Tài liệu Chuyên đề Rút gọn phân thức

tai lieu, document1 of 66 RÚT GỌN PHÂN THỨC I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Để rút gọn phân thức cho trước ta làm sau: Bước Sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi tử mẫu phân thức; Bước Sử dụng tính chất phân thức học để rút gọn phân thức cho II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN A.DẠNG BÀI MINH HỌA Dạng Rút gọn phân thức Phương pháp giải: Thực theo hai bước: Bước Phân tích tử thức mẫu thức thành nhân tử; Bước Rút gọn cách triệt tiêu nhân tử chung Bài 1: Rút gọn phân thức A 17 xy z 34 x y z B D x  xz  xy  yz x  xz  xy  yz E y  xy xy  y 45 x   x  15 x  x  3 C x  25 5x  x2 G y  x2 x3  3x y  3xy  y C 2a  2ab ac  ad  bc  bd F x  3x  x3  Bài 2: Rút gọn phân thức A ax  a x a  ax  x  x  a D  4x2 a  x  6ax luan van, khoa luan of 66 B E x3  x  x x3  x y  x  x2   y  2 x  y  y2   x  2 tai lieu, document2 of 66 Bài 3: Rút gọn phân thức A x3  5x  x 4 x  10 x  B x  3xy  y x3  x y  xy  y  a  b C  c2 abc b  c  c  a   a  b F a b  c   b2  c  a   c2  a  b  a  b  c  2ab D 2 a  b  c  2ac 3 Dạng 2: Chứng minh đẳng thức Phương pháp giải: Thực tương tự bước chứng minh đẳng thức học CD CD2 Bài 4: Chứng minh đẳng thức a) 3x   2x  2x  x  2x2  6x b)  x  x3  x  12 x Bài 5: Chứng minh đẳng thức a) x5   x  x3  x  x  x 1 b) x  xy  y x y  2 x  xy  y x y Dạng 3: Rút gọn biểu thức với điều kiện cho trước Bước Sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi tử mẫu phân thức; Bước Sử dụng tính chất phân thức học để rút gọn phân thức cho x y z Bài 6: Cho    Rút gọn biểu thức a b c x Bài 7: Cho ax  by  cz  Rút gọn phân thức luan van, khoa luan of 66  y  z  a  b  c   ax  by  cz  tai lieu, document3 of 66 ax  by  cz A 2 bc  y  z   ac  x  z   ab  x  y  Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x Bước Sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi tử mẫu phân thức; Bước Sử dụng tính chất phân thức học để rút gọn phân thức cho cho khơng cịn ẩn ( x,y …đề yêu cầu không phụ thuộc ) Bài 8: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x A x2  y  x  y  ay  ax  B 2ax  x  y  3ay 4ax  x  y  6ay Bài 9: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x, y x  xy  x  y   ;x  ; y 1  3x y 1 Dạng 5: Bài toán nâng cao x  y x2  y Bài 10: Cho x  y  Chứng minh  x  y x2  y2 luan van, khoa luan of 66 tai lieu, document4 of 66 HƯỚNG DẪN Dạng 1: Rút gọn phân thức Bài 1: A 17 xy z yz  34 x y z x B  x  xz  xy  yz D x  xz  xy  yz  y  xy xy  y y x  y yx  y  4x  y  4x  y E  x  z  x  y   x  y  x  z  x  y  x  y 45 x   x  15 x  x  3 x  25 5x  x2  x  5 x   C  3 x   x  x  5  x5 x y2  x2 G x  3x y  xy  y    x  y  x  y  x  y  x  y  x  y Bài 2: ax  a x A a  ax  x ax  x  a   a  ax  x ax  x  a   a  ax  x   a  ax  x  ax  x  a   x  a D   x3  x  x x3  x x  x2  x  6 B    x  x2  4 x  x   x  3  x3 x2  x  x   x    x2 a  x  6ax  x  a  x  x  a  x  a  6ax  x  3x  a  a  x   3x  a  a  x   3x  a  luan van, khoa luan of 66 2a  2ab C ac  ad  bc  bd 2a  a  b   a c  d   b c  d  E y  x  x2   y  2 x  y  y   x  2  xy   x  y   xy   y  x     xy  x   y   xy  y   x    1 2a  a  b   c  d  a  b  2a cd F  x  3x  x3   x  1 x    x  1  x  x  1  x  2  x  x  1 tai lieu, document5 of 66 Bài 3: x3  x  x 4 x  10 x  x  x2  5x  x  A B     2  x  x   x  x   x  3 2  x  1 x    x  x  3  x  1 a  b  c  2ab D 2 a  b  c  2ac a  2ab  b  c  a  2ac  c  b  a  b   c2   a  c   b2  a  b  c  a  b  c    a  b  c  a  b  c   abc a bc x  3xy  y x3  x y  xy  y  x  y  x  y  x  x  y   y2  x  y   x  y  x  y    x  y   x2  y   x  y  x  y    x  y  x  y  x  y   x  2y   x  y  x  y  a  b C  c2 abc  a  b  c  a  b  c   abc  abc b  c  c  a    a  b F a b  c   b2  c  a   c2  a  b  Mau  a  b  c   b  c  a   c  a  b   a  b  c   b c  b a  ac  bc  a  b  c   bc  b  c   a  b  c    b  c   a  a  b   c  a  b     b  c  a  c  a  b  3 b  c   c  a    a  b  F   a  b  b  c  c  a  3 Ta có nhận xét Nếu x  y  z   x3  y  z  xyz Đặt b  c  x; c  a  y; a  b  z x y z 0 F luan van, khoa luan of 66 x  y  z 3xyz   3  xyz  xyz tai lieu, document6 of 66 Dạng 2: Chứng minh đẳng thức Bài 4: Chứng minh đẳng thức 3x   2x  2x  x  3 x  2 3x  VP     VT x  x   x   x  3 x  a) 2 x2  6x  x  x  x  12 x x  x  3 x  x  3 2x2  6x VP      VT 2 x  x  12 x x  x  x  12  x  x   x  3 x  b) Bài 5: Chứng minh đẳng thức x5  a)  x  x3  x  x  x 1 Thực phép chia đa thức x5    x  1  x  x  x  x  1 b) x  xy  y x y  2 x  xy  y x y VT  x  xy  y 2 x  xy  xy  y  x  y  x  y  x  y    x  xy  y 2 x  xy  xy  y  x  y  x  y  x  y VT  VP  dpcm Dạng 3: Rút gọn biểu thức với điều kiện cho trước Bài 7: Cho x x y z    rút gọn biểu thức a b c  y  z  a  b  c   ax  by  cz  Đặt x y z    k   x  ka; y  kb; z  kc a b c luan van, khoa luan of 66 tai lieu, document7 of 66  x  y  z  a  b2  c2   ax  by  cz  k a   2  k 2b  k 2c  a  b  c   aka  bkb  ckc  k  a  b2  c  k  a  b2  c  2 1 Bài 8: Cho ax  by  cz  rút gọn phân thức A ax  by  cz bc  y  z   ac  x  z   ab  x  y  2 Áp dụng đẳng thức  x  y  z   x  y  z   xy  yz  zx  ax  by  cz    ax  by  cz    a x  b y  c z   axby  axcz  bycz    a x  b y  c z  2  axby  axcz  bycz 1 Biến đổi mẫu thức bc  y  z   ac  x  z   ab  x  y  2  bcy  bcz  acx  acz  abx  aby   abxy  acxz  bcyz  (2) Thay (1) vào (2) mẫu thức  bcy  acx  c z    bcz  abx  b y    acz  aby  a x   c  by  ax  cz   b  cz  ax  by   a  cz  by  ax    cz  by  ax   a  b  c  2 2 Vậy A  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 abc Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x Bài 9: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x luan van, khoa luan of 66 tai lieu, document8 of 66 x2  y A  x  y  ay  ax   x  y  x  y  a  x  y  y  x   x  y  x  y    a  x  y  x  y    1 a B 2ax  x  y  3ay 4ax  x  y  6ay   a  1 x  y   x  y  2a  3  a 1 2x  Bài 10: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x, y x  xy  x  y   ;x  ; y 1  3x y 1  3x  1 3x  1  3x  y  1   y  1   x  1 y 1  3x   y  1    x  1   y 1  3 x   x  1 Dạng 5: Bài toán nâng cao Bài 11:cho x  y  chứng minh x  y x2  y  x  y x2  y2 Do x  y  nên x  y  Theo tính chất phân thức, ta có x  y  x  y  x  y  x  y x2  y    (1) x  y  x  y  x  y   x  y 2 x  xy  y luan van, khoa luan of 66 tai lieu, document9 of 66 Mặt khác x  y  nên x  xy  y  x  y x2  y x2  y2  (2) Vậy x  xy  y x  y (1)(2)  dpcm B.PHIẾU TỰ LUYỆN Dạng 1: Rút gọn phân thức Bài 1: Rút gọn phân thức sau 14 x5 y z a) 21x y z b) 25 x y  x  1 c) 30 xy  x  1 3x   x  12  x   d) 60 xy  x   45 xy   x  Bài 2: Rút gọn phân thức sau x  12 a) 24 x  48 x b)   x 2 y  y  y 2x  x2 c) xy  yx x  xy d) 48 y  12 y  y y  64 Bài 3: Rút gọn phân thức sau a)  x  3 x2  x  b)  3x  3 3x   x  xy  x  y c) x  xy  x  y 25  x 2 y3  y  y  d) y  3y2  y  Dạng 2: Chứng minh đẳng thức Bài 4: Chứng minh đẳng thức b  2b  b  a)  3b3  3b 3b b)  x  a  x2 a  x  6ax  ax a  3x c) x  3x  x2  x 1 x  x 1 Bài 5: Chứng minh đẳng thức a) xy  x  2y  y    4x  x x2 Bài 6: Cho hai phân thức P  Chứng minh P = Q luan van, khoa luan of 66 b) x  xy  y  2 x  x y  xy  y x y xy  x y  x3 xy  x  y  x Q  với x  0; x  1; x  y x3  x y 4x  x2 tai lieu, document10 of 66 Dạng 3: Rút gọn biểu thức với điều kiện cho trước Bài 7: Tính giá trị biểu thức a) A  3m  2m m  8 9m  12m  b) B  n  7n  n  1000001 n3  6n  n  Bài 8: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác, tính  a   b  c 2   a  b  c   C   a  b  c   a  c   b  Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến Bài 9: Chứng minh giá trị phân thức sau số a) M  x2  y2  x  y  3x  y  b) N  5kx  x  y  3ky (với k số khác  ) 25kx  15 x  y  15ky x4  x3  x  Bài 10: Cho phân thức A  x  x3  x  x  a) Thu gọn biểu thức A b) Chứng minh A không âm với giá trị x Dạng 5: Bài toán nâng cao Bài 11: Tìm giá trị nguyên u để giá trị biểu thức sau số nguyên a) với u  u2 b) 3u  2u  1 với u  3u  Bài 12: a) Tìm giá trị nhỏ A  b) Tìm giá trị lớn B  x  x  2019 với x  x2 x  x  17 3x  x  HƯỚNG DẪN Dạng 1: Rút gọn phân thức luan van, khoa luan 10 of 66 tai lieu, document11 of 66 Bài 1: Rút gọn phân thức sau 14 x5 y z 2 x3 z a)  21x y z 3y c) 3x   x  12  x    b) 3 x  x   12  x    x  x  5 d) 25 x y  x  1  30 xy  x  1 60 xy  3x   45 xy   x   x  x  1 4  x   3y Bài 2: Rút gọn phân thức sau Bài 3: Rút gọn phân thức sau Dạng 2: Chứng minh đẳng thức Bài 4: Chứng minh đẳng thức a) b  2b  b   3b3  3b 3b Bài 5: Chứng minh đẳng thức luan van, khoa luan 11 of 66  x  a  x2 ax b)  a  x  6ax a  x c) x  3x  x2  x 1 x  x 1 tai lieu, document12 of 66 xy  x  2y  y  a)   4x  x x2 Bài 6: - Có: P  x  3xy  y  b) 2 x  x y  xy  y x y xy  x y  x xy  x  y  x Q  với x  0; x  1; x  y x3  x y 4x  4x2 Dạng 3: Rút gọn biểu thức với điều kiện cho trước Bài 7: Tính giá trị biểu thức a) A  3m  2m m  8 9m  12m  Thay m=-8 vào A ta được: b) B  n  7n  n  1000001 n3  6n  n  Thay n=1000001 vào B ta được: Bài 8: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác, tính  a   b  c 2   a  b  c   C  a  b  c   a  c   b2  luan van, khoa luan 12 of 66 tai lieu, document13 of 66 Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến Bài 9: Chứng minh giá trị phân thức sau số a) M  b) (với k số khác  ) x2  y  x  y  3x  y  N 5kx  x  y  3ky 25kx  15 x  y  15ky Khi số Bài 10: Cho phân thức A  x4  x3  x  x  x3  x  x  a)Thu gọn biểu thức A b) Chứng minh A không âm với giá trị x Có: Dạng 5: Bài tốn nâng cao Bài 11: Tìm giá trị nguyên u để giá trị biểu thức sau số nguyên a) với u  u2 luan van, khoa luan 13 of 66 tai lieu, document14 of 66 Để ngun u2 Ta có bảng u-2 -1 -3 u (TM) (TM) (TM) -1 (TM) -2 -1 (TM) (TM) Vậy nguyên u2 3u  2u  1 b) với u  3u  Để 3u  2u  nguyên 3u  Ta có bảng 3u+1 -1 u (KTM) x  x  2019 Bài 12: a) Tìm giá trị nhỏ A  với x  x2 Dấu “=” xảy x- 2019= luan van, khoa luan 14 of 66 x=2019 (KTM) tai lieu, document15 of 66 Vậy x=2019 b) Tìm giá trị lớn B  B x  x  17 3x2  x  x  x  17 10  1  1 3x  x  3x  x  Để B lớn Mà 10 3   x    2  nhỏ Dấu “=” xảy Vậy MaxB = 41 ========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ========== luan van, khoa luan 15 of 66  ... Dạng 3: Rút gọn biểu thức với điều kiện cho trước Bước Sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi tử mẫu phân thức; Bước Sử dụng tính chất phân thức học để rút gọn phân thức. .. Dạng 1: Rút gọn phân thức Bài 1: Rút gọn phân thức sau 14 x5 y z a) 21x y z b) 25 x y  x  1 c) 30 xy  x  1 3x   x  12  x   d) 60 xy  x   45 xy   x  Bài 2: Rút gọn phân thức sau... minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x Bước Sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi tử mẫu phân thức; Bước Sử dụng tính chất phân thức học để rút gọn phân thức cho cho