Đề luyện tập Xác Suất Thống Kê Có Đáp Án LÝ THUYẾT MẪU THỐNG KÊ SUY DIỂN

Sau khi áp dụng một chế độ dinh dưỡng đặc biệt cho dân cư một vùng, người ta đo hàm lượng cholesterol X (đơn vị mg%) cho một nhóm người trong vùng, với số liệu sau Một máy đóng gói các sản phẩm được thiết kế cho ra sản phẩm có khối lượng trung bình   0 2kg . Sau một thời gian sử dụng, nghi ngờ máy hoạt động không bình thường, người ta thu thập số liệu trên một mẫu ngẫu nhiên các sản phẩm và nhận được kết quả như sau :

5 Bài tập Sau áp dụng chế độ dinh dưỡng đặc biệt cho dân cư vùng, người ta đo hàm lượng cholesterol X (đơn vị mg%) cho nhóm người vùng, với số liệu sau X 150-160 160-170 170-180 180-190 190-200 200-210 11 Số người Già sử X có phân phối chuẩn a) Tìm khoảng tin cậy cho phương sai tổng thể 2X độ lệch chuẩn tổng thể X độ tin cậy   0.95 b) Tìm khoảng ước lượng cho trung bình tổng thể,  X , độ tin cậy   0.95 c) Nếu muốn sai số ước lượng cho trung bình tổng thể,  X , không 0  mg%, độ tin cậy   0.95 , phải thu thập thêm số liệu ? d) Trước đây, lượng cholesterol trung bình dân cư vùng   180 mg% Hỏi chế độ dinh dưỡng có làm thay đổi hàm lượng cholesterol trung bình khơng ? (kết luận với   0.1) e) Người có hàm lượng cholesterol từ 180 mg% trở lên gọi có hàm lượng cholesterol cao Tìm khoảng ước lượng tỷ lệ người có hàm lượng cholesterol cao tổng thể, p, độ tin cậy   0.95 f) Nếu muốn sai số ước lượng cho tỷ lệ người có hàm lượng cholesterol cao, p, không 0  15% , độ tin cậy   0.95 , phải thu thập thêm số liệu ? g) Trước đây, tỷ lệ người có hàm lượng cholesterol cao dân cư vùng p0  55% Hỏi chế độ dinh dưỡng có làm thay đổi tỷ lệ người có hàm lượng cholesterol cao khơng ? (kết luận với   0.1) Lời giải Ta có n  36 , X  177.22 , SX  13.96 , S2X  194.92 a) Thống kê trục xoay T   n  1 S2X   n  1 2   35  , nên với   0.95 , ta tìm khoảng ước lượng hai bên  a, b  cho T Do n  36 , T mức xác suất   0.95 , với a  20.569 , b  53.203 , nghĩa P  20.569  T  53.203  0.95 Với T   n  1 S2X  35 194.92 , ta có 2  35 194.92 35 194.92 35 194.92  53.203   2   53.203 20.569  128.23    331.67  11.32    18.21 20.569  T  53.203  20.569  Do P 128.23  2  331.67   P 11.32    18.21  0.95 , ta khoảng tin cậy phương sai tổng thể 2 độ lệch chuẩn tổng thể  độ tin cậy   0.95 128.23,331.67  11.32,18.21 b) Thống kê trục xoay T  X  SX / n t  n  1 Do n  36 , T   35  , nên với   0.95 , ta tìm khoảng ước lượng hai bên  C, C cho T mức xác suất   0.95 , với C  1.960 , nghĩa P  1.96  T  1.96   0.95 Với T  X  177.22    , ta có SX / n 13.96 / 36 177.22    1.96 13.96 / 36 13.96 13.96  177.22  1.96    177.22  1.96 36 36  172.66    181.78 1.96  T  1.96  1.96  Do P 172.66    181.78   0.95 , ta khoảng tin cậy trung bình tổng thể  độ tin cậy   0.95 172.66,181.78 c) Với cỡ mẫu n, ta có sai số ước lượng cho  X độ tin cậy   0.95 C SX 13.96  1.96 n n Do vậy, ta muốn sai số ước lượng không mức 0  , ta cần  S   13.96  n   C X   1.96   46.79 ,   0   nghĩa ta cần n  47 số liệu Do đó, ta cần thu thập thêm 47  36  11 số liệu d) Ta có tốn kiểm định : H :   180  H A :   180 với thống kê kiểm định T  Với T X  0 SX / n t  n  1 t  35    0.1, ta C  1.645 , với P  1.645  T  1.645  0.9    Từ số liệu nhận được, ta có T  X  0 177.22  180   1.19 SX / n 13.96 / 36 Do T  C nên ta chấp nhận H0 , nghĩa chế độ dinh dưỡng không làm thay đổi hàm lượng cholesterol trung bình e) Với số liệu nhận được, ta có cỡ mẫu n  36 , tỷ lệ người có hàm lượng cholesterol cao mẫu f 643  0.36  36% 36 ta dùng thống kê trục xoay T  Do T f p N  0,1 f 1  f  / n N  0,1 , nên với   0.95 , ta tìm khoảng ước lượng hai bên  C, C cho T mức xác suất   0.95 , với C  1.96 , nghĩa P  1.96  T  1.96   0.95 Với T  f p f 1  f  / n  0.36  p 0.36 1  0.36  / 36 , ta có 0.36  p 1.96  T  1.96  1.96  0.36 1  0.36  / 36  1.96 0.36 1  0.36  0.36 1  0.36   p  0.36  1.96 36 36  0.20  p  0.52  0.36  1.96 Do P  0.20  p  0.52   0.95 , ta khoảng tin cậy p độ tin cậy   0.95 0.20, 0.52 f) Với cỡ mẫu n, ta có sai số ước lượng cho p độ tin cậy   0.95 C f 1  f  0.36 1  0.36   1.96 n n Do vậy, ta muốn sai số ước lượng không mức 0  0.15 , ta cần C  1.96  n    f 1  f      0.36 1  0.36   39.34 ,  0.15   0  nghĩa ta cần n  40 số liệu Do đó, ta cần thu thập thêm 40  36  số liệu g) Ta có tốn kiểm định : H : p  0.55  H A : p  0.55 với thống kê kiểm định T  Với T f  p0 p 1  p  n N  0,1 N  0,1   0.1, ta C  1.645 , với P  1.645  T  1.645  0.9    Từ số liệu nhận được, ta có T  f  p0 p0 1  p  n  0.36  0.55 0.55 1  0.55  / 36  2.29 Do T  C nên ta bác bỏ H0 , nghĩa chế độ dinh dưỡng có làm thay đổi tỷ lệ người có hàm lượng cholesterol cao  Một máy đóng gói sản phẩm thiết kế cho sản phẩm có khối lượng trung bình   2kg Sau thời gian sử dụng, nghi ngờ máy hoạt động khơng bình thường, người ta thu thập số liệu mẫu ngẫu nhiên sản phẩm nhận kết sau : Khối lượng X (kg) Số sản phẩm Già sử X có phân phối chuẩn 1.5 1.7 1.9 2.1 2.3 2.5 30 40 15 a) Tìm khoảng tin cậy cho phương sai tổng thể 2X độ lệch chuẩn tổng thể X độ tin cậy   0.95 b) Tìm khoảng ước lượng cho trung bình tổng thể,  X , độ tin cậy   0.95 c) Nếu muốn sai số ước lượng cho trung bình tổng thể,  X , khơng q 0  0.03 kg, độ tin cậy   0.95 , phải thu thập thêm số liệu ? d) Tham số thiết kế máy đóng gói cho biết khối lượng trung bình sản phẩm   2kg Hỏi số liệu thu thập nêu có cịn phù hợp với tham số trung bình khơng ? (kết luận với   0.1 ) e) Sản phẩm đạt chuẩn phải có khối lượng từ 1.9 kg đến 2.1 kg Tìm khoảng ước lượng tỷ lệ sản phẩm đạt chuẩn tổng thể, p, độ tin cậy   0.95 f) Nếu muốn sai số ước lượng cho tỷ lệ sản phẩm đạt chuẩn, p, không 0  9% , độ tin cậy   0.95 , phải thu thập thêm số liệu ? g) Tỷ lệ sản phẩm đạt chuẩn theo thiết kế p0  80% Hỏi số liệu thu thập nêu có cịn phù hợp với tham số thiết kế không ? (kết luận với   0.1) Lời giải Ta có n  96 , X  1.87 , SX  0.20 , S2X  0.04 n  1 S2X  a) Thống kê trục xoay T     n  1   95  , nên với   0.95 , ta tìm khoảng ước lượng hai bên  a, b  cho T Do n  96 , T mức xác suất   0.95 , với a  69.925 , b  123.858 , nghĩa P  69.925  T  123.858   0.95 n  1 S2X  Với T    95  0.04 , ta có 2 69.925  T  123.858  69.925  95  0.04 95  0.04 95  0.04  123.858   2   123.858 69.925  0.03  2  0.05  0.18    0.23 Do P  0.03  2  0.05   P  0.18    0.23  0.95 , ta khoảng tin cậy phương sai tổng thể 2 độ lệch chuẩn tổng thể  độ tin cậy   0.95 0.03, 0.05 0.18, 0.23 b) Thống kê trục xoay T  X  SX / n t  n  1 Do n  96 , T t  95  , nên với   0.95 , ta tìm khoảng ước lượng hai bên  C, C cho T mức xác suất   0.95 , với C  1.960 , nghĩa P  1.96  T  1.96   0.95 Với T  X  1.87    , ta có SX / n 0.2 / 96 1.87    1.96 0.2 / 96 0.2 0.2  1.87  1.96    1.87  1.96 96 96  1.83    1.91 1.96  T  1.96  1.96  Do P 1.83    1.91  0.95 , ta khoảng tin cậy trung bình tổng thể  độ tin cậy   0.95 1.83,1.91 c) Với cỡ mẫu n, ta có sai số ước lượng cho  X độ tin cậy   0.95 C SX 0.2  1.96 n n Do vậy, ta muốn sai số ước lượng không mức 0  0.03 , ta cần  S   0.2  n   C X   1.96   170.74 , 0.03   0   nghĩa ta cần n  171 số liệu Do đó, ta cần thu thập thêm 171  96  75 số liệu d) Ta có tốn kiểm định : H :    H A :   với thống kê kiểm định T  Với T X  0 SX / n t  n  1 t  95    0.1, ta C  1.645 , với P  1.645  T  1.645  0.9    Từ số liệu nhận được, ta có T  X  0 1.87    6.37 SX / n 0.2 / 96 Do T  C nên ta bác bỏ H0 , nghĩa số liệu thu thập khơng cịn phù hợp với tham số thiết kế ban đầu e) Với số liệu nhận được, ta có cỡ mẫu n  96 , tỷ lệ sản phẩm đạt chuẩn mẫu f 40  15  0.57  57% 96 10 f p ta dùng thống kê trục xoay T  Do T N  0,1 f 1  f  / n N  0,1 , nên với   0.95 , ta tìm khoảng ước lượng hai bên  C, C cho T mức xác suất   0.95 , với C  1.96 , nghĩa P  1.96  T  1.96   0.95 Với T  f p f 1  f  / n  0.57  p 0.57 1  0.57  / 96 , ta có 0.57  p 1.96  T  1.96  1.96  0.57 1  0.57  / 96  1.96 0.57 1  0.57  0.57 1  0.57   p  0.57  1.96 96 96  0.47  p  0.67  0.57  1.96 Do P  0.47  p  0.67   0.95 , ta khoảng tin cậy p độ tin cậy   0.95 0.47, 0.67 f) Với cỡ mẫu n, ta có sai số ước lượng cho p độ tin cậy   0.95 C f 1  f  0.57 1  0.57   1.96 n n Do vậy, ta muốn sai số ước lượng không mức 0  0.09 , ta cần C  1.96  n    f 1  f      0.57 1  0.57   116.24 ,  0.09   0  nghĩa ta cần n  117 số liệu Do đó, ta cần thu thập thêm 117  96  21 số liệu g) Ta có tốn kiểm định :  H : p  0.8   H A : p  0.8 với thống kê kiểm định T  Với T f  p0 p 1  p  n N  0,1 N  0,1   0.1, ta C  1.645 , với P  1.645  T  1.645  0.9    Từ số liệu nhận được, ta có T  f  p0 p0 1  p  n  0.57  0.8 0.8 1  0.8  / 96  5.63 Do T  C nên ta bác bỏ H0 , nghĩa số liệu thu thập khơng cịn phù hợp với tham số thiết kế. ... 69.925  T  123.858   0.95 n  1 S2X  Với T    95  0. 04 , ta có 2 69.925  T  123.858  69.925  95  0. 04 95  0. 04 95  0. 04  123.858   2   123.858 69.925  0.03  2  0.05 ... thống kê kiểm định T  Với T X  0 SX / n t  n  1 t  35    0.1, ta C  1. 645 , với P  1. 645  T  1. 645   0.9    Từ số liệu nhận được, ta có T  X  0 177.22  180   1.19 SX... 1.96  n    f 1  f      0.36 1  0.36   39. 34 ,  0.15   0  nghĩa ta cần n  40 số liệu Do đó, ta cần thu thập thêm 40  36  số liệu g) Ta có tốn kiểm định : H : p  0.55 