Giáo trình toán đại số

Giáo trình TOÁN ĐẠI SỐ của Trường Đại học Đông Á cung cấp cho sinh viên kiến thức cơ bản về đại số tuyến tính: ma trận, hệ phương trình tuyến tính, không gian vectơ. Đồng thời, cũng trang bị cho sinh viên lý luận chặt chẽ về toán học, hình thành phương pháp tư duy toán. Giáo trình này có 3 chương: Chương 1: Ma trận Định thức. Chương 2: Hệ phương trình đại số tuyến tính. Chương 3: Không gian vectơ.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÔNG Á ThS.PHẠM THỊ NGỌC MINH GIÁO TRÌNH TỐN ĐẠI SỐ LƯU HÀNH NỘI BỘ Đà Nẵng, 2013 Toán đại số Chƣơng I MA TRẬN – ĐỊNH THỨC §1-MA TRẬN Khái niệm ma trận Định nghĩa: Cho m, n hai số nguyên dƣơng, ta gọi ma trận A cỡ m x n bảng số đƣợc viết theo m hàng, n cột có dạng nhƣ sau:  a11 a12 a1n  a a22 a2 n  A =  21      am1 am amn   a11 a12 a1n  a   12 a22 a2 n       am1 am amn  viết Trong đó: a ij phần tử ma trận A i số hàng; i = 1, m j số cột; j = 1, n Ta dùng chữ in hoa A, B, C… để đặt tên ma trận Ta viết A = [aij]mxn = (aij)mxn , cách viết khác Am x n 1  Ví dụ 1.1 A=   ma trận cỡ x  6 Các loại ma trận đặc biệt 2.1 Ma trận hàng Ma trận cỡ 1x n đƣợc gọi ma trận hàng Là ma trận có dạng: Ví dụ 2.1 3 a a2 an   7 2.2 Ma trận cột Ma trận cỡ m x1 đƣợc gọi ma trận cột Tốn đại số Là ma trận có dạng: Ví dụ 2.2  a1  a   2      an  3   1   5   7 2.3 Ma trận không Ma trận không ma trận mà phần tử Kí hiệu ma trận khơng có cỡ m x n là: 0m x n Ví dụ 2.6 0 0  0 0 ma trận không cỡ x viết là: x3   2.4-Ma trận vuông Là ma trận có số hàng số cột: A = [aij ]nxn Có dạng:  a11 a12 a1n  a a22 a2 n  21  A= gọi ma trận vuông cấp n      an1 an ann  n gọi cấp ma trận vng Ví dụ 2.3 1 3 A = 3 7 ma trận vuông cấp 8  2 - Các phần tử aij với i = j nằm đƣờng chéo gọi đƣờng chéo chính: a11, a22 , …, ann - Các phần tử a1n, a2n-1, … , an1 nằm đƣờng chéo gọi đƣờng chéo phụ 2.5 Ma trận chéo Cho ma trận A vuông cấp n có dạng:  a11  0 a  22  A=  0   0 ann  0 Toán đại số aij =  i  j gọi ma trận chéo Ví dụ 2.4 1 0 0     0 4 ma trận chéo 2.6 Ma trận đơn vị - Ma trận vng cấp n có dạng:  0  0  I=       0 1 aij = i = j i, i = 1, n aij = i  j j, j = 1, n 2.7 Ma trận tam giác - Ma trận A vng cấp n có dạng:  a11 a12 a1n  0 a a2 n  22  A=     0 ann  0 aij = i > j gọi ma trận tam giác Ví dụ 2.5 1   0    0  1 - Ma trận A vuông cấp n có dạng:  a11  a a22  21  A=      an1 an ann  aij = i < j gọi ma trận tam giác dƣới 2.8 Ma trận đối xứng, ma trận phản đối xứng - Ma trận vuông A = [a ij ]nxn có phần tử đối xứng qua đƣờng chéo gọi ma trận đối xứng Toán đại số  a11 a12 a1n  a a22 a2 n  21  A      an1 an ann  aij = aji , i, j 1 Ví dụ 2.8 A    3 4    ma trận đối xứng  - Ma trận vng A = [aij ]nxn có phần tử đối xứng qua đƣờng chéo đối gọi ma trận phản đối xứng  a11 a12 a1n  a a22 a2 n  21  A      an1 an ann  aij = -aji , i, j 1 B   2   3 Ví dụ 2.9 3   la ma trận phản đối xứng  Ma trận Hai ma trận A B gọi hai ma trận chúng có cỡ phần tử có số tƣơng ứng đôi Tức là: A = [aij ]mxn ; B = [bij ]mxn A = B  a ij = b ij i, j Ví dụ 3.1  3 a b    0 =  c d      a = 1, b = 3, c = -2 , d = Ma trận chuyển vị, ma trận đối 4.1 Ma trận chuyển vị Toán đại số - Xét ma trận A = [aij ]mxn , đổi hàng thành cột đổi cột thành hàng ma trận A ta đƣợc ma trận gọi ma trận chuyển vị ma trận A - Kí hiệu: At   4 A=  ;  7 Ví dụ 3.1   2 A =  5   t *TÍnh chất: (At)t = A Nếu At = A A ma trận đối xứng 4.2 Ma trận đối - Ma trận đối ma trận A = [aij ]mxn ma trận cỡ với A, kí hiệu –A có dạng: -A = [-aij ]mxn Các phép toán ma trận 5.1 Phép cộng ma trận Cho hai ma trận cỡ: A = [aij]mxn B = [bij ]mxn Tổng A + B ma trận cỡ m x n xác định bởi: A + B = [aij + bij ]mxn 2 4  0 2  1  0 Ví dụ 4.1   +   = 1     1 1       6 4 =   4 6 * Tính chất: Cho ma trận Am x n , Bm x n A + B = B + A (giao hoán) (A + B) + C = A + (B + C) (Cm x n ) 5.2 Nhân ma trận với số Cho A = [a ij]mxn ; k  R Tích kA = [kaij]mxn Ví dụ 4.2 1 4  2.1 2.4 2  =  =     2 5 2.2 2.5 4 10 2 * Tính chất: Cho ma trận Am x n; Bm x n ; k, h R k(A + B) = kA + kB Toán đại số (k + h)A = kA + hA k(hA) = (kh)A 1.A = A 0.A = m xn 5.3 Phép nhân ma trận với ma trận Xét hai ma trận: A = [a ij]mxp ; B = [bij ]pxi  a11 a12 a1 p  a a22 a2 p  21  A=      am1 am amp   b11 b12 b1 p  b b22 b2 p  21  B=     bm1 bm bmp  - Số cột ma trận A số hàng ma trận B - Tích AB ma trận C = [cij ]mxn có m hàng, n cột:  c11 c12 c1n  c c22 c2 n  21  C=     cm1 cm cmn  c11 = a11 b11 + a12b21 + … + a1p bp1 … cij = ai1b 1j + ai2b 2j + … + aip bpj = p  a ikbki k 1 Có sơ đồ sau: x ai1 x aip x b1 j b2 j b pj Phần tử nằm dòng thứ i cột thứ j ma trận A.B tổng p số hạng, số hạng tích phần tử thuộc dòng thứ i ma trận A với phần tử tƣơng ứng thuộc cột thứ j ma trận B Ví dụ 4.3 Ví dụ 4.4 3 3.1 3.5 3 15  2 1 5 = 2.1 2.5 = 2 10       1  2 5 1   1  3    0 1 Toán đại số 1.1  (1).3  2.0 1.2  (1)4  2.(1)    4 =   5.2  0.4  1.(1)   5 =   5.1  0.3  1.0 Tính chất:  Am x p (Bp x q + C q x n ) = Am x p Bp x q + Am x p Cq x n  (Bm x p + Cm x p )Ap x n = Bm x p Ap x n + Cm x p Ap x n  Am x p (Bp x n + Cp x n ) = Am x p Bp x n + Am x p Cp x n  k(Am x pBp x n ) = (kAm x p ) Bp x n = Am x p (kBp x n ) t  (Am x p Bp x n )t = B pt x n A mx p  Am x n In = Am x n  In An x m = An x m  Nếu ma trận A vng có cấp n: An.In = In An  Với n > , A ma trận vuông: An = A A A      n lần  Phép nhân khơng giao hốn   0 3 Ví dụ 4.5 Cho ma trận A =  2 1 2 B=   3 0  1.1  0.3  1.2  0.0    2 =    2.2  3.0  11  AB =   2.1  3.3 1.(1)  2.2 1.0  2.3 3 6 BA =   =   0 3.(1)  0.2 3.0  0.3   Các phép biến đổi sơ cấp Các phép biến đổi sau ma trận gọi phép biến đổi sơ cấp: - Nhân tất phần tử hàng (hoăc cột) với số k  - Đổi chỗ hai hàng (hoặc hai cột) cho - Cộng vào phần tử hàng (hoặc cột) với phần tử tƣơng ứng hàng (hoặc cột) khác sau nhân với số Tốn đại số §2 -ĐỊNH THỨC Định thức ma trận vuông 1.1 Ma trận Xét ma trận vuông cấp n  a11 a12 a1n  a a22 a2 n  A =  21      an1 an ann  Ta ý tới phần tử aij, bỏ hàng i cột j ta thu đƣợc ma trận n-1 hàng, n-1 cột tức ma trận cấp n -1 Ta kí hiệu Mij gọi ma trận ứng với phần tử aij Chẳng hạn, với  a11 a12 A =  a21 a22   a31 a32 a13  a23  a33  a Ta có: M11 =  22  a32 a 23  M12 = a33   a21 a 23  a  M13 = a 33   31  a21 a 22  a   31 a32  1.2 Định nghĩa Định thức ma trận A, kí hiệu det(A), định nghĩa: - A ma trận cấp 1: A = [a 11 ] det(A) = a 11 - A ma trận vuông cấp 2: det( A)  a11 det(M11 )  a12 det(M12 )  a11a22  a12 a21 - A ma trận vuông cấp n: det(A) = (-1)1+1 a 11det(M11 ) + (-1)1+2 a12 det(M12 ) + …+ (-1)1 +n a 1n det(M1n ) - Các phần tử a 11, a 12, …, a 1n thuộc hàng thứ ma trận A  Kí hiệu định thức ngƣời ta dùng hai gạch đặt hai bên: A a11 a12 a1n a21 a22 a2 n det(A) an1 an ann  Định thức ma trận vng cấp n gọi định thức cấp n Ví dụ 1.1 a) = 1.4 – 2.3 = -2 Toán đại số b)  4 4 =1 -2 +3 8 8 8 = 1.(45 + 48) – 2(-36 - 42) + 3(32 - 35) = 240  Để tính định thức cấp ngƣời ta thƣờng dùng sơ đồ sau (Quy tắc Sarrus): a11 a12 a13 a11 a12  = a21 a22 a23 = a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 a31 a32 a33 - + + +  = a11 a22a33+a12a23 a31 +a13 a21 a33-a31a22 a13 -a32 a23a11-a33a21 a12 a11 a12 a13  Tích số nằm song song với đƣờng chéo mang dấu (+)  Tích số nằm song song với đƣờng chéo phụ mang dấu (-) Ví dụ1.2 detA = 1 1  1 1 1  detA = 1.1.2 + 2.1.3 + 3.0.(-1) – 3.1.3 – 1.1.(-1) – 2.0.2 detA = + – – + – = Tính chất định thức  Tính chất 1: det(At) = det(A) Ví dụ 2.1 = -2 = -2 4 Hệ quả: Một tính chất phát biểu hàng định thức phát biểu ta thay hàng cột  Tính chất 2: Đổi chỗ hai hàng (hai cột) cho ma trận ta định thức ma trận định thức cũ đổi dấu Ví dụ 2.2 = -2 ; = 2; 3 =2  Tính chất 3: Một ma trận có hai hàng (hay hai cột) định thức  Tính chất 4: - Khai triển định thức theo hàng i: det A  (1)i 1  ai1 det(M i1 )  det(M i )   ain det(M in ) - Khai triển định thức theo cột j: Toán đại số kx1 x  f   x1  x1 2 x1  h  x1 x   x2  x3  x4 1  kx2  x2  x3  kx3  x4  x4 k  k2  x2  x3  kx4  k3 2 x1 4 x   6 x1  x1  x2  x3  x4 3  x2  x2  3x  x3  x4  x4 5 7  12 x2  x3  x4 9  x2  x3  x4 1  x2  x3  x4 2  x2  x3  11x4 k g ax  by  z   k  x  aby  z  b  x  by  az   Trong k, a, b tham số 36 Tốn đại số Chƣơng III KHƠNG GIAN VECTƠ §1 KHÔNG GIAN VECTƠ Cho T trƣờng số (thực phức) tập E  , ta định nghĩa hai phép tốn hai ngơi nhƣ sau: Phép cộng: E  E  E (x, y)  x + y Kí hiệu + , nghĩa x, y  E x + y  E Phép nhân ngồi: T  E  E (k, x)  kx Kí hiệu , nghĩa k  T, x  E kx  E Định nghĩa Tập E đƣợc gọi không gian vectơ trƣờng số T, ta xác định đƣợc hai phép toán cộng nhân với số T E thoả mãn tiên đề sau: 1) x, y  E: x + y = y + x 2) x, y, z  E: (x + y) + z = x + (y + z) 3) x, y  E,   T: (x + y) = x + y 4) ,   T, x  E: ( x) = (  )x 5) ,   T, x  E: ( + )x = x + x 6) Trong E tồn phần tử khơng, kí hiệu Ø cho: x  E Ø + x = x + Ø = x 7) x  E tồn phần tử đối, kí hiệu: - x cho: x + (- x) = Ø 8) x  E, 1 T đƣợc gọi phần tử đơn vị T: 1.x = x Mỗi phần tử E đƣợc gọi vectơ số thuộc T đƣợc gọi vơ hƣớng Khơng gian vectơ cịn gọi khơng gian tuyến tính Chú ý: +) Nếu T tập số thực E gọi khơng gian tuyến tính thực +) Nếu T tập số phức E gọi khơng gian tuyến tính phức Ví dụ 1) Tập số phức C không gian vectơ thực 2) Tập P đa thức bậc nhỏ n với phép cộng đa thức phép nhân số với đa thức không gian vectơ thực 37 Toán đại số 3) Tập M ma trận cỡ m  n với phần tử thực phép cộng phép nhân ma trận không gian vectơ thực  4) Tập V vectơ hình học với vectơ vectơ có mơdun có hƣớng tuỳ ý, ta xác định phép cộng phép nhân V không gian vectơ thực 5) Tập Rn tập tất n số thực có thứ t ự (x1, x2, …, xn) Phép cộng hai phần tử phép nhân phần tử với số thực  đƣợc định nghĩa nhƣ sau: Nếu x = (x1, x2, …, xn ) y = (y1 , y2, …, yn) thì: x + y = ( x1 + y1 , x2 + y2, … , xn + yn) x = (x1, x2, …, xn) Với hai phép toán Rn khơng gian vectơ Vectơ  Rn vectơ (0, 0, …,0) Vectơ đối x vectơ - x = (-x1 , -x2 , …, -xn ) Tính chất 1) Trong khơng gian vectơ E trƣờng số T tồn vectơ Ø cho: x  E: x + Ø = x 2) Trong không gian vectơ E trƣờng số T với x  E tồn phần tử đối x (- x) cho: x + (- x) = Ø 3) Cho E khơng gian vectơ trƣờng số T Khi k  T, x  E số trƣờng T, ta có: +) 0.u = Ø +) k.Ø = Ø 4) Cho E không gian vectơ trƣờng số T Khi đó, x  E, -  T ta có: - 1.x =vectơ đối §2 KHÔNG GIAN VECTƠ CON Định nghĩa Cho E không gian vectơ tên trƣờng số T Tập E’ E đƣợc gọi không gian không gian vectơ E nếu: i) x, y  E:  x + y  E’ ii) x  E’,  T  x  E’ Nhận xét: E’ vectơ trƣờng số T 38 Toán đại số Chú ý:   E’ Định lí Cho E’  E, điều kiện cần đủ để E’ không gian E là: ,   T, x, y  E’  x + y  E’ Ví dụ 1) A  Rn A = {(a1 , a2, …, an)} 2) Tập {} có phải không gian E không? 3) Không gian R3 = {(x1, x2, x3 )/ xi  R} Các tập sau tập không gian R3 a) A = {x1, x2, 0}  x1, x2,  R b) B = {x1, 0, 0}  x1,  R c) C = {x1, x2, 1}  x1, x2,  R 4) Không gian ma trận cỡ  Các tập ma trận sau, tập không gian con? a b a 1 b 0   a) A =  b) B =  c b c 0 b 1 Khái niệm tổ hợp tuyến tính Cho x1, x2, …, xn n vectơ không gian vectơ E trƣờng T Ta gọi tổ hợp tuyến tính vectơ x1 , x2 , …, xn vectơ y có dạng: y = 1x1 + 2x2 + … + nxn , i  T, i = 1, 2, …., n Khi ta nói y biểu diễn tuyến tính đƣợc qua vectơ x1, x2, …, xn Ví dụ 3.1: 1) Mọi vectơ xi  E, i = 1, 2, …, n biểu thị tuyến tính đƣợc qua vectơ x1, x2, …, xn chẳng hạn: x1 = 1.x1 + 0.x2 + … + 0.xn 2) Trong không gian R4, xét vectơ: a1 = (1, 2, - 1, 3) a2 = (0, 1, 2, - 2) a3 = ( 3, - 2, 0, 1) Ta có x = (- 1, 9, 4, - 1) biểu diễn tuyến tính đƣợc qua vectơ vì: x = 2a1 + 3a2 – a3 Không gian sinh họ vectơ Định nghĩa: Cho V không gian vecto S = { x1, x2 , …, xn} họ vecto V Ta gọi tất tổ hợp tuyến tính vecto S bao tuyến tính S, kí hiệu span(S) W= span(S) không gian V (không gian sinh họ vecto) 39 Toán đại số §3 SỰ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH, ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH Khái niệm phụ thuộc tuyến tính độc lập tuyến tính Xét hệ n vectơ {x1, x2, …, xn}  E trƣờng số T Nếu p1 x1 + p2x2 + … + pnxn =   p1 = p2 = … = pn = Thì hệ n vectơ {x1, x2, …, xn} đƣợc gọi độc lập tuyến tính Ngƣợc lại tồn số pr  0, r  {1, 2, …, n} để p1 x1 + p2x2 + … + pn xn =  hệ n vectơ {x1, x2, …, xn} gọi hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính Ví dụ 1) Xét hệ gồm n vectơ n chiều( gọi vectơ đơn vị): e1 = (1, 0, 0, … , 0) e2 = (0, 1, 0, … , 0) ……………… en = ( 0, 0, 0, … , 1) Chứng tỏ hệ (e 1, e2 , …., en ) độc lập tuyến tính? Giải pi  T, i {1, 2, …., n} ta có: p1e1 + p2e2 + … + pn en = p1(1, 0, … ,0) + p2(0, 1, … , 0) + … + pn(0, 0, …, 1) = (p1 , p2, …., pn) =  = (0, 0, …, 0)  p1 = p2 = … = pn = Vậy hệ cho độc lập tuyến tính 2) Cho P tập đa thức bậc  với hệ số thực Chứng minh rằng: a) Họ vectơ S = {p1(x) = + 2x + 3x2, p2(x) = + 3x + 4x2 , p3(x) = + 5x + 7x2} phụ thuộc tuyến tính b) Họ vectơ {q1(x) = 1, q2(x) = + x, q3(x) = + x + x2} độc lập tuyến tính 3) Chứng minh họ 40 Tốn đại số  1 0 0  0  0 0  M = e1 '   , e '  , e '  , e '   0 0 3 0 0 4  0         Độc lập tuyến tính Tính chất hệ độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính Tính chất 1: Mọi hệ hệ độc lập tuyến tính hệ độc lập tuyến tính Hệ quả: Nếu thêm vào nhiều vectơ vào hệ phụ thuộc tuyến tính hệ phụ thuộc tuyến tính Tính chất 2: Điều kiện cần đủ để hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính có vectơ biểu diến tuyến tính qua vectơ lại Hệ quả: Một hệ vectơ chứa vectơ phụ thuộc tuyến tính §4 CƠ SỞ - SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VECTƠ Hệ sinh 4.1.1 Định nghĩa: Hệ vectơ {x1 , x2, …, xn} đƣợc gọi hệ sinh không gian vectơ E trƣờng số T với vectơ x  E, x tổ hợp tuyến tính x1, x2, …, xn Nghĩa là: x  E tồn 1, 2 ,… , n  T cho: x = 1 x1 + 2 x2 + … + n xn 1.2 Ví dụ 1) Trong khơng gian vectơ Rn trƣờng số R, hệ vectơ {e 1, e2, …., e n}: e1 = (1, 0, …., 0), e = (0, 1, …., 0), … , e n = (0, 0, …., 1) hệ sinh, sao? 2) Trong không gian vectơ P đa thức bậc nhỏ n, họ vectơ: p0 (x) = 1, p1(x) = x, p2(x) = x2, …., pn(x) = xn có phải hệ sinh không? 3) Trong không gian vectơ Mmn trƣờng số R, hệ vectơ : 41 Toán đại số 1 0  A1 =   0  0 0    0  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  0 1 0 0 0 , A2 =  0 0 0 0    0  0 0 0 0 0 0 0 , … , An =  0 0 có phải hệ sinh khơng? Cơ sở 2.1 Định nghĩa: Hệ vectơ {x1, x2, …, xn} đƣợc gọi sở không gian vectơ E trƣờng số T nếu: i) {x1, x2, …, xn} hệ sinh E ii) {x1 , x2 , …, xn} độc lập tuyến tính 2.2 Ví dụ 1) Trong khơng gian vectơ Rn trƣờng số R, hệ vectơ {e 1, e2, …., e n} n vectơ độc lập tuyến tính R hệ sinh nên hệ {e 1, e2, …., e n} sở Rn 2) Chứng minh sở tắc khơng gian vectơ M33 trƣờng số R hệ vectơ: 1 0 A1 = 0 0 ,   0 0 0  A2 = 0 0 ,   0 0 0  A3 = 0 0 ,   0 0 0 0  A4 = 1 0 ,   0 0 0 0  A5 = 0 0 ,   0 0 0 0  A6 = 0 1 ,   0 0 0 0  A7 = 0 0 ,   1 0 0 0  A8 = 0 0 ,   0 0 0 0  A9 = 0 0   0 1 2.3 Định lí 42 Tốn đại số Trong khơng gian vectơ E trƣờng T, hệ sở có số vectơ 2.4 Định lí: Điều kiện cần đủ để hệ vectơ {x1 , x2, …, xn} sở không gian vectơ E trƣờng T vectơ x thuộc E biểu diễn cách dƣới dạng tổ hợp tuyến tính x1 , x2 , …, xn Số chiều họ vecto 3.1 Định nghĩa: Trong không gian vectơ E trƣờng số T, số vectơ có sở E đƣợc gọi số chiều E Kí hiệu dim(E) Nếu dim(E) = n hữu hạn ta gọi E không gian vectơ hữu hạn chiều hay không gian vectơ n - chiều Chú ý: + Không gian vectơ gồm vectơ Ø đƣợc xem có số chiều + Khơng gian vectơ E có số vectơ sở vơ hạn không gian vectơ E gọi không gian vectơ vô hạn chiều + dim Rn = n + dim M = m.n với M không gian vectơ ma trận A mn + dim P = n + với P không gian vectơ đa thức bậc nhỏ n 3.2 Ví dụ 1) Trong khơng gian vectơ M33 trƣờng số R, có số vectơ sở Vậy số chiều không gian vectơ M33 2) Cho không gian vectơ P = {1, x, x2}, dim P = Hạng hệ vectơ 4.1 Bộ phận độc lập tuyến tính tối đại Trong khơng gian vectơ E cho hệ gồm n vectơ {x1, x2, …, xn} (1), hệ hệ (1) gồm r vectơ (r  n) đƣợc gọi hệ độc lập tuyến tính tối đại hệ (1) nếu: + Hệ r vectơ độc lập tuyến tính + Mọi vectơ hệ (1) tổ hợp tuyến tính hệ r vectơ đó( hay hệ (1) có số vectơ > r phụ thuộc tuyến tính) 4.2 Định nghĩa hạng Trong không gian vectơ E cho hệ S gồm n vectơ Số vectơ có hệ độc lập tuyến tính tối đại hệ n vectơ đƣợc gọi hạng Kí hiệu r(S) 4.3 Định lí 43 Tốn đại số Trong khơng gian vectơ n - chiều trƣờng số thực R Cho hệ vectơ S = {x1, x2, …, xn} Giả sử tọa độ n vectơ sở E là:  x  (a 11 , a 21 , , a m1 )  x  (a , a , , a )  12 22 m2 ; a ij  R; i  1, m;   x n  (a 1n , a 2n , , a mn ) j  1, n Khi hạng hệ gồm m vectơ hạng ma trận:  a11 a A   12   a m1 a 21 a 22 a2 m a1n  a n    a mn  (cột thứ i tƣơng ứng với tọa độ vectơ x i, i = 1, 2,…, n) Nghĩa là: r(S) = r(A) Vậy muốn tìm hạng họ vectơ ta tìm hạng ma trận tạo nên vectơ 4.4 Phƣơng pháp tính hạng họ vectơ Ví dụ Tính hạng họ vectơ S = {x1, x2, x3, x4, x5}  R3 với x1 = (1, 2, 3), x2 = ( 2, 3, 4), x3 = (3, 5, 7), x4 = (1, 1, 1), x5 = (0, 1, 2) Giải Lập ma trận A tạo hệ vectơ đó: 1 2  A  3  1 0 1 3 4 7  1 2 Dùng phép biến đổi sơ cấp hàng để đƣa ma trận A dạng bậc thang: 1 2  A  3  1  1 3 1  1     0 1 2  h4  h5  h5  2h1  h2  h2        3h1  h3  h3  0 1 2  h3  h4  h4  0 0   B       h1  h4  h4 0 1 2  h2  h3  h3 0 0  0  0 0   44 Toán đại số Ta có r(A) = r(B) =  r(S) = Vậy hạng vectơ §5 TỌA ĐỘ CỦA VECTO TRONG CƠ SỞ Khái niệm tọa độ vectơ sở Trong không gian vectơ n - chiều E trƣờng T cho hệ sở {e 1, e2 , …., en} vectơ x  E, tồn số (1, 2, …, n), i  T, i = 1, 2, …, n cho x = 1 e + 2 e + … + n e n số (1, 2, …, n) đƣợc gọi tọa độ vectơ x sở {e 1, e2 , …., en } i gọi thành phần tọa độ thứ i vectơ x, i = 1, 2, …, n viết     x = (1, 2, …, n ) hay x =        n  Định lí Nếu E khơng gian vectơ hữu hạn chiều có dim(E) = n Khi ta có: i) Mọi hệ vectơ độc lập tuyến tính có n vectơ E sở E ii) Nếu hệ {e1, e2, …., e n} hệ độc lập tuyến tính E có m < n ta bổ sung vào hệ n – m vectơ để trở thành sở E Ma trận chuyển sở Trong không gian vectơ n chiều V, giả sử có sở: A  (e1, e2 , , en ), A '  (e '1, e '2 , , e 'n ) Xét vectơ v V Đối với sở A có v  v1e1  v2e2   vnen , nghĩa (v) A  (v1, v2 , vv ) hay v1  v  v A      vn  Đối với sở A’ có v  v '1 e '1  v '2 e '2   v 'n e 'n , nghĩa (v) A '  (v '1, v '2 , v 'n ) hay 45 Toán đại số v '1  v '  v A '       v 'n  Định nghĩa ma trận chuyển sở: Ma trận P thỏa mãn: vA  P v A ' gọi ma trận chuyểncơ sở từ A sang A’ Định lý: Nếu P ma trận chuyển sở từ sở A sangcơ sở A’ thì: P khả đảo (det(P)  0) P-1 ma trận chuyển sở từ A’ sang A, vA  P v A ' Bài tốn đổi sở Ví dụ: Trong R2, cho sở A  e1 , e2  , A '  e '1, e '2  với e1  (1,0), e2  (0,1), e '1  (1,1), e '2  (2,1) a Tìm ma trận chuyển sở từ A sang A’ b Tìm (v)A’ v = (7,2) Giải: 1 Ta có: e '1  e1  e2 hay  e '1  A    1  2 e '2  2e1  e2 hay  e '2  A    1  1  Ma trận chuyển sở từ A sang A’ P    1   1  b Ma trận chuyển sở từ A’ sang A P 1     1 7   1  7  3 Vì v  7e1  2e2 nên  v  A    , nên  v A '  P 1 v A        5         Có thể tính trực tiếp, khơng thơng qua ma trận chuyển sở 46 Toán đại số BÀI TẬP CHƢƠNG 1.Cho tập phần tử gọi vectơ, hai phép tính cộng nhân vectơ với số Hãy xác định tập không gian vectơ, tập không gian vectơ (nếu tiên đề mà thỏa mãn) a Tập tất ba số thực (x, y, z) với phép tính: (x, y, z) + (x’, y’, z’) := (x + x’, y + y’, z + z’) k(x, y, z) := (kx, y, z) b Tập tất ba số thực (x, y, z) với phép tính: (x, y, z) + (x’, y’, z’) := (x + x’, y + y’, z + z’) k(x, y, z) := (0, 0, 0) c Tập tất cặp số thực (x, y) với phép tính: (x, y) + (x’, y’) := (x + x’, y + y’) k(x, y) := (2kx, 2ky) d Tập tất cặp thực có dạng (x, y) x>0, với phép tính thơng thƣờng R2 Hỏi tập dƣới không gian R3 hay khơng? a Các vectơ có dạng (a, 0, 0) b Các vectơ có dạng (a, 1, 0) c Các vectơ có dạng (a, b, c) với b = a + c d Các vectơ có dạng (a, b, c) với b = a + c +1 Tập dƣới không gian vectơ không gian M 2x2 () a b 1 a  0 a  a  b  c     a c a     b  Cho u = (2, 3, 5), v = (3, 7, 8), w = (1, -6, 1) Hãy biểu diễn vectơ x thành tổ hợp tuyến tính u, v, w: a x = (7, -2, 15) b x = (0, 0, 0) Các tập sau độc lập hay phụ thuộc tuyến tính? a u1 = (1, 2), u2 = (-3, -6) R2 a u1 = (-1, 2), u2 = (-3, 4) R2 c v1 = (1, 2,3), v2 = (-3, -6, 7) R3 d v1 = (4,- 2,6), v2 = (6, -3, 9) R3 e v1 = (1, 2, 3), v2 = (-3, -6, 7), v3 = (-1, -2, 13) R3 f v1 = (-1, 2, 3), v2 = (-3, 9, 7), v3 = (7, 2, 1) R3 g v1 = (1, 2, 3, 4), v2 = (-3, -6, 7, 5), v3 = (2, 4, 6, 10), v4 = (1, 0, 0, 3) R4 Tập P2 dƣới phụ thuộc tuyến tính? 2 a e1  x  x  1, e2   x  x  , e3  x  b e1  x  x  , e2   x , e3  x  Tìm m để làm cho vectơ sau phụ thuộc tuyến tính R3 2 1 1    1  v1   m,  ,   , v2    , m,   , v3    ,  , m  2 2    2  Họ dƣới sở R2 a (1, 2), (-3, -6) ` b (4, 1), (-7, 8) c (0, 0), (-3, -6) d ( 2,3), (1, 0) Họ dƣới sở R a (1, 0, 0), (2, 2, 0), (3, 3, 3) ` 47 Toán đại số b (3, -1 , 4), (2, 5, 6) , (1, 4, 8) c ( 2, -3,1), (4, 1, 1), (0, -7, 1) 10 Chứng minh họ vectơ sau sở M 2x2 1  0  0  0  A1   , A2   , A3   , A4       0 0 0  3 0 0 4 11 Xác định số chiều không gian vectơ dạng (a, b, c, 0) R4 48 Toán đại số Chƣơng I MA TRẬN – ĐỊNH THỨC §1-MA TRẬN 1 Khái niệm ma trận Các loại ma trận đặc biệt Ma trận 4 Ma trận chuyển vị, ma trận đối Các phép toán ma trận Các phép biến đổi sơ cấp §2 -ĐỊNH THỨC Định thức ma trận vuông Tính chất định thức Các phƣơng pháp tính định thức 11 §3-MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 13 Ma trận khả đảo ma trận nghịch đảo 13 Ma trận phụ hợp 13 Tính chất 14 §4- HẠNG CỦA MA TRẬN 16 Định nghĩa 16 Các phƣơng pháp tìm hạng ma trận 16 BÀI TẬP 18 Chƣơng II 22 HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 22 §1- KHÁI NIỆM HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 22 Dạng tổng qt hệ phƣơng trình tuyến tính 22 Dạng ma trận hệ phƣơng trình tuyến tính 22 §2- CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 24 Hệ Cramer 24 Phƣơng pháp Cramer 24 Phƣơng pháp ma trận nghịch đảo 26 Phƣơng pháp Gauss 26 §3- HỆ PHƢƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT 31 Định nghĩa 31 Hệ nghiệm hệ phƣơng trình 32 BÀI TẬP 33 Chƣơng III 37 KHÔNG GIAN VECTƠ 37 §1 KHƠNG GIAN VECTƠ 37 Định nghĩa 37 Tính chất 38 §2 KHƠNG GIAN VECTƠ CON 38 Định nghĩa 38 Khái niệm tổ hợp tuyến tính 39 Không gian sinh họ vectơ 39 §3 SỰ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH, ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH 40 Khái niệm phụ thuộc tuyến tính độc lập tuyến tính 40 Tính chất hệ độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 41 49 Tốn đại số §4 CƠ SỞ - SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VECTƠ 41 Hệ sinh 41 Cơ sở 42 Số chiều họ vecto 43 Hạng hệ vectơ 43 §5 TỌA ĐỘ CỦA VECTO TRONG CƠ SỞ 45 Khái niệm tọa độ vectơ sở 45 Ma trận chuyển sở 45 Bài toán đổi sở 46 BÀI TẬP 48 50