HÀM số hàm số bậc NHẤT và bậc HAI (lý thuyết + bài tập có lời giải) file word image marked

CHƯƠNG II: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI §1: ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa  Cho D Ì  , D ¹ Ỉ Hàm số f xác định D qui tắc đặt tương ứng số x Î D với số y Î   x gọi biến số (đối số), y gọi giá trị hàm số f x Kí hiệu: y = f ( x)  D gọi tập xác định hàm số f Cách cho hàm số  Cho bảng  Cho biểu đồ  Cho công thức y = f ( x) Tập xác định hàm số y = f ( x) tập hợp tất số thực x cho biểu thức f ( x) có nghĩa Đồ thị hàm số Đồ thị hàm số y = f ( x) xác định tập D tập hợp tất điểm M ( x; f ( x)) mặt phẳng toạ độ với x Ỵ D Chú ý: Ta thường gặp đồ thị hàm số y = f ( x) đường Khi ta nói y = f ( x) phương trình đường Sư biến thiên hàm số Cho hàm số f xác định K  Hàm số y = f ( x) đồng biến (tăng) K "x1 , x2 Î K : x1 < x2 Þ f ( x1 ) < f ( x2 )  Hàm số y = f ( x) nghịch biến (giảm) K "x1 , x2 ẻ K : x1 < x2 ị f ( x1 ) > f ( x2 ) Tính chẵn lẻ hàm số Cho hàm số y = f ( x) có tập xác định D  Hàm số f gọi hàm số chẵn với "x Ỵ D -x Ỵ D f ( – x) = f ( x)  Hàm số f gọi hàm số lẻ với "x Ỵ D -x Ỵ D f ( – x) = - f ( x) Chú ý: + Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng + Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng 6: Tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ Định lý: Cho (G) đồ thị y = f ( x) p > 0, q > ; ta có Tịnh tiến (G) lên q đơn vị đồ thị y = f ( x) + q Tịnh tiến (G) xuống q đơn vị đồ thị y = f ( x) – q Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị đồ thị y = f ( x + p) 42 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị đồ thị y = f ( x – p) B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI  DẠNG TỐN 1: TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp giải Tập xác định hàm số y = f ( x) tập giá trị x cho biểu thức f ( x) có nghĩa Chú ý : Nếu P( x) đa thức thì: * * * có nghĩa Û P( x) ¹ P( x) P( x) có nghĩa Û P( x) ³ có nghĩa Û P( x) > P( x) Các ví dụ: Ví dụ 1: Tìm tập xác định hàm số sau a) y = x2 + x2 + 3x - A D =  b) y = D D =  \{1; 4} B D = {-1} C D =  \{-1} D D =  ( x + 1)( x2 + 3x + 4) 2x2 + x + x3 + x2 - 5x - ìï -3 - -3 + üï ï A D = ïí2; ; ý ïï ïï 2 ợ ỵ ỡù -3 - -3 + üïï B D =  \ïí-2; ; ý ùù ùù 2 ợ ỵ C D =  ïì -3 - -3 + ïüï D D =  \ïí2; ; ý ïï ïï 2 ợ ỵ d) y = 43 C D = \{1; -4} x +1 A D =  \{1} c) y = B D = {1; -4} (x x - 1) - x 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ïì 2 - 2 + - - - + ïüï A D =  \ï ; ; ; í ý ùù ùù 2 2 ợ ỵ ùỡ - + -2 - -2 + ïüï B D =  \ï ; ; ; í ý ïï ïï 2 2 ợ ỵ ỡ ù 2- 2+ - 2- - 2+ 7ü ï ï C D =  \ï ; ; ; í ý ï ï 2 2 ù ù ợ ỵ ùỡ - + - - - + ïüï D D = ï ; ; ; í ý ùù ùù 2 2 ợ ỵ Li giải: ì ï x¹1 a) ĐKXĐ: x + x - ¹ Û ï í ï ï î x ¹ -4 Suy tập xác định hàm số D =  \{1; -4} b) ĐKXĐ: ( x + 1)( x + x + 4) ¹ Û x ¹ -1 Suy tập xác định hàm số D =  \{-1} ìï x¹2 ïï c) ĐKXĐ: x + x - x - ¹ Û ùùx -3 ùùợ ỡù -3 - -3 + üï ï Suy tập xác định hàm số D =  \ïí2; ; ý ùù ùù 2 ợ ỵ ( )( ) d) ĐKXĐ: ( x - 1) - x ¹ Û x - x - x + x - ¹ ì ï 2± ï x¹ ï ì ï ï x x ¹ ï Ûí Ûï í ï ï - 2± ïx + x - ¹ ï ï î ï x¹ ï ï î Suy tập xác định hàm số ì 2- 2+ - 2- - 2+ 7ï ü ï ï D =  \ï ; ; ; í ý ï ù 2 2 ù ù ợ ỵ 44 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Ví dụ 2: Tìm tập xác định hàm số sau a) y = x +1 ( x - 3) x - A D =  \{3} ỉ B D = ỗỗ- ; +Ơữữ\{3} ỗố ứữ ộ1 C D = ; +Ơữữữ\{3} ờở ứ ổ1 D D = ỗỗ ; +Ơữữữ\{3} ốỗ ứ b) y = x+2 x x - 4x + A D =  \{0; 2} B D = éë-2; +¥) C D = (-2; +¥)\{0; 2} D D = éë-2; +¥)\{0; 2} c) y = 5-3 x x2 + 4x + A D =  \{-1} æ 5ử B D = ỗỗ- ; ữữ\{-1} ỗố 3 ÷ø é 5ù C D = ê- ; ú êë 3 úû é 5ù D D = ê- ; ú \{-1} êë 3 úû d) y = x+4 x - 16 A D = (-¥; -2) È (2; +¥) B D =  \{-4; 4} C D= (-4; 4) D D = (-¥; -4) È (4; +Ơ) Li gii: ùỡù x ỡù x ¹ ï Û ïí a) ĐKXĐ: í ïïỵ2 x - > ïïx > ỵï ỉ1 ö Suy tập xác định hàm số D = ỗỗ ; +Ơữữữ\{3} ỗố ứ 45 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ïìï x ¹ ìï x¹0 ïìï x ¹ ïï ïï ï ï b) ĐKXĐ: íx - x + > Û í( x - 2) > Û ïíx ¹ ïï ïï ïï ïïỵx + ³ ïïỵx ³ -2 ïỵïx ³ -2 Suy tập xác định hàm số D = éë-2; +¥)\{0; 2} ìï ïï- £ x £ 5 ïìï x £ ïï ïï ìïï ìï - x ³ - £x£ ï ï ï c) ĐKXĐ: í Û íì Û í x ¹ -1 Û ïí 3 ïïx + x + ¹ ïïïï x ¹ -1 ïï ùù ợ x ùùớù ùùx -3 ùợ îïïîx ¹ -3 ïïï î é 5ù Suy tập xác định hàm số D = ê- ; ú \{-1} êë 3 úû é x>4 d) ĐKXĐ: x - 16 > Û x > Û ê ê x < -4 ë Suy tập xác định hàm số D = (-¥; -4) È (4; +¥) Ví dụ 3: Tìm tập xác định hàm số sau a) y = x2 - x2 + 2x + 3 A D = (1; +¥) b) y = B D =  C D = {1; 3} D D =  \{1; 3} x x- x -6 A D = éë 0; +¥) B D = éë 0; +¥)\{9} C D = {9} D D =  \{9} B D = éë-2; +¥) C D =  D D = éë 2; +¥) B D =  C D = éë-1; +¥) D D = éë-1;1) c) y = x + - x + A D = éë-3; +¥) ìï ïï x ³ d) y = í x ïï ïïỵ x + x < A D = {-1} Lời giải: 46 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải a) ĐKXĐ: x + x + ¹ với x Suy tập xác định hàm số D =  ìx ³ ï ï ì x ³ ï ï x³0 ï ï x ¹ -2 Û ì ï ï Ûí b) ĐKXĐ: í í ï ï ù ù ù ợx ợx - x - ù ù x ù ợ Suy tập xác định hàm số D = éë 0; +¥)\{9} ïìx + ³ ïìïx ³ -2 c) ĐKXĐ: ï Ûí Û x ³ -2 í ïỵïx + ³ ïỵïx ³ -3 Suy tập xác định hàm số D = éë-2; +¥) d) Khi x ³ hàm số y = xác định với x ³ x Khi x < hàm số y = x + xác định ìï x < ìï x < ïí Û ïí Û -1 £ x < ïỵïx + ³ ïỵïx ³ -1 Do hàm số cho xác định x ³ -1 Suy tập xác định hàm số D = éë-1; +¥) Ví dụ 4: Cho hàm số: y = mx x - m + -1 với m tham số a) Tìm tập xác định hàm số theo tham số m A D = éë m + 2; +¥)\{m - 1} B D = éë m - 2; +¥)\{m} C D = éë m - 2; +¥)\{2 m - 1} D D = éë m - 2; +¥)\{m - 1} b) Tìm m để hàm số xác định (0;1) 47 ỉ 3ù A m Ỵ ỗỗ-Ơ; ỳ ẩ {2} ỗố ỳỷ B m ẻ (-Ơ; -1ựỷ ẩ {2} C m ẻ (-Ơ;1ựỷ ẩ {3} D m ẻ (-Ơ;1ựỷ ẩ {2} http://dethithpt.com Website chuyờn đề thi, tài liệu file word có lời giải Lời giải: ìï x - m + ³ ìïx ³ m - ïí a) ĐKXĐ ï Û í ïï x - m + ¹ ùùợ x m - ợ Suy xác định hàm số D = éë m - 2; +¥)\{m - 1} b) Hàm số xác định (0;1) Û (0;1) Ì éë m - 2; m - 1) È (m - 1; +¥) é(0;1) Ì é m - 2; m - 1) é m = ém = ë ê ê ê Û Û ê 0;1 Ì m - 1; +¥ ê êm£1 m £ ) ë êë ( ) ( ë Vy m ẻ (-Ơ;1ựỷ ẩ {2} l giỏ tr cn tìm Ví dụ 5: Cho hàm số y = x - 3m + + x với m tham số x + m -1 a) Tìm tập xác định hàm số m = é A D = ờ- ; +Ơữữữ ờở ứ é1 ö é ö C D = ê ; +Ơữữữ\{0} D D = ờ- ; +Ơữữữ\{0} ờở ờở ø ø B D =  \{0} b) Tìm m để hàm số có tập xác định éë 0; +¥) A m = B m = C m = D m = Lời giải: ì 3m - ï ì x - 3m + ³ ï ï x³ ï ï Ûí ĐKXĐ: í ï ï ï x + m -1 ù ợ ù ợ x ¹ 1- m ìï ïïx ³ - a) Khi m = ta có ĐKXĐ : í ïï ùợ x ộ Suy xác định hàm số D = ê- ; +Ơữữữ\{0} ờở ứ b) Vi - m ³ m£ 48 é 3m - ö 3m - ; +Ơữữữ\{1 - m} Do ú m £ tập xác định hàm số D = ê êë 2 ø khơng thỏa mãn u cầu tốn http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải é 3m - tập xác định hàm số D = ; +Ơữữữ ờở ứ Vi m > 3m - 4 Do để hàm số có tập xác định éë 0; +¥) Û = Û m = (thỏa mãn) Vậy m = giá trị cần tìm 3 Bài tập luyện tập : Bài 2.0 Tìm tập xác định hàm số sau: a) y = x -1 x -2 A D = éë1; +¥) b) y = x + - x -1 A D = (1; +¥) c) y = C D = éë1; +¥)\{2} D D = {2} B D = (-2; +¥) C D =  D D = (2; +¥) B D = {1} C D =  D D = (-1; ¥) C D =  \{3} D D = éë-1; +¥) C D = (-¥; 2) D D =  \{2} x -1 x + x +1 A D = (1; +¥) e) y = B D =  \{2} x +1 x - x-6 A D = éë-1; +¥)\{3} B D = {3} ì ï ï x ³ ï f) y = f ( x) = í - x ï ï ï ï ỵ - x x < A D =  B D= (2; +¥) Lời giải: ìï x ³ ìï x ³ ìï x ³ Bài 2.0: a) ĐKXĐ: ïí Û ïí Û ïí Þ TXĐ: D = éë1; +Ơ)\{2} ùù x ùùợx ùùợx ỵ 49 http://dethithpt.com – Website chun đề thi, tài liệu file word có lời giải ïìx + ³ ïìïx ³ -2 b) ĐKXĐ: ïí Ûí x > ị TX: D = (1; +Ơ) ïỵï x - > ïỵï x > æ 1ö c) ĐKXĐ: x + x + ỗỗ x + ữữữ + (ỳng "x ) ị TX: D = ỗố 2ứ 2 ì x ³ -1 ï ï ì x +1³ ì x ³ -1 ï ï ï ï ï e) ĐKXĐ: í Û í x ¹ -2 ù ị TX: D = ộở-1; +Ơ)\{3} í ï ï ï x x ¹ x ¹ ï ï ï ỵ ỵ ï ï ỵx ¹ f) TXĐ: D =  \{2} Bài 2.1: Tìm tập xác định hàm số sau: a) y = - x - x - A D = (1; 2) b) y = B D = éë1; 2ùû C D = éë1; 3ùû D D = éë-1; 2ùû C D = éë-2; 2ùû \{0} D D =  \{0} é 4ö B D = ê ; ÷÷÷ êë 3 ø é 2ư C D = ê ; ÷÷÷ êë 3 ø ổ 4ử D D = ỗỗ-Ơ; ữữữ ỗố 3ứ B D = éë1; 6ùû C D =  \ éë1; 6ùû D D = (-¥; 6) B D = (-3; +¥) C D =  D D = (-2; +¥) 2-x + x+ x A D = (-2; 2)\{0} B D = éë-2; 2ùû c) y = 3x - + x - 3x é 4ö A D = ê ; ÷÷÷ êë 3 ø d) y = - x + 2x + 1+ x -1 A D = (1; +¥) e) y = 2x + ( x + 4) x+3 A D =  \{-4} f) y = 50 x2 - 2x + x-3 x + http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải A D =  g) f ( x) = C D =  \{1; 4} D D =  \{-1; 4} é ö B D = ê- ;1÷÷÷ êë ø C D =  é ö D D = ê- ; 0÷÷÷ êë ø 1- + 4x é ö A D = ê- ; 0÷÷÷ êë ø h) y = B D = (0; +¥) 2x2 x2 - 3x + A D = (-¥;1) B D = (2; +¥) C D = (-¥;1) È (2; +¥) D D = (1; 2) Lời giải: Bài 2.1: a) D = éë1; 2ùû b) D = éë-2; 2ùû \{0} é 4ö c) D = ê ; ÷÷÷ d) D = éë1; 6ùû êë 3 ø ìï ïì x - x + ³ ï ï Û ïí f) ĐKXĐ: í ïïx - x + ¹ ùù ợ ùợ e) D = (-3; +Ơ) ( ( x - 1) )( x -1 +2³0 ìï x ¹ Û ïí x - ¹ ùùợx ) Suy D = \{1; 4} ìï1 - + x > ïìï1 > + 4x é Û ïí Û - £ x < Þ D = ê- ; 0÷÷÷ g) ĐKXĐ: ïí êë ø ïï + x ³ ïï x ³ î ïî h) TXĐ: D = (-¥;1) È (2; +¥) Bài 2.2: Tìm giá trị tham số m để: a) Hàm số y = x + 2m + xác định (-1; 0) x-m é m>0 A ê ê m < -1 ë b) Hàm số y = 51 B m £ -1 x x-m +1 é m³0 C ê ê m £ -1 ë D m ³ có tập xác định éë 0; +¥) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Û f (-x) = f ( x) , "x Ỵ  Û (-x) - ( m2 - 3m + 2) (-x) + m2 - = x - ( m2 - 3m + 2)x + m2 - 1, "x Ỵ  ém = Û 2( m2 - 3m + 2)x = 0, "x Ỵ  Û m2 - 3m + = Û ê êm = ë  DẠNG TỐN XÉT TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN(ĐƠN ĐIỆU) CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT KHOẢNG Phương pháp giải C1: Cho hàm số y = f ( x) xác định K Lấy x1 , x2 Ỵ K ; x1 < x2 , đặt T = f ( x2 ) - f ( x1 ) · Hàm số đồng biến K Û T > · Hàm số nghịch biến K Û T < C2: Cho hàm số y = f ( x) xác định K Lấy x1 , x2 Ỵ K ; x1 ¹ x2 , đặt T = f ( x2 ) - f ( x1 ) x2 - x1 · Hàm số đồng biến K Û T > · Hàm số nghịch biến K Û T < Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Xét biến thiên hàm số sau khoảng (1; +¥) a) y = x -1 A.Đồng biến B.Nghịch biến C.Vừa đồng biến, vừa nghịch biến D.Không đồng biến, không nghịch biến b) y = x + x A.Đồng biến B.Nghịch biến C.Vừa đồng biến, vừa nghịch biến D.Không đồng biến, không nghịch biến Lời giải: a) Với x1 , x2 ẻ (1; +Ơ) , x1 x2 ta cú f ( x2 ) - f ( x1 ) = 62 ( x1 - x2 ) 3 = x2 - x1 - ( x2 - 1)( x1 - 1) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Suy f ( x2 ) - f ( x1 ) x2 - x1 Vì x1 > 1, x2 > Þ =- ( x2 - 1)( x1 - 1) f ( x2 ) - f ( x1 ) x2 - x1 < nên hàm số y = nghịch biến khoảng (1; +¥) x -1 b) Với x1 , x2 ẻ (1; +Ơ) , x1 x2 ta có ỉ ỉ 1ư ỉ 1ư ư÷ ÷÷ f ( x2 ) - f ( x1 ) = ççç x2 + ÷÷÷ - ççç x1 + ÷÷÷ = ( x2 - x1 )ỗỗỗ1 ỗố ỗố x2 ữứ ỗố x1 ÷ø x1 x2 ÷ø Suy f ( x2 ) - f ( x1 ) x2 - x1 Vì x1 > 1, x2 > Þ = 1- x1 x2 f ( x2 ) - f ( x1 ) x2 - x1 > nên hàm số y = x + đồng biến khoảng (1; +¥) x Ví dụ 2: Cho hàm số y = x - a) Xét chiều biến thiên cuả hàm số (-¥; 0) (0; +¥) A hàm số y = f ( x) nghịch biến (-¥; 0) B hàm số y = f ( x) đồng biến (0; +¥) C.Cả A, B D.Cả A, B sai b) Lập bảng biến thiên hàm số éë-1; 3ùû từ xác định giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số éë-1; 3ùû A max y = é-1;3ù ë û B y = -4 é-1;3ù ë û C.Cả A, B D.Cả A, B sai Lời giải: TXĐ: D = R a) "x1 , x2 ẻ , x1 < x2 ị x2 - x1 > Ta có T = f ( x2 ) - f ( x1 ) = ( x22 - 4) - ( x12 - 4) = x22 - x12 = ( x2 - x1 ) ( x1 + x2 ) 63 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Nếu x1 , x2 ẻ (-Ơ; 0) ị T < Vy hàm số y = f ( x) nghịch biến (-Ơ; 0) Nu x1 , x2 ẻ (0; +Ơ) Þ T > Vậy hàm số y = f ( x) đồng biến (0; +¥) b) Bảng biến thiên hàm số y = x - éë-1; 3ùû x -1 -3 y = x2 - -4 Dựa vào bảng biến thiên ta có max y = x = , y = -4 x = é ù é-1;3ù ë û ë-1;3û Ví dụ 3: Xét biến thiên hàm số y = x + + x - tập xác định Áp dụng tìm số nghiệm a) 4x + + x - = A.1 nghiệm b) B nghiệm C.3 nghiệm D.Vô nghiệm B nghiệm C.3 nghiệm D.Vô nghiệm 4x + + x - = 4x2 + + x A.1 nghiệm Lời giải: ì ìï4 x + ³ ïïïx ³ - ï Ûí * ĐKXĐ: í Û x ³1 ïỵï x - ³ ïï îï x ³ Suy TXĐ: D = éë1; +Ơ) Vi mi x1 , x2 ẻ ộở1; +Ơ) , x1 ¹ x2 ta có 64 http://dethithpt.com – Website chun đề thi, tài liệu file word có lời giải f ( x2 ) - f ( x1 ) = x2 + + x2 - - x1 + - x1 - = ( x2 - x1 ) x2 - x1 + x2 + + x1 + x2 - + x1 - ổ ửữ ỗ ữữ = ( x2 - x1 )ỗỗ + ữ ỗỗ x + + x + x2 - + x1 - ÷ø è Suy f ( x2 ) - f ( x1 ) x2 - x1 = 4 x2 + + x1 + + x2 - + x1 - >0 Nên hàm số y = x + + x - đồng biến khoảng éë1; +¥) a) Vì hàm số cho đồng biến éë1; +¥) nên Nếu x > Þ f ( x) > f (1) hay Suy phương trình x + + x - = vơ nghiệm Nếu x < Þ f ( x) < f (1) hay Suy phương trình 4x + + x - > 4x + + x - < x + + x - = vô nghiệm Với x = dễ thấy nghiệm phương trình cho Vậy phương trình có nghiệm x = b) ĐKXĐ: x ³ Đặt x + = t , t ³ Þ x = t - phương trình trở thành x + + x - = 4t + + t - Û f ( x) = f (t ) Nếu x > t Þ f ( x) > f (t ) hay x + + x - > 4t + + t - Suy phương trình cho vơ nghiệm Nếu x < t Þ f ( x) < f (t ) hay x + + x - < 4t + + t - Suy phương trình cho vô nghiệm Vậy f ( x) = f (t ) Û x = t hay x + = x Û x - x + = (vơ nghiệm) Vậy phương trình cho vơ nghiệm 65 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Nhận xét: · Hàm số y = f ( x) đồng biến (hoặc nghịch biến) phương trình f ( x) = có tối đa nghiệm · Nếu hàm số y = f ( x) đồng biến (nghịch biến) D f ( x) > f ( y ) Û x > y ( x < y ) f ( x) = f ( y ) Û x = y "x , y Ỵ D Tính chất sử dụng nhiều toán đại số giải phương trình , bất phương trình , hệ phương trình toán cực trị Bài tập luyện tập Bài 2.9: Xét biến thiên hàm số sau: a) y = - x æ 4ử A Hm s ng bin trờn ỗỗ-Ơ; ữữ ỗố ữứ ổ4 B Nghch bin trờn khong ỗỗ ; +Ơữữ ỗố ữứ C.C A, B u ỳng D.Cả A, B sai b) y = x + x - A hàm số nghịch biến (-¥; -2) B hàm số đồng biến (-2; +¥) C.Cả A, B D.Cả A, B sai c) y = (-¥; 2) (2; +¥) x-2 A hàm số đồng biến (-¥; 2) B hàm số nghịch biến (2; +¥) C.Cả A, B 66 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải D.Cả A, B sai d) y = x (-¥;1) x -1 A hàm số nghịch biến (-¥; -1) B hàm số đồng biến (-¥; -1) C.Cả A, B D.Cả A, B sai Lời giải: ỉ 4ư Bài 2.9: a) Hàm s ng bin trờn ỗỗ-Ơ; ữữ v nghch bin trờn khong ỗố ứữ ổ4 ỗỗ ; +Ơữữ ỗố ữứ b) Vi mi x1 , x2 ẻ , x1 ¹ x2 ta có K= f ( x2 ) - f ( x1 ) x2 - x1 (x = 2 + x2 - 5) - ( x12 + x1 - 5) x2 - x1 = x1 + x2 + x1 , x2 ẻ (-Ơ; -2) Þ K < suy hàm số nghịch bin trờn (-Ơ; -2) x1 , x2 ẻ (-2; +Ơ) Þ K > suy hàm số đồng biến trờn (-2; +Ơ) c) Vi mi x1 , x2 ẻ  , x1 ¹ x2 ta có f ( x2 ) - f ( x1 ) = ( x1 - x2 ) 2 = Þ K =x2 - x1 - ( x2 - 2)( x1 - 2) ( x2 - 2)( x1 - 2) Với x1 , x2 ẻ (-Ơ; 2) ị K < hàm số nghịch biến (-¥; 2) Với x1 , x2 ẻ (2; +Ơ) ị K < hàm số nghịch biến (2; +¥) d) Vi mi x1 , x2 ẻ (-Ơ;1) , x1 x2 ta có f ( x2 ) - f ( x1 ) = 67 x2 x x1 - x2 - = x2 - x1 - ( x2 - 1)( x1 - 1) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Suy f ( x2 ) - f ( x1 ) x2 - x1 = -1 Suy hàm số cho đồng biến  · Ta có x - x = x + + Û x + x = x + + x + Đặt x + = y , phương trình trở thành x + x = y + y Do hàm số f ( x) = x + x đồng biến  nên é x = -1 ê x = y Þ 2x + = x Û x - 2x - = Û ê êx = 1± ê ë 3 Bài 2.11: Cho hàm số y = x - + x - x a) Xét biến thiên hàm số cho éë1; +¥) A hàm số cho nghịch biến éë1; +¥) 68 B hàm số cho đồng biến éë1; +¥) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải C.Cả A, B D.Cả A, B sai b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số đoạn éë 2; 5ùû A max y = 17 , B y = é 2;5ù ë û C.Cả A, B D.Cả A, B sai é 2;5ù ë û Lời giải: Bài 2.11: a) Với x1 , x2 ẻ ộở1; +Ơ) , x1 x2 ta có f ( x2 ) - f ( x1 ) = = ( x2 - x1 x2 - + x1 - Suy ) ( x2 - + x22 - x2 - ) + ( x2 - x1 )( x2 + x1 - 2) f ( x2 ) - f ( x1 ) x2 - x1 x1 - + x12 - x1 = x2 - + x1 - + x2 + x1 - > Do hàm số cho đồng biến éë1; +¥) b) Hàm số cho đồng biến éë1; +¥) nên đồng biến éë 2; 5ùû Vậy max y = y (5) = 17 Û x = , y = y (2) = Û x = é 2;5ù ë û é 2;5ù ë û  DẠNG TOÁN 4: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VÀ TỊNH TIẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ Phương pháp giải · Cho hàm số y = f ( x) xác định D Đồ thị hàm số f tập hợp tất điểm M( x; f ( x)) nằm mặt phẳng tọa độ với x Ỵ D Chú ý : Điểm M( x0 ; y0 ) Ỵ (C ) _ đồ thị hàm số y = f ( x) Û y0 = f ( x0 ) · Sử dụng định lý tịnh tiến đồ thị hàm số Các ví dụ minh họa 69 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ì ï x + x > ï ï Ví dụ 1: Cho hai hàm số f ( x) = x + x + g ( x) = ïí2 x - - £ x £ ï ï - x x < -2 ï ï ỵ a) Tính giá trị sau f (-1) g (-3) , g (2) , g (3) A f (-1) = -1 , g (-3) = 34 , g (2) = , g (3) = B f (-1) = -1 , g (-3) = 12 , g (2) = 41 , g (3) = C f (-1) = , g (-3) = 32 , g (2) = , g (3) = 17 D f (-1) = , g (-3) = 21 , g (2) = , g (3) = 10 b) Tìm x f ( x) = é x=1 ê A ê êx = - êë é x=0 ê B ê êx = - êë éx=1 ê C ê êx = êë éx=0 ê D ê êx = êë B x = C x = D x = c) Tìm x g ( x) = A x = Lời giải: a) Ta có f (-1) = (-1) + (-1) + = , g (-3) = - (-3) = 21 , g (2) = 2.2 - = , g (3) = 32 + = 10 b) * Ta có f ( x) = Û x + x + = é x=0 ê Û x + 3x = Û ê êx = - êë 2 ìï x > ìï x > * Với x > ta có g ( x) = Û ïí vơ nghiệm Û ïí ïỵïx + = ïỵïx = 70 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ïì-2 £ x £ ìïï-2 £ x £ Với -2 £ x £ ta có g ( x) = Û ïí Ûí Û x=1 ïỵï x - = ïỵï x = ïì x < -2 ïìx < -2 Với x < -2 ta có g ( x) = Û ïí vơ nghiệm Û ïí ïỵï6 x - = ïỵï x = Vậy g ( x) = Û x = Ví dụ 2: Cho hàm số y = mx - 2( m2 + 1)x + m2 - m a) Tìm m để điểm M (-1; 2) thuộc đồ thị hàm số cho A m = B m = -1 C m = -2 D m = b) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số cho qua với m A N (1; 2) B N (2; -2) C N (1; -2) D N (3; -2) Lời giải: a) Điểm M (-1; 2) thuộc đồ thị hàm số cho = -m - 2( m2 + 1) + m2 - m Û m = -2 Vậy m = -2 giá trị cần tìm b) Để N ( x; y) điểm cố định mà đồ thị hàm số cho qua, điều kiện cần đủ y = mx - 2( m2 + 1)x + m2 - m , "m Û m2 (1 - x ) + m ( x - 1) - x - y = 0, "m ìï1 - x = ïï ìï x = Û ïíx - Û ïí ïï ï y = -2 ïï2 x + y = ïỵ ỵ Vậy đồ thị hàm số cho qua điểm N (1; -2) Chú ý: Nếu đa thức an xn + an-1 xn-1 + + a1 x + a0 = với x Ỵ K an = an-1 = = a0 71 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Ví dụ 3: Chứng minh đồ thị (C ) hàm số y = ïì2 x + y A = B( xB ; y B ) thỏa mãn: ïí A ïïỵ2 xB + y B = x2 - x + tồn hai điểm A( x A ; y A ) x +1 Lời giải: Ta có A Î (C ) Û y A = x A2 - x A + x - xB + , B Ỵ (C ) Û y B = B xA + xB + ì ï x2 - xA + ï xA + A =3 ï ï ì x + y = x + ï ï A A A Do ï (*) Ûï í í ï ï x + y = xB2 - xB + B ï B ï î ï xB + =3 ï x + ù B ù ợ Vi x A -1, xB ¹ -1 ta có ìï 1± ï ìï3 x - x - = ïïx A = A Û ïí (thỏa mãn) (*) Û ïíï A2 ï x x = 1± ïỵ B ïï B ïï xB = ỵ ïì2 x A + y A = Suy tồn hai điểm A( x A ; y A ) B( xB ; y B ) thuộc đồ thị (C ) thỏa mãn: ï í ïïỵ2 xB + y B = Ví dụ 4: Tìm đồ thị hàm số y = -x + x + x - hai điểm đối xứng qua gốc tọa độ A (1; -1) (-1; -5) B (2; -2) (-2; 2) C (3; -13) (-3; 23) D Không tồn Lời giải: Gọi M , N đối xứng qua gốc tọa độ O M ( x0 ; y0 ) Þ N (-x0 ; -y0 ) ìï y = -x + x + x - 0 Vì M , N thuộc đồ thị hàm số nên ïí ïï-y0 = x03 + x02 - x0 - ỵ ì ï y0 = -x03 + x02 + x0 - ì ï y0 = -x03 + x02 + x0 - ï Ûï Û í í ï ï x02 - = x0 = ±2 ï ï ỵ ỵ ìï x = ìïx = -2 ïí Û ïí ïïỵ y0 = -2 ïïỵ y0 = 72 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Vậy hai điểm cần tìm có tọa độ (2; -2) (-2; 2) Ví dụ 5: a) Tịnh tiến đồ thị hàm số y = x + liên tiếp sang phải hai đơn vị xuống đơn vị ta đồ thị hàm số nào? A y = x + x + B y = x + x + C y = x + x + D y = x + x + b) Nêu cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = -2 x để đồ thị hàm số y = -2 x - x + A Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số y = -2 x sang bên trái đơn vị lên đơn vị 2 B Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số y = -2 x sang bên phải 15 đơn vị xuống 2 đơn vị C Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số y = -2 x sang bên trái 15 đơn vị xuống 4 đơn vị D Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số y = -2 x sang bên trái 15 đơn vị lên đơn 2 vị Lời giải: a) Ta tịnh tiến đồ thị hàm số y = x + sang trái hai đơn vị ta đồ thị hàm số y = ( x - 2) + tịnh tiến lên đơn vị ta đồ thị hàm số y = ( x - 2) hay y = x - x + Vậy hàm số cần tìm y = x + x + ỉ 15 b) Ta có -2 x - x + = -2 ỗỗ x + ữữữ + ỗố 2ứ 2 Do tịnh tiến đồ thị hàm số y = -2 x để đồ thị hàm số y = -2 x - x + ta làm sau Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số y = -2 x sang bên trái 15 đơn vị lên đơn vị 2 Bài tập luyện tập: Bài 2.12: Cho hàm số y = f ( x) = -3 x + m2 x + m + (với m tham số) 73 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải a) Tìm giá trị m để f (0) = A m = B m = C m = D m = b) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số y = f ( x) qua điểm A (1; 0) A m = -2, m = C m = 4, m = B m = D m = 5, m = -3 Lời giải: Bài 2.12: a) f (0) = Û m + = Û m = b) Đồ thị hàm số y = f ( x) qua điểm A (1; 0) é m=1 = -3 + m + m + Û m + m - = Û ê ê m = -2 ë Bài 2.13: Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số sau qua với m a) y = x + 2( m - 1)x + ( m2 - m + 1)x - 2( m2 + 1) A A (2; 0) b) y = B A (3; 4) C A (2; 2) D A (1; 0) (m - 1) x + m + x+m+2 A A (4;13) , B (1; 4) B A (4; -3) , B (3; -1) C A (-4; 3) , B (0;1) D A (-4; -1) , B (2;1) Lời giải: Bài 2.13: a) Ta có y = x + 2( m - 1)x + ( m2 - m + 1)x - 2( m2 + 1) Û m ( x - 2) + m ( x - x) + x - x + x - - y = Tọa độ điểm cố định mà họ đồ thị đồ thị qua nghiệm hệ ì x-2 = ï ï ìx = ï ï ï Ûï í2 x - x = í ï ï ï ï ỵy = ï x x + x y = ï ỵ Vậy điểm cần tìm A (2; 0) 74 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải b) Điểm cố định A (-4; 3) , B (0;1) Bài 2.14: Cho hàm số f ( x) = x + ( m - 1)x + ( m2 - 1)x + 2( m2 - 3m + 2)x - Tìm m để điểm M(1; 0) thuộc đồ thị hàm số cho A m = 4± 3 B m = 1, m = -1 C m = ± 13 D m = Lời giải: Bài 2.14: Điểm M(1; 0) thuộc đồ thị hàm số cho f (1) = Û = + (m - 1) + (m2 - 1) + (m2 - 3m + 2) - Û 3m - 5m + = Û m = Vậy m = ± 13 ± 13 giá trị cần tìm Bài 2.15: a) Tịnh tiến đồ thị hàm số y = -x + liên tiếp sang trái đơn vị xuống đơn vị ta đồ thị hàm số nào? A y = -( x + 2) + C y = -( x - 2) + 2 B y = -( x + 2) + 2 D y = -( x + 2) + b) Nêu cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = x để đồ thị hàm số y = x + x + x + A Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số y = x sang bên phải đơn vị lên đơn vị B Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số y = x sang bên trái đơn vị xuống đơn vị C Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số y = x sang bên trái đơn vị lên đơn vị D Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số y = x sang bên trái đơn vị lên đơn vị Lời giải: 75 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 2.15: a) Ta tịnh tiến đồ thị hàm số y = -x + sang trái đơn vị ta đồ thị hàm số y = -( x + 2) + tịnh tiến lên 2 1 đơn vị ta đồ thị hàm số y = -( x + 2) + + 2 b) Ta có x + x + x + = ( x + 1) + Do tịnh tiến đồ thị hàm số y = x để đồ thị hàm số y = x + x + x + ta làm sau Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số y = x sang bên trái đơn vị lên đơn vị 76 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ... = x + - x - A hàm số lẻ B .hàm số chẳn C .hàm số vừa chẳn vừa lẻ D .hàm số không chẳn, không lẻ c) f ( x) = x + x2 + x +1 - x - 2x2 - A hàm số lẻ B .hàm số chẳn C .hàm số vừa chẳn vừa lẻ D .hàm số khơng... liệu file word có lời giải Vậy hàm số f ( x) = + x + 2-x khơng chẵn khơng lẻ Ví dụ 2: Xét tính chẵn, lẻ hàm số sau: a) f ( x) = x - x + A hàm số lẻ B .hàm số chẳn C .hàm số vừa chẳn vừa lẻ D .hàm số. .. x A hàm số lẻ B .hàm số chẳn C .hàm số vừa chẳn vừa lẻ D .hàm số không chẳn, không lẻ d) f ( x) = + x + 2-x A hàm số lẻ B .hàm số chẳn C .hàm số vừa chẳn vừa lẻ D .hàm số không chẳn, không lẻ Lời giải: