Nội dung của tài liệu trình bày kiến thức cơ bản; định nghĩa phương trình bậc nhất; hai quy tắc biến đổi phương trình; phân dạng toán; giải phương trình bậc nhất một ẩn; tìm điều kiện... Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu để nắm chi tiết nội dung.
Trang 1MỤC LỤC
1 Kiến thức cơ bản 2
1.1 Định nghĩa phương trình bậc nhất 2
1.2 Hai quy tắc biến đổi phương trình 3
2 Phân dạng toán 4
2.1 Giải phương trình bậc nhất một ẩn 4
2.2 Giải và biện luận phương trình pam bqx cm d 0 5 2.3 Tìm điều kiện 6
3 Bài tập luyện tập 11
Trang 2PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
(Dành cho lớp 8 )
1 Kiến thức cơ bản
1.1 Định nghĩa phương trình bậc nhất
Định nghĩa 1 Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng
ax b 0 trong đó:
+ a và b là hai số đã cho và a 0
+ x là ẩn
+ ax b là vế trái của phương trình và 0 là vế phải của phương trình
Chú ý 1 Ẩn của phương trình không nhất thiết lúc nào cũng là x, có thể
là y, z, t,
Ví dụ 1 Các phương trình sau là phương trình bậc nhất một ẩn x
1 2x 1 0
2 x 2 0
3 x 0
Ví dụ 2 Các phương trình sau là phương trình bậc nhất một ẩn t:
1 4t 1 0
2 2t 0
Trang 31.2 Hai quy tắc biến đổi phương trình
a) Quy tắc chuyển vế
Trong một phương trình ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang
vế kia và đổi dấu hạng tử đó
Ví dụ 3 4x 1 0 ta có thể chuyển hạng tử số 1 từ vế phải sang vế trái và đổi dấu hạng tử đó thành 1, khi đó phương trình đã cho trở thành 4x 1
Ví dụ 4 3x4 0 ta có thể chuyển hạng tử số 4 từ vế phải sang
vế trái và đổi dấu hạng tử đó thành 4, khi đó phương trình đã cho trở thành 3x 4
b) Quy tắc nhân với một số
Trong một phương trình, ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0
Ví dụ 5 Ta có thể nhân cả hai vế của phương trình 2x 1 0 với
số 3 (vì số 3 khác số 0), tức là
Vì apb cq ab ac và 3.0 0 nên phương trình (1) trở thành
Vì 3.1 3 và 3.2 6 nên phương trình (2) trở thành 6x 3 0 Vậy nhân cả hai vế của phương trinh 2x 1 0 với số 3 ta được phương trình 6x 3 0
Trang 4Ví dụ 6 Ta có thể nhân cả hai vế của phương trình 2x 4 0 với
số 1
2 (vì số
1
2 khác số 0), tức là
1
2p2x 4q 1
Vì apb cq ab ac và 1
2 0 0 nên phương trình (3) trở thành 2x
2
4
Vì 2
2 1 và 4
2 2 nên phương trình (4) trở thành x 2 0
Vậy nhân cả hai vế của phương trình 2x 4 0 cho số 1
2 ta được phương trình mới x 2 0
2 Phân dạng toán
2.1 Giải phương trình bậc nhất một ẩn
Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn
Bước 1: Chuyển vế ax b
Bước 2: Nhân hai vế phương trình ax b với số 1
a ta được x b
a . Bước 3: Vậy x b
a là nghiệm của phương trình đã cho.
Tổng quát phương trình ax b 0 (a khác 0) được giải như sau:
ax b 0 ô ax bô x b
a . Vậy x b
a là nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 7 Giải phương trình sau
a) 2x 4 0
b) 2x1 0
Trang 5a) 2x 4 0 ô 2x 4 ôx 4
2 ô x 2 Vậy x 2 là nghiệm của phương trình đã cho
b) 2x 1 0 ô 2x 1 ô x 1
2 Vậy x 1
2 là nghiệm của phương trình đã cho
Để giải và biện luận phương trình pam bqx cm d 0 ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Nếu am b 0 ô am bô m b
a pa 0q thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là
x pcm dq
am b .
Bước 2: Nếu am b 0 ô am bô m b
a pa 0q thì phương trình đã cho trở thành
0x c b
a d 0
Và nếu:
+) c b
a d 0 thì phương trình đã cho có vô số nghiệm
+) c b
a d 0 thì phương trình đã cho vô nghiệm
Bước 3: Kết luận
Ví dụ 8 Giải và biện luận phương trình pm 1qx m 2 0
Giải
Trang 6Nếu m 1 0 ô m 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất
x pm 2q
Nếu m 1 0 ô m 1 thì phương trình đã cho trở thành
0x p1q 2 0 ô 0x 1 0
Vì 1 0 nên với m 1 phương trình đã cho vô nghiệm
Vậy với m 1 thì phương trình đã cho vô nghiệm và với m 1 phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x pm 2q
Ví dụ 9 Giải và biện luận phương trình pm 1qx 4m 4 0
Giải
Nếu m 1 0 ô m 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất
x p4m 4q
m 1 4pm 1q
m 1 4
Nếu m 1 0 ô m 1 thì phương trình đã cho trở thành
0x 4.p1q 4 0 ô 0x 0 0 ô0x 0
Do đó với m 1 phương trình đã cho có vô số nghiệm
Vậy với m 1 thì phương trình đã cho có vô số nghiệm và với m 1 phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x 4
2.3 Tìm điều kiện
Bài toán 1 Tìm điều kiện để phương trình pam bqx cm d 0 có nghiệm duy nhất
Phương pháp giải
Trang 7Điều kiện để phương trình pam bqx cm d 0 có nghiệm duy nhất
là am b 0 ô am bô m b
a (a 0)
Ví dụ 10 Tìm điều kiện để phương trình pm 1qxm 0 có nghiệm duy nhất
Giải
Điều kiện để phương trình pm 1qx m 0 có nghiệm duy nhất là
m 1 0 ô m 1
Bài toán 2 Tìm điều kiện để phương trình pam bqx cm d 0 có
vô số nghiệm
Phương pháp giải
Bước 1: Điều kiện để phương trình pam bqx cm d 0 có vô số nghiệm là am b 0 và cm d 0
Bước 2: Ta có am b 0 ô m b
a (a 0), thay m b
a vào
cm d ta được cm d c b
a d Và nếu:
+) Nếu c b
a d 0 thì kết luận với m b
a phương trình đã cho có
vô số nghiệm
+) Nếu cb
a d 0 thì kết luận không có giá trị nào của m để phương trình đã cho có vô số nghiệm
Ví dụ 11 Tìm điều kiện để phương trình p2m 8qx m4 0 có vô
số nghiệm
Trang 8Giải Điều kiện để phương trình p2m 8qxm 4 0 có vô số nghiệm là 2m 8 0 và m4 0
Ta có 2m 8 0 ô 2m 8 ô m 8
2 ô m 4, thay m 4 vào m4 ta được m4 p4q 4 44 0
Vậy điều kiện để phương trình đã cho có vô số nghiệm là m 4
Ví dụ 12 Tìm điều kiện để phương trình pm 3qxm 1 0 có vô số nghiệm
Giải Điều kiện để phương trình pm 3qxm 1 0 có vô số nghiệm là
m 3 0 và m 1 0
Ta có m 3 0 ô m 3, thay m 3 vào m 1 ta được
m 1 p3q 1 3 1 4 0
Vậy không có giá trị nào của m để phương trình đã cho có vô số nghiệm Bài toán 3 Tìm điều kiện để phương trình pam bqx cm d 0 có nghiệm
Phương pháp giải Phương trình có nghiệm, tức là phương trình có thể có nghiệm duy nhất hoặc phương trình có vô số nghiệm
Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình pam bqx cm d 0 có nghiệm duy nhất
Bước 2: Tìm điều kiện để phương trình pam bqx cm d 0 có vô
số nghiệm
Trang 9Bước 3: Kết luận.
Ví dụ 13 Tìm điều kiện để phương trình pm 1qx 4m 4 0 có nghiệm
Giải
Điều kiện để phương trình pm 1qx4m4 0 có nghiệm duy nhất
là m 1 0 ô m 1
Điều kiện để phương trình pm 1qx4m 4 0 có vô số nghiệm là
m 1 0 và 4m 4 0 Ta có m 1 0 ô m 1, thay m 1 vào 4m 4 ta được 4m 4 4.p1q 4 4 4 0 Suy ra, với
m 1 phương trình đã cho có vô số nghiệm
Vì với m 1 phương trình đã cho có nghiệm duy nhất và với m 1 phương trình đã cho có vô số nghiệm nên phương trình đã cho có nghiệm với mọi giá trị m
Ví dụ 14 Tìm điều kiện để phương trình pm 2qx 4m 4 0 có nghiệm
Giải
Điều kiện để phương trình pm 2qx4m4 0 có nghiệm duy nhất
là m 2 0 ô m 2
Điều kiện để phương trình pm 2qx4m 4 0 có vô số nghiệm là
m 2 0 và 4m 4 0 Ta có m 2 0 ô m 2, thay m 2 vào 4m 4 ta được 4m 4 4.p2q 4 8 4 4 0 Do đó không có giá trị nào của m để phương trình đã cho có vô số nghiệm Vậy với m 2 thì phương trình đã cho có nghiệm
Trang 10Bài toán 4 Tìm điều kiện để phương trình pam bqx cm d 0 vô nghiệm
Phương pháp giải Bước 1: Điều kiện để phương trình pam bqx cm d 0 vô nghiệm
là am b 0 và cm d 0
Bước 2: Ta có am b 0 ô m b
a (a 0), thay m b
a vào
cm d ta được cm d c b
a Và nếu +) cm d cb
a 0 thì kết luận không có giá trị nào của m để phương trình vô nghiệm
+) cm d cb
a 0 thì kết luận điều kiện để phương trình vô nghiệm
là m b
a .
Ví dụ 15 Tìm điều kiện để phương trình pm 1qx 2m 2 0 vô nghiệm
Giải Điều kiện để phương trình pm 1qx 2m 2 0 vô nghiệm là m 1 0
và 2m 2 0
Ta có m 1 0 ô m 1, thay m 1 vào 2m 2 ta được 2m 2 2.p1q 2 2 2 0
Vậy không có giá trị nào của m để phương trình đã cho vô nghiệm
Ví dụ 16 Tìm điều kiện để phương trìnhpm 1qx m 2 0 vô nghiệm
Giải Điều kiện để phương trình pm 1qx m 2 0 vô nghiệm là m 1 0
và m 2 0
Trang 11Ta có m 1 0 ô m 1, thay m 1 vào m 2 ta được
m 2 1 2 1 0
Vậy điều kiện để phương trình đã cho vô nghiệm là m 1
3 Bài tập luyện tập
Bài tập 1 Giải các phương trình sau
c) 1
3x
2
5 0 Đáp số: a) x 1
2 , b) x 8
3, c) x 9, d) x 6
5 Bài tập 2 Giải và biện luận các phương trình sau:
a) p2m 1qx 3m1 0 b) 9mx m 1 0
c) mpxmq x m2 d) 2x2m x3
Hướng dẫn giải: c) và d) Sử dụng quy tắc chuyển vế biến đổi phương trình
đã cho về dạng pam bqx cm d 0
Đáp số:
a) m 1
2 : phương trình có nghiệm duy nhất và m 1
2 : phương trình
vô nghiệm
b) m 0: phương trình có nghiệm duy nhất và m 0: phương trình vô nghiệm
c) m 1: phương trình có vô số nghiệm và m 1: phương trình có nghiệm duy nhất
d) Phương trình luôn có nghiệm duy nhất
Bài tập 3 Tìm điều kiện để các phương trình sau có nghiệm
Trang 12a) p3m 2qxm1 0 b) pm1qx m21 0
c) mpx2q xpm3q 0 d) pm3qx m22 11 Hướng dẫn: Biến đổi phương trình về dạng pam bqx cm d 0 Bài tập 4 Tìm điều kiện để phương trình p2m 4qx m2 4 0 vô nghiệm