Một số bài toán ôn hình ôn luyện đội tuyển

Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 MỘT SỐ CHỦ ĐỀ HÌNH HỌC LUYỆN ĐỘI TUYỂN Tài liệu sưu tầm, ngày 21 tháng năm 2021 Website: tailieumontoan.com A LỚP BÀI TỐN CĨ CHUNG CẤU HÌNH ĐẸP  Một dạng cấu hình có nhiều tính chất thú vị: “ Cho tam giác ABC điểm M, N      AB, AC Lấy ABN  ACM  A; P  ” Các điểm M, N vị trí đặc biệt cho nhiều kết thí vị Bổ đề 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) có M, N trung điểm AB, AC Lấy ABN   ACM   A; K  Chứng minh AK đường đối trung tam giác ABC Giải Gọi G trọng tâm tam giác ABC Ta thấy K điểm Miquel tứ giác tồn phần AMGN.BC, K thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác GBM GNC Do ta có   KGC   KNC   MBK  MB KN    MBK  CNK     CN KB BMK  KCA  KCN   Gọi AK  O   D Ta có   DAB   KNB   DCB  KB DB    DBC  KBN      KN DC DBC  DAC  KBN   DB BM BA    tứ giác ABDC tứ giác điều hòa nên AK đường đối trung tam DC NC CA giác ABC Vậy Bổ đề hữu dụng tốn liên quan đến mơ hình Miquel Bổ đề 2: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có trung điểm AB, AC M, N ABN   ACM   A;G  trung trực BC cắt MN K Chứng minh A, G, O, K đồng viên Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com Giải Gọi S giao điểm hai tiếp tuyến B, C đường tròn (O) Gọi I, J hai giao điểm MN với đường tròn (ABN) (ACM) Theo bổ đề AG đường đối trung tam giác ABC nên AG qua điểm S   BAN   BO  Ta có BJK S suy tứ giác JKOB   JKO   900 Mà OBS   900 nội tiếp  JBO nên J, B, S thẳng hàng Tương tự S, C, I thẳng hàng Do SG.SA  SB.SJ  SO.SK  AGOK nội tiếp đường tròn Bổ đề cho M, N đoạn AB, AC cho MN// BC Bài tập áp dụng Bài toán 1: Cho tam giác ABC có tâm nội tiếp I nội tiếp đường tròn (O) (I) tiếp xúc BC, CA, AB D, E, F M trung điểm cung BC chứa A Chứng minh trục đẳng phương (ABE) (ACF) cắt MD (O) Giải Gọi A, P giao điểm hai đường tròn (ABE) (ACF) AP cắt đường tròn (O) K Dễ dàng chứng minh PBF  PEC  PF BF DB   PC EC DC PFC  KBC  KB PF  KC PC  BKC, KD qua M KB DB  KC DC Vậy KD đường phân giác góc Bài tốn 2: Cho tam giác ABC có đường trịn nội tiếp (I) (I) tiếp xúc BC, CA, AB D, E, F Lấy H hình chiếu D lên EF Chứng minh H thuộc trục đẳng phương (ABE) (ACF) Giải Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com Gọi (O) đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, M điểm cung BC chứa A Hai đường trịn (ABE) (ACF) cắt A P AP cắt (O) K Theo tốn K, D, M thẳng hàng Gọi S giao điểm EF BC Lấy J trung điểm cung BC không chứa A (O), T trung điểm BC Theo hàng điểm điều hịa SD,BC   1  DT.DS  DB.DC (hệ thức Maclaurin) Mà DB.DC  DK.DM  DT.DS  DM.DK , tứ giác SKTM nội tiếp đường trịn Lại có SHDK   KSD   KMT   KAJ  Mà HD//AJ nên A, H, K thẳng hàng (đpcm) nội tiếp nên KHD Bài tập tự giải Bài toán (Nguyễn Duy Khương): Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Lấy D đoạn BC, P, Q AB, AC cho BD  BP,CQ  CD APQ   O   A; J  ,JD  O   T ; J  Lấy M đối xứng T qua O Chứng minh trục đẳng phương (ABQ) (ACP) cắt MD (O) Bài toán (Nguyễn Duy Khương): Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Lấy điểm D thay đổi cung BC không chứa A Giả sử điểm E, F AB, AC cho   PAC  BD  CF,CD  BE ABF   ACE   A,P Chứng minh rẳng: DAB Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com B BỔ ĐỀ CÁT TUYẾN VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN Bổ đề cát tuyến: “Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) có hai đường chéo AC, BD cắt I Khi IA BA DA ”  IC BC DC Chứng minh Ta có AB AD  S AID IA AD.sin ADI 2R  AD.AB     IC S IDC BC CD.BC CD.sin IDC DC 2R Bài toán 1: (Thi thử KHTN 2017): Cho tam giác ABC nội tiếp (O) P điểm cung BC không chứa A (O) Lấy E, F AC, AB cho PB  CE; PC  BF Gọi AEF   O   A;G  Chứng minh GP chia đôi BC Giải Cách 1: Gọi S điểm đối xứng với B qua G Ta có GFB  GEC  GB FB PC GS PC     GC EC PB GC PB   BPC  (tứ giác BGCP nội tiếp) nên Mặt khác SGC   BSC  SGC  CPB  BCP Mà   BGP   BGP   BSC   GP  SC Mà G trung BCP điểm SB nên GP qua trung điểm BC Cách 2: (dùng bổ đề cát tuyến) Gọi M giao điểm GP BC Theo bổ đề cát tuyến ta có MB GB.PB GB.EC   MC GC.PC GC.FB Mà GFB  GEC  GB FB GB.EC MB    Vậy  hay M trung điểm BC GC EC GC.FB MC Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com Bài toán 2: Cho tam giác ABC Một đường tròn (Q) qua B, C Trung trực BC cắt (Q) I, K (theo thứ tự I, Q, K từ xuống, I nằm tam giác ABC) AI  Q   G lấy H thuộc BC cho AH đẳng giác AI AD đường đối trung tam giác ABC (D thuộc BC) Chứng minh KH cắt GD (Q) Giải Gọi L giao điểm AI BC J giao điểm KH với (Q) Gọi D’ giao điểm JG BC Dễ thấy JK đường phân giác góc BJC, GL phân giác góc JGC Áp dụng bổ đề cát tuyến ta có D' B JB GB HB LB AB , AD’    D'C JC GC HC LC AC đường đối trung tam giác ABC, suy D trùng D’ Vậy J, D, G thẳng hàng (đpcm) Bài toán 3: (Nguyễn Duy Khương) Cho tam giác ABC nội tiếp (O) E, F thuộc đoạn thẳng AC, AB Q điểm thuộc cung EF khơng chứa A đường trịn (AEF), AEF   O   A,G  ,GQ  EF=P Qua P kẻ đường thẳng song song AQ cắt BC M Chứng minh GM, AQ cắt đường cố định Giải: Gọi K giao điểm AQ (O), M’ giao điểm KG BC Ta chứng minh M trùng M’, GM AQ cắt điểm K nằm đường tròn (O) cố định Thật vậy, theo bổ đề cát tuyến ta có PF GF QF M ' B GB KB  ;  PE GE QE M ' C GC KC Ta có Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com QF KB  QE KC GF GB GFB  GEC g.g    GE GC M'B PF   M 'C PE GFE  GBC  GFP  GBM ' GP GF FQ PQ  BM ' K  FPQ     GM ' GB BK M'K  M ' P  KQ  M '  M QFE  KBC g.g   Bài toán (Iran MO 2013): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) D điểm nằm cung BC không chứa A (O) Lấy điểm E, F AB, AC cho BE  BD,CF  CD Gọi DF  O   K,D  Chứng minh BK chia đơi EF Bài tốn (Mở rộng tốn bướm): Cho bốn điểm A, B, C, D nằm (O) AC cắt BD P Một đường thẳng d qua P cho P hình chiếu vng góc O lên d d cắt AB X, d cắt CD Z Chứng minh P trung điểm ZX C CÁC BỔ ĐỀ LIÊN QUAN HAI ĐIỂM ĐẲNG GIÁC  Bổ đề 1: Cho tam giác ABC có đường đẳng giác AE, AF ( E,F  BC ) Chứng minh đường tròn (AEF) tiếp xúc (ABC) Chứng minh Qua A kẻ tiếp tuyến Ax đường trịn (ABC) Ta có   XAB   BAE   ACB   FAC  A  xAE FB Suy Ax tiếp tuyến kẻ từ A đường tròn (AEF) Vậy (ABC) (AEF) tiếp xúc Bài tốn 1: (trích đề chọn đội tuyển Bắc Ninh) Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có đường cao AD, BE, CF cắt H HI đường đối trung tam giác HBC Kẻ AK  HI K  HI  Chứng minh (MIK) tiếp xúc (O) đường tròn Euler (O) Giải   AKI   900 tứ giác Ta có ADI AKDI nội tiếp, suy HK.HI  HD.HA Gọi A, P giao điểm hai đường tròn (AEF) (O) Dễ dàng chứng minh M, H, P thẳng hàng Khi tứ giác APDM nội tiếp nên HM.HP  HD.HA  HM.HP  HI.HK Vậy tứ giác KPIM nội tiếp hay điểm P thuộc đường tròn (MIK) Bây ta chứng minh P điểm chung (O) (MIK) Thật Gọi L giao điểm AD với (O), J giao điểm EF với BC Theo hàng điểm điều hòa ta có A JD,BC   1  PL,BC   1 suy PBLC tứ giác điều hòa nên hai tiếp tuyến đường tròn (O) hai tiếp điểm P L cắt giao điểm T nằm BC TP  TL  TH Theo bổ đề trên, tam giác HBC có hai đường đẳng giác HI HM nên đường tròn (HIM) (HBC) tiếp xúc H Do TH  TI.TM  TP  TI.TM suy TP tiếp tuyến (MIK) Vậy đường tròn (MIK) tiếp xúc (O) P Bây ta chứng minh (MIK) tiếp xúc với đường tròn Euler Thật Xét phép nghịch đảo cực H, phương tích HA.HD ta có O   Euler  , MIK   MIK  Mà (O) tiếp xúc (MIK) nên (Euler) tiếp xúc (MIK) Bài tốn 2: (Trích đề VMO 2016 ngày 2) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Lấy điểm M, N cung nhỏ BC cho MN song song BC Gọi I tâm nội tiếp tam giác ABC Gọi AI  BC  G.AI ,MI ,NI  O   D,E,F  A,M ,N  , DF  AM  P,DE  AN  Q Đường trịn Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com qua P tiếp xúc AD I cắt DF H H  D  Đường tròn qua Q tiếp xúc AD I cắt DE K K  D  Chứng minh đường tròn (GHK) tiếp xúc BC Giải Dễ thấy DGC  DCA  DC  DG.DA Mà DC  DB  DI nên DG.DA  DI  DH.DP  DQ.DK Do tứ giác GAKQ, GAPH, PHQK tứ giác nội tiếp Áp dụng định lí Pascal cho điểm A, E, F, D, M, N ta có điểm P, I, Q thẳng hàng Xét phép nghịch đảo cực D phương tích DI ta có B  C ; P  H ;Q  K; A  G Do đpcm tương đương với đường tròn (APQ) tiếp xúc với (O) Theo bổ đề tam giác ABC, AM AN hai đường đẳng giác (vì MN  BC ), kết hợp với phép vị tự tâm A ta có đường tròn (APQ) tiếp xúc với (O)  đpcm Bổ đề 2: Cho tam giác ABC P, Q hai điểm liên hợp đẳng giác tam giác ABC AP cắt đường tròn (O) M A Gọi E giao điểm MQ BC Chứng minh PE  AQ Chứng minh Gọi F, N giao điểm AQ với BC đường trịn (O)   QNC  Ta có PMC   QAC   QCA   BCM   PCB   PCM  NQC Do PCM  CQN  Tương tự ta có PM CM  CN QN MA MC  NC NF Ta có PM PM CN CM NF NF ME EF  MN  PE  AQ     MA CN MA NQ MC NQ MQ  Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038  TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com Bài toán 1: (Nguyễn Văn Linh) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) có đường cao AH Gọi M trung điểm BC, H’ đối xứng H qua M Gọi tiếp tuyến B, C (O) cắt P Đường   CPE  thẳng qua H’ vng góc H’P cắt AB, AC F, E Chứng minh FPB Giải Gọi A’ đối xứng A qua M Dễ thấy A’H’ vng góc BC H’ Gọi K, L hình chiếu P lên AB, AC Vì PB đối song mà A' B  AC nên BP, BA’ đẳng giác Do P, A’ liên hợp đẳng giác Do theo tính chất đường trịn Pedal K, M, H’, L đồng viên Ta có BP,FP   KP,FP   KP,BP   FH ',KH '   MK,BM   FH ',KH '   H ' L,KL   CP,PL   EP,EL   CP,EP mod  Do ta có đpcm Bài tốn 2: (Phan Anh Qn) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) có P, Q hai điểm đẳng giác tam giác ABC AP  O   A,D  M điểm thuộc cạnh BC M D  O   N ,D    ANQ  Chứng minh rằng: PMB Giải Gọi R giao điểm DQ AC Dựng PT  AN T  DN  Ta có PR  AQ Theo định lí thales ta có DR DP DT    RT  QN  AQN  PRT DQ DQ DN   CAN    BAD   CAN   QAC   MCD   MDC  BMD   RPT   QAN   PTR   ANQ  Do PTMR nội tiếp suy PMB   yAC  Bổ đề 3: Cho tam giác ABC, hai đường Ax,Ay đẳng giác góc BAC Khi xAB Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 10 Website: tailieumontoan.com Bổ đề 4: Cho góc xOy , hai đường OA, OB đẳng giác góc xOy Kẻ BH  Ox H  Ox  ,BK  Oy K  Oy  Khi đó: HK  OA Bổ đề 5: Cho góc xOy , hai đường OA, OB đẳng giác góc xOy Kẻ BH  Ox H  Ox  ,BK  Oy K  Oy  Qua A kẻ AE, AF vng góc với Ox, Oy điểm E, F Khi E, H, F, K đồng viên Bổ đề 6: Cho góc xOy , điểm A, B nằm miền góc xOy Qua A kẻ AX  Oy X  Ox  ,AY  Ox Y  Oy  ,BZ  Oy Z  Ox  ,BT  Ox T  Oy  Khi X, Y, Z, T đồng viên  OA,OB đẳng giác góc xOy Bài tập tự giải Bài toán (Nguyễn Văn Linh): Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) P điểm phân giác góc A tam giác ABC CP, BP cắt (ABP), (ACP) điểm R, S khác P E, F điểm cung AC, AB (O) tương ứng không chứa B, C AE, AF cắt (APC), (APB) điểm Z, Y khác A ZR, SY cắt BC điểm M, N Chứng minh (AMN) tiếp xúc (O) Bài toán (CeuAzul Aops): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) AP phân giác (P nằm tam giác ABC) Gọi BP, CP cắt CA, AB (O) E, U, F, V EF cắt (O) điểm S, T Chứng minh (PST) tiếp xúc (PUV) D ĐỊNH LÍ CEVA – SIN  Bài toán 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O), có A di động (O), B, C hai điểm cố định (O) BE CF hai đường cao tam giác ABC cắt (O) M N Gọi K, L tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OCM OBN Q giao điểm BK CL Chứng minh AQ qua điểm cố định Giải Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website: tailieumontoan.com * Trước hết ta chứng minh hai tam giác ABL ACK đồng dạng Ta có      ABO   OBL   MBC   NOB  MOC  NOB ABL 2      OCK   OCA   MOC  BCF   MOC  NOB ACK 2   ACK   ABL Mặt khác, ta có Tương tự,  OB OB   AF   cos NOB  cos NAB  2LB   sin NOB  LB AN sin NOB OC AE LB LB OC AN 2AE AE AB Vậy     2 CK OB CK AF AC 2AF AM CK AM Do ABL  ACK Gọi P giao điểm BL CK Khi theo tính chất phép vị tự quay hai đường trịn (ALK) (O) cắt A P Dễ dàng thấy ALK  ABC * Gọi ALK   AB  G; ALK   AC  D Ta có    900  ACB   900  BAC   ABC    PCO   OCB   MOC  ACF   MBC   900  BAC PCB tứ giác APCB hình thang cân nên AP  BC Suy GK  BC Ta có Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 12 Website: tailieumontoan.com    GKL    KLD (cùng chắn cung GL); KAD GAL   GK  LD  BC   GKL   KLD   KAD GAL (cùng chắn cung DK) Mà Vậy tứ giác GKDL hình thang cân, GL DK cắt I I tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác OBC * Ta cần chứng minh BK, CL AI đồng quy AQ qua điểm cố định I Theo định lí sin ta có    sin KBC sin KCB    sin 1800  KCB    KC   sin KBA sin KAB sin KBA KA KC KB               KA KC sin KBA sin KAB  sin KBC sin KCB sin KCB sin KBC     KA KB    Chứng minh tương tự ta có Do    sin LCB LB sin IAC IC  ;  1   LA sin IAB IB sin LCA  sin LCB  sin KBA  sin IAC LB KA   (vì ABL  ACK ) Vậy theo định lí Ceva –    LA KC sin IAB sin LCA sin KBC sin BK, CL, AI đồng quy nên AQ qua điểm cố định I Bài toán 2: Cho tam giác ABC không cân nội tiếp (O) Trên AB, AC lấy điểm M, N cho BM  CN Đường thẳng qua M, song song BN cắt đường thẳng qua N song song CM điểm I Tiếp tuyến (O) A cắt MN P Chứng minh AI phân giác góc BAC đồng thời PA  PI Giải: Gọi K  NI  AB,L  MI  AC Theo định lí Ceva – Sin , IA, LM, KN đồng quy nên  sin LMN  sin KNA  sin IAM 1  sin LMA  sin KNM  sin IAN Mà   sin LMN sin MNB MB     MN sin LMA sin MBN   sin KNA sin MCN MN     NC sin KNM sin NMC Mà BM  CN   sin IAN  , AI đường phân giác góc BAC Suy sin IAM Gọi S  KL  MN ; J  AP  KL;Q  AI  KL; E  MN  AI Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 13 Website: tailieumontoan.com Theo hàng điểm điều hòa SE,MN   1 mà AI phân giác góc MAN nên   EAO    900  SAP SAE Dễ dàng chứng minh KL song song với BC Do    AQJ   ALQ   QAL   JAK   KAQ   ACB   QAL JAQ Vậy JA  JQ mà tam giác SAQ vuông A nên J trung điểm SQ Theo định lí Menelaus tam giác SQE với cát tuyến AIP ta có PS AE JQ PS AQ IQ 1    SQ  PI  PA  PI (tính chất hàng điểm điều hịa nên PE AQ JS PE AE IE tỉ số cuối nhau) E ĐIỂM LEMOINE  Cho tam giác ABC, có AX, BY, CZ đường đối trung AX, BY, CZ đồng quy điểm     L Điểm L gọi điểm Lemoine L thỏa mãn a LA  b LB  c LC  (trong a  BC ,b  CA,c  AB )  Bổ đề 1: (định lí nhím) Cho đa giác lồi A1A2 An vectơ đơn vị ei 1  i  n  theo thứ tự  Ai Ai 1 (xem     A1A2e1  A2A3e2   An A1en  vuông góc với An 1  A1 ), hướng ngồi đa giác Khi Bổ đề 2: Cho tam giác ABC điểm M nằm tam giác Gọi Sa ,Sb ,Sc theo thứ tự diện tích     tam giác MBC, MCA, MAB Chứng minh Sa MA  Sb MB  Sc MC  Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 14 Website: tailieumontoan.com Chứng minh Gọi A’ giao điểm AM BC Trong tam giác MBC ta có  A' C  A' B  MA'  MB  MC (1) BC BC Mà S S S Sb Sc A' C A' C A' B  MA' C  MAC  b   ;  A' B S MA' B S MAB Sc BC Sb  Sc BC Sb  Sc Mặt khác S S S Sa  S MCA' MA'  MBA'  MCA'  MBA'  MA S MBA S MCA S MBA  S MCA S c  Sb Vậy 1  Sa Sb  S c  MA  Sb Sb  S c  MB  Sc Sb  S c      MC  Sa MA  Sb MB  Sc MC  Bài toán 1: Cho tam giác ABC Điểm M nằm tam giác H, I, K hình chiếu M BC, CA, AB Chứng minh M trọng tâm tam giác HIK M điểm Lemoine tam giác ABC Giải Theo hai bổ đề ta có M a  b  c   MH  MI  MK  0; MH MI MK trọng tâm     Sa MA  Sb MB  Sc MC  tam     a b c a2 b2 c2  MH  MI  MK        MH MI MK a.MH b.MI c.MK  giác HIK     a2 b2 c2    a MA  b MB  c MC  Sa Sb Sc  M điểm Lemoine tam giác ABC Bài toán 2: Cho tam giác ABC điểm M Gọi H, I, K theo thứ tự hình chiếu M đường thẳng BC, CA, AB Tìm vị trí M cho MH  MI  MK nhỏ nhất? Giải Theo bất đẳng thức Bunyakovsky ta có a    b  c MH  MI  MK  aMH  bMI  cMK   2S MBC  2S MAC  2S MAB   4S ABC  MH  MI  MK  2 4S ABC a  b2  c2 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 15 Website: tailieumontoan.com a b c M điểm nằm tam giác ABC Theo   MH MI MK Dấu xảy tốn M điểm Lemoine tam giác ABC Bài toán 3: Cho tam giác ABC Gọi X, Y, Z theo thứ tự trung điểm BC, CA, AB X’, Y’, Z’ theo thứ tự trung điểm đường phân giác AA’, BB’, CC’ Chứng minh XX’, YY’, ZZ’ đồng quy điểm điểm nằm đường thẳng nối tâm đường tròn nội tiếp điểm Lemoine tam giác ABC Giải Gọi I, L tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC điểm Lemoine tam giác ABC Gọi K tâm tị cự hệ điểm A,B,C  với hệ số a b  c  ; b a  c  ; c a  b  Ta chứng minh XX’, YY’, ZZ’ đồng quy K K thuộc đường thẳng IL Thật Ta có           a b  c  KA  b a  c  KB  c a  b  KC   a b  c  KA  a bKB  cKC  bc KB  KC      (1) Mà        BA' c   bA' B  cA' C   bKB  cKC  bKA'  cKA' CA' b Vậy (1)           a b  c  KA  a b  c  KA'  bc 2KX  XB  XC   ab  ac  KX '  2bcKX   K  XX '   Tương tự K  YY '; K  ZZ ' Vậy XX ';YY '; ZZ ' đồng quy K Mặt khác ta có     a b  c  KA  b a  c  KB  c a  b  KC          a a  b  c  KA  b a  b  c  KB  c a  b  c  KC  a KA  b KB  c KC          a  b  c  aKA  bKB  cKC  a KA  b KB  c KC            a  b  c  a  b  c  KI  aIA  bIB  cIC  a  b  c KL  a LA  b LB  c LC      a  b  c  KI  a  b  c KL                 Suy K thuộc IL Bài toán 4: Cho tam giác ABC có điểm Lemoine L X, Y, Z nằm đường thẳng LA, LB, LC cho YZ  BC ,ZX  CA, XY  AB Gọi BZ cắt CY D, CX cắt AZ E, AY cắt BX F U, V, W đẳng giác D, E, F theo thứ tự tam giác LBC, LCA, LAB Bài toán 5: Cho tam giác ABC có trực tâm H L điểm Lemoine, G đẳng giác L tam giác ABC Hình chiếu G lên HA, HB, HC X, Y, Z Chứng minh L điểm Lemoine tam giác XYZ Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 16 Website: tailieumontoan.com F MỘT SỐ BÀI TOÁN SỬ DỤNG PHÉP NGHỊCH ĐẢO  Bài toán (IMO Shortlist): Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường trịn (O) có AB > BC Phân giác góc ABC cắt (O) M, B Phân giác góc AOB, BOC cắt đường trịn đường kính BM P, Q Lấy R PQ cho BR = MR Chứng minh BR  AC Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 17 Website: tailieumontoan.com Giải Cách 1: Gọi I, K, L trung điểm BM, AB, AC Gọi J giao điểm BR với đường trịn đường kính BM Dễ thấy điểm B, K, O, I, L thuộc đường trịn đường kính BM điểm R, O, I thẳng hàng Bây ta cần chứng minh tứ giác POIQ BJOI nội tiếp,   Xét phép quay tâm I góc quay IK ; IL : ( ) K → L; P → Q ' Ta có     ( LQ '; LI ) = ( KP; KI )     ⇔ ( LQ '; LC ) + ( LC ; LI )     π   = + ( LI ; LC ) ( KP; KB ) + ( KB; KI ) =   π ⇒ LQ '; LC = ( ) ⇒ Q ≡ Q ' Vậy tứ giác POIQ nội tiếp  = 900 nên = RB RP = RQ RO.RI (vì POIQ nội tiếp), suy BJOI nội tiếp Mà OIB Ta có RJ  = 900 Do J, O, M thẳng hàng Vậy OM ⊥ BR mà OM ⊥ AC (vì BM đường phân giác BJO góc ABC nên M điểm cung AC), BR  AC Cách 2: OPQI nội tiếp hay I thuộc đường tròn (OPQ) Xét phép nghịch đảo tâm I: ( OPQ ) ↔ PQ ⇒ O ↔ R Gọi K điểm đối xứng O qua I ⇒ BOMK hình thoi ⇒ BK ⊥ AC Mà IK I R = IO.I R = IB ⇒ BR ⊥ BK Vậy BR  AC Bài toán 2: Cho tam giác ABC, đường tròn (K) qua B, C cắt AC, AB E, F Đường thẳng qua B vuông BC cắt AK T TE cắt đường tròn (K) N Chứng minh F, K, N thẳng hàng Giải Gọi M giao điểm TF đường tròn (K) Gọi P giao điểm thứ hai hai đường trịn (EKN) (FKM) Theo tính chất trục đẳng phương T, A, P, K thẳng hàng Xét phép nghịch đảo tâm T phương tích TF TM : F ↔ M ; P ↔ K ; E ↔ N Do để chứng minh F, K, N thẳng hàng ta cần chứng minh T,M, P, E đồng viên Thật  =1800 − MEN  =1800 − MFN  =1800 − MPK  =TPM  , suy TEPM nội tiếp Do theo tính TEM chất phép nghịch đảo ta có F, K, N thẳng hàng Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 18 Website: tailieumontoan.com Bài tốn 3: Cho tam giác ABC có đường cao AD nội tiếp đường tròn (O) Đường tròn Euler tam giác ABC cắt đường tròn (BOC) X Y Đường tròn (AYX) cắt đường tròn (ADO) A L Chứng minh AL đường đối trung tam giác ABC Giải Ta kí hiệu l A phân giác góc BAC Lấy P, Q trung điểm AB, AC Dễ thấy AD, AO hai đường đẳng giác AB AC AD = AO = AP = AC AQ AB Do xét phép nghịch đảo đối xứng = f I AB AC A DlA : ( Euler ) ↔ ( BOC ) Do X ↔Y Gọi M trung điểm BC, J giao điểm hai tiếp tuyến B C (O) Hiển nhiên, f : AM ↔ A J ;( A XY ) ↔ XY ;( ADO) ↔ DO Do XY cắt DO K L ảnh K qua f Vậy toán quy chứng minh XY, DO, AM đồng quy K Hay ta cần chứng minh K nằm trục đẳng phương (Euler) (BOC) Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 19 Website: tailieumontoan.com Bài toán 4: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có trực tâm H đường cao AD, BE, CF Đường thẳng AO cắt EF, BC K L Gọi KD cắt HL G Chứng minh G thuộc trục đẳng phương (BHC) (Euler) Giải Gọi I giao điểm DG với đường trịn Euler Gọi R hình chiếu H lên AL Xét phép nghịch đảo A I AH AD : H ↔ D; R ↔ L; I ↔ J ;( Euler ) ↔ ( BHC ) Mà I ∈ ( Euler ) ⇒ J ∈ ( BHC ) Bây ta cần chứng minh H, L, J thẳng hàng tức cần chứng minh A, D, R, I đồng viên Thật vậy, điểm A, E, R, H, F thuộc đường tròn đường kính AH nên KR.KA = KE.KF Mà DEIF nội tiếp đường tròn Euler nên KI KD = KE.KF Vậy KR.KA = KI KD suy tứ giác AIRD nội tiếp, suy H,G, L, J thẳng hàng Do đó, GH GJ = GD.GI ⇒℘G /( Euler ) =℘G /( BHC ) , ta có đpcm Bài tốn 5: (Aops) Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có phân giác góc BAC cắt (O) BC điểm M, D (M khác A) A’ điểm đối xứng A qua M Lấy Y đối xứng M qua BC lấy Z giao điểm hai đường tròn (YDM) (A’BC) (Z nằm tam giác ABC), MZ cắt OA R Chứng minh RD ⊥ BC Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 20 Website: tailieumontoan.com Bài tốn (Aops): Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I) (I) tiếp xúc BC, CA, AB D, E, F AI cắt BC T AD cắt đường tròn đường kính AI G A, đường trịn (ABG) cắt AI A Q Chứng minh B, F, Q, T đồng viên Phụ lục 2: Đề kiểm tra đáp án Bài kiểm tra lần 1: Đề: Cho tam giác ABC có đường cao AD nội tiếp đường tròn (O) Đường tròn Euler tam giác ABC cắt đường tròn (BOC) X Y Đường tròn (AYX) cắt đường tròn (ADO) A L Chứng minh AL đường đối trung tam giác ABC Đáp án Điểm Nội dung Ta kí hiệu l A phân giác góc BAC Lấy P, Q trung điểm AB, AC Dễ thấy AD, AO hai đường đẳng giác AD = AO AB AC = AP = AC AQ AB Do xét phép nghịch đảo đối xứng = f I AB AC A DlA : ( Euler ) ↔ ( BOC ) Do X ↔ Y Gọi M trung điểm BC Hiển nhiên, f : ( A XY ) ↔ XY ;( ADO) ↔ DO (AXY) cắt (ADO) L, giả sử XY cắt DO K K ảnh L qua f Như AK AL đối xứng qua l A Do để AL đường đối trung K phải thuộc AM 5đ Ta chứng minh XY, DO, AM đồng quy K Thật ta giả sử K giao điểm AM DO, ta chứng minh K thuộc trục đẳng phương (Euler) (BOC), suy K thuộc XY Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 21 Website: tailieumontoan.com 1đ 2đ 1đ 1đ 1đ Lấy J giao điểm AM (Euler), P trung điểm AC, I giao điểm OD (BOC), S giao điểm EF BC, L giao điểm OA EF Theo tính chất hàng điểm điều hịa ta có ( S , D, B, C ) = −1 , mà M trung điểm BC nên ta có SD = SM DB = DC DO.DI , suy SIMO nội tiếp (1) Dễ dàng chứng minh OA vng góc EF, suy tứ giác OLEP nội tiếp Do AL = AO AE = AP A J AM ⇒ JLOM nội tiếp (2) Ta có tứ giác SLOM nội tiếp (3) (1), (2), (3) suy S, I, M,O,L,J đồng viên Do KJ KM = KO.KI ⇒℘K /( Euler ) =℘K /( BOC ) Vậy K thuộc trục đẳng phương (Euler) (BOC) hay K thuộc XY Vậy AM, XY, OD đồng quy K Quay trở lại toán ta có AI đường đối trung tam giác ABC Bài kiểm tra lần 2: Đề: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có đường cao AD, BE, CF Đường trịn tâm A, bán kính AD cắt (O) hai điểm M, N a) Chứng minh MN qua trung điểm DE, DF b) Gọi EF cắt BC điểm G DP đường kính (A; AD) PG cắt (A;AD) điểm Q khác P Chứng minh trung điểm DQ nằm (O) Đáp án Câu a Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Nội dung Điểm TÀI LIỆU TOÁN HỌC 22 Website: tailieumontoan.com 1đ 1đ Ta thấy MN trục đẳng phương (O) (A; AD), MN ⊥ OA 1đ Mà dễ thấy EF ⊥ OA nên MN // EF Gọi K, L hình chiếu vng góc D lên AC AB Gọi X, Y trung 1đ điểm DE DF Trong tam giác vng DLF có LY đường trung tuyến, suy tam giác LYF cân Y =E   = LFY  , mà LFY FA suy LY // EF mà XY// EF nên L, Y, X thẳng Vậy YLF hàng Chứng minh tương tự K, X, Y thẳng hàng Vậy L, X, Y, K thẳng hàng ( = AC AL = AB AD Ta có AK ) nên tứ giác BLKC nội tiếp  chung nên ∆AKN  ∆ANC Do Vì AD = AN nên AN = AK AC , lại có CAN  AKN =  ANC  ⇒ L,K,N thẳng hàng    + LKC  AKN = LKC = 1800 ; LBC = 1800 nên  Mà ANC + LBC 1đ Tương tự M, L, K thẳng hàng Vậy ta có MN qua trung điểm X, Y b Xét phép vị tự tâm D tỉ số : Q → S (S trung điểm DQ); P → A; G → I (I trung điểm GD) Vì P, Q, G thẳng hàng nên A, S, I thẳng hàng Đồng thời Q nằm đường tròn (A;AD) nên S thuộc đường trịn đường kính AD Ta cần chứng minh S thuộc 2đ (O) Ta có IS IA = ID Mà theo hàng điểm điều hòa (G, D, B, C ) = −1 , I trung điểm GD nên theo hệ thức Newton ta có ID = IG = IB.IC Vậy IS = IA IB.IC ⇒ tứ giác SACB nội tiếp Vậy S thuộc (O) (đpcm) Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 3đ TÀI LIỆU TỐN HỌC ... rẳng: DAB Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com B BỔ ĐỀ CÁT TUYẾN VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN Bổ đề cát tuyến: “Cho tứ giác... A đường tròn (AEF) Vậy (ABC) (AEF) tiếp xúc Bài tốn 1: (trích đề chọn đội tuyển Bắc Ninh) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com Cho tam... hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 16 Website: tailieumontoan.com F MỘT SỐ BÀI TỐN SỬ DỤNG PHÉP NGHỊCH ĐẢO  Bài tốn (IMO Shortlist): Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp