ỨNG DỤNG của số PHỨC TRONG GIẢI TOÁN đại số và HÌNH học

Trong chương trình đổi mới nội dung Sách giáo khoa, số phức được đưa vào chương trình toán học phổ thông và được giảng dạy ở cuối lớp 12. Ta biết sự ra đời của số phức là do nhu cầu mở rộng tập hợp số, số phức là cầu nối hoàn hảo giữa các phân môn Đại số, Lượng giác, Hình học và Giải tích (thể hiện sâu sắc mối quan hệ đó là công thức ). Số phức là vấn đề hoàn toàn mới và khó đối với học sinh, đòi hỏi người dạy phải có tầm nhìn sâu, rộng về nó. Do những tính chất đặc biệt của số phức nên khi giảng dạy nội dung này giáo viên có nhiều hướng khai thác, phát triển bài toán để tạo nên sự lôi cuốn, hấp dẫn người học. Bằng việc kết hợp các tính chất của số phức với một số kiến thức đơn giản khác về lượng giác, giải tích, đại số và hình học giáo viên có thể xây dựng được khá nhiều dạng toán với nội dung hấp dẫn và hoàn toàn mới mẻ. Một trong các vấn đề tôi xây dựng là dạng toán ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC trên cơ sở khai thác tính chất của số phức và vận dụng khai triển nhị thức Newton.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO …………… TRƯỜNG THPT ……… SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC CHƯƠNG TRÌNH THPT Người thực hiện: ……… Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Tốn …………… A- ĐẶT VẤN ĐỀ : Trong chương trình đổi nội dung Sách giáo khoa, số phức đưa vào chương trình tốn học phổ thơng giảng dạy cuối lớp 12 Ta biết đời số phức nhu cầu mở rộng tập hợp số, số phức cầu nối hoàn hảo phân mơn Đại số, Lượng giác, Hình học Giải tích (thể sâu sắc mối quan hệ cơng thức ) Số phức vấn đề hồn tồn khó học sinh, địi hỏi người dạy phải có tầm nhìn sâu, rộng Do tính chất đặc biệt số phức nên giảng dạy nội dung giáo viên có nhiều hướng khai thác, phát triển toán để tạo nên lôi cuốn, hấp dẫn người học Bằng việc kết hợp tính chất số phức với số kiến thức đơn giản khác lượng giác, giải tích, đại số hình học giáo viên xây dựng nhiều dạng toán với nội dung hấp dẫn hoàn toàn mẻ Một vấn đề tơi xây dựng dạng tốn ''ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG GIẢI TỐN ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC" sở khai thác tính chất số phức vận dụng khai triển nhị thức Newton B- NỘI DUNG NGHIÊN CỨU : I- CƠ SỞ LÝ LUẬN : Đổi phương pháp dạy học với mục đích phát huy tốt tính tích cực, sáng tạo người học Nhưng thay đổi phương pháp hoàn toàn lạ mà phải trình áp dụng phương pháp dạy học đại sở phát huy yếu tố tích cực phương pháp dạy học truyền thống nhằm thay đổi cách thức, phương pháp học tập học sinh chuyển từ thụ động sang chủ động Vì đưa vào chương trình SGK nên có tài liệu số phức để học sinh giáo viên tham khảo Bên cạnh đó, lượng tập dạng tập số phức SGK nhiều hạn chế Để giúp học sinh có nhìn sâu, rộng số phức, q trình giảng dạy tơi ln tìm tịi khai thác kết hợp kiến thức khác toán học để xây dựng dạng tập cho học sinh tư duy, giải Một vấn đề xây dựng dạng tốn ''ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG GIẢI TỐN ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC" sở khai thác số tính chất số phức II- THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ : Đây vấn đề học sinh phổ thông ,Bộ giáo dục chuyển tải nội dung từ nội dung học đại học năm thứ xuống lớp 12 vừa năm năm Vì đưa vào chương trình SGK nên có tài liệu số phức để học sinh giáo viên tham khảo Bên cạnh đó, lượng tập dạng tập số phức SGK nhiều hạn chế Với thời lượng cho phép dạy lớp mơn tốn có hạn Số phức trở thành phần học trừu tượng học sinh phổ thông trung học.Đối với đối tượng học sinh giỏi câu hỏi mà học sinh thường đưa số phức đưa để làm gì? Do thực tế sống ngày khơng dùng đến tập số phức Do hứng thú phần học số phức hạn chế III- GIẢI PHÁP THỰC HIỆN: Để phát huy tính động sáng tạo học sinh giỏi, đồng thời giúp học sinh thấy tầm quan trọng số phức tốn học thực tiễn tơi giới thiệu biên soạn hệ thống ví dụ tập có tính mở rộng nhiều mảng tốn học giải phương trình, giải hệ phương trình , giải tốn lượng giác, hình học Hệ thống kiến thức số phức: 1.1- Khái niệm số phức:  Là biểu thức có dạng a + b i , a, b số thực số i thoả mãn i = –1  Ký hiệu z = a + b i với a phần thực, b phần ảo, i đơn vị ảo  Tập hợp số phức kí hiệu �= {a + b i / a, b � i = –1} Ta có �  �  Số phức có phần ảo số thực: z = a + i = a � �  Số phức có phần thực số ảo: z = 0.a + b i = b i Đặc biệt i = + i  Số = + i vừa số thực vừa số ảo 1.2- Số phức nhau: a  a' � �  Cho hai số phức z = a + b i z’ = a’ + b’ i Ta có z = z  �b  b ' 1.3Biểu diễn hình học số phức:  Mỗi số phức z = a + b i xác định cặp số thực (a; b)  Trên mặt phẳng Oxy, điểm M(a; b) biểu diễn số phức ngược lại  Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức gọi mặt phẳng phức Gốc tọa độ O biểu diễn số 0, trục hoành Ox biểu diễn số thực, trục tung Oy biểu diễn số ảo 1.4-Môđun số phức:  Số phức z = a + b i biểu diễn điểm M(a; b) mặt phẳng Oxy Độ uuuu r dài véctơ OM gọi mơđun số phức z Kí hiệu z = a + bi = a + b 1.5-Số phức liên hợp:  Cho số phức z = a + b i , số phức liên hợp z z  a  bi z  a  bi � z  a - bi ; z  z , z  z * Chú ý Z số thực ; Z số ảo * Môđun số phức Z=a + b.i (a; b R) Chú ý: C  Hai điểm biểu diễn z z đối xứng qua trục Ox mặt phẳng Oxy 1.6-Cộng, trừ số phức:  Số đối số phức z = a + b i –z = –a – b i  Cho z  a  bi z '  a ' b ' i Ta có z �z '  ( a �a ')  (b �b ')i  Phép cộng số phức có tính chất phép cộng số thực 1.7-Phép nhân số phức:  Cho hai số phức z  a  bi z '  a ' b ' i Nhân hai số phức nhân hai đa thức thay i = –1 rút gọn, ta được: z.z '  a.a '- b.b ' (a.b ' a '.b)i  k.z = k(a + b i ) = ka + kb i Đặc biệt 0.z = z � 2  z z = (a + b i )(a – b i ) hay z.z = a + b = z  Phép nhân số phức có tính chất phép nhân số thực 1.8-Phép chia số phức: Số nghịch đảo số phức z  a  bi  0là z -1  z  z z z ' z '.z  z z a - bi  2 hay a  bi a  b Cho hai số phức z  a  bi  z '  a ' b ' i a ' b ' i (a ' b ' i )( a - bi )  a  b2 hay a  bi 1.9-Lũy thừa đơn vị ảo: Cho k N i k  1; i k 1  i; i k   -1; i k 3  -i 1.10- Căn bậc hai số phức giải phương trình bậc hai: a/Căn bậc hai số phức: Cho số phức w, số phức z = a + b i thoả z = w gọi bậc hai w  w số thực: w = a �  a = 0: Căn bậc hai  a > 0: Có hai bậc hai đối a – a  a < 0: Có hai bậc hai đối a i – a i  w số phức: w = a + b i (a, b �, b  0) z = x + y i bậc hai �x - y  a z  w � ( x  yi )  a  bi � � xy  b � w 2  Mỗi số phức có hai bậc hai đối b/Phương trình bậc hai: +Phương trình bậc hai với hệ số a,b,c số thực: ax  bx  c  (a �0),   b  4ac    0: Phương trình có nghiệm thực   < 0: Phương trình có nghiệm phức x1,2  b �  2a x1,2  b � |  |.i 2a +Phương trình bậc hai với hệ số phức: Ax  Bx  C  ( A �0),   B  AC ,   a  bi   = 0: Phương trình có nghiệm kép    0: Phương trình có nghiệm x x1,2  B 2A  B � 2A với  bậc hai  1.11-Dạng lượng giác số phức: a/Acgumen số phức z  0:  Cho số phức z = a + b i  biểu diễn điểm M(a; b) mặt phẳng uur uuuu r   ( Ox , OM ) gọi acgumen z Oxy Số đo (rađian) góc  Mọi acgumen z sai khác k2 tức có dạng  + k2 (k �) (z nz sai khác k2 với n số thực khác 0)  uuuur uuuu r OM OM z biểu diễn –z biểu diễn – nên có acgumen  + (2k + 1)  z biểu diễn M đối xứng M qua Ox nên có acgumen –  + k2 uuuuu r  – z biểu diễn – OM ' nên có acgumen –  + (2k + 1)  z 1 z 1  | z | , | z |2 số thực z = 1 nên z có acgumen với z –  + k2 b/ Dạng lượng giác số phức z = a + b i :  Dạng lượng giác số phức z  z = r (cos  + i sin  ) với  acgumen z a b z  a  bi � z  r  cos   i sin   ; r  a  b ; cos   ; sin   r r   Chú ý:  Số – cos  – i sin  có dạng lượng giác cos(  + ) + i sin(  + )  Số cos  – i sin  có dạng lượng giác cos(–  ) + i sin(–  )  Số – cos  + i sin  có dạng lượng giác cos( –  ) + i sin( –  ) c/ Nhân, chia số phức dạng lượng giác: Cho z = r (cos  + i sin  ) z = r (cos  ’ + i sin  ’) với r , r  z.z '  r.r '[cos(   ')  i sin(   ')] z r  [cos( -  ')  i sin( -  ')] z ' r' ( r  0)  Ta có z' z có acgumen – ’ + k2 nên 1  [cos( ')  i sin( ')] z' r' z r  [cos( -  ')  i sin( -  ')] Do z ' r ' ( r ’ 0) d/ Công thức Moa–vrơ (Moivre) ứng dụng: e/Công thức Moa–vrơ: Cho số phức z = r (cos  + i sin  )   r (cos   i sin  )  n  r n (cos n  i sin n ) * (n � ) f/Căn bậc hai số phức dạng lượng giác:`  Mọi số phức z = r (cos  + i sin  ) ( r > 0) có bậc hai � �    r� cos  i sin � 2� � � � �   � �  � � � 2   r � cos  i sin ��   r � cos �   � i sin �   � � 2 2 � � � � � � � � 2.Một số ứng dụng số phức: a/ Trong đại số: I>Ứng dụng số phức số tốn giải phương trình-Hệ phương trình: Bài tốn 1: Giải phương trình bậc ba: ax  bx  cx  d  ;(a≠0)(1) Năm 1545 nhà toán học người Ý, Cardano Ginolamo, năm 1545 tìm cơng thức nghiệm phương trình bậc ba thu gọn trình bày theo cách ký hiệu nay: Gọi q 2a ab a2 p p3  ; p  b  27 3 ; δ bậc 27 ;u q q  ;   bậc v bậc Khi ta có nghiệm phương a a  ;  trình (1) là: x1=u+v x2=uz+vz2; x3=uz2+vz3 3   i; z    i; z  2 2 Trong đó: z= �� � 1  �x � � �� x  y � � � �y � 1 � �� x  y2 � � � Bài toán 2: Giải hệ phương trình: Giải: Nhân vế phương trình thứ với i cộng vế với phương trình đầu Đặt z=x+yi ta phương trình ẩn z: z z   i z (2) � z  az   � � �2 �1 � z � �  � i � � � � 21 � � �3 � � � � �x   21 �x   21 � � �� ;� �y  2  �y  2  � � 7 � Phương trình (2) � Thử lại ta thấy hai nghiệm thỏa mãn hệ II> Ứng dụng giải số tốn tính tổng tổ hợp: Dạng 1:Khai triển (1 + x) n, cho x nhận giá trị số phức thích hợp khai triển trực tiếp số phức Bài tốn 3: Tính tổng A= Giải:Xét khai triển: (1 + x)2009 = Cho x = - i ta có: (1 – i )2009 = = () + + ()i Mặt khác: = So sánh phần thực phần ảo (1 – i )2009 hai cách tính ta được: 10 A = = 21004 Bài tốn 4:Tính tổng: D= Giải() + += Mặt khác: So sánh phần thực hai cách tính ta có:D = - 219 Khai triển (1 + x)n, đạo hàm hai vế theo x sau cho x nhận giá Dạng 2: trị số phức thích hợp Bài tốn 5: Tính tổng: E= Giải: (1 + x)30 = Đạo hàm hai vế ta có: 30(1 + x)29 = Cho x = i ta có: 30(1 + i)29 = () + + ()i Mặt khác: 30(1 + i)29 = So sánh phần thực ảo 30(1 + i) 29 hai cách tính ta có: E = - 15.215 Dạng 3: Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị bậc ba đơn vị Ta có nghiệm phương trình: x3 – = x1 = 1; ; 11 .Các nghiệm bậc ba của1 Đặt: có tính chất sau:1) + = -1; 2) ;3) 4) ;5) (k∈Z) Sử dụng tính chất ta tính tổng sau: Bài tốn 6: Tính tổng: S = Giải: Xét khai triển: (1 + x)20 = Cho x = ta có: 220 = (1) Cho x = ta có: (1 + )20 = (2) Cho x = ta có: (1 + )20 = (3) Cộng vế theo vế (1), (2) (3) ta được: 220 + (1 + )20 +(1 + )20 = 3S Mặt khác: ; Do vậy: 3S = 220 – Hay S = III> Ứng dụng giải số toán lượng giác: Bài toán 7: Chứng minh Giải: Đặt x= cos     sin cos sin ; y= z=x+iy= +i Ta có z5=-1 hay(z+1)(z4- 1� 1� �z  � z3+z2-z+1)=0 Ta để ý x= � z �, Từ đẳng thức ta có 4x2-2x-1=0 � x 1�  1 Vì x  nên x  cos  Bài toán 8: Chứng minh cos  3 5  cos  cos  ; 7 12 Giải: Đặt z= cos   sin +i Khi z7=cosπ+i sinπ=-1 hay z7+1=0 Vì z7+1=0 nên z10=-z3 z8=z.Suy z10+ z8+ z6+ z4+ z2+1= z6+ z4-z3+ z2- z+1= z7 1  z  z5 5 Z - z + z -z + z -z+1+z = z   3 5 z5 cos  cos  cos   ; 7 z (đpcm) Mặt khác ta có: IV> Ứng dụng hình học: Bài tốn 9: (IMO Shortlst) Cho tam giác ABC có tâm S A'B'O tam giác khác có hướng S khác A' S khác B' Gọi M, N trung điểm đoạn thẳng A'B AB' Chứng minh tam giác SB'M SA'N đồng dạng Giải: Gọi R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABO, đăt ε= +i sin cos 2 2 Ta xét toán mặt phẳng phức Chọn S gốc tọa độ SO trục thực Khi đó, tọa độ điểm O, A, B biểu diễn số R, Rε,Rε2 Gọi R+z tọa độ điểm B', Thì R-εz tọa độ điểm A' Suy tọa độ M, N z A '  z B R  R  z R(  1)  z  R  z  ( R   )     a 2 2 zM= z A  z B ' R  R  z R (  1)  z  R  z     2 2 ZN= R   R  z 2 z zB '  zS z A'  z S Rz R  z  �  �    �     R  z  R  z zM  z s z N  zs 2 Ta có 13 Từ suy tam giác SB'M SA'N đồng dạng Bài tốn 10 Về phía ngồi tam giác ABC ta dựng tam giác đều, có chiều dương AC'B, BA'C, CB'A Chứng minh tâm tam giác đỉnh tam giác B' A C' C B A' Giải:Gọi a,b,c,a',b',c' tọa độ đỉnh A,B,C,A',B',C', đặt ε= cos 2 2 sin +i Vì AC'B; BA'C; CB'A tam giác nên: a+c'ε+bε2=0; b+a'ε+cε2=0; c+b'ε+aε2=0 Tâm tam giác AC'B; BA'C; CB'A 1  a ' b  c   a  b ' c  ; c "   a  b  c ' có tọa độ là: a''= ; b''= Do , phép tính đại số ta 3(c''+a''ε+b"ε2)= (a+b+c')+(a'+b+c)ε+ (a+b'+c)ε2 =(b+a'ε+cε2)+( c+b'ε+aε2)+( a+c'ε+bε2) =0 Tức tâm tam giác đỉnh tam giác 3.Một số tập: a/ Giải pt, hệ pt Bài 1: Giải phương trình sau 14 2 1) x  x   ( x  4) x  x  2)  x   x  ; 3) x   2x  ;18, 3 2x2  4x  18  x   x  ; 4) x3 5,  x   x  x    2 5, x  14 x   x  x  20  x  Bài 2: Giải hệ phương trình sau �� � 1 1 �x � � �� x  y  � � � �y �  � � 2 � x  y 5� � � 1) y � x �x   y   � � � � � (x  y) � 1 � � xy � � � 3 � 2x  y  � x � � 12 � 2y  x  y � � b/Tính tổng sau A9= c Bài tập lượng giác: Bài 1:Cho a, b, c số thực cho cosa+ cosb+cosc= sina+sinb+sinc=0 Chứng minh cos2a+cos2b+cos2c= Sin2a+sin2b+sin2c=0 Bài 2: Chứng minh rằng: Bài 3:Tính tổng sau: 15 Sn=sina+sin2a+sin3a+ .+sinna; Tn=cosa+ cos2a+ cos3a+ cosna d.Các tập hình học: Bài 1: Cho lục giác lồi ABCDEF Gọi M,N,P,Q,R,S trung điểm cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA Chứng minh MQ  PS  RN2 = MQ2 + PS2 A S F R E Bài 2: Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, D trung điểm đoạn Q minh thẳng AB, E làMtrọng tâm tam giác ACD Chứng CD  OE  AB =DAC Bài 3: Gọi E, F, G, BH trung điểm AB, BC, CD, DA P cạnh 2 2 tứ giác lồi ABCD Chứng minh N rằng:CAB  CD  BC + AD = 2(EG + FH ) Bài 4: Về phía ngồi tam giác ABC, ta dựng ba n - giác Tìm tất giá trị n cho tâm n - giác đỉnh tam giác B0 A C0 C B A0 Bài 5: Cho bốn điểm phân biệt A,B,C,D mặt phẳng Chứng minh AB.CD + AD.BC ≥ AC.BD.Đẳng thức sảy A,B,C,D thẳng hàng A,B,C,D thuộc đường tròn với A,C đối diện với B,D Bài 6: Cho tam giác nhọn ABC Một đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC B Gọi K chân đường vng gốc hạ từ trực tâm tam giác xuống đường thẳng d, L trung điểm cạnh AC Chứng minh BKL tam giác cân 16 IV- KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU: Kết thử nghiệm cuối năm học 2010 2011 ,tôi chọn 30 học sinh lớp 12 khảo sát kết cụ thể sau Lớp Giỏi Khá Trung Yếu bình 12/A1 6,7% 26,7% 16,7% 15 50% 12/A2 3,3% 16,7% 20% 18 60% Kết thử nghiệm cuối tháng năm học 2011 - 2012 ,tôi chọn ngẫu nhiên 30 học sinh lớp 12 khảo sát kết cụ thể sau : Lớp Giỏi Khá Lớp Giỏi Khá 12/A2 12/A3 12 Trung Yếu bình 12/A2 10 33,3% 12 40 % 20 % 6,7% 12/A3 26,7% 10 33,3% 16,6% 23,3% Kết thử nghiệm cuối tháng năm học 2012 - 2013 ,tôi chọn ngẫu nhiên 30 học sinh lớp 12 khảo sát kết cụ thể sau : 36,6% 29,7% 12 10 40 % 33,3% Trung bình 4 Yếu 17 % 13,6% 6,7% 23,3% Rõ ràng qua ba năm thực đề tài này, kết học sinh học phần số phức có tiến rõ rệt C-KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT: I- KẾT LUẬN Việc viết sáng kinh nghiệm vấn đề cấp thiết cho gian đoạn ,giai đoạn cơng nghiệp hóa đại hóa đất nước, đất nước phát triển Việt nam ta nói chung ,riêng ngành giáo dục cần phải đổi nhanh chóng, song mơn đặc biệt mơn tự nhiên điều cốt lõi mà chương trình lớp kế thừa áp dụng giáo viên nên tạo điều kiện để em nắm bắt kiến thức thấy ứng dụng kiến thức vào thực tiễn cách sinh động Có vậy, mơn học tự nhiên trở thành niềm đam mê em học sinh Hy vọng với đề tài giúp học tự học thích học phần số phức II- ĐỀ NGHỊ: Đề tài cần thiết giới thiệu rộng rãi cho học sinh đồng nghiệp dạy 12 Tuy nhiên ví dụ cần sưu tập thêm, với cộng tác độc giả chắn đề tài đem lại nhiều lợi ích Ngồi phương pháp giải ví dụ chưa tối ưu cần góp ý bổ sung bạn đọc D- TÀI LIỆU THAM KHẢO: 17 1.Báo toán học tuổi trẻ 2.Phân dạng phương pháp giải toán số phức thầy : Lê Hồnh Phị 3.Các đề thi đại học thống tồn quốc năm 2008 -2009 4.Bộ tài liệu ôn thi đại học ( TS Vũ Thế Hựu - NXB đại học sư phạm ) 5.Chuyên đề ứng dụng Số phức thầy Cao Minh Quang E- MỤC LỤC: NỘI DUNG TRANG 1.Tên đề tài ………………………1 Đặt vấn đề: …………………… Cơ sở lý luận: ……………… 4.Cơ sở thực tiễn: ………………3 Nội dung nghiên cứu: - 17 Kết nghiên cứu ………… 17 Kết luận: ………………… 18 Đề nghị: ………………… 18 Tài liệu tham khảo: 10 Mục lục: ………… 19 ………………… 20 18 XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hóa ngày 25 tháng năm 2013 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác 19 20 ... ' 'ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG GIẢI TỐN ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC" sở khai thác số tính chất số phức II- THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ : Đây vấn đề học sinh phổ thông ,Bộ giáo dục chuyển tải nội dung từ nội dung học. .. 2.Một số ứng dụng số phức: a/ Trong đại số: I >Ứng dụng số phức số tốn giải phương trình-Hệ phương trình: Bài tốn 1: Giải phương trình bậc ba: ax  bx  cx  d  ;(a≠0)(1) Năm 1545 nhà toán học. .. ' 'ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG GIẢI TỐN ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC" sở khai thác tính chất số phức vận dụng khai triển nhị thức Newton B- NỘI DUNG NGHIÊN CỨU : I- CƠ SỞ LÝ LUẬN : Đổi phương pháp dạy học