Bài viết đề xuất các bước xây dựng bài toán phương trình bậc nhất có liên quan đến thực tiễn tạo cơ hội cho học sinh kết nối kiến thức này với thực tiễn cuộc sống.
Trang 1Xây dựng bài toán phương trình bậc nhất
liên quan đến thực tiễn
Constructing linear equation problems related to real life
TS Phạm Sỹ Nam, Trường Đại học Sài Gòn Pham Sy Nam, Ph.D., Saigon University
ThS.NCS Hà Xuân Thành, Cục Khảo thí và Kiểm định chất lượng giáo dục
Ha Xuan Thanh, M.A., Ph.D student, Office of Quality Management, Ministry of Education and training
Tóm tắt
Việc kết nối toán học với thực tiễn là một yêu cầu trong dạy học môn Toán hiện nay Tuy nhiên, thực tế dạy học phương trình bậc nhất một ẩn chưa phản ánh điều này Các bài tập phương trình bậc nhất một
ẩn có liên quan đến thực tiễn còn hạn chế và giáo viên gặp nhiều khó khăn trong việc tạo cơ hội cho học sinh kết nối với thực tiễn Bài viết đề xuất các bước xây dựng bài toán phương trình bậc nhất có liên quan đến thực tiễn tạo cơ hội cho học sinh kết nối kiến thức này với thực tiễn cuộc sống
Từ khóa: phương trình bậc nhất một ẩn, bài toán có liên quan đến thực tiễn, xây dựng bài toán
Abstract
Connecting mathematics with reality is a requirement in today's teaching math However, the actual teaching of linear equation problem does not reflect this connection The linear equation problems related to real life are limited and teachers face many difficulties in creating opportunities for students to connect with reality The paper analyzes some of the difficulties and suggest steps to construct linear equation problems related to real life to create chances for students to connect with real life
Keywords: linear equation, mathematical problems related to real life, construct a problem
1 Mở đầu
Nhu cầu thực tiễn là nền tảng của sự
phát triển toán học Ngược lại, toán học
cũng có tác dụng mạnh mẽ đối với thực
tiễn đời sống, sản xuất và các ngành khoa
học kỹ thuật khác Lịch sử của Toán học
gắn liền với sự phát triển của loài người,
những khái niệm toán học được hình thành
hầu hết xuất phát từ đời sống thực tiễn, từ
nhu cầu tìm tòi và khám phá của con
người Phương trình bậc nhất là khái niệm
cơ bản của Toán học, có nhiều thể hiện và ứng dụng trong thực tiễn cuộc sống nhưng chưa được thể hiện nhiều trong quá trình học tập Điều này có nguyên nhân là việc dạy học nội dung này chưa được chú trọng kết nối với thực tiễn, hơn nữa số lượng bài toán về phương trình bậc nhất liên quan đến thực tiễn chưa nhiều và các bài toán chưa thực sự phản ánh rõ thực tiễn cuộc
Trang 2sống Nhằm tạo cơ hội cho học sinh (HS)
liên hệ đến các tình huống khác nhau khi
gặp bài toán liên quan đến thực tiễn, bài
viết này tập trung vào câu hỏi nghiên cứu:
Cần thực hiện các bước như thế nào để xây
dựng bài toán về phương trình bậc nhất có
liên quan đến thực tiễn từ bài toán có liên
quan đến thực tiễn cho trước?
2 Nội dung nghiên cứu
2.1 Nguyên lí giáo dục thực hiện
trong môn toán
Để đạt được mục tiêu đào tạo con
người mới, toàn bộ hoạt động giáo dục, nói
riêng là việc dạy học các bộ môn, phải
được thực hiện theo nguyên lí: “học đi đôi
với hành, giáo dục kết hợp với lao động
sản xuất, lí luận gắn liền với thực tiễn…”
[tr.62, Nguyễn Bá Kim] Nhằm thực hiện
nguyên lí giáo dục trong toán học, những
phương hướng cần thực hiện đó là:
Làm rõ mối liên hệ giữa Toán học
và thực tiễn;
Dạy cho học sinh kiến tạo tri thức;
Tăng cường vận dụng và thực hành
toán học
Trong phương hướng thứ nhất, thông
qua cái vỏ trừu tượng của toán học, phải
làm cho học sinh thấy rõ được mối liên hệ
giữa toán học và thực tiễn, đó là: Làm rõ
nguồn gốc thực tiễn của toán học; làm rõ
sự phản ánh thực tiễn của toán học; làm rõ
những ứng dụng thực tiễn của toán học
Trong phương hướng thứ hai, việc dạy
được yêu cầu sao cho học sinh có thể nắm
vững tri thức, kĩ năng và sẵn sàng vận dụng
vào thực tiễn
Trong phương hướng thứ ba, cần cho
học sinh làm toán có nội dung thực tiễn
2.2 Ý tưởng xây dựng bài toán có
liên quan đến thực tiễn
Để xây dựng bài toán có liên quan đến
thực tiễn, trong việc thiết kế giảng dạy, để
thực hiện ý tưởng này chúng tôi thực hiện theo các cấp độ
- Ban đầu, yêu cầu học sinh giải bài toán chứa tình huống liên quan đến thực tiễn
- Sau đó học sinh sẽ phải xác định mô hình toán học và giải bài toán đó
- Dựa vào mô hình toán ở trên từ đó đề xuất các bài toán liên quan đến thực tiễn Việc làm này nhằm mục đích tạo cho học sinh thấy được các thành phần của bài toán chứa tình huống liên quan đến thực tiễn đó là: bài toán toán học thuần túy và một số yếu tố liên quan đến thực tiễn Việc phối hợp cả hai yếu tố này tạo nên bài toán có liên quan đến thực tiễn Việc giải bài toán chính là việc tách các yếu tố liên quan đến thực tiễn để xác định mô hình toán học và việc tạo bài toán chứa tình huống liên quan đến thực tiễn chính
là thêm các yếu tố thực tiễn, gắn cho các biến của bài toán thuần tuý tương ứng với các đại lượng trong thực tiễn Việc dựa trên bài toán thuần tuý để đề xuất các bài toán liên quan đến thực tiễn nhằm giúp học sinh thấy được một nội dung có thể được phát biểu dưới các hình thức khác nhau Việc xác định bài toán toán học trong mỗi bài toán liên quan đến thực tiễn cũng chính là giúp học sinh thấy được bản chất của vấn đề
2.3 Các bước khi thiết kế bài tập từ bài tập chứa tình huống thực tiễn có sẵn
Hoạt động này gồm 2 bước:
Bước 1: Giải bài toán chứa tình huống
thực tiễn (BTCTHTT) có sẵn, từ đó xác định mô hình TH của bài toán đã cho;
Bước 2: Đề xuất BTCTHTT mới
Trong cách khai thác này, trước hết cần tìm các BTCTHTT có sẵn Đây có thể
là các bài toán chứa tình huống giả định hoặc các bài toán chứa tình huống thực
Trang 3Trong bước 1, cần giải bài toán đã biết
trước bằng cách sử dụng các kiến thức, kĩ
năng sẵn có cùng các dữ liệu đã cho trong
bài toán để xác định được mô hình toán
học và từ đó hoàn thành nốt bước tiếp
theo Điều này giúp người thiết kế thấy
được rõ bản chất toán học của BTCTHTT
Sau đó, trong bước 2, dựa trên BTCTHTT
đã được giải quyết (với mô hình toán học
được xác định), người khai thác có thể tìm
kiếm, liên hệ kết nối một cách thích hợp
các tình huống thực tiễn (giả định) có
chung mô hình toán học đã có nhằm tạo ra
các bài toán mới theo nguyên tắc một mô
hình, nhiều tình huống Cách thiết kế này
có thể sử dụng được cho giáo viên (GV) và
HS Tuy nhiên, đối với từng đối tượng thì
yêu cầu thực hiện từng bước có sự khác
nhau Đối với GV khi thực hiện, chỉ cần
xác định được mô hình toán học để từ đó
tìm kiếm các BTCTHTT có mô hình toán
học tương ứng
Để làm được như vậy, có thể sử dụng
các cách sau:
Cách 1: Thay đổi các đối tượng đề cập
đến trong bài toán
Mỗi BTCTHTT đều đề cập đến một
hoặc nhiều đối tượng nào đó Chẳng hạn,
một bài toán “số tiền có được sau 3 năm
gửi ngân hàng với lãi suất 5,4%”, như vậy
đối tượng được đề cập ở đây là “số tiền”
Tuy nhiên, khi liên hệ với các tình huống
khác trong thực tiễn, chúng ta có thể thấy
tình huống này cũng tương tự tình huống
tăng dân số, tăng trưởng vi khuẩn, Vậy
có thể thay “số tiền” bởi “dân số” hoặc “số
vi khuẩn” để đề xuất một bài toán mới
Ví dụ 1: Xét bài toán cổ: “Vừa gà vừa
chó bó lại cho tròn ba mươi sáu con, một
trăm chân chẵn Hỏi có mấy con gà và mấy
con chó?”
Mô hình toán học của tình huống thực
tiễn này là:
“giải phương trình 2x+4(36-x)=100”
Bằng cách thay đổi đối tượng “gà, chó” bởi đối tượng “thuyền chở 2 người và thuyền chở 4 người” Từ mô hình toán học trên chúng ta có được bài toán mới:
Ví dụ 1.1: Để chở hết 100 người người
ta dùng 36 cái thuyền, gồm 2 loại: thuyền chở được 2 người và thuyền chở được 4 người Hỏi mỗi loại thuyền có mấy cái”
Bằng cách thay đổi đối tượng “gà,
chó” bởi đối tượng “cabin chở 2 người và thuyền chở 4 người” Từ mô hình toán học trên chúng ta có được bài toán mới:
Ví dụ 1.2: Một công ty du lịch dự
định xây dựng một hệ thống cáp treo để chở khách tham quan Qua khảo sát thì có thể lắp đặt được 36 cabin chở khách gồm
2 loại, loại cabin chở được 2 người và loại cabin chở được 4 người Thời gian để mỗi cabin di chuyển hết 1 vòng là 1 giờ Để mỗi giờ công ty du lịch chở được 100 khách thì phải lắp mỗi loại cabin bao nhiêu chiếc?
Cách 2: Thay đổi các quan hệ, tính
chất của đối tượng trong bài toán Mỗi đối tượng có thể có nhiều quan
hệ, tính chất Chẳng hạn, cùng xét về số tiền trong tình huống gửi ngân hàng, nhưng chúng ta xét số tiền có được sau 2 năm gửi, hoặc xét số tiền lãi thu được sau 2 năm, hoặc xét số tiền gửi hay xét số tiền trả góp thì chúng ta sẽ có được các yêu cầu khác nhau của bài toán Đây cũng là cách tạo ra bài toán mới
Ví dụ 1.3: Từ bài toán cổ trên, bằng
cách thay đổi “gà”, “chó” tương ứng thành
“xe chở được 4 khách” và “xe chở được 7 khách”; thay đổi “36 chân” thành “85 xe”; thay đổi “100 chân” thành “445 khách” Ta
có bài toán:
Hãng Taxi Airport có 85 xe ôtô chở
Trang 4khách gồm hai loại, xe chở được 4 khách
và xe chở được 7 khách phục vụ khách tại
Sân bay quốc tế Nội Bài
Vào thời gian cao điểm khi mà nhiều
máy bay hạ cánh, nhu cầu khách đi lại
nhiều, Hãng phải huy động cả 85 xe hoạt
động và đã vận chuyển được 445 khách
cùng lúc Tính số xe ôtô mỗi loại?
Cách 3: Thay đổi giả thiết hoặc thay
đổi kết luận của bài toán
Việc thay đổi giả thiết hoặc kết luận từ
bài toán xuất phát sẽ tạo ra một cấu trúc
khác Do vậy, chúng ta sẽ có được một bài
toán mới Thực tiễn cuộc sống khá đa dạng
sẽ tạo cơ hội để có thể thay đổi giả thiết
hoặc kết luận theo nhiều hình thức khác
nhau Điều này làm cho các bài toán mới
được phong phú hơn về nội dung
Ví dụ 1.4: Một lớp học muốn thuê
dịch vụ của một công ty du lịch để tổ chức
chuyến tham quan cuối khóa học Có 2
công ty đã được liên hệ để lấy các thông tin
về giá Công ty A có phí dịch vụ ban đầu là
375 USD cộng với 0,5 USD cho mỗi km
chiều đi có hướng dẫn viên tham gia Công
ty B có phí dịch vụ ban đầu là 250 USD
cộng với 0,75 USD cho mỗi km hướng dẫn
viên tham gia
a) Lớp học nên chọn công ty nào để
thuê dịch vụ nếu biết rằng chuyến đi sẽ đến
một địa điểm nào đó với tổng khoảng cách
chiều đi là 600 km
b) Lớp học đi tham quan ở địa điểm có
khoảng cách là bao nhiêu thì chi phí ở hai
công ty là như nhau?
Trong bài toán trên, mô hình toán học
ở câu b là:
“giải phương trình: 375+ 0,5x = 250 +
0,75x”
Trong bài toán trên, có thể xem như là
tính toán với hai biểu thức Bằng cách thay
đổi giả thiết chuyển mô hình bài toán về ba
biểu thức, chúng ta có bài toán sau:
Ví dụ 1.5: Có 3 hình thức trả tiền cho
việc truy cập Internet như sau:
- Hình thức A: Mỗi giờ truy cập giá 2.000 đồng;
- Hình thức B: Thuê bao hằng tháng 350.000 đồng và số giờ truy cập không hạn chế;
- Hình thức C: Thuê bao hằng tháng 45.000 đồng và mỗi giờ truy cập phải trả thêm 500 đồng
a) Em sẽ chọn hình thức nào để trả ít tiền hơn nếu tổng hợp số giờ truy cập hằng ngày trong tháng (30 ngày) lần lượt là 1,5 giờ; 4 giờ; 8 giờ
b) Số giờ trung bình mỗi ngày nhà bạn
D truy cập internet là bao nhiêu thì số tiền phải trả cho hình thức A và B là như nhau?
B và C là như nhau?
Mô hình toán học trong câu b của bài toán trên là:
“giải các phương trình 2000x =
350000; 45000+500x = 350000”
Bằng cách chuyển sang điểm, chúng ta
có bài toán
Ví dụ 1.6: Để thi vào lớp 10 chuyên
Toán THPT, thí sinh phải thi 3 bài (Toán; Ngữ văn và Toán chuyên, với điểm bài thi Toán chuyên được tính hệ số 2) Trong kì thi năm 2015, bạn An đã thi vào chuyên Toán Sau khi làm bài Toán và Ngữ văn, bạn An tự đánh giá bài thi Toán đạt 9,5 điểm, bài thi Ngữ văn đạt 6,5 điểm Biết điểm chuẩn (tổng điểm tất cả các môn đã nhân hệ số) vào chuyên Toán năm trước là
30 điểm Hỏi điểm bài thi Toán chuyên của bạn An phải là bao nhiêu để điểm của bạn bằng điểm chuẩn của năm ngoái?
Mô hình toán học của bài toán trên là:
“giải phương trình 9,5 + 6,5+ 2x =30”
Thay đổi giả thiết về cách xác định điểm đỗ tốt nghiệp THPT, chúng ta có bài toán sau:
Trang 5Ví dụ 1.7: Trong kì thi tốt nghiệp
THPT, bạn B phải thi 3 môn bắt buộc là
Toán, Ngữ văn, Ngoại ngữ và 1 môn tự
chọn là Địa lí Sau khi thi 3 môn, bạn B so
đáp án thì thấy bài thi môn Toán đạt 7,0
điểm, bài thi môn Ngoại ngữ là 6,5 điểm,
bài thi môn Ngữ văn đạt 6,0 điểm Hỏi để
được công nhận tốt nghiệp THPT thì bài
thi môn Địa lí bạn B phải đạt bao nhiêu
điểm? Biết rằng để được công nhận tốt
nghiệp THPT, điểm trung bình các môn thi phải đạt ít nhất 5,0 điểm và không có môn nào từ 1,0 điểm trở xuống
Thay đổi sang mô hình hàm số cho bởi nhiều công thức ta có bài toán sau đây:
Ví dụ 1.8:
Tập đoàn Viettel cung cấp các dịch vụ viễn thông Trong đó có 2 gói dịch vụ là gói cước trả sau Basic + và gói cước trả trước Tomato
Bảng Gói cước Basic+
Cước gọi: Đồng /phút Block 6s đầu 1s tiếp
theo
Bảng gói cước Tomato
đầu
1s tiếp theo
a) Hãy biểu thị số tiền phải trả y tính
theo số phút gọi x đối với từng gói cước?
b) Trong trường hợp người đó sử dụng
50% cuộc gọi nội mạng và 50% cuộc gọi
ngoại mạng thì với tổng thời gian gọi điện
thoại là bao nhiêu thì số tiền mà người đó
phải trả cho hai bảng gói cước là như nhau
3 Kết luận
Như vậy, theo các bước nêu trên, chúng ta có thể thiết kế các bài tập chứa đựng tình huống thực tiễn dựa trên các bài toán có liên quan đến thực tiễn cho trước
Trang 6Trong bối cảnh chương trình giáo dục phổ
thông đang tiếp cận theo hướng phát huy
năng lực học sinh thì việc tạo cơ hội cho
giáo viên và học sinh xây dựng các bài
toán có tính thực tiễn phục vụ cho quá trình
dạy - học toán là một việc làm rất có ý
nghĩa vì thông qua đó vừa cho học sinh
thấy được vẻ đẹp của toán học qua các ứng
dụng thực tiễn của nó; đồng thời qua các
tình huống thực tiễn, học sinh có cơ hội
được giải quyết các vấn đề trong thực tiễn
đời sống hằng ngày
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 Bộ Giáo dục và Đào tạo, Sách giáo viên Đại
số 10, Nxb GDVN
2 Trần Kiều (1998), “Toán học nhà trường và
nhu cầu phát triển văn hóa Toán học”, Nghiên
cứu giáo dục, (10/1998), tr.3-4
3 Nguyễn Bá Kim (2013), Phương pháp dạy
học bộ môn Toán, Nxb ĐHSP Hà Nội
4 Pham Sy Nam, Max Stephens, Constructing
knowledge of the finite limit of a function: An
Mathematics, Proceedings of the 24th Biennial Conference of The Australian of Mathematics Teachers Inc, Melbourne, Australia, page 133-141, (2013)
5 Pham Sy Nam, Max Stephens, A Teaching
Experiments in Constructing the Limit of a
Mathematics Education in Southeast Asia
2014, Vol 37 No 1, 1-20, (2014)
6 Pham Sy Nam, Ha Xuan Thanh, Max
Stephens (2014), Teaching experiments in
constructing mathematical problems that relate to real life Proceedings of the Innovation and Technology for Mathematics and Mathematics Education (ISIM-MED
2014), Yogyakarta State University, Indonesia, page 411-420, (2014).
Ngày nhận bài: 10/9/2017 Biên tập xong: 15/10/2017 Duyệt đăng: 20/10/2017