Đang tải... (xem toàn văn)
Tỷ lệ người mắc bệnh tim trong một vùng dân cư là 9%, mắc bệnh huyết áp là 12%, mắc cả hai bệnh này là 7%. Chọn ngẫu nhiên một người trong vùng. Tính xác suất để người đó Theo dõi dự báo thời tiết trên đài truyền hình (nắng, sương mù, mưa) và so sánh với thời tiết thực tế xảy ra, ta có bảng thống kê sau Theo dõi dự báo thời tiết trên đài truyền hình (nắng, sương mù, mưa) và so sánh với thời tiết thực tế xảy ra, ta có bảng thống kê sau
5 Bài tập Cho A, B, C ba biến cố Chứng minh P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC Lời giải Do A B C A B C nên công thức cộng, P A B C P A B C P A P B C P A B C (1) Do A B C AB AC , nên cơng thức cộng, ta có P B C P B P C P BC (2) P A B C P AB AC P AB P AC P AB AC (3) Chú ý AB AC ABC nên (2, 3) vào (1), ta đẳng thức cần tìm Cho P A 13 , P B P AB P A B 34 Tính P AB , P AB , P A B , P AB , Lời giải Do công thức cộng, P AB P A P B P A B 13 12 43 121 Do AB A B nên P AB P A B P A B 34 14 Do A B AB nên 11 P A B P AB P AB 121 12 Vì AB AB A AB AB nên ta có P A P AB AB P AB P AB Suy P AB P A P AB 13 121 14 Tương tự, ta có P AB P B P AB 12 121 125 Tỷ lệ người mắc bệnh tim vùng dân cư 9%, mắc bệnh huyết áp 12%, mắc hai bệnh 7% Chọn ngẫu nhiên người vùng Tính xác suất để người a) bị bệnh tim hay bị bệnh huyết áp b) không bị bệnh tim không bị bệnh huyết áp c) không bị bệnh tim hay không bị bệnh huyết áp d) bị bệnh tim không bị bệnh huyết áp e) không bị bệnh tim bị bệnh huyết áp Lời giải Với phép thử : Chọn ngẫu nhiên người vùng, xét biến cố T : “nhận người mắc bệnh tim”, H : “nhận người mắc bệnh huyết áp” Ta P T 0.09 , P H 0.12 , P TH 0.07 a) Biến cố “bị bệnh tim hay P T H P T P H P TH 0.14 bị bệnh huyết áp” TH, với b) Biến cố “không bị bệnh tim không bị bệnh huyết áp” TH T H , với P TH P T H P T H 0.86 c) Biến cố “không bị bệnh tim hay không bị bệnh huyết áp” T H TH , với P T H P TH P TH 0.93 d) Biến cố “bị bệnh tim không bị bệnh huyết áp” TH , với P TH P T P TH 0.02 e) Biến cố “không bị bệnh P TH P H P TH 0.05 tim bị bệnh huyết áp” TH , với Theo dõi dự báo thời tiết đài truyền hình (nắng, sương mù, mưa) so sánh với thời tiết thực tế xảy ra, ta có bảng thống kê sau dự báo nắng sương mù mưa thực tế nắng 30 5 sương mù 20 mưa 10 20 nghĩa có 30 lần dự báo nắng, trời nắng; lần dự báo nắng, trời sương mù; 10 lần dự báo nắng, trời mưa, v.v a) Tính xác suất dự báo trời nắng đài truyền hình b) Tính xác suất dự báo đài truyền hình với thực tế c) Được tin dự báo trời nắng Tính xác suất để thực tế trời mưa ? trời sương mù ? trời nắng ? Lời giải Đặt D , D , D biến cố “đài truyền hình dự báo trời nắng”, “đài truyền hình dự báo trời sương mù”, “đài truyền hình dự báo trời mưa” Tương tự, Đặt T , T , T biến cố “thực tế trời nắng”, “thực tế trời sương mù”, “thực tế trời mưa” Bảng thống kê viết lại thành Tổng T 30 5 40 20 26 10 20 34 Tổng 44 ta lấy tổng dịng, cột 29 27 100 D a) Ta có bảng thống kê (lề) cho dự báo (D) đài truyền hình D Tổng Tần số 44 29 27 100 Do 100 lần dự báo, đài truyền hình dự báo trời nắng (biến cố D ) 44 lần nên xác suất dự 44 0.44 báo trời nắng đài truyền hình 100 b) Biến cố “dự báo đài truyền hình D 1, T 1 D 2, T D 3, T 3 với xác suất với thực tế” P D 1, T 1 D 2, T D 3, T P D 1, T 1 P D 2, T P D 3, T 30 20 20 70 0.7 100 100 100 100 c) Được tin dự báo trời nắng, nghĩa biến cố D xảy ra, nên ta có bảng thống kê cho thời tiết thực tế (T) đài truyền hình dự báo trời nắng D Tần số 30 10 Tổng 44 nên xác suất để thực tế trời mưa P T D 1 10 44 0.227 , xác suất để thực tế trời sương mù P T D 1 44 0.091 , xác suất để thực tế trời nắng P T D 1 30 44 0.682 Một hộp đựng 10 phiếu có phiếu có trúng thưởng Hai người A B rút thăm (khơng hồn lại) Tính xác suất đế a) A rút phiếu trúng thưởng b) Cả A lẫn B rút phiếu trúng thưởng c) B rút phiếu trúng thưởng d) Các biến cố “A rút phiếu trúng thưởng” “B rút phiếu trúng thưởng” có độc lập khơng? Lời giải Đặt biến cố A : “A rút phiếu trúng thưởng”, B : “B rút phiếu trúng thưởng” a) Ta có P A 104 0.4 b) Do P B A nên công thức nhân, P AB P B A P A 93 104 152 c) Do cơng thức xác suất tồn phần, 4 36 P B P B A P A P B A P A 0.4 10 10 90 d) Do P AB 152 P A P B 0.16 nên biến cố “A rút phiếu trúng thưởng” “B rút phiếu trúng thưởng” không độc lập Có hai hộp đựng bi : - Hộp H1 đựng 20 bi có bi đỏ 15 bi trắng, - Hộp H đựng 15 bi có bi đỏ bi trắng Lấy bi hộp H1 , bỏ vào H , trộn lấy bi Tính xác suất nhận bi đỏ ? bi trắng ? Lời giải Xét biến cố D1 : “bi lấy từ H1 bi đỏ”, D2 : “bi lấy từ H bi đỏ” 8 , P D2 D1 , P D2 D1 , công thức xác suất toàn phần, xác suất 20 16 16 nhận bi đỏ (lấy từ H ) Ta có P D1 P D2 P D2 D1 P D1 P D2 D1 P D1 15 0.39 , 16 20 16 20 xác suất nhận bi trắng P D2 P D2 0.61 Trong vùng dân cư, 100 người có 30 người hút thuốc Biết tỷ lệ người bị viêm họng số người hút thuốc 60%, số người không hút thuốc 20% Khám ngẫu nhiên người thấy người bị viêm họng Tìm xác suất để người hút thuốc Nếu người khơng bị viêm họng xác suất để người hút thuốc ? Lời giải Chọn ngẫu nhiên người vùng Xét biến cố H : “nhận người hút thuốc”, G : “nhận người bị viên họng” Ta có P H 0.3 , P V H 0.6 , P V H 0.2 Do cơng thức xác suất tồn phần, tỷ lệ người bị viêm họng vùng P V P V H P H P V H P H 0.6 0.3 0.2 1 0.3 0.32 , công thức Bayes, xác suất để người hút thuốc biết người khơng bị viêm họng P H V P V H P H P V 0.6 0.3 0.5625 , 0.32 biết người khơng bị viêm họng, xác suất để người hút thuốc cho P H V P V H P H P V , P V H P V H 0.6 0.4 P V P V 0.32 0.68 Vậy xác suất cần tìm P H V 0.4 0.3 0.17647 0.68 Một dây chuyền lắp ráp nhận chi tiết từ hai nhà máy khác Tỷ lệ chi tiết nhà máy thứ cung cấp 60%, nhà máy thứ hai 40% Tỷ lệ phẩm nhà máy thứ 90%, nhà máy thứ hai 85% Lấy ngẫu nhiên chi tiết dây chuyền thấy phẩm Tìm xác suất để chi tiết nhà máy thứ sản xuất Lời giải Đặt biến cố I : “nhận chi tiết nhà máy thứ nhất”, II : “nhận chi tiết nhà máy thứ hai”, C : “nhận chi tiết phẩm” Ta có P I 0.6 , P II 0.4 , P C I 0.9 , P C II 0.85 Do cơng thức xác suất tồn phần, P C P C I P I P C II P II 0.9 0.6 0.85 0.4 0.88 , công thức Bayes, xác suất để chi tiết nhà máy thứ sản xuất (khi biết chi tiết phẩm) P I C P C I P I P C 0.9 0.6 0.614 0.88 Một cặp trẻ sinh đơi trứng (sinh đôi thật) hay hai trứng khác sinh (sinh đôi giả) Các cặp sinh đôi thật ln có giới tính Các cặp sinh đơi giả giới tính đứa độc lập có xác suất 0.5 Thống kê cho thấy 34% cặp sinh đôi trai; 30% cặp sinh đôi gái 36% cặp sinh đơi có giới tính khác a) Tính tỷ lệ cặp sinh đơi thật, b) Tìm tỷ lệ cặp sinh đơi thật số cặp sinh đơi có giới tính Lời giải Chọn ngẫu nhiên cặp trẻ sinh đôi Xét biến cố T : “nhận cặp trẻ sinh đôi thật”, G : “nhận cặp trẻ sinh đôi giới tính” Do thống kê, ta có P G 0.64 Do cặp trẻ sinh đôi thật ln ln có giới tính nên P G T , cặp trẻ sinh đơi giả giới tính đứa độc lập có xác suất 0.5 nên P G T 0.5 a) Do công thức xác suất toàn phần, P G P G T P T P G T P T , ta suy 0.64 P T 0.5 1 P T đó, tỷ lệ cặp trẻ sinh đôi thật P T 0.64 0.5 0.28 0.5 b) Dùng công thức Bayes, tỷ lệ cặp sinh đôi thật số cặp sinh đơi có giới tính P T G P G T P T P G 0.28 0.4375 0.64 10 Một trung tâm chẩn đoán bệnh dùng phép kiểm định T Xác suất để người đến trung tâm mà có bệnh 0.8 Xác suất để người khám có bệnh phép kiểm định dương tính 0.9 xác suất để người khám khơng có bệnh phép kiểm định âm tính 0.6 Tính xác suất a) phép kiểm định dương tính, b) phép kiểm định cho kết Lời giải Chọn ngẫu nhiên người khám bệnh trung tâm Xét biến cố B : “nhận người khám có bệnh”, D : “nhận người khám có kết kiểm định dương tính” Ta có P B 0.8 , P B D 0.9 , P B D 0.6 Chú ý P B D P B D 0.4 a) Từ cơng thức xác suất tồn phần P B P B D P D P B D P D ta suy 0.8 0.9 P D 0.4 1 P D xác suất phép kiểm định cho kết dương tính P D 0.8 0.4 0.8 0.9 0.4 10 b) Biến cố phép kiểm định cho kết BD BD Vì BD BD biến cố xung khắc nên từ công thức cộng công thức nhân, xác suất để phép kiểm định cho kết P BD BD P BD P BD P B D P D P B D P D 0.9 0.8 0.6 1 0.8 0.84 11 Một thiết bị gồm cụm chi tiết, cụm bị hỏng khơng ảnh hưởng đến cụm khác cần cụm bị hỏng thiết bị ngừng hoạt động Xác suất để cụm thứ bị hỏng ngày 0.1, cụm thứ hai 0.05 cụm thứ ba 0.15 Tìm xác suất để thiết bị không ngừng hoạt động ngày Lời giải Đặt biến cố A : “cụm chi tiết thứ bị hỏng ngày”, B : “cụm chi tiết thứ hai bị hỏng ngày”, C : “cụm chi tiết thứ ba bị hỏng ngày” Ta có biến cố A, B, C độc lập, P A 0.1 , P B 0.05 , P C 0.15 Biến cố “thiết bị không ngừng hoạt động ngày” A B C ABC biến cố A , B , C độc lập nên xác suất để thiết bị không ngừng hoạt động ngày P A B C P ABC P A P B P C 1 0.1 1 0.05 1 0.15 0.72675 ... , công thức xác suất toàn phần, xác suất 20 16 16 nhận bi đỏ (lấy từ H ) Ta có P D1 P D2 P D2 D1 P D1 P D2 D1 P D1 15 0.39 , 16 20 16 20 xác suất nhận bi... ra, nên ta có bảng thống kê cho thời tiết thực tế (T) đài truyền hình dự báo trời nắng D Tần số 30 10 Tổng 44 nên xác suất để thực tế trời mưa P T D 1 10 44 0.227 , xác suất để thực... cặp sinh đôi thật luôn có giới tính Các cặp sinh đơi giả giới tính đứa độc lập có xác suất 0.5 Thống kê cho thấy 34% cặp sinh đôi trai; 30% cặp sinh đôi gái 36% cặp sinh đơi có giới tính khác a)