1 bất đẳng thức 10tr đặng việt đông image marked

Chương BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH § BẤT ĐẲNG THỨC  Điều kiện Nội dung Cộng hai vế với số ab acbc (1) số dương: c  a  b  ac  bc (2a) số âm: c  a  b  ac  bc (2b) Cộng vế theo vế BĐT chiều a  b  ac bd  c  d (3) Nhân vế BĐT biết dương a  b   ac  bd  c  d  (4) Mũ lẻ a  b  a2 n1  b2 n1 (5a) Mũ chẵn  a  b  a2 n  b2 n (5b) a0 ab a  b (6a) a ab a  b (6b) Nhân hai vế Nâng lũy thừa với n   Lấy hai vế Nếu a, b dấu: ab  ab 1  a b (7 a) Nếu a, b trái dấu: ab  ab 1  a b (7 b) Nghịch đảo BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (AM – GM) ab  ab Dấu "  " xảy a  b abc a  0; b  0; c  ta có:  abc Dấu "  " xảy a  b  c  a  0; b  ta có:  BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACÔPXKI (CAUCHY SCHWARZ) ( a.x  b.y)2  ( a2  b2 )( x  y ) x y  Dấu "  " xảy  , ( a; b  0) 2 2 a b  a.x  b.y  ( a  b )( x  y )  x; y; a; b   thì:   ( a.x  b.y  c.z)2  ( a2  b2  c )( x  y  z )  x; y; z; a; b; c   thì:  2 2 2  a.x  b.y  c.z  ( a  b  c )( x  y  z ) Dấu "  " xảy  x; y   a  0, b  x y z   ( a; b; c  0) a b c x y x y ( x  y )2    Dấu "  " xảy   a b a b ab  x; y; z   a  0, b  0, c  Câu x y z x y z ( x  y  z )2     Dấu "  "     a b c a b c abc Cho bất đẳng thức a  b  a  b Dấu đẳng thức xảy nào? Trang 1/9 A a  b Câu B ab  C ab  Hướng dẫn giải D ab  Chọn B Tính chất bất đẳng thức Giá trị nhỏ biểu thức x  x với x   là: A  B  C D Hướng dẫn giải Chọn C x   Ta có:   x 3 x  x   Câu Cho biểu thức f  x    x Kết luận sau đúng? A.Hàm số f  x  có giá trị lớn nhất, khơng có giá trị nhỏ B.Hàm số f  x  có giá trị nhỏ nhất, khơng có giá trị lớn C Hàm số f  x  có giá trị nhỏ giá trị lớn D Hàm số f  x  khơng có giá trị nhỏ khơng có giá trị lớn Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: f  x   f 1  ; f  x   f    Vậy hàm số f  x  có giá trị nhỏ giá trị lớn nhấtbằng Câu Cho hàm số f  x   x2  Mệnh đề sau đúng? A f  x  có giá trị nhỏ , giá trị lớn B f  x  khơng có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn C f  x  có giá trị nhỏ 1, giá trị lớn D f  x  khơng có giá trị nhỏ giá trị lớn Hướng dẫn giải Chọn B Ta có:  f  x   1; x   f    Vậy f  x  khơng có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn Câu Câu Câu Cho biết hai số a b có tổng Khi đó, tích hai số a b 9 A có giá trị nhỏ B có giá trị lớn 4 C có giá trị lớn D khơng có giá trị lớn Hướng dẫn giải Chọn D Vì a b hai số nên khơng xác định giá trị lớn tích ab Cho ba số a ; b ; c thoả mãn đồng thời: a  b  c  ; b  c  a  ; c  a  b  Để ba số a ; b ; c ba cạnh tam giác cần thêm kiện ? A Cần có a, b, c  B Cần có a, b, c  C Chỉ cần ba số a, b, c dương D Khơng cần thêm điều kiện Hướng dẫn giải Chọn B Trong hình chữ nhật có chi vi Trang 2/9 Câu A Hình vng có diện tích nhỏ B Hình vng có diện tích lớn C Khơng xác định hình có diện tích lớn D Cả A, B, C sai Hướng dẫn giải Chọn B Ý nghĩa hình học bất đẳng thức Cơ si Tìm mệnh đề đúng? A a  b  ac  bc C a  b c  d  ac  bd 1  a b D a  b  ac  bc,  c   B a  b  Hướng dẫn giải Câu Câu 10 Câu 11 Câu 12 Câu 13 Chọn D Tính chất bất đẳng thức Suy luận sau đúng? a  b  ac  bd A  c  d a  b  ac  bd C  c  d a  b a b   B  c d c  d a  b   ac  bd D  c  d  Hướng dẫn giải Chọn D Tính chất bất đẳng thức Trong tính chất sau, tính chất sai? a  b 0  a  b a b  ac bd   A  B  d c c  d 0  c  d 0  a  b a  b  ac  bd  ac  bd C  D  0  c  d c  d Hướng dẫn giải Chọn D Tính chất bất đẳng thức Tìm mệnh đề mệnh đề sau? a  b 1  ac  bd D Cả A, B, C sai A a  b   B a  b  ac  bc C  a b c  d Hướng dẫn giải Chọn D Tính chất bất đẳng thức Mệnh đề sau sai? a  b a  b  ac bd  ac  bd A  B  c  d c  d a  b  ac  bd C  D ac  bc  a  b  c   c  d Hướng dẫn giải Chọn B Tính chất bất đẳng thức Cho biểu thức P  a  a với a  Mệnh đề sau mệnh đề đúng? 1 A.Giá trị nhỏ P B.Giá trị lớn P 4 Trang 3/9 C.Giá trị lớn P D P đạt giá trị lớn a  Hướng dẫn giải Chọn B    1 Ta có: P  a  a   a  a    a     2 Câu 14 Giá trị lớn hàm số f  x   x  5x  11 11 A B C 11 Hướng dẫn giải Chọn D D 11  11 11  Ta có: x  x    x     ; x   2 4  8  Vậy giá trị lớn hàm số Suy ra: f  x   x  x  11 11 Câu 15 Cho f  x   x  x Kết luận sau đúng? A f  x  có giá trị nhỏ C f  x  có giá trị nhỏ  D f  x  có giá trị lớn Hướng dẫn giải B f  x  có giá trị lớn Chọn D 1 1  1  1 f  x   x  x    x  x       x    f    4 4  2  2 Câu 16 Bất đẳng thức  m  n   4mn tương đương với bất đẳng thức sau đây? A n  m  1  m  n  1  B m  n  2mn C  m  n   m  n  D  m  n   2mn 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B  m  n   4mn  m2  2mn  n  4mn  m2  n  2mn Câu 17 Với a, b  , ta có bất đẳng thức sau đúng? B a  ab  b  C a  ab  b  Hướng dẫn giải A a  b  D a  b  Chọn C 2 b  b  3b  b  3b a  ab  b  a  2a      a     0; b  2  2 Câu 18 Với hai số x , y dương thoả xy  36 , bất đẳng thức sau đúng? 2 2 A x  y  xy  12 B x  y  xy  72 C 4xy  x  y 2  x y D    xy  36   Hướng dẫn giải Chọn A Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm x , y Ta có: x  y  xy  36  12 Câu 19 Cho hai số x , y dương thoả x  y  12 , bất đẳng thức sau đúng? Trang 4/9  x y B xy     36   D xy  Hướng dẫn giải A xy  C 2xy  x  y Chọn A x y 6 Câu 20 Cho x , y hai số thực thỏavà xy  Giá trị nhỏ A  x  y Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm x , y Ta có: B A xy  D C Hướng dẫn giải Chọn D Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số khơng âm x2 y Ta có: A  x2  y  x2 y  Câu 21 Cho a  b  x  A x  y C x  y  xy   Đẳng thức xảy x  y  1 a 1 b , y Mệnh đề sau đúng? 1 a  a  b  b2 B x  y D Không so sánh Hướng dẫn giải Chọn B 1 1 Ta có:  a   b  y b 1 x a 1 Suy ra:   1    a  b  1   x y   a  1 b  1  Do a  b  nên a   b   suy ra:  a  1 b  1   1  a  1 b  1 0 1 1 1     x  y  nên   x  y x y x y x y Câu 22 Với a, b, c, d  Trong mệnh đề sau mệnh đề sai? Vậy a a ac 1  b b bc a c a ac c  C    b d b bd d A B a a ac 1  b b bc D Có hai ba mệnh đề sai Hướng dẫn giải Chọn D a a  c a  b c Ta có:  suy A, B  b b  c b b  c  a  b2  a  b  Câu 23 Hai số a, b thoả bất đẳng thức     A a  b B a  b C a  b Hướng dẫn giải Chọn C D a  b a  b2  a  b  2 2    2a  2b   a  b    a  b    a  b   a b Câu 24 Cho a, b  Chứng minh   Một học sinh làm sau: b a Trang 5/9 a b a  b2  2   1 b a ab II) 1  a  b  2ab  a  b  2ab   (a  b)  a b III)  a  b   a, b  nên   b a Cách làm : A Sai từ I) B Sai từ II) C Sai III) D Cả I), II), III) Hướng dẫn giải Chọn D Câu 25 Cho a, b, c  Xét bất đẳng thức sau: I) a b a b c 1 1  2 II)    III)  a  b      b a b c a a b Bất đẳng thức đúng? A Chỉ I) B Chỉ II) C Chỉ III) D Cả ba Hướng dẫn giải Chọn D a b a b a b c a b c Ta có:      I  đúng;    3    II  đúng; b a b a b c a b c a a  b  ab  1 1  1    a  b   a  b    ( III )    2  a b ab  a b a b c 1   I  ,     II  ,    Câu 26 Cho bất đẳng thức:  III  (với b a b c a a b c abc a, b, c  ) Bất đẳng thức bất đẳng thức đúng? I) A I B II C III Hướng dẫn giải D I , II , III Chọn D a b a b a b c a b c Ta có:      I  đúng;    3    II  đúng; b a b a b c a b c a 1 1 1 1     33 1 1   III  abc   a  b  c           a b c a b c abc a b c a  b  c  3 abc  Câu 27 Cho a, b, c  Xét bất đẳng thức: I) a  b  c  3 abc 1 1 II)  a  b  c       a b c Bất đẳng thức đúng: A Chỉ I) II) C Chỉ I) III)  a  b  b  c  c  a   B Chỉ I) III) D Cả ba Hướng dẫn giải Chọn A  a  b  c  3 abc   I  đúng;  1 1 1 1     33 1 1   II  đúng; abc   a  b  c           a b c a b c abc a b c a  b  c  3 abc  Trang 6/9  a  b  ab ; b  c  bc ; c  a  ca   a  b  b  c  c  a   8abc   III  sai Câu 28 Cho a, b, c  Xét bất đẳng thức:  a  b  c  2    I) 1   1   1    II)   b  c    c  a    a  b   64  b  c  a  a  b  c  III) a  b  c  abc Bất đẳng thức đúng? A Chỉ I) B Chỉ II) C Chỉ I) II) D Cả ba Hướng dẫn giải Chọn C a a b b c c abc  a  b  c  1  ; 1  ; 1   1   1   1       I  b b c c a a bca  b  c  a  bc bc b c   b  c   44 b  ; c  a a a a a a a ac ab  c  a  44 ;  a  b  44 b b c c 2    Suy ra:   b  c    c  a    a  b   64   II  a  b  c  Tương tự: Ta có: 3 abc  a  b  c  abc   abc    abc  3   III  sai Câu 29 Cho x, y, z  xét ba bất đẳng thức(I) x3  y  z  xyz ; (II) x y z    Bất đẳng thức đúng? y z x A Chỉ I B Chỉ I III C Chỉ III Hướng dẫn giải Chọn B 1    ; (III) x y z x yz D Cả ba x3  y  z  3 x3 y z  xyz   I  đúng; 1 1     33 1 1 1 xyz       x  y  z         II  sai; x y z x y z x y z x yz    x  y  z  xyz x y z x y z    3    III  y z x y z x Câu 30 Cho a, b  ab  a  b Mệnh đề sau đúng? A a  b  B a  b  C a  b  Hướng dẫn giải D a  b  Chọn B Áp dụng bất đẳng thức Cơ – si ta có: Do đó: a  b ab  a  b  a  b ab   a  b   a  b    a  b     a  b  a  b     a  b   (vì a  b  )  a  b  Câu 31 Cho a  b  c  d x   a  b  c  d  , y   a  c  b  d  , z   a  d  b  c  Mệnh đề sau đúng? A x  y  z B y  x  z C z  x  y Hướng dẫn giải D x  z  y Trang 7/9 Chọn A Ta có: x  y   a  b  c  d    a  c  b  d   a  c  d   b  c  d   a  b  d   c  b  d   a  c  b   bd  cd   d  a  b  c   Suy ra: x  y Tương tự: x  z   a  c  d  b    x  z ; y  z   a  b  d  c    y  z Câu 32 Với m , n  , bất đẳng thức: mn  m  n   m3  n3 tương đương với bất đẳng thức A  m  n   m  n   B  m  n   m  n  mn   C  m  n  m  n   D Tất sai Hướng dẫn giải Chọn C mn  m  n   m3  n3  m n  m3  mn  n3   m2  m  n   n  m  n     m  n   m  n   Câu 33 Bất đẳng thức: a  b  c  d  e  a  b  c  d  e  ,  a , b , c, d tương đương với bất đẳng thức sau đây? 2 2 2 2 2 2 b  c  d  e  A  a     a     a     a    2  2  2  2  a  a  a  a  B  b     c     d     e    2  2  2  2  a  a  a  a  C  b     c     d     e    2  2  2  2  2 2 D  a  b    a  c    a  d    a  d   Hướng dẫn giải Chọn B a  b2  c  d  e2  a  b  c  d  e  2  a2  2 a 2 a 2 a    ab  b     ac  c     ad  d     ae  e           2 2 a  a  a  a   b    c    d    e    2  2  2  2  Câu 34 Cho x, y  Tìm bất đẳng thức sai? 1 B   x y x y A  x  y   xy C  xy  x  y 2   D  x  y   x  y Hướng dẫn giải Chọn B 1 1 1 đẳng thức xảy  x  y  x  y       x y x y x y Câu 35 Cho x  y  , gọi S  x  y Khi ta có A S  B S  C   S  Hướng dẫn giải D 1  S  Chọn C Ta có:  x  y  xy  xy  Trang 8/9 Mặt khác: S   x  y   x  xy  y     S  Câu 36 Cho x, y hai số thực thay đổi cho x  y  Gọi m  x  y Khi ta có: A giá trị nhỏ m C giá trị lớn m B.giá trị nhỏ m D.giá trị lớn m Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: x  y   y   x Do đó: m  x  y  x    x   x  x    x  1   2; x   Vậy giá trị nhỏ m Câu 37 Với x  , biểu thức: A x B x 1 2 2 x 1 x , , , , giá trị biểu thức nhỏ nhất? x x 1 x 1 2 x C D x 1 Hướng dẫn giải Chọn B 2 x x 1    x 1 x x 1 2 x x x  x   x   x    x Mặt khác:     0; x    x 1 x   x  1  x  1 Ta có: Câu 38 Giá trị nhỏ hàm số f  x   B A x  với x 1 x 1 C 2 D Hướng dẫn giải Chọn B x x 1 x 1     2   x 1 x 1 2 x 1 2 Vậy hàm số f  x  có giá trị nhỏ x2 Câu 39 Cho x  Giá trị lớn hàm số f  x   x Ta có: f  x   A 2 B Hướng dẫn giải C D Chọn A x2 1 1 1 Ta có f  x    f  x              f  x   x x x 2  x 4 Vậy giá trị lớn hàm số 2 Câu 40 Giá trị nhỏ hàm số f  x   x  với x  x A B C D 2 Hướng dẫn giải Chọn D Trang 9/9 1  2 x  2 x x Vậy hàm số f  x  có giá trị nhỏ 2 Ta có: f  x   x  a b c   Mệnh đề sau đúng? bc ca ab B  P C  P D  P Hướng dẫn giải Câu 41 Với a, b, c  Biểu thức P  A  P  Chọn D 1   Ta có: P    a  b  c      bc ca ab 1 1    Áp dụng bất đẳng thức    suy ra: x y z x yz b  c c  a a  b 2a  b  c Do P    P  ; đẳng thức xảy a  b  c 2 Trang 10/9 ... b a b c 1   I  ,     II  ,    Câu 26 Cho bất đẳng thức:  III  (với b a b c a a b c abc a, b, c  ) Bất đẳng thức bất đẳng thức đúng? I) A I B II C III Hướng dẫn giải D I , II...  x    x  x       x    f    4 4  2  2 Câu 16 Bất đẳng thức  m  n   4mn tương đương với bất đẳng thức sau đây? A n  m  1  m  n  1  B m  n  2mn C  m  n... dương thoả xy  36 , bất đẳng thức sau đúng? 2 2 A x  y  xy  12 B x  y  xy  72 C 4xy  x  y 2  x y D    xy  36   Hướng dẫn giải Chọn A Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai