DE HSG TOAN 8 CO DAP AN

ĐỀ THI SỐ Câu 1: (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1) Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức : 2 x x2 2 x x2  3x A(   ):( ) 2 x x 4 2 x x  x3 a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị x để A > 0? c) Tính giá trị A trường hợp : |x - 7| = Câu 3: (5,0 điểm) a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = b) Cho a b c x y z x2 y z       Chứng minh :    x y z a b c a b c Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD a) Tứ giác BEDF hình ? Hãy chứng minh điều ? b) Chứng minh : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đáp án Bài a 2 3x – 7x + = 3x – 6x – x + = = 3x(x -2) – (x - 2) = (x - 2)(3x - 1) b a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = = ax(x - a) – (x - a) = Điểm 2,0 1,0 0,5 0,5 2,0 1,0 0,5 = (x - a)(ax - 1) 0,5 5,0 3,0 Bài 2: a ĐKXĐ : �2  x �0 �2 �x �0 �x  �0 � � x �2 �۹� �x �x  x �0 �x �3 � � � �2 x  x �0  x 4x2 2 x x2  3x (2  x)  x  (2  x) x (2  x) A(   ):( )    x x   x x  x3 (2  x)(2  x) x( x  3)  1,0 1,0 x2  8x x(2  x)  (2  x)(2  x) x  0,5 x( x  2) x (2  x ) 4x2  (2  x)(2  x )( x  3) x  0,25 Vậy với x �0, x ��2, x �3 A  4x x 3 0,25 b 1,0 Với x �0, x �3, x ��2 : A  � � x3 � x  3(TMDKXD) 4x 0 x 3 Vậy với x > A > c x7  � x7  � � x   4 � x  11(TMDKXD) � �� x  3( KTMDKXD) � Với x = 11 A = 121 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 0,5 0,25 0,25 Bài a 5,0 2,5 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = � (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = � 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2 = (*) Do : ( x  1) �0;( y  3) �0;( z  1) �0 Nên : (*) � x = 1; y = 3; z = -1 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1) b Từ : a b c ayz+bxz+cxy   0� 0 x y z xyz � ayz + bxz + cxy = 1,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,5 0,5 0,25 Ta có : x y z x y z    � (   )2  a b c a b c 2 x y z xy xz yz �    2(   )  a b c ab ac bc 2 x y z cxy  bxz  ayz �   2 1 a b c abc x2 y z �    1(dfcm) a b c 0,5 0,5 0,5 0,25 Bài 6,0 H C B 0,25 F O E A D a Ta có : BE  AC (gt); DF  AC (gt) => BE // DF Chứng minh : BEO  DFO( g  c  g ) => BE = DF Suy : Tứ giác : BEDF hình bình hành b �  KDC � Ta có: � ABC  � ADC � HBC Chứng minh : CBH : CDK ( g  g ) � b, CH CK  � CH CD  CK CB CB CD Chứng minh : AFD : AKC ( g  g ) AF AK �  � AD AK  AF AC AD AC Chứng minh : CFD : AHC ( g  g ) CF AH �  CD AC CF AH  � AB AH  CF AC Mà : CD = AB � AB AC K 2,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,0 0,5 1,0 0,5 1,75 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 Suy : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm) 0,25 ĐỀ SỐ Câu1 a Phân tích đa thức sau thừa số: x4   x  2  x  3  x  4  x  5  24 b Giải phương trình: x4  30x2  31x  30  a b c a2 b2 c2 c Cho    Chứng minh rằng:   0 b  c c  a a b b c c  a a b Câu2 Cho biểu thức: �� 10  x2 � � x A  �2   x  2 � �: � x2 � �x   x x  �� a Rút gọn biểu thức A b Tính giá trị A , Biết x = c Tìm giá trị x để A < d Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị ngun Câu Cho hình vuông ABCD, M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME  AB, MF  AD a Chứng minh: DE  CF b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy c Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn Câu a Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh rằng: b Cho a, b dơng a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011 1   �9 a b c HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP Câu Câu (6 điểm) Đáp án a x4 + = x4 + 4x2 + - 4x2 = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2 = (x2 + + 2x)(x2 + - 2x) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24 = (x2 + 7x + 11)2 - 52 = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) b x4  30x2  31x  30  x Điểm (2 điểm)   x   x  5  x  6  (*) Vì x2 - x + = (x - 12 ) + >0 x  (*) (x - 5)(x + 6) = x  5 x5 � � �� x  6 � x 6 � a b c c Nhân vế của:   1 b  c c  a a b với a + b + c; rút gọn � đpcm  � (2 điểm) (2 điểm) HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP �� 10  x2 � � x   : x   � �� x � �x   x x  �� 1 a Rút gọn kq: A  x 1 1 b x  � x  x  2 Biểu thức: A  � Câu (6 điểm) 4 A  c A  � x  1 d A �Z � �Z � x� 1;3 x �A  (1.5 điểm) (1.5 điểm) (1.5 điểm) (1.5 điểm) HV + GT + KL (1 điểm) Câu (6 điểm) AE  FM  DF � AED  DFC � đpcm b DE, BF, CM ba đường cao EFC � đpcm a Chứng minh: c Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a khơng đổi � ME  MF  a không đổi � SAEMF  ME.MF lớn � ME  MF (AEMF hình vng) � M trung điểm BD Câu 4: (2 điểm) b c �1    �a a a � a c �1 a Từ: a + b + c = � �  1  b b �b a b �1    �c c c � 1 �a b � �a c � �b c � �     �  � �  � �  � a b c �b a � �c a � �c b � �3     Dấu xảy � a = b = c = (2 điểm) (2 điểm) (1 điểm) (1 điểm) HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002  (a+ b) – ab =  (a – 1).(b – 1) =  a = hc b = Víi a = => b2000 = b2001 => b = hc b = (lo¹i) Víi b = => a2000 = a2001 => a = hc a = (lo¹i) VËy a = 1; b = => a2011 + b2011 = b (a 2001 (1 điểm) §Ị thi S Câu : (2 điểm) Cho P= a  4a  a  a  a  14a  a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá trị nguyên Câu : (2 ®iĨm) a) Chøng minh r»ng nÕu tỉng cđa hai sè nguyên chia hết cho tổng lập phơng chúng chia hết cho b) Tìm giá trị x để biểu thức : P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Câu : (2 điểm) a) Giải phơng trình : 1 1    x  x  20 x  11 x  30 x  13 x  42 18 b) Cho a , b , c cạnh cđa mét tam gi¸c Chøng minh r»ng : A= a b c   3 b c  a a c  b a b  c C©u : (3 điểm) Cho tam giác ABC , gọi M trung điểm BC Một góc xMy 600 quay quanh điểm M cho cạnh Mx , My cắt cạnh AB AC lần lợt D E Chứng minh : a) BD.CE= BC b) DM,EM lần lợt tia phân giác góc BDE CED c) Chu vi tam giác ADE không đổi Câu : (1 điểm) Tìm tất tam giác vuông có số đo cạnh số nguyên dơng số ®o diƯn tÝch b»ng sè ®o chu vi ®¸p án đề thi học sinh giỏi Câu : (2 ®) a) (1,5) a3 - 4a2 - a + = a( a2 - ) - 4(a2 - ) =( a2 - 1)(a-4) =(a-1)(a+1)(a-4) 0,5 a3 -7a2 + 14a - =( a3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 + 2a + 4) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) 0,5 Nêu ĐKXĐ : a 1; a 2; a 4 Rót gän P= b) (0,5®) P= 0,25 a 1 a 0,25 a  23 1 ; ta thấy P nguyên a-2 ớc 3, a a mà Ư(3)= 1;1; 3;3 0,25 Từ tìm đợc a 1;3;5 0,25 Câu : (2đ) a)(1đ) Gọi số phải tìm a b , ta có a+b chia hÕt cho  0,25  Ta cã a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b) (a  2ab  b )  3ab =  =(a+b) (a  b)  3ab 0,5 Vì a+b chia hết (a+b)2-3ab chia hÕt cho ;   Do vËy (a+b) (a  b)  3ab chia hÕt cho 0,25 b) (1đ) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36 Ta thấy (x2+5x)2 nên P=(x2+5x)2-36  -36 0,5 0,25 Do ®ã Min P=-36 (x2+5x)2=0 Từ ta tìm đợc x=0 x=-5 Min P=-36 0,25 Câu : (2đ) a) (1đ) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ; x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ; x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; 0,25 §KX§ : x  4; x  5; x   6; x 0,25 Phơng trình trở thành : 1 1    ( x  4)( x  5) ( x  5)( x  6) ( x  6)( x  7) 18 1 1 1       x  x  x  x  x  x  18 1   x  x 18 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0 0,25 Từ tìm đợc x=-13; x=2; 0,25 b) (1đ) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 yz xz xy ;b  ;c  ; 2 yz xz xy 1 y x x z y z     (  )  (  )  (  ) Thay vµo ta đợc A= 2x 2y 2z x y z x z y  Tõ ®ã suy A  (2   2) hay A 3 Câu : (3 đ) Từ suy a= 0,5 0,25 0,25 a) (1đ) Trong tam giác BDM ta cã : Dˆ 120  Mˆ V× Mˆ =600 nªn ta cã : Mˆ 120  Mˆ Suy Dˆ  Mˆ x E Chøng minh BMD ∾ CEM (1) Suy D BD CM  , tõ ®ã BD.CE=BM.CM BM CE Vì BM=CM= BC , nên ta có b) (1®) Tõ (1) suy y A BD.CE= BC 0,5 B 2 M C 0,5 BD MD mà BM=CM nên ta có CM EM BD MD  BM EM Chøng minh BMD ∾ MED 0,5 Tõ ®ã suy Dˆ  Dˆ , DM tia phân giác góc BDE Chứng minh tơng tự ta có EM tia phân giác góc CED 0,5 c) (1đ) Gọi H, I, K hình chiếu M AB, DE, AC Chøng minh DH = DI, EI = EK 0,5 TÝnh chu vi tam gi¸c b»ng 2AH; KÕt luËn 0,5 Câu : (1đ) Gọi cạnh tam giác vuông x , y , z ; cạnh huyền z (x, y, z số nguyên dơng ) Ta có xy = 2(x+y+z) (1) vµ x2 + y2 = z2 (2) Tõ (2) suy z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vµo ta cã : z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z) z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y) z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4 0,25 (z+2)2=(x+y-2)2 , suy z+2 = x+y-2 0,25 z=x+y-4 ; thay vµo (1) ta đợc : xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25 Từ ta tìm đợc giá trị x , y , z lµ : (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ; (x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) 0,25 ĐỀ THI SỐ Câu1( đ): Phân tích đa thức sau thành nhân tử A   a  1  a  3  a    a    15 Caâu 2( đ): Với giá trị a b đa thức:  x  a   x  10   phân tích thành tích đa thức bậc có hệ số nguyên Câu 3( đ): tìm số nguyên a b để đa thức A(x) = x  3x3  ax  b chia hết cho đa thức B ( x )  x  x  Câu 4( đ): Cho tam giác ABC, đường cao AH,vẽ phân giác Hx góc AHB phân giác Hy góc AHC Kẻ AD vuông góc với Hx, AE vuông góc Hy Chứng minh rằngtứ giác ADHE hình vuông Câu 5( đ): Chứng minh P Câ u 2đ 1 1     1 2 1002 Đáp án biểu điểm Đáp án A   a  1  a  3  a    a    15  a a a    a  8a  a  8a  15  15     8a  22 a  8a  120   8a  12   a   a  2  a  6  a 2ñ 2 Biểu điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 đ đ đ ñ  8a  11  2   8a  10   8a  10 Giả sử:  x  a   x  10     x  m   x  n  ;(m, n �Z ) 0,25 ñ 0,25 ñ � x   a  10  x  10a   x   m  n  x  mn �  m  n  a 10 m n 10 a 1 Khử a ta có : mn = 10( m + n – 10) + � mn  10m  10n  100  � m(n  10)  10n  10)  m,n nguyên ta có: 1đ 0,25 đ  m 10 1 n 10 1 v  m 101 n 10 1 suy a = 12 a =8 Ta có: A(x) =B(x).(x2-1) + ( a – 3)x + b + a  3 a 3 Để A( x)MB ( x ) b  4 � b 4   0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ñ ñ ñ ñ ñ 0,5 ñ 0,5 ñ 3ñ 0,25 đ 2đ Tứ giác ADHE hình vuông � ; Hy phân giác Hx phân giác góc AHB � � � góc AHC mà AHB AHC hai góc kề bù nên Hx Hy vuông góc � � � Hay DHE = 900 mặt khác ADH = 900  AEH Nên tứ giác ADHE hình chữ nhật ( 1) � AHB 900 � AHD    450 2 � Do � AHC 900 AHE    450 2 � � � AHD  AHE � (2) Hay HA laø phân giác DHE Từ (1) (2) ta có tứ giác ADHE hình vuông 1 1 P      100 1 1      2.2 3.3 4.4 100.100 1 1      1.2 2.3 3.4 99.100 1 1        2 99 100 99  1  1 100 100 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ 1 � …P = 2x  c) P = = 1 2x  +) x  Ta cã: �Z VËy P �Z � � 1® x 5 Z x5 x5 Ư(2) Mà Ư(2) = { -2; -1; 1; 2} x – = -2 � x = (TM§K) x – = -1 � x = (KTM§K) x – = � x = (TM§K) x – = � x = (TMĐK) KL: x {3; 6; 7} P nhận giá trị nguyên d) P= 1đ 2x  = 1 2x  x 5 0,25® Ta có: > Để P > x 5 >0 � x–5>0 � x>5 0,5® Víi x > P > Bài 2: a) � 0,25 15 x � �1   12  � � x  3x  �x  x  � �1 15 x   12 �  �x   x  1  x    x  1 � � � � � §K: x �4; x �1 � 3.15x – 3(x + 4)(x – 1) = 12(x -1) + 12(x + 4) … � 3x.(x + 4) = � 3x = hc x + = +) 3x = => x = (TM§K) +) x + = => x = -4 (KTM§K) S = { 0} b) 148  x 169  x 186  x 199  x     10 25 23 21 19 148  x � � 169  x 186  x 199  x � �� �� �  1� �  � �  � �  � � 25 � � 23 � � 21 � � 19 � � � 1 1� �1 � (123 – x) �    �= �25 23 21 19 � 1® Do 1 1� �1 �    �> �25 23 21 19 � Nªn 123 – x = => x = 123 S = {123} 1đ x2 c) Ta có: nên x  �0x => x2 3 >0 x2 3  x2 PT đợc viết dới dạng: x2 35 x2 = – � x2 =2 +) x - = => x = +) x - = -2 => x = S = {0;4} 1đ Bài 3(2 đ) Gọi khoảng cách A B x (km) (x > 0) 0,25đ Vận tốc dự định ngời đ xe gắn máy là: x 3x  (km / h) 10 3 (3h20’ =  h ) 0,25® VËn tốc ngời xe gắn máy tăng lên km/h lµ: 3x   km / h 10 0,25đ Theo đề ta có phơng trình: �3x �   x � � �10 0,5đ x =150 0,5đ Vậy khoảng cách A B 150 (km) 0,25đ Vận tốc dự định là: 3.150 45 km / h 10 Bài 4(7đ) Vẽ hình, ghi GT, KL 0,5đ D C P M F I E O A B a) Gọi O giao điểm đờng chéo hình chữ nhật ABCD PO đờng trung bình cđa tsm gi¸c CAM  AM//PO � tø gi¸c AMDB hình thang 1đ b) Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị) Tam giác AOB cân ë O nªn gãc OBA = gãc OAB Gäi I giao điểm đờng chéo hình chữ nhật AEMF tam giác AIE cân I nên góc IAE = gãc IEA Tõ chøng minh trªn : cã gãc FEA = gãc OAB, ®ã EF//AC (1) 1® Mặt khác IP đờng trung bình tam giác MAC nên IP // AC (2) Từ (1) (2) suy ba điểm E, F, P thẳng hàng 1đ c) MAF : DBA  g  g  nªn d) Nếu MF AD không đổi FA AB (1đ) PD PB PD    k � PD  9k , PB  16k th× PB 16 16 NÕu CP  BD th× CBD : DCP  g  g  � ®ã CP2 = PB.PD hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2 PD = 9k = 1,8(cm) PB = 16k = 3,2 (cm) 0,5d BD = (cm) C/m BC2= BP.BD = 16 0,5® ®ã BC = (cm) CP PB  PD CP 1đ CD = (cm) 0,5đ Bài 5: a) Ta cã: 20092008 + 20112010 = (20092008 + 1) + ( 20112010 – 1) V× 20092008 + = (2009 + 1)(20092007 - …) = 2010.(…) chia hÕt cho 2010 (1) 2010 2011 - = ( 2011 – 1)(20112009 + …) = 2010.( …) chia hÕt cho 2010 (2) 1đ Từ (1) (2) ta có đpcm b) 1  �  x2  y2  xy (1) �1 �� 1 � ��    �� ��0  x  xy  y  xy � �� � x  y  x y  x  y �  �0   x2    xy    y    xy   y  x   xy  1   x2    y    xy  ۳  2 V× x �1; y �1 => xy �1 => xy  => BĐT (2) => BĐT (1) (dấu = xảy x = y) 1đ S 19 Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên x để A MB biết A = 10x2 – 7x – B = 2x – c) Cho x + y = x y �0 Chứng minh 2 x  y x y   2 0 y 1 x 1 x y  Bài 2: (3đ) Giải phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 b) x 1 x  x  x  x  x       2008 2007 2006 2005 2004 2003 Bài 3: (2đ) Cho hình vng ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, tia đối tia CB lấy F cho AE = CF a) Chứng minh  EDF vuông cân b) Gọi O giao điểm đường chéo AC BD Gọi I trung điểm EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển AB, AC cho BD = AE Xác địnhvị trí điểm D, E cho: a/ DE có độ dài nhỏ b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ Híng dÉn chấm biểu điểm Bi 1: (3 im) a) ( 0,75đ) b) (0,75đ) Xét x3 - 5x2 + 8x - = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) =(x–1)(x–2)2 A 10x  7x    5x   B 2x  2x  Với x �Z A MB (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) �Z � M( 2x – 3) 2x  (0,25đ) Mà Ư(7) =  1;1; 7;7 � x = 5; - 2; ; A MB (0,25đ) 4 x y x xy y  c) (1,5đ) Biến đổi = y  x  (y  1)(x  1) x  y4   (x  y)  = ( x + y = � y - 1= -x x - 1= - y) (0,25đ) xy(y  y  1)(x  x  1)  x  y   x  y   x  y   (x  y) = (0,25đ) xy(x y  y x  y  yx  xy  y  x  x  1)  x  y  (x  y  1) = (0,25đ) xy � x y  xy(x  y)  x  y  xy  � � �  x  y  (x  x  y  y)  x  y   x(x  1)  y(y  1)  = 2 xy � x y  (x  y)  � � xy(x y  3) � = =  x  y   x( y)  y( x)  = xy(x y  3) 2 =  x  y  (2xy) (0,25đ) xy(x y  3) 2(x  y) Suy điều cần chứng minh x y2  (0,25đ) Bài 2: (3 đ)a) (1,25đ) (x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x y2 + 4y - 12 =  y2 + 6y - 2y -12 =  (y + 6)(y - 2) =  y = - 6; y = * x2 + x = - vơ nghiệm x2 + x + > với x * x2 + x =  x2 + x - =  x2 + 2x - x - =  x(x + 2) – (x + 2) =  (x + 2)(x - 1) =  x = - 2; x = Vậy nghiệm phương trình x = - ; x =1 b) (1,75đ)  (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) x 1 x2 x 3 x4 x 5 x6 x 1 x  x  x  x  x   (  1)  (  1)  (  1)  (  1)  (  1)  (  1)      2008 2007 2006 2005 2004 2003 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x  2009 x  2009 x  2009 x  2009 x  2009 x  2009      2008 2007 2006 2005 2004 2003  x  2009 x  2009 x  2009 x  2009 x  2009 x  2009      0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Vì 1 1   ; ; 2008 2005 2007 2004 (0,25đ)  ( x  2009)( 1 1 1      ) 0 (0,5đ) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 1  2006 2003 Do : 1 1 1      0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 (0,25đ) Vậy x + 2009 =  x = -2009 E I Bài 3: (2 điểm) a) (1đ) B Chứng minh  EDF vuông cân Ta có  ADE =  CDF (c.g.c) �  EDF cân D O Mặt khác:  ADE =  CDF (c.g.c) � Eˆ  Fˆ2 � ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ F2  E  F1 = 90 Mà E1  E  F1 = 90 A � EDF = 90 Vậy  EDF vuông cân b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng Theo tính chất đường chéo hình vuông � CO trung trực BD Mà  EDF vuông cân � DI = EF Tương tự BI = EF � DI = BI � I thuộc dường trung trực DB � I thuộc đường thẳng CO Hay O, C, I thẳng hàng C D B D Bài 4: (2 điểm) a) (1đ) A E DE có độ dài nhỏ Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a) Áp dụng định lý Pitago với  ADE vng A có: DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2 (0,25đ) 2 a a a � = 2(x – )2 + (0,25đ) 2 a Ta có DE nhỏ � DE2 nhỏ � x = (0,25đ) a � BD = AE = � D, E trung điểm AB, AC (0,25đ) b) (1đ) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ 1 1 Ta có: SADE = AD.AE = AD.BD = AD(AB – AD)= (AD2 – AB.AD) (0,25đ) 2 2 2 AB AB AB2 AB AB AB2 � = – (AD2 – AD + )+ = – (AD – ) + (0,25đ) 2 4 8 AB2 AB2 Vậy SBDEC = SABC – SADE � – = AB2 khơng đổi (0,25đ) 8 Do SBDEC = AB2 D, E trung điểm AB, AC (0,25đ) ĐỀ SỐ 20 Bµi 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x2 – y2 – 5x + 5y F C b) 2x2 5x Bài 2: Tìm đa thức A, biÕt r»ng: x  16 A  x x2 Bài 3: Cho phân thức: 5x 2x 2x a) Tìm điều kiện x để giá trị phân thức đợc xác định b) Tìm giá trị x để giá trị phân thức x2 Bài 4: a) Giải phơng trình : x x x( x 2) b) Giải bất phơng trình: (x-3)(x+3) < (x=2)2 + Bài 5: Giải toán sau cách lập phơng trình: Một tổ sản xuất lập kế hoạch sản xuất, ngày sản xuất đợc 50 sản phẩm Khi thực hiện, ngày tổ sản xuất đợc 57 sản phẩm Do đà hoàn thành trớc kế hoạch ngày vợt mức 13 sản phẩm Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất sản phẩm thực ngày Bài 6: Cho ABC vuông A, có AB = 15 cm, AC = 20 cm Kẻ đờng cao AH vµ trung tuyÕn AM a) Chøng minh ∆ ABC ~ ∆ HBA b) TÝnh : BC; AH; BH; CH ? c) TÝnh diƯn tÝch ∆ AHM ? BiĨu điểm - Đáp án Đáp án Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x2 y2 5x + 5y = (x2 – y2) – (5x – 5y) = (x + y) (x – y) – 5(x – y) = (x - y) (x + y – 5) (1 ®iĨm) b) 2x2 – 5x – = 2x2 + 2x – 7x – = (2x2 + 2x) – (7x + 7) = 2x(x +1) – 7(x + 1) = (x + 1)(2x – 7) (1 ®iĨm) Bài 2: Tìm A (1 điểm) A= x(4 x  16 x[(2 x)  x(2 x  4)( x  4) x.2( x  2).2( x  2)    4( x  2) 4 x  x( x  2) x( x  2) x  2x x  2x Biểu điểm Bài 3: (2 điểm) a) 2x2 + 2x = 2x(x + 1)   2x  vµ x +   x  x -1 (1 điểm) b) Rút gọn: 5x  5( x  1)   (0,5 ®iÓm) 2 x  x x ( x  1) x 5 1  2 x  x  (0,25 ®iĨm) 2x 5 Vì thoả mÃn điều kiện hai tam giác nên x 2 (0,25 điểm) Bài 4: a) Điều kiện xác định: x 0; x - Giải: x(x  2) - (x - 2)   x2 + 2x – x +2 = 2; x( x  2) x( x  2)  x= (lo¹i) hc x = - VËy S =   1 b)  x2 – < x2 + 4x +  x2 – x2 – 4x < +  - 4x < 16  x> - 1đ 1đ Vậy nghiệm phơng trình x > - Bµi 5: – Gäi sè ngµy tỉ dự định sản xuất : x ngày Điều kiện: x nguyên dơng x > 0,5 đ Vậy số ngày tổ đà thực là: x- (ngày) - Số sản phẩm làm theo kế hoạch là: 50x (sản phẩm) 0,5 đ - Số sản phẩm thực là: 57 (x-1) (sản phẩm) Theo đề ta có phơng trình: 57 (x-1) - 50x = 13 0,5 đ  57x – 57 – 50x = 13  7x = 70 0,5 đ x = 10 (thoả mÃn điều kiện) Vậy: số ngày dự định sản xuất 10 ngày 1đ Số sản phẩm phải sản xuất theo kế hoạch là: 50 10 = 500 (sản phẩm) Bµi 6: a) XÐt ∆ ABC vµ ∆ HBA, cã: Gãc A = gãc H = 900; cã gãc B chung  ∆ ABC ~ ∆ HBA ( gãc gãc) 1đ b) áp dụng pitago vuông ABC 1đ ta cã : BC = AB  AC = 15  20 = 625 = 25 (cm) ABC ~ HBA nên 20.05 12 (cm) 25 15.15 9 (cm) BH = 25  AH = AB AC BC 15 20 25   hay   HB HA BA HB HA 15 1® HC = BC – BH = 25 – = 16 (cm) 1® BC 25  BH   3,5(cm) 2 1 = AH HM = 12 3,5 = 21 (cm2) 2 c) HM = BM BH = SAHM - Vẽ hình: A B C 1® H M 1® ĐỀ SỐ 21 Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + = 25 x  17 x  21 x    4 b) 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = 1   0 x y z yz xz xy   Tính giá trị biểu thức: A  x  yz y  xz z  xy Bài (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi khác Bài (1,5 điểm): Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số phương Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm a) HA' HB' HC'   Tính tổng AA' BB' CC' b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM (AB  BC  CA ) 4 c) Chứng minh rằng: AA'2  BB'2  CC'2 ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI  Bài 1(3 điểm): a) Tính x = 7; x = -3 b) Tính x = 2007 c) 4x – 12.2x +32 =  2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 =  2x(2x – 4) – 8(2x – 4) =  (2x – 8)(2x – 4) = ( điểm ) ( điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm )  (2x – 23)(2x –22) =  2x –23 = 2x –22 =  2x = 23 2x = 22  x = 3; x = ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm )  Bài 2(1,5 điểm): xy  yz  xz 1   0  0  xy  yz  xz 0  yz = –xy–xz x y z xyz x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm ) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm ) Do đó: A  yz xz xy   ( x  y)( x  z ) ( y  x )( y  z ) (z  x )(z  y) Tính A =  Bài 3(1,5 điểm): Gọi abcd số phải tìm a, b, c, d  N, a , b, c, d 9, a 0 ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,5 điểm ) (0,25điểm) Ta có: abcd k với k, m  N, 31  k  m  100 (a  1)(b  3)(c  5)(d  3) m (0,25điểm) abcd k abcd  1353 m Do đó: m2–k2 = 1353  (m+k)(m–k) = 123.11= 41 33 ( k+m < 200 ) m+k = 123 m+k = 41  m–k = 11 m–k = 33 m = 67 m = 37  k = 56 k= Kết luận abcd = 3136   (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm)  Bài (4 điểm): Vẽ hình HA'.BC S HBC HA'   a) ; S ABC AA' AA'.BC Tương tự: S HAB HC' S HAC HB'   ; S ABC CC' S ABC BB' (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) HA' HB' HC' SHBC S HAB S HAC      1 AA' BB' CC' S ABC S ABC S ABC b) Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác ABC, ABI, AIC: (0,25điểm) BI AB AN AI CM IC  ;  ;  (0,5điểm ) IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC (0,5điểm )   1 IC NB MA AC BI AI AC BI (0,5điểm )  BI AN.CM BN.IC.AM c)Vẽ Cx  CC’ Gọi D điểm đối xứng A qua Cx (0,25điểm) -Chứng minh góc BAD vng, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) - Xét điểm B, C, D ta có: BD  BC + CD (0,25điểm) 2 -  BAD vuông A nên: AB +AD = BD  AB2 + AD2  (BC+CD)2 (0,25điểm) 2 AB + 4CC’  (BC+AC) 4CC’2  (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2  (AB+AC)2 – BC2 4BB’2  (AB+BC)2 – AC2 (0,25điểm) 2 2 -Chứng minh : 4(AA’ + BB’ + CC’ )  (AB+BC+AC) (AB  BC  CA )  4 (0,25điểm) AA'2  BB'2  CC'2 (Đẳng thức xảy  BC = AC, AC = AB, AB = BC  AB = AC =BC   ABC đều) Đề S 22 Câu 1: (5điểm) a, Tìm số tự nhiên n để: A=n3-n2+n-1 số nguyên tố b, B = c, Câu 2: (5điểm) a, D= n5-n+2 số chÝnh ph¬ng Chøng minh r»ng : (n 2) a b c   1 biÕt abc=1 ab  a  bc  b  ac  c  Với a+b+c=0 a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 b, c, Câu 3: (5điểm) a, n  3n  2n  6n Có giá trị số nguyên n2  a2 b2 c2 c b a      b2 c2 a2 b a c Giải phơng trình sau: x 214 x 132 x  54   6 86 84 82 b, 2x(8x-1)2(4x-1)=9 c, x2-y2+2x-4y-10=0 với x,ynguyên dơng Câu 4: (5điểm) Cho hình thang ABCD (AB//CD), giao điểm hai đờng chéo.Qua kẻ đờng thẳng song song với AB cắt DA E,cắt BCtại F a, Chứng minh :DiƯn tÝch tam gi¸c AOD b»ng diƯn tÝch tam gi¸c BOC b Chøng minh: 1   AB CD EF c, Gọi Klà điểm thuộc OE Nêu cách dựng đờng thẳng qua Kvà chia đôi diện tích tam giác DEF Câu Nội dung giải a, (1điểm) A=n3-n2+n-1=(n2+1)(n-1) Để A số nguyên tố n-1=1 n=2 Điể m 0,5 0,5 A=5 n B có giá trị nguyên n2+2 Câu n2+2 ớc tự nhiên n2+2=1 giá trị thoả mÃn (5điể Hoặc n2+2=2 n=0 Với n=0 B có giá trị m) nguyên c, (2điểm) D=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n1)(n2+1)+2 =n(n-1)(n+1) n  4  5 +2= n(n-1)(n+1)(n-2) (n+2)+5 n(n-1)(n+1)+2 Mµ n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2 (tich 5số tự nhiên liên tiếp) Và n(n-1)(n+1 5 VËy D chia d Do ®ã sè D có tận 7nên D số phơng Vậy giá trị n để D số phơng b, (2điểm) a, (1®iĨm) B=n2+3n- 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 a b c    ab  a  bc  b  ac  c  ac abc c   abc  ac  c abc  abc  ac ac  c  ac abc c abc  ac     1 =  ac  c c   ac ac  c  abc  ac  0,5 0,5 b, (2®iĨm) a+b+c=0  a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=0  a2+b2+c2= -2(ab+ac+bc)  a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)=4( a2b2+a2c2+b2c2)+8 abc(a+b+c) Vì a+b+c=0 a4+b4+c4=2(a2b2+a2c2+b2c2) (1) Câu Mặt khác (5điể 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2)+4abc(a+b+c) m) Vì a+b+c=0 0.5 0.5 0.5 0.5  2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2) (2) Tõ (1)vµ(2)  a4+b4+c4=2(ab+ac+bc)2 0,5 0,5 2 c, (2điểm) áp dụng bất đẳng thức: x +y 2xy 0,5 DÊu b»ng x=y a2 b2 a b a  2 2 ; b c c b c 2 c b c b b  2 2 a c a a c a2 c2 a c c  2 2 ; b a b b a 0,5 Céng vế ba bất đẳng thức ta có: a b2 c2 a c b 2(   ) 2(   )  b c a c b a 2 a b c a c b   2   b c a c b a a, (2®iĨm)   x  214 x  132 x  54   6 86 84 82 x  214 x  132 x  54 (  1)  (  2)  (  3) 0 86 84 82 x  300 x  300 x  300   0 86 84 82 1    (x-300)     0  x-300=0  x=300 VËy S =  86 84 82   300 1,0 0,5 0,5 b, (2®iĨm) 2x(8x-1) 2(4x-1)=9  (64x2-16x+1)(8x2-2x)=9  (64x2-16x+1)(64x2-16x) Câu = 72 Đặt: 64x2-16x+0,5 =k Ta có: (k+0,5)(k-0,5)=72 (5®iĨ  k2=72,25  k=± 8,5 m) Víi k=8,5 tacó phơng trình: 64x2-16x-8=0 (2x-1) (4x+1)=0; x= ; x  0,5 0,5 0,5 0,5 1 Với k=- 8,5 Ta có phơng trình: 64x2-16x+9=0 (8x1)2+8=0 v« nghiƯm  1  2   VËy S =  , 0,5 2 c, (1®iĨm) x -y +2x-4y-10 =  (x +2x+1)2 0,5 (y +4y+4)-7=0 2  (x+1) -(y+2) =7  (x-y-1)(x+y+3) =7 Vì x,y nguyên dơng Nên x+y+3>x-y-1>0 x+y+3=7 x-y-1=1 x=3 ; y=1 Phơng trình có nghiệm dơng (x,y)=(3;1) 0,5 A CBA B a,(1điểm) Vì AB//CD S DAB=S (cùng đáy đờng cao) 0,5  S DAB –SAOB = S CBA- SAOB K O E F I Hay SAOD = SBOC N M D C 0,5 1,0 0,5 Câu (5điể m) EO AO Mặt khác AB//DC DC AC AB AO AB AO AB AO EO AB         DC OC AB  BC AO  OC AB  BC AC DC AB  DC EF AB AB  DC 1        DC AB  DC AB.DC EF DC AB EF b, (2điểm) Vì EO//DC c, (2®iĨm) +Dùng trung tun EM ,+ Dùng EN//MK (N  DF) +Kẻ đờng thẳng KN đờng thẳng phải dựng Chøng minh: SEDM=S EMF(1).Gäi giao cđa EM vµ KN lµ I SIKE=SIMN (cma) (2) Từ (1) và(2) SDEKN=SKFN 1,0 1,0 ... 54   6 86 84 82 x  214 x  132 x  54 (  1)  (  2)  (  3) 0 86 84 82 x  300 x  300 x  300   0 86 84 82 1    (x-300)     0  x-300=0  x=300 VËy S =  86 84 82   300... a    a  8a  a  8a  15  15     8a  22 a  8a  120   8a  12   a   a  2  a  6  a 2ñ 2 Biểu điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 đ đ đ ñ  8a  11  2   8a  10   8a  10 Giả sử:... 195 x  166 1 2 3 40 17 19 21 23 x  2 58 x  2 58 x  2 58 x  2 58    0 17 19 21 23 � �1 1 �  x  2 58? ?? �    � 17 19 21 23 � � � x  2 58 Bài 3: 2  2009  x    2009  x   x 