Tài liệu Chuyên đề Căn bậc hai - căn thức bậc hai và hằng đẳng thức √A^2 =A

tai lieu, document1 of 66 CĂN BẬC HAI - CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC A2 = A A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM I Căn bậc hai số học • Căn bậc hai số khơng âm a số x cho x = a • Số dương a có hai bậc hai hai số đối nhau: Số dương kí hiệu a , số âm kí hiệu − a • Số có bậc hai số 0, ta viết =0 a gọi bậc hai số học a Số gọi bậc hai số học • Với số dương a, số • Với hai số khơng âm a, b, ta có a < b ⇔ a < b II Căn thức bậc hai A thức bậc hai A • Với A biểu thức đại số, ta gọi • A xác định (hay có nghĩa) A ≥ .A ≥ A A= A =  A < −A B BÀI MINH HỌA I BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG BÀI TỰ LUẬN Dạng Tìm điều kiện để biểu thức chứa có nghĩa Bài Với giá trị x biểu thức sau có nghĩa: a) −3x b) − 2x c) −3x + d) 3x + e) 9x − f ) 6x − Bài Với giá trị x biểu thức sau có nghĩa: x x x a) b) c) + x−2 + x−2 + x−2 x−2 x+2 x −4 −2 d) e) f) − 2x 2x + x +1 Bài Với giá trị x biểu thức sau có nghĩa: a) x + b) 4x + d) − x + 2x − c) 9x − 6x + e) − x + f ) −2x − Bài Với giá trị x biểu thức sau có nghĩa: a) − x b) x − 16 c) x − d) x − 2x − e) x ( x + ) f ) x − 5x + Lời giải Bài 1: a)x ≤ d)x ≥ Bài 2: −1 b)x ≤ e)x ≥ f )x ≥ c)x ≤ TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com luan van, khoa luan of 66 tai lieu, document2 of 66 x a) + x−2 x−2 x − ≥ x ≥ ⇔ ⇔x>2 Điều kiện biểu thức  x − ≠ x ≠ Vậy điều kiện biểu thức x > x b) + x−2 x+2 x − ≥ x ≥ ⇔ ⇔x≥2 Điều kiện biểu thức  x + ≠  x ≠ −2 Vậy điều kiện biểu thức x ≥ x c) + x−2 x −4 x − ≥ x ≥ ⇔ ⇔x>2 Điều kiện  x ≠ ± x − ≠   Vậy điều kiện biểu thức x > A dạng với A > − 2x B ⇒ Điều kiện ≥ ⇔ − 2x > ⇔ x < − 2x Vậy điều kiện biểu thức x < d) A Dạng với A > B 2x + ⇒ Điều kiện ≥ ⇔ 2x + > ⇔ x > − 2x + 3 Vậy điều kiện biểu thức x > − e) −2 A dạng với A < x +1 B −2 ⇒ Điều kiện ≥ ⇔ x + < ⇔ x < −1 x +1 Vậy điều kiện biểu thức x < −1 Bài a) Vì x + > 0∀x Vậy hàm số xác định ∀x ∈  b) Vì 4x + > 0∀x Vậy hàm số xác định ∀x ∈  f) c) 9x − 6x += ( 3x − 1) Vì ( 3x − 1) ≥ 0∀x ∈  2 Vậy hàm số xác định với x d) − x + 2x − = − ( x − 2x + 1) = − ( x − 1) Hàm số xác định ⇔ − ( x − 1) ≥ ⇔ x − 1= ⇔ x = Vậy hàm số xác định x = TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com luan van, khoa luan of 66 tai lieu, document3 of 66 e) − x + Điều kiện − x + ≥ ⇔ x + =0 ⇔ x =−5 f) −2x − Điều kiện −2x − =− ( 2x + 1) < 0∀x Vậy không tồn giá trị x để hàm số có nghĩa Bài Với giá trị x thức sau có nghĩa: a) Điều kiện biểu thức − x ≥ ⇔ x ≤ ⇔ −2 ≤ x ≤ Vậy điều kiện biểu thức −2 ≤ x ≤ b) Điều kiện biểu thức x − 16 ≥ ⇔ x ≥ 16 ⇔ x ≥ x ≤ −4 Vậy điều kiện biểu thức x ≥ x ≤ −4 c) Điều kiện biểu thức x − ≥ ⇔ x ≥ ⇔ x ≥ x ≤ − Vậy điều kiện biểu thức x ≥ x ≤ − x + ≥  x ≥ −1 ⇔ ⇔ x≥3  x − ≥ x ≥  d) x − 2x − ≥ ⇔ ( x + 1)( x − 3) ≥ ⇔ x + ≤  x ≤ −1  ⇔ ⇔ x ≤ −1 x ≤   x − ≤ Vậy biểu thức xác định x ≥ x ≤ −1 e) Điều kiện biểu thức x ( x + ) ≥ ⇔ x ≤ −2 x ≥ Vậy điều kiện biểu thức x ≤ −2 x ≥ f) Điều kiện biểu thức x − 5x + ≥ ⇔ ( x − )( x − 3) ≥ ⇔ x ≤ x ≥ Vậy điều kiện biểu thức x ≤ x ≥ Dạng Tính giá trị biểu thức Trong tốn tính giá trị biểu thức toán rút gọn thường xuất dạng biểu thức “ẩn” đẳng thức Để tính tốn giải nhanh tốn, em cần biến đổi, sử dụng thành thạo dạng đẳng thức đáng nhớ Để đơn giản hoá việc nhận dạng xử lý tốn, em tham khảo sơ đồ bên Sử dụng đẳng thức toán chứa Chú ý: x = ( x) Các đẳng thức đáng nhớ (a + b) =a + 2ab + b Ví dụ minh họa 1.6 + = + + = ( 5) + +1= 3.x + x += ( x) +2 ( + +1 = 2 ) ( +1 ( ) + +1= x += ( x + 1) + = TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com luan van, khoa luan of 66 ( x) x ≥ 0; x x = ) +1 = +1 tai lieu, document4 of 66 ( a − b ) =a − 2ab + b 1.6 − = − + = ( 5) − +1 = ( ) − 10 = − + =5 x + − x − 5= ( = a − b = ( a − b )( a + b ) x2 − ( −1 = x +1 22 − 4−a = 2− a ) ( )( ) x +1 = x +1 x = a + 3a b + 3ab + b3 = ( =a − 3a b + 3ab − b3 ( ( −2 ) b) ( a) += a 1− a ( ) (1 − a )(1 + c) e) (3 − 2 ) + (3 + 2 ) ( − ) + (1 − ) ( − 2) + ( + 2) 2 ( ( 1− a ( ) x  x + 1   = x − x +1 ) x x x +1 = x − x +1 ) ) ( )+ a 3 + + 3 + 1= ( +1 = ) ( −1 = − 10 = ) 3 − + 3 − 1= ) x − = x x − 3x + x − c) ( 3−2 ) (2 d) f) (5 − ) − (5 + ) (3 + ) − (1 − ) ( + 1) − ( − 5) TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com 2 2 2 −3 ) )( +1 −1 ) x +1 x − x +1 x − x +1 Bài Thực phép tính sau: luan van, khoa luan of 66 x x + = x x + 3x + x + d) x +1 10 + = b) 2 a +a Bài Thực phép tính sau: a) 2+ a 2− a Bài Thực phép tính sau: ( −0,125) ( =5 − 2 1− 1− a a += a 1− a x + x = x − x +1 a) − 0,8 x −1 ( a ) = ( − a )( + a )= 2− a ( 2) 1.x − 27 = ( x − 3) ( x + 3x + ) a + b3 = ( a + b ) ( a − ab + b ) (a − b) − + x2 − − + ≥ x −1 =1 + a + a + a = + a 1.x − 27 = ( x − 3) ( x + 3x + ) a − b3 = ( a − b ) ( a + ab + b ) (a + b) ) −1 x2 − − x2 − + + − x − + 4= +4 ( x) x −1 = x +1 ) 2 ( ) tai lieu, document5 of 66 a) + − − b) − 10 − + 10 d) 24 + + − c) − + + e) 17 − 12 + + f ) − + 22 − 12 Bài Thực phép tính sau: a) c) ( 3− )  8−4   4+  b)   −   −    1+  5+ − − 29 − 12 d) 13 + 30 + + Lời giải Bài 1: a) Biến đổi biểu thức −0,8 ( −0,125) = −0,8 −0,125 = −0,8.0,125 = −0,1 Vậy biểu thức có giá trị là: -0,1 b) Biến đổi biểu thức ( −2 ) =( −2 ) =−8 =8 Vậy biểu thức có giá trị là: c) Biến đổi biểu thức: ( 3−2 ) = − = − 3−2 = 2 − = − 2 − 2 =− Vậy biểu thức có giá trị − 2 Bài 2: a) Biến đổi biểu thức: (3 − 2 ) + (3 + 2 ) − (5 + ) = 3− 2 + 3+ 2 = 3− 2 +3+ 2 = (vì − 2 > 0) Vậy biểu thức có giá trị là: b) Biến đổi biểu thức (5 − ) ( ) ( ) =5 − − + =5 − − + =−4 (vì − > 0) Vậy biểu thức có giá trị là: −4 c) Biến đổi biểu thức (2 − 3) + (1 − ) − (1 − ) 2 = − + 1− = − + −1 = (Vì − > 0;1 − < 0) Vậy biểu thức có giá trị là: d) Biến đổi biểu thức (3 + ) 2 = + − 1− = + − ( ) −1 = (vì + > 0;1 − < 0) Vậy biểu thức có giá trị là: e) Biến đổi biểu thức ( 5− ) + ( 5+ − > 0; + > TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com luan van, khoa luan of 66 ) = 5− + 5+ = 5− 2+ 5+ =2 tai lieu, document6 of 66 Vậy biểu thức có giá trị là: ( f) Biến đổi biểu thức (Vì ) ( 2 +1 − ) 2 −5 = +1 − ( − 5= ) +1− − = 2 − + > 0; − < ) Vậy biểu thức có giá trị 2 − Bài 3: a) + − 5−2 Ta có: + = + + = ( 5+ − 5−2 = Nên = 2 ( ) + ; − = − + = 3+ ) ( − 3− ) = ( 3− 3+ − 3− = ( ) ) ( 3+ − 3− ) + > 0; − > Vậy biểu thức có giá trị 2 b) − 10 − + 10 Ta có: − 10 = − + = ( ) − ;7 + 10 = + + = ( 5+ ) Nên ( − 10 − + 10 = − ) − ( 5+ ) ( − > 0; + > Vậy biểu thức có giá trị −2 c) Biến đổi biểu thức 4−2 + 3+ = ( ) −1 + Vậy biểu thức có giá trị d) Biến đổi biểu thức ( 24 + + − 5= ) = ( + +1 + = ( +1 + ) ( 5−2 ( )= +1 ) + + − 5= − 5.2 + 22 ) = +1 + − 2 = +2+ −= Vậy biểu thức có giá trị e) Biến đổi biểu thức TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com luan van, khoa luan of 66 ) ( =5 − − + =5 − − − + + 1= ( − + + 1= ) + +1 + − + ) −2 5+ = tai lieu, document7 of 66 17 − 12 + + − 12 + + + + = ( ) + (2 ) ( 2 + 1) =32 − 2.3.2 + 2 ( =3− 2 ) + + 2.2 + 12 = − 2 + 2 +1 = − 2 + 2 +1 = Vậy biểu thức có giá trị f) Biến đổi biểu thức − + 22 − 12 − + + 18 − 12 + = (3 ) (3 − 2) = 22 − 2.2 + + ( = 2− ) 2 − 2.3 2.2 + 22 + =2 − + − = 2− +3 −2 = 2 Vậy biểu thức có giá trị 2 Bài a) Biến đổi biểu thức ( 3− ) 5+ ( ) ( + 2) = ( − 2) + = ( − )( + ) = ( ) − ( ) = − =1 − ( − 1) b) Ta có: = = 3− = 2 −1 4+2 = 1+ ( −1 ) +1 = 1+ ( ( ) −1 ) +1 2  4−2   4+2  Suy   −   = − −  −1   1+  ( ) ( Vậy biểu thức có giá trị −4 c) Biến đổi biểu thức TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com luan van, khoa luan of 66 ) ( ) ( ) + =4 − − + = −4 tai lieu, document8 of 66 − − 29 − 12 = − − 20 − 12 + = = − 9− +3 = = 5− ( ( ) ) −1 = (2 − 9− +3 ) − 6−2 ) 5− ( ) = 13 + 30 + 2 + − 1= 1= Vậy biểu thức có giá trị d) Biến đổi biểu thức 13 + 30 + + = 13 + 30 + (2 +1 ( = 13 + 30 + 2 = 13 + 30 = 13 + 30 ( ) +1 = ( ) +1 ) 43 + 30 ( = 25 + 2.5.3 + 18 = + ) =5 + Vậy biểu thức có giá trị + Dạng Rút gọn biểu thức Bài Rút gọn biểu thức sau: a)x + + x − 6x + ( x ≤ 3) b) x + 4x + − x ( −2 ≤ x ≤ ) x − 2x + x − 4x + d) x − + ( x < 2) ( x > 1) x −1 x−2 Bài Rút gọn biểu thức sau: c) a) − 4a + 4a − 2a b)x − 2y − x − 4xy + 4y c)x + x − 8x + 16 d)2x − − e) x − 4x + x2 − f) ( x − 4) x − 10x + 25 x −5 + x−4 x − 8x + 16 Bài Cho biểu thức A= x + x − − x − x − a) Với giá trị x A có nghĩa? b) Tính A x ≥ Bài Cho số dương x,y,z thỏa điều kiện xy + yz + xz = (1 + y )(1 + z ) + y (1 + z )(1 + x ) + z (1 + x )(1 + y ) Tính A = x 1+ x2 2 + y2 Lời giải Bài TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com luan van, khoa luan of 66 + z2 tai lieu, document9 of 66 a)x + + x − 6x + ( x ≤ 3) ( x − 3) = x +3+ = x +3+ x −3 (vì x ≤ nên x − = − ( x − 3) ) = x + − ( x − 3) = b) x + 4x + − x ( −2 ≤ x ≤ ) ( x + 2) = + x2 = x + + x x ≥ −2 nên x + = x + x ≤ nên x = − x = x+2−x = c) x − 2x + ( x > 1) x −1 ( x − 1) x −1 x −1 = = = x −1 x −1 x −1 Vì x > nên x − = x − = x − 4x + d) x − + = x−2 + x−2 x < nên x − = − ( x − 2) Biểu thức =x − + Bài ( x − 2) x−2 x−2 − ( x − 2) =− ( x − ) + =− x + − =− x + x−2 x−2 a) Biến đổi biểu thức − 4a + 4a − 2a = (1 − 2a ) − 2a =1 − 2a − 2a Với a ≤ − 2a ≥ nên − 2a =− 2a ta có: − 4a + 4a − 2a =1 − 2a − 2a =− 2a − 2a =− 4a Với a ≥ 1 − 2a − 2a = 2a − − 2a = −1 − 2a ≤ nên − 2a = 2a − ta có: − 4a + 4a − 2a = b) Biến đổi biểu thức x − 2y − x − 4xy + 4y =x − 2y − ( x − 2y ) =x − 2y − x − 2y Với x − 2y ≤ x − 2y = − ( x − 2y ) ta có x − 2y − x − 4xy + 4y =x − 2y − x − 2y =x − 2y + ( x − 2y ) =2x − 4y Với x − 2y ≥ x − 2y =x − 2y ta có x − 2y − x − 4xy + 4y =x − 2y − x − 2y =x − 2y − ( x − 2y ) =0 c) x + x − 8x + 16 = x + (x − 4) = x + x − với x − ≤ ⇔ x ≤ ⇔ −2 ≤ x ≤ x − = − ( x − ) ta có: x + x − 8x + 16 = x + x − = x − ( x − ) = TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com luan van, khoa luan of 66 tai lieu, document10 of 66 Với x − ≥ ⇔ x ≥ ⇔ x ≤ −2 x ≥ x − = x − ta có: x + x − 8x + 16 = x + x − = x + ( x − ) = 2x − ( x − 5) x −5 x − 10x + 25 d) 2x − − = 2x − − = 2x − − x −5 x −5 x −5 Với x − ≤ ⇔ x ≤ x − = − ( x − ) ta có: x −5 x − 10x + 25 x −5 = 2x − − = 2x − + = 2x x −5 x −5 x −5 Với x − ≥ ⇔ x ≥ x − = ( x − ) ta có: 2x − − 2x − − x −5 x − 10x + 25 x −5 = 2x − − = 2x − − = 2x − x −5 x −5 x −5 Bài Biểu thức A= x2 + x2 −1 − x2 − x2 −1 a) Biểu thức xác định x − ≥ ⇔ x ≥ ⇔ x ≤ −1 x ≥ b) Tính A với x ≥ x2 + x2 −1 − x2 − x2 −1 A= = = = (x − 1) + x − + − ( x2 −1 +1 − ) ( − 1) − x − + ) x2 −1 +1 + (x x2 −1 −1 x2 −1 −1 Với x ≥ x ≥ ⇔ x − ≥ ⇒ x − ≥ ⇔ x − − ≥ Vậy A = x2 −1 +1 + x − − 1= x − + + x − −= x2 −1 Bài Cho số dương x,y,z thỏa điều kiện: xy + yz + zx = (1 + y )(1 + z ) + y (1 + z )(1 + x ) + z (1 + x )(1 + y ) Tính A = x 1+ x2 2 + y2 + z2 Ta có: + y = ( xy + yz + xz ) + y = xy + y + yz + zx = y ( x + y ) + z ( y + x ) = ( x + y )( y + z ) Tương tự + z = ( y + z )( z + x ) + x = ( z + x )( x + y ) Suy *x (1 + y )(1 + z ) = x ( x + y )( y + z )( x + z )( y + z ) = ( x + y )( x + z ) x ( y + z) *y (1 + z )(1 + x ) = y ( z + x )( y + z )( x + z )( x + y ) = ( x + y )( y + z ) y ( x + z) 1+ x 2 2 1+ y (1 + x )(1 + y ) = z ( x + y )( x + z )( x + y )( y + z ) = z x + y ( ) 1+ z ( x + z )( y + z ) *z 2 10 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com luan van, khoa luan 10 of 66 = x ( y + z) = y ( x + z) = z ( x + y) tai lieu, document32 of 66 Dạng 5: Giải phương trình Bài 1: Giải phương trình a x2 = b x = 10 c x − 19 = d 49 x = −14 b − 4x + x2 = d 9x2 + 6x + = x −1 Bài 2: Giải phương trình a ( x + 2) c x2 − x + =3 + x = e x + x + = Bài 3: Giải phương trình: 1) x2 + = 4) x2 − x − = 7) 25 x − 30 x + = x + 10) 12) ( x − 1) f x − x + = x−2 + x2 + 4x + 2) x − 20 x + 25 = 3) x − + x − =2 5) x2 − = 6) x − + =x 8) x+3+ 2− x = 9) x2 − x + x2 + x − = 11) 3− x 25 x − 50 − x − + x − + + x + x − =2 32 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com luan van, khoa luan 32 of 66 x − 18 x − +1 = 16 tai lieu, document33 of 66 HƯỚNG DẪN Dạng 1: Tính giá trị biểu thức chứa bậc hai Bài 1: Tính a 64 25 c ( −2 ) ( 2,5) b  −36  d −    169  Lời giải a c 64 = 25 ( −2 ) ( 2,5) b = 2,5  −36  d −  =  169  13 = Bài 2: Tính a 196 25 − 81 c (5 + ) ( b 10 − ) − 10 ( ) d 81: + 169 225 − 8−2 Lời giải a 196 25 − 81 = 13.5 − 5.9 c =5 + − 10 − ) − 10 10 − − 10 = = 65 − 45 = 20 (5 + ) ( b 10 − − 10 = −3 = ( (81: + 13) 15 = (1 − ) ) d 81: + 169 225 − 8−2 = 30.15 = 450 = + − 1− = + +1− =6 Bài Thực phép tính sau: a 5+ − 5− b 49 − 12 + 49 + 12 c 31 − 12 − 31 + 12 d 21 + 12 + 21 − 12 Lời giải 33 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com luan van, khoa luan 33 of 66 tai lieu, document34 of 66 a + − − = ( = 3+ − 3− 3+ ) ( − 3− ) b (3 3−2 ) − (3 5−2 ) + (3 5+2 ) = 5−2 + 5+2 = 31 − 12 − 31 + 12 = (3 = = 3+ 2− 3+ = 2 c 49 − 12 + 49 + 12 3+2 d ) (2 = = −4 21 + 12 + 21 − 12 3 +3 ) + (2 −3 ) = Bài 4:Tính 1) − 18 + 32 − 50 2) 24 − 54 + − 150 4) 10 28 + 175 − 343 − 448 3) 28 + 63 − 175 + 112 5) 13 − 6) − − 7) 15 − 6 + 33 − 12 Lời giải 1) − 18 + 32 − 50 = − 12 + − = −6 2) 24 − 54 + − 150 = −6 +3 −5 = −4 3) 28 + 63 − 175 + 112 = + − 15 + = − 4) 10 28 + 175 − 343 − 448 = 20 + 10 − 21 − 12 = −3 5) − = − 2.2 + = 6) 7−4 −2= ( 3−2 ) (3 − ) + (3 − ) 2 = 2− =2− − = − − =2 − − =− 7) 15 − 6 + 33 − 12 = = (2 − 3) − 2.3 + + − 2.3.2 + 24 = 3− + −3 = Bài 5:Tính: ( 1) − 5+ ) 10 − 15 − 12 3) 5) )( 2) 4) 16 −3 −6 27 75 15 − 5 − − −1 5−4 − 12 + 27 − 18 − 48 30 + 162 Lời giải ( 1) − )( ) ( 5+ = ) −( 7) 2 34 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com luan van, khoa luan 34 of 66 13 = 20 − = tai lieu, document35 of 66 16 42 22 = −3 −6 −3 −6 27 75 3 2) 12  23 3  = 8 − −  = − − 3  5 15 = 2.4 3) 10 − 15 = − 12 4) 15 − 5 − − = −1 5−4 ( 5−4 = 5−4 5.2 − 5.3 = 4.2 − 4.3 ( ( 2− ) − 5−2 −2 = ( 3−2 5 = = 5.3 − 5 − − = −1 5−4 ( ) − 5−2 −1 −1 = 5−4 5− 5−2 5−4 10 − 5 − 10 − − + − + − = = = 5−4 5−4 5−4 5−4 5−4 − 12 + 27 − = 18 − 48 30 + 162 5) ) 3) 2− ) − ( ( ( −2 = +3 +3 ) )− 2) 3−2 3−2 −3 == − 6 Bài 6:Tính: ( + 4) 19 − 3) ( + ) ( + + 1) 17 − 32 + 17 + 32 2) )( − 1+ ) 5) + 17 − + 4) ( 5−2 + ) + + 18 − 6) + + 48 − 10 + 7) Lời giải 1) ( 3+4 = ( 3+4 ) 19 − = ( ) (4 − 3) = ( 3+4 ) 16 − 2.4 + = )( ( 3+4 ( ) ) 17 − 32 + 17 + 32 = 17 − 3.4 + 17 + 3.4 = 17 − 2.6 + 17 + 2.6 = ( − 2.3.2 + 2 ) + + 2.3.2 + 2 (3 − 2 ) + (3 + 2 ) = − 2 + + 2 = 3) ( + ) ( + + )( − + ) = ( + ) ( = ( + ) ( − ) = 25 − 16.2 = −7 ( ) 13 + 4 − = 16 − = 2) = ) 42 − 2.4 + 2 35 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com luan van, khoa luan 35 of 66 ( − 1+ )) ) ( tai lieu, document36 of 66 − + = 15 − 2.3 + = 4) = (3 − ) − 2.3 + + + = 3− + = 5) + 17 − + = + 17 − + + = + 17 − = + 17 − ( ) +2 = 2+ 9−4 = 2+ 5−4 +4= 2+ ( 5+2 ( 5−2 ) ) 2 = + − =5 6) + + 18 − = = +2 3+4− = 7) 3+4= (2 + 3) = + + 28 − 10 = = 4+ +5 5− = ( ) ( + +1 = ) +1 = ( + + 48 − 10 + = + + 25 − 10 + 4+5 = + + 25 − = Bài 7:Tính: 1) 3) 3− 2 17 − 12 − + 48 − 3+ 2 17 + 12 2 (5 + )( 49 − 20 ) 5) 2) 4) 5−2 − 11 6) −4 + 175 − 8+ 3− 2 2 + 3+ 1+ 1+ 1+ + + 2 − 3− 1− 1− 1− 1 + + + 1+ 2+ 24 + 25 Lời giải 7) ( − 1) − ( + 1) 1) (3 − 2 ) (3 + 2 ) −1 + ( − 1)( + 2 ) − ( + 1)( − 2 ) = − = 3− 2 3+ 2 (3 − 2 )(3 + 2 ) 3− 2 3+ 2 −= 17 − 12 17 + 12 2 2 36 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com luan van, khoa luan 36 of 66 +1 + + 48 − 10 + + + + 48 − 10 + = = + + 48 − 10 2+2 3+ + + 16 − 2.4 + = ) (4 − ) tai lieu, document37 of 66 + 4−3− 2 −3 + 4−3+ 2 =2 = 1 −4 + 175 − 8+ 3− 2) ( 8− 8− )( 8+ ) +5 − ( 2.3 − 2 3− ) 2 3− 8− +5 − = − +5 −2 8−7 3− = = 2 +4 −2 = 3) = 2+ − = = + 48 − 4) = ( + 1) − (= 6+ 2− = 2+ 3+ 6+ 8+4 2+ 3+ ) ( 2+ 3+2 + 6+ 8+2 2+ 3+ − 2 )= ( ( ) +1 − 2 ) + + + ( 2+ 3+2 2+ 3+ )= 1+ 2+ 2+ 2+ − + 2 ( 4+2 2+ = (2 + 3) 2 5) = 2 2+ − 2 + − = = 2 = 7+4 − )−2 +1 = 2.2 2 + + 2+ − +1 +1 = 3 + 3 + − 4.3 + 2+ − + 3 ( ) 37 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com luan van, khoa luan 37 of 66 ( 4+2 + 3 ) +1 tai lieu, document38 of 66 +1 +1 = 3 +3 −3 3+ − 3 3 4+2 4−2 2= + + 6) 3 2+ 4+2 2− 4−2 1+ 1+ 1− 1− 2 1+ ( = +1 ( +1 4+2 = ) ( ( 1− ) +1 ) + ) +1 + ( ) −1 4−2 ( ) ( ( ( ) ( + 1) + ( = ) ) −1 −1 ( 2 ) −1 = 6+2 3 −1 ) 6−2 3 +1 −1 + =1 3 1 + + + 1+ 2+ 24 + 25 7) 1− ( )( 1+ 1− + ) ( 2− )( 2+ 1− 2− 24 − 25 + + + −1 −1 −1 = = − ( 2− ) + + ) ( ( 24 − 25 )( 24 + 25 24 − 25 ) ) − − 25 = − + − + + 24 − 25 = Dạng 2: Tìm điều kiện để biểu thức chứa bậc hai có nghĩa Bài 1: Với giá trị x thức sau có nghĩa: a 15 x−2 c 72x −13 3x Lời giải e 15 có nghĩa ⇔ x − ≥ x−2 ⇔ x≥2 b −17 12 − x d 24 + 10x f 27 − 6x −17 có nghĩa ⇔ 12 − x ≤ 12 − x ⇔ x ≥ 12 a b c 72x có nghĩa ⇔ 72 x ≥ ⇔ x≥0 d 24 + 10x có nghĩa ⇔ 24 + 10 x ≥ −12 ⇔ x≥ 38 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com luan van, khoa luan 38 of 66 tai lieu, document39 of 66 −13 −13 e có nghĩa ⇔ ≥0 3x 3x ⇔ x 15 − ⇔ < 17 + ⇔ > 15 − Bài Tìm giá trị x biết a − x + ≥ Lời giải a Điều kiện − x + ≥ ⇔ x ≤ Ta có − x + ≥ 36 ⇔ x ≤ −35 (thỏa mãn điều kiện) b x ≤ x Lời giải b Điều kiện x ≥ Ta có x ≥ 2x ≤ x2 ⇔ x ( x − 2) ≥ ⇔  x ≤ Kết hợp điều kiện ta có x = x ≥ Bài 3:So sánh A B : 2013 + 2015 ; B = 2014 a) A = 12 + 12 + 12 + + + + ;= B b) A = 12 + 11 1 4028 + + + ; B= 2015 1.2014 2.2013 2014.1 = c) A Lời giải a) A = 2013 + 2015 ; B = 2014 Ta có: 2013 < 2015 ⇒ < 2013 + 2014 < 2015 + 2014 1 > ⇒ 2013 + 2014 2015 + 2014 ⇒ ( 2014 − 2013 2014 + 2013 )( 2014 − 2013 > ) ( 2015 − 2014 2015 + 2014 40 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com luan van, khoa luan 40 of 66 )( 2015 − 2014 ) tai lieu, document41 of 66 ⇒ 2014 − 2013 > 2015 − 2014 ⇒ 2014 > 2015 + 2013 ⇒ B > A Cách khác : 2013 + 2015 > ⇔ A= 4028 + 2013.2015 = 2.2014 + 20142 − Ta có = A A2 < 2.2014 + 2.2014 = 4.2014 = B 2014 > ⇔ = B 4.2014 Suy A2 < B ⇔ A < B (do A, B > ) b) So sánh A = 12 + 12 + 12 + + + + ;= B   Ta có: A =  12 + 12 + 12 + + + +      12 + 11 2 A2 =12 + 12 + 12 + + + + + 12 + 12 + 12 + + + A2 =18 + 12 + 12 + + + + 12 + 12 + 12 + + + ( B =12 + 11 ) =+ 23 132 Dễ thấy 12 + 12 > + + > ⇒ 18 + 12 + 12 + + + > 23 ⇒ Để so sánh A2 B ta cần so sánh 12 + 12 + 12 + + + 132 ( )   Ta có: 12 + 12 + 12  + + +    = 72 + 12 + + + 12 + 12 + 12 + 12 + + Mà 6+ 6+ > = 12 + 12 > = nên 12 + + > 12.3 = 36 12 + 12 > 6.3 = 18 12 + 12 + + > 3.3 = ⇒ 72 + 12 + + + 12 + 12 + 12 + 12 + + > 72 + 36 + 18 + ⇒ 72 + 12 + + + 12 + 12 + 12 + 12 + + > 135 ⇒ 72 + 12 + + + 12 + 12 + 12 + 12 + + > 132 ⇒ 12 + 12 + 12 + + + > 132 ⇒ A2 > B ⇒ A > B (Do A > B > ) Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử 41 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com luan van, khoa luan 41 of 66 tai lieu, document42 of 66 Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a x − d x + x + c x + x + Lời giải a x − = ( x + )( x − ) 7x + = ( x + ) c x + Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử a x − c x + 2 x + Lời giải a x − = b x − b x − 3= d x + x + 2= ( 3x + ) d x + x + b x − 5= (x + 2) d x + (3x + )( 3x − ) x + 3= ( x + ) Dạng 5: Giải phương trinh Bài 1: Giải phương trình a x2 = b x = 10 c x − 19 = d 49 x = −14 b x = 10 ⇔ x = ⇔ x = ⇔  x = −3 ( 3x ) ⇔ 3x = 10 Lời giải a x2 = Vậy S = {−3;3} = 10 3 x = 10 ⇔ 3 x = −10 10  x = ⇔  x = −10  10 −10  Vậy S =  ;  3  c b x − ( x + )( x − ) c x + 2 x + = ( x + )( x − ) x − 19 = d 49 x = −14 ⇔ 2x = 19 ⇔ 7x = 14  x = 19 ⇔  x = −19 7 x = 14 ⇔ 7 x = −14 x = ⇔  x = −2 42 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com luan van, khoa luan 42 of 66 tai lieu, document43 of 66 19  x = ⇔  x = −19  Vậy = S {2; −2} 19 −19  Vậy S =  ;  2  Bài 2: Giải phương trình a ( x + 2) c x2 − x + =3 + x = e x + x + = b − 4x + x2 = d 9x2 + 6x + = x −1 f x − x + = Lời giải a ( x + 2) = 2 x + = ⇔  x + =−2 x = ⇔  x = −4 Vậy = S {0; −4} x2 − x + =3 + x c b − 4x + x2 = ⇔ (2 − x) = ⇔ 2− x = 3 2 − x = ⇔  − x =−3  x = −1 ⇔ x = Vậy = S {5; −1} d 9x2 + 6x + = x −1  3 + x ≥ ⇔   x − =3 + x  x −1 ≥ ⇔   3x + = x −  x ≥ −3  ⇔  x − = + x   x − =− ( + x )  x ≥  ⇔  3 x + = x −   3 x + =− ( x − 1) 0 x = ⇔  x = −1 −1 ⇔ x = (nhận)  −1  Vậy S =   2  x = −2 ⇔ 4 x = −1 ⇔x=  −1  Vậy S =   2 e x + x + = f x − x + = ( ⇔ x+ ) = ⇔x= − 43 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com luan van, khoa luan 43 of 66 ⇔ ( x + 2) = ⇔x= −2 Vậy S = {−2} tai lieu, document44 of 66 Vậy S = − { } Bài 4: Giải phương trình: 1) x2 + = 4) x2 − x − = 7) 25 x − 30 x + = x + x−2 10) ( x − 1) 11) 25 x − 50 − 2) x − 20 x + 25 = 3) x − + x − =2 5) x2 − = 6) x − + =x 8) x+3+ 2− x = 9) x2 − x + x2 + x − = 3− x + x2 + 4x + x − +1 x − 18 = 16 12) x − + x − + + x + x − =2 Lời giải x2 + = 1) ( ĐK : x + ≥ với x ) 25 ⇔ x2 + = x + =  x = −4 ⇔ 0⇔ ⇔ x − 16 = ⇔ ( x − 4) ( x + 4) = x − = x = Vậy nghiệm phương trình x = 4, x = −4 x − 20 x + 25 = 1⇔ 2) ( x − 5) = 1⇔ x= ⇔ 2x − = Vậy nghiệm phương trình x = 3) x − + x − =2 Đk: x ≥ x − + x − =2 ⇔ x − + x − +1 = ⇔ ( ) ⇔ x − +1 = x − +1 = ⇔ x − + =2 (vì với x ≥ x − ≥ nên ⇔ x−2 = ⇔ x−2= ⇔x= (thoả mãn điều kiện) 4) x − x − = x−2 ĐK: x ≥ ⇔ x2 − x − = x − ⇔ x2 − x − x − + = ⇔ x2 − x = ⇔ x ( x − 2) = x = ⇔ ⇔ x − =  x = (KTM)  x = (TM)  S = {2} 44 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com luan van, khoa luan 44 of 66 x − +1 ≥ > ) tai lieu, document45 of 66   x ≤ −3  − ≥ x  x ≤ −3  ⇔   x ≥ ⇔  5) x − = − x Đk :  x = 3 − x ≥ x ≤  2 ⇔ x − = − x ⇔ x + x − 12 = ⇔ ( x + )( x − 3) = 0 ⇔ x ( x + 4) − 3( x + 4) = ⇔ x + x − x − 12 =  x = −4 (TM ) x + = ⇔ ⇔ x − =  x = (TM ) S= {−4;3} 6) x − + =x x ≥1 ⇔ x −1 = x −1 ⇔ x − = x − x + ⇔ x − 3x + = ⇔ x2 − x − 2x + = 0 x −1 = ⇔ 0⇔ ⇔ ( x − 1)( x − ) = x − = x =  x = (TM)  S = {1; 2} ĐK: x ≥ −7 7) 25 x − 30 x + = x + ⇔ 25 x − 30 x + = x + 14 x + 49 ⇔ 24 x − 44 x − 40 = 0 ⇔ x − x + 15 x − 10 = ⇔ ( x + )( x − ) = ⇔ x − 11x − 10 =  x =  x = −5 2 x + = ⇔ ⇔ ⇔ 3 x = 3 x − = x =  −5 (TM)  −5  S= ;  3  8) x + + − x = 5(*)  x + = u Đặt  v  − x = ĐK: −3 ≤ x ≤ ( u, v ≥ ) u + v = v = − u v= − u (*) ⇔  2 ⇔ ⇔ 2 − u) = u + ( = u + v u − 5u + 10 (1) (2) Xét (2) u − 5u + 10 = có ∆ = −15 < nên phương trình (2) vơ nghiệm Suy hệ phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình (*) vơ nghiệm 9) x − x + x + x − = ⇔ x x −1 + ⇔ x −1 ( ĐK: x ≥ ( x − 1)( x + ) =0 ) x + x+2 = 45 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com luan van, khoa luan 45 of 66 tai lieu, document46 of 66  x −1 = x = ⇔ ⇔ ⇔x= 1(TM)  x + x + =  x + x + > 0, ∀x S = {1} 10) ( x − 1) ⇔ ( x − 1) + x2 + x + = + ( x + 2) ( x − 1) Ta có : ( x + 2) 2 (*) = ≥ 0, ∀x ≥ 0, ∀x x =  x − =0 ⇔ ( L) (*) ⇔   x = −2 x + = Vậy phương trình vơ nghiệm 11) x − +1 x − 18 = 16 25 x − 50 − x − +1 = x−2 ⇒ x − − x − +1 = x−2 12 x − + x − − 10 x − ⇔ = − 2 ⇔ x − − ⇔ x − =−1 (vô lý) Vậy phương trình vơ nghiệm 12) x − + x − + + x + x − =2 ⇔ ⇔ ( ( x−2 ) + x − +1 + ) x − +1 + ( ( x−2 +3 x−2 ) ) 2 +6 x−2 +9 = = −1 ( vô lý) −2 ⇔ x − = ⇔ x − +1+ x − + = ⇔ x−2 = Vậy phương trình vô nghiệm - TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - 46 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com luan van, khoa luan 46 of 66 ... Với số dương a , số a gọi bậc hai số học a Câu Đáp án B Căn bậc hai số học a  0, 36 0, 36  0, Câu Đáp án D - Với hai số a, b không âm ta a  b  a  b nên C - Với hai số a, b khơng âm ta có... thành thạo dạng đẳng thức đáng nhớ Để đơn giản hoá việc nhận dạng xử lý tốn, em tham khảo sơ đồ bên Sử dụng đẳng thức toán chứa Chú ý: x = ( x) Các đẳng thức đáng nhớ (a + b) =a + 2ab + b Ví... đổi biểu thức −0,8 ( −0,125) = −0,8 −0,125 = −0,8.0,125 = −0,1 Vậy biểu thức có giá trị là: -0 ,1 b) Biến đổi biểu thức ( −2 ) =( −2 ) =−8 =8 Vậy biểu thức có giá trị là: c) Biến đổi biểu thức: (