đạo hàm khái niệm quan trọng, đồng thời khái niệm điển hình tư tưởng giải tích Đạo hàm có nguồn gốc phát sinh từ thực tiễn có nhiều ứng dụng lĩnh vực tài Chẳng hạn, nhà kinh tế áp dụng đạo hàm để xác định lợi nhuận tổn thất công ty; câu hỏi liên quan đến doanh thu nhiều nhất, chi phí trả lời việc sử dụng đạo hàm Xu hướng địi hỏi giáo dục tốn học phải kết hợp nhiều với thực tế, Email: psnam@sgu.edu.vn 32 PHẠM SỸ NAM - LÊ THÁI SƠN TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GỊN việc tạo hội, khả cho học sinh xây dựng toán từ thực tế Trên giới, số tác giả nghiên cứu mối quan hệ biện chứng “toán học hàn lâm” (academic mathematics) toán học gắn liền với bối cảnh thực tế (everyday mathematics) Tác giả Abraham Arcavi làm sáng tỏ mối quan hệ qua việc đưa khái niệm: tính thường xun (everydayness), tốn học hóa (mathematization) tính quen thuộc ngữ cảnh (context familiarity) [2] Tài ảnh hưởng phần quan trọng đến thành công người Ở xã hội phát triển cao nay, học sinh cần phải tiếp xúc, làm quen với kiến thức tài từ nhỏ, để em hiểu giá trị tiền bạc, nhận thức trách nhiệm hình thành thái độ đắn với tiền, biết trân trọng chi tiêu cách hợp lý Những kiến thức em học tập, hỗ trợ em biết cách quản lý tài cá nhân, lên kế hoạch tài chính, có mục tiêu tài chính, hạn chế rủi ro, khủng hoảng tài nghiệp sau Trong năm gần đây, nước kinh tế phát triển ngày quan tâm đến mức độ hiểu biết tài công dân họ Mối lo ngại tăng lên bối cảnh kinh tế tài đầy thách thức với thừa nhận thiếu hiểu biết tài yếu tố góp phần vào định tài thiếu sáng suốt những định có lan tỏa tiêu cực lớn [3] Do đó, kiến thức tài cơng nhận tồn cầu yếu tố quan trọng ổn định phát triển kinh tế tài [4] Hiểu biết tài kỹ sống cốt lõi để tham gia vào xã hội đại [5] Giáo dục tài mạch kiến thức quan tâm chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn: “Chương trình mơn Tốn trọng tính ứng dụng, gắn kết với thực tiễn,… gắn với xu hướng phát triển đại kinh tế, khoa học, đời sống xã hội vấn đề cấp thiết có tính tồn cầu (như biến đổi khí hậu, phát triển bền vững, giáo dục tài chính,…)” [6] Hiện nay, việc dạy học Tốn sử dụng tình liên quan đến thực tiễn chưa trọng Pham Sy Nam, Ha Xuan Thanh, Max Stephens xác định số khó khăn việc thiết kế tốn có liên quan đến thực tiễn sau [7],[8]: - Việc tìm tình liên quan đến thực tiễn để minh hoạ cho giảng địi hỏi giáo viên phải có tìm tịi, suy nghĩ tích cực nhiều thời gian Hơn nữa, am hiểu lĩnh vực sống giáo viên hạn chế; - Một thực trạng dạy học “thi gì, học nấy” Chính tư tưởng với đề thi khơng có tập liên quan đến thực tiễn dẫn đến việc dạy học sử dụng tình thực tế bị xem nhẹ, chí bỏ qua, có số tình dẫn xuất để giúp học sinh hiểu khái niệm; - Các toán yêu cầu tính chặt chẽ cao, đại lượng thực tiễn có tính tương đối Vì vậy, để giải tập có liên quan đến thực tiễn cần lý tưởng hoá Nhằm kết nối kiến thức đạo hàm giáo dục tài chính, báo này, chúng tơi quan tâm đến câu hỏi nghiên cứu: Thiết kế tình dạy học đạo hàm để giáo dục kiến thức tài cho học sinh? Xây dựng toán đạo hàm liên quan đến kiến thức tài 2.1 Định hướng xây dựng toán 33 SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No 75 (03/2021) Định hướng 1: dựa vào ý nghĩa kiến thức Về mặt toán học: theo định nghĩa đạo hàm ta có f '  x0   lim x 0 đổi Dấu đạo hàm cho biết thay đổi tăng hay giảm đại lượng; - Công cụ để xác định tối ưu Đạo hàm hữu ích việc xác định cực đại, cực tiểu hàm số, từ xác định giá trị lớn nhất, nhỏ đại lượng thay đổi 2.2 Kỹ thuật tạo tốn Để có đa dạng tốn đồng thời phát triển tư cho học sinh dạy học, trọng sử dụng kỹ thuật sau đây: - Lập toán tương tự với toán ban đầu; - Lập toán đảo toán ban đầu; - Thêm vào toán ban đầu số yếu tố, đặc biệt hóa tốn ban đầu; - Bớt số yếu tố tốn ban đầu, khái qt hóa tốn ban đầu; - Thay đổi số yếu tố toán ban đầu 2.2 Một số yêu cầu việc thiết kế tình dạy học Theo Nam, P S, Stephens M [8], điều quan trọng chọn nhiệm vụ hoạt động toán học phù hợp với học sinh, nhiệm vụ học tập cần phải đạt yêu cầu sau đây: - Phải khuyến khích tích cực tư học sinh; - Phải kết nối kiến thức kinh nghiệm có học sinh; - Các công cụ nên sử dụng để hỗ trợ hiểu biết học sinh quan niệm tốn học có liên quan đến nhiệm vụ 2.4 Các bước xây dựng toán Dựa vào sở trình bày trên, xác định bước xây dựng sau: Bước 1, xác định công thức hàm biểu thị đại lượng thực tế Trong bước cần xác định f  x0  x   f  x0  x Từ kiến thức này, có ý nghĩa kiến thức đạo hàm: - Khi x đủ nhỏ f '  x0   f  x0  x   f  x0  x  y  f  x0  x   f  x0   f '  x0  x Khi x =1, y  f '  x0  Kết cho ý nghĩa f’(x0) biểu diễn xấp xỉ lượng thay đổi giá trị y x tăng thêm đơn vị điểm x0 Trong kinh tế học người ta quan tâm đến xu hướng biến thiên y điểm x0 x thay đổi lượng nhỏ Do vậy, với mơ hình hàm số y = f(x), x, y biến số kinh tế f '  x0   lim x 0 f  x0  x   f  x0  giúp x phản ảnh ý nghĩa thay đổi đại lượng kinh tế Chẳng hạn, - Với mơ hình sản xuất ngắn hạn y = f(x), f’(x0) cho biết xấp xỉ lượng sản phẩm vật gia tăng sử dụng thêm đơn vị lao động điểm x0 - Với mơ hình hàm doanh thu y = f(x), f’(x0) cho biết xấp xỉ lượng doanh thu tăng thêm sản xuất thêm đơn vị sản phẩm - Với hàm chi phí y = f(x), f’(x0) cho biết xấp xỉ lượng chi phí tăng thêm sản xuất thêm đơn vị sản phẩm Định hướng 2: dựa vào vai trị “cơng cụ” kiến thức toán học Với chất tỷ lệ thay đổi tức thời nên đạo hàm công cụ để nghiên cứu thay đổi đại lượng, cụ thể: - Công cụ cho việc khảo sát thay 34 PHẠM SỸ NAM - LÊ THÁI SƠN TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GỊN cơng thức để tính tốn đại lượng thực tế Cơng thức chứa đựng kiến thức cốt lõi toán học, tiền đề để thấy nội dung tốn học tình thực tế Bước 2, xác định tình thường xảy thực tế Ở bước này, chúng tơi xác định tình thực tế thường xảy để làm cần trả lời câu hỏi sau: - Đại lượng có ý nghĩa nào? - Trong thực tế người ta thường cần phải tìm yếu tố nào? Bước 3, lựa chọn liệu phù hợp Việc xác định liệu phù hợp làm cho nội dung tốn có tính thực tế, có ý nghĩa Việc giải tốn có ý nghĩa giúp học sinh thấy tính “thực” tốn yếu tố tạo động lực để học sinh học tập Để có liệu phù hợp cần phải tìm hiểu thơng tin từ thực tiễn sống Tuy nhiên, để thuận tiện cho việc giải tốn, số trường hợp chọn liệu tương đối phù hợp với thực tế mà điều quan trọng giúp học sinh thấy mối liên hệ toán học thực tế Việc lựa chọn không ảnh hưởng nhiều đến ý nghĩa toán Bước 4, phát biểu tập Sau tìm điều kiện phù hợp với bối cảnh, phát biểu dạng tình mà học sinh cảm thấy quen thuộc đời sống ngày Đây bước để gắn kết nội dung bước Trong bước này, cần ý đến ngơn ngữ diễn đạt, tính logic, cách thức diễn đạt để toán rõ ràng tránh hiểu biết khác tốn Trong việc thiết kế tập, chúng tơi trọng câu hỏi nhằm giúp học sinh xây dựng cơng thức tính cho đại lượng nhằm giúp học sinh hiểu ý nghĩa kinh tế kiến thức tốn học Việc làm nhằm mục đích giúp học sinh thấy liên hệ đại lượng, đồng thời giúp học sinh hiểu cách xây dựng cơng thức việc tính tốn hiểu ý nghĩa mặt kinh tế 2.5 Ví dụ minh họa Việc thiết kế giải toán ứng dụng đạo hàm liên quan đến tài điều khó Vì vậy, việc thiết kế, chúng tơi trọng thiết kế nhiều ý nhằm giúp học sinh bước xây dựng kiến thức liên quan trước đến yêu cầu ứng dụng đạo hàm liên quan đến tài ý nghĩa kiến thức kiến thức Sau chúng tơi xét ví dụ nhằm minh họa cho quy trình Bước 1, xác định công thức hàm biểu thị đại lượng thực tế Cơng thức xác định tổng chi phí C(x) = chi phí cố định + chi phí biến đổi C’(x) đại diện cho tỷ lệ thay đổi tức thời tổng chi phí thay đổi đơn vị sản phẩm sản xuất (nói cách khác lượng chi phí gia tăng để sản xuất thêm đơn vị sản phẩm mức sản lượng x) Tổng doanh thu bán x đơn vị sản phẩm R(x) = số lượng sản phẩm bán nhân với giá sản phẩm Tổng lợi nhuận P(x) = tổng doanh thu – tổng chi phí = R(x) – C(x) Bước 2, xác định tình thường xảy thực tế Tình thường xảy thực tế là: - Xác định cơng thức tính tổng chi phí theo số sản phẩm; - Xác định cơng thức tính tổng doanh thu theo số sản phẩm; - Xác định cơng thức tính lợi nhuận; - Cần sản xuất sản phẩm để 35 SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No 75 (03/2021) lợi nhuận thu lớn Bước 3, lựa chọn liệu phù hợp Dữ liệu cho tốn dựa kết thu thập thông tin từ thực tế, lựa chọn phù hợp với thực tế Bước 4, phát biểu tập Từ nội dung trình bày bước trên, để tạo tốn, chúng tơi kết hợp với kỹ thuật xây dựng cơng thức tính tổng qt theo x, đặc biệt hóa tốn việc yêu cầu tính giá trị hàm giá trị cụ thể, lập toán đảo thể tìm x biết giá trị hàm Việc đặt yêu cầu để học sinh xây dựng công thức nhằm tạo nên hiểu biết mối liên hệ đại lượng kinh tế, đồng thời cách làm tạo thu hút học sinh kiến tạo kiến thức ý nghĩa kiến thức cho thân Ví dụ: phận nghiên cứu thị trường công ty sản xuất radio ước lượng hàm cầu sau: x = 10000 – 1000p, x số lượng radio tiêu thụ hàng tuần mức giá p (nghìn đồng); phận tài cơng ty ước lượng hàm tổng chi phí gồm chi phí cố định 7000 (nghìn đồng) chi phí biến đổi (nghìn đồng)/ radio a) Biểu diễn hàm tổng chi phí C(x) theo số lượng radio tiêu thụ x b) Kí hiệu g(x) tỷ lệ thay đổi tức thời tổng chi phí thay đổi đơn vị sản xuất theo x Cho biết liên hệ g(x) C(x) Tính tỷ lệ thay đổi tức thời tổng chi phí số lượng radio 2000, 3000, 4000 Cho biết ý nghĩa số c) Biểu diễn hàm doanh thu R(x) theo x Tính doanh thu số lượng radio bán 500, 1000, 4000 d) Cần sản xuất radio để doanh thu gấp 1,5 lần chi phí e) Kí hiệu h(x) tỷ lệ thay đổi tức thời tổng doanh thu thay đổi đơn vị sản xuất theo x Biểu diễn h(x) theo x f) Tính h(x) số lượng radio bán 2000, 5000, 7000 Cho biết ý nghĩa số giải thích kết g) Tìm hàm lợi nhuận theo x Tính lợi nhuận số lượng radio bán 500, 1000, 4000 h) Cần sản xuất radio cơng ty khơng bị lỗ i) Xác định mức sản lượng tốt để tạo lợi nhuận nhiều Câu a) thiết kế nhằm mục đích tạo hội để học sinh hiểu rằng, tổng chi phí bao gồm chi phí cố định chi phí thay đổi (theo số lượng radio) Ngầm ý nhằm giáo dục cho học sinh kiến thức tài chính, là: - Tổng chi phí thay đổi = chi phí biến đổi/ sản phẩm x số sản phẩm; - Tổng chi phí = Chi phí cố định + Tổng chi phí thay đổi Mục đích câu b) nhằm giúp học sinh thấy ý nghĩa kinh tế kiến thức đạo hàm, tỷ lệ thay đổi tức thời tổng chi phí thay đổi đơn vị sản xuất đạo hàm tổng chi phí, mặt tốn học g(x) = C’(x) Việc đặt yêu cầu “tỷ lệ thay đổi tức thời tổng chi phí số lượng radio 2000, 3000, 4000” nhằm giúp học sinh hiểu ý nghĩa kinh tế “kết cho biết xấp xỉ lượng chi phí tăng thêm sản xuất thêm đơn vị sản phẩm trường hợp chi phí tăng thêm nghìn đồng để sản xuất thêm radio mức sản lượng” Ở chúng tơi sử dụng kỹ thuật đặc biệt hóa để tạo tốn Mục đích câu c) nhằm tạo hội để học sinh hiểu cách tính doanh thu = số radio bán x giá bán/ radio 36 PHẠM SỸ NAM - LÊ THÁI SƠN TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GỊN trường hợp này, sử dụng kỹ thuật tổng quát hóa đặc biệt hóa Trong câu d) chúng tơi sử dụng kỹ thuật tốn đảo Mục đích câu d nhằm giúp học sinh hiểu cách xác định sản phẩm mong muốn có điều kiện liên hệ doanh thu chi phí, tức mong muốn đạt tiêu định kinh tế Câu e) nhằm giúp học sinh hiểu ý nghĩa đạo hàm kinh tế, là: tỷ lệ thay đổi tức thời tổng doanh thu đạo hàm tổng doanh thu Câu f) nhằm giúp học sinh hiểu ý nghĩa kinh tế “kết giá trị h(x) giá trị cụ thể cho biết xấp xỉ lượng doanh thu tăng thêm sản xuất thêm đơn vị sản phẩm”, từ nhận h(2000) = 6; h(5000) = 0, h(7000) = - Điều có nghĩa, mức sản lượng 2000 doanh thu tăng sản lượng tăng, mức sản lượng 5000 doanh thu khơng thay đổi, mức sản lượng 7000 doanh thu bị giảm Câu g) nhằm tạo hội để học sinh xây dựng cơng thức tính lợi nhuận Hiểu mối liên hệ lợi nhuận, tổng chi phí, tổng doanh thu Thông qua kết giá trị g(500) < 0, g(1000) = 0, g(4000) > để giúp học sinh nhận ý nghĩa kinh tế sản lượng 500 cơng ty bị lỗ, sản lượng 1000 cơng ty hịa vốn, sản lượng 4000 cơng ty có lời Câu h) nhằm giúp học sinh nhận điều kiện khơng bị lỗ kinh tế có doanh thu tổng chi phí phải thỏa mãn điều kiện gì, đồng thời nhận điều kiện mặt toán học tương đương với “khơng bị lỗ” Trong câu kỹ thuật tạo toán đảo sử dụng Câu i) nhằm giúp học sinh hiểu điều kiện “lợi nhuận nhiều nhất” xảy nào, tương ứng với điều kiện toán học Các câu hỏi tốn đặt với mục đích khác nhau, câu hỏi ngầm ẩn kiến thức tài Thơng qua việc giải đáp giúp học sinh thấy liên hệ điều kiện mặt kinh tế điều kiện mặt toán học Kết luận Với xu hướng dạy học Toán kết nối với giáo dục tài nhu cầu tốn đạo hàm (có liên quan đến tài chính) nhằm phục vụ cho trình dạy học điều cần thiết Bằng việc thực định hướng thiết kế theo quy trình phần giúp giáo viên tạo nguồn tập đạo hàm liên quan đến kinh tế, đồng thời với kỹ thuật xây dựng câu hỏi giúp cho học sinh hiểu công thức tính đại lượng kinh tế, hiểu ý nghĩa kinh tế kiến thức toán học túy phát triển tư cho học sinh Quá trình xây dựng tập làm giảm bớt tính hàn lâm kiến thức đạo hàm, giáo viên hạn chế khó khăn việc tìm nguồn tập thực tế, góp phần cho giảng sinh động hơn, giúp học sinh thấy nội dung tốn học nhiều tình thực tiễn khác nhau, tạo hội để học sinh kết nối đạo hàm với tài chính, thấy tồn đạo hàm vấn đề tài biết sử dụng đạo hàm để giải vấn đề liên quan đến tài chính, từ giúp em có vốn kiến thức cần thiết tài Tuy nhiên, cần lưu ý rằng, quy trình thực tốt lựa chọn tình liên quan đến đạo hàm có ý nghĩa kinh tế Quy trình phát triển để vận dụng cho việc thiết kế tình liên quan tài từ nội dung toán học khác 37 SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No 75 (03/2021) TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Freudenthal H, “Geometry between the devil and the deep sea”, Educational Studies in Mathematics, 3(3-4), 413-435, 1971 [2] Abraham Arcavi, “Everyday and Academic Mathematics in the Classroom” in The Everyday and the Academic in Mathematics, National Council of Teachers of Mathematic, 2002 [3] OECD, INFE, “Financial Education and the Crisis: Policy Paper and Guidance”, 2009 [4] OECD, INFE, “OECD/INFE high-level principles on national strategies for financial education”, 2012 [5] OECD, INFE, “National strategies for financial education”, Manual de políticas OCDE/INFE, 2015 [6] Bộ Giáo dục Đào tạo, “Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn”, 2018 [7] Pham Sy Nam, Ha Xuan Thanh, Max Stephens, “Teaching experiments in constructing mathematical problems that relate to real life”, Innovation and Technology for Mathematics and Mathematics Education (ISIM-MED), 411-420, 2014 [8] Nam P S, Stephens M, “A Teaching Experiments in Constructing the Limit of a Sequence”, Journal of Science and Mathematics Education in Southeast Asia, 37(1), 1-20, 2014 Ngày nhận bài: 24/4/2020 Biên tập xong: 15/3/2021 38 Duyệt đăng: 20/3/2021 ... để học sinh kết nối đạo hàm với tài chính, thấy tồn đạo hàm vấn đề tài biết sử dụng đạo hàm để giải vấn đề liên quan đến tài chính, từ giúp em có vốn kiến thức cần thiết tài Tuy nhiên, cần lưu... hỏi nghiên cứu: Thiết kế tình dạy học đạo hàm để giáo dục kiến thức tài cho học sinh? Xây dựng toán đạo hàm liên quan đến kiến thức tài 2.1 Định hướng xây dựng tốn 33 SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON... bước xây dựng kiến thức liên quan trước đến yêu cầu ứng dụng đạo hàm liên quan đến tài ý nghĩa kiến thức kiến thức Sau chúng tơi xét ví dụ nhằm minh họa cho quy trình Bước 1, xác định công thức hàm