Tài liệu Chuyên đề Căn bậc ba

tai lieu, document1 of 66 CHUYÊN ĐỀ CĂN BẬC BA A.KIẾN THỨC TRỌNG TÂM a) Định nghĩa: Căn bậc ba số a, kí hiệu  Cho a  , a  x  x3   a 3 a , số x cho x  a a  Mỗi số thực a có bậc ba  Nếu a  a 0  Nếu a  a 0  Nếu a  a 0 b) Tính chất  a0 a  3b   ab  a b a 3a  b  0 b 3b c) Các phép biến đổi bậc ba  A B  A3 B  A3 B  A B  A 13  AB  B   B B   A3 B A2  AB  B  A  B A B Mở rộng: Căn bậc n a) Định nghĩa: Cho a   n  ; n  Căn bậc n a số mà lũy thừa bậc n a  Trường hợp n lẻ  n  2k  1; k    luan 1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   tai lieu, document2 of 66 Mỗi số thực a có bậc lẻ nhất: Nếu a  k 1 a 0 Nếu a  k 1 a 0 Nếu a  k 1 a 0 k 1 a  x  x k 1  a  Trường hợp 11 chẵn  n  2k ; k    Mỗi số thực a  có hai bậc chẵn đối Căn bậc chẵn dương kí hiệu 2k a (gọi bậc 2k số học a), bậc chẵn âm kí hiệu  2k a 2k a  x  x  x 2k  a  k a  x  x  x 2k  a Mọi số a  khơng có bậc chẵn b) Tính chất bậc n  n  ; n  2. n Am  nk Amk 1  A  0, k , m  *  A  mn A   A  0, m  , m   m n n AB  n A n B n A  B  A n m n n A B  3 A  0, B     A  0, B    n Am  5  A  0, m  *  Ứng dụng: - Công thức (1 ) dùng để hạ bậc thức quy đồng số thức - Công thức (2) dùng để khai thức - Công thức (3) dùng để khai tích, nhân thức số, để đưa thừa số vào dấu luan 2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   tai lieu, - Côngdocument3 thức (4) dùngofđể66 khai thương chia thức số, để khử mẫu biểu thức lấy - Công thức (5) dùng để nâng thức lên lũy thừa B.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA I.Dạng toán Ví dụ 1: Thực phép tính: a) 54 : 3 b)  37  37 Lời giải a) 54 :  54 :  27  b)  37  37  8   37  37   64  37  27  Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: a)  27  13 125 b) Lời giải a)  27  13 125  3   3   13 5    3  5   1  b)  125a3  64a3  5a  5a    4a   5a  5a  4a  5a  4a Ví dụ 3: Rút gọn luan 3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   125a3  64a3  5a tai lieu, document4 of 66 a) A  26  15  26  15 84 84  1 9 b) B   Lời giải a) Ta có: A   12  18  3   12  18  3 A 2  3 b) B     2   2 2  84 84  1 9 Áp dụng đẳng thức  a  b   a  b3  3ab  a  b  ta có: B3    84 84 84  84  1  3 1     B 3     B   3B  84  2B 81 B  B     B  1  B  B    mà B  B   Suy B  II.Dạng nâng cao phát triển tư Ví dụ 1: Hãy tính giá trị biểu thức: Q   x  x   2020 , biết: x  Lời giải Xét a   80   80     a   80   80  3  80  80 a  a  18  3 81  80.a  a  18  3a  a  3a  18   a  27  3a     a  3  a  3a     15  Ta có a  3a    a     nên a    a  2  luan 4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66     26  15  3  80   80 tai lieu, document5 of 66 Do x  x     3  18  12   3  2 2 3 32  2  3 3   43   1  Vậy Q     1  27  2020   1 2020 Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: Q  10 1   19  10  Lời giải Ta có Q  10   38  12 10      Q  10  5  Q 1  5     2 Q 18  20   1  1     1  Ví dụ 3: Tính giá trị biếu thức: T        1 4 Lời giải Đặt  a a  2; 4  a  2  a2  a  a2  Khi T      a   1 a  a2 a4  a2 1  1 a2  a2  1 T  a    0  a  a 1  a  a a Vậy T  luan 5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66     2 1 1 tai lieu, document6 of 66 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Cơ Bài Rút gọn biểu thức: a) 27  8  125 b) 1000  27  729 c) 48  135  384  40 Bài Tính: a) 3 16 b) 54 : 2 c)  37  37 d) 0,5 1, 25 Bài Rút gọn: a) c)  a  1   a  1 b) x3   x  x  1   x  1 a 1 a2  a  Bài So sánh: a) 3 b) 32 Bài Giải phương trình: a) 3x   b)  x   c)  2x   Nâng cao phát triển tư  x 1 x    x 1 1  Bài Cho biểu thức P      :   x     x  10  x   x  x   a) Rút gọn biếu thức P b) Tính giá trị P x  3 2 3 2  3 2 3 2 Bài Tính giá trị biểu thức a) B   x3  12 x   luan 2020 , biết x    1  6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66     1 16 10 tai lieu, document7 of 66 b b2 a3 b b2 a3 b) C  x3  ax  b, biết x         27 27 Bài Hãy tính giá trị biểu thức: P  x  x  với x  Bài Hãy tính giá trị biểu thức: T   x  x   Bài Cho x, y thỏa mãn x  2020 1  , biết x  3 1 17  38  14   52 y  y   y  y  Tính giá trị biểu thức: A  x  x3 y  x  xy  y   Bài Tính giá tri biểu thức P   x  x   , với x  2013   10  21   Bài Cho a  0; a  Rút gọn biểu thức:  a 1  S   20  14   a  3 a  3a  :   1 2 a   Bài Tính giá trị biểu thức: P  a  3a  biết: a  55  3024  55  3024 a  a  5a  HƯỚNG DẪN GIẢI Cơ Bài Rút gọn biểu thức: a) Biểu thức 27  8  125  33   2    5  3     5  6 b) Biểu thức 1000  27  729  103   3   9  3  10   3   9   22 luan 7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66    tai lieu, document8 of 66.3 3 48  135  384  40 c) Biểu thức  23.6  33.5  43.6  23.5   33     23 Bài Tính: a) Biểu thức 3 3 33 33     3 16 16 4 b) Biểu thức 54 : 2  c) Biểu thức  37  37  d) Biểu thức 0,5 1, 25 3 54  27  2 3 8   3  3   37  37  82  37  27  16 16  0,5.1, 25   10 10 Bài Rút gọn: a) Biểu thức b) Biểu thức c) Biểu thức  a  1   a  1  a   a   2a a 1  3 a  a 1 x3   x  x  1   x  1 3  x3  3x  3x    x  1   x  1 a  13   x  1 a  a 1    a 1 3  a2  a  a  a 1 3 a 1 3  x    x  1  Bài So sánh: 3 a) Ta có: 3   54  32 Nên 3  32 3 3 b) Ta có:   2744   3584 mà 2744  3584 Nên  Bài Giải phương trình: Chú ý: Khi giải phương trình, thức bậc ba khơng cần điều kiện biểu thức căn, cần ý đến điều kiện mẫu, bậc chẵn có luan 8. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   tai lieu, document9 of 66 3x    3x    x  a) Vậy nghiệm phương trình x  b)  x     x   27  x   x  13 Vậy nghiệm phương trình x  13 c)  x     x  2   x  8  2 x  12  x  Vậy nghiệm phương trình x  Nâng cao phát triển tư Bài Đặt x   a biểu thức P có dạng:  a a    3a  1  P :        a  a   a  3a a  a   a   a  3a   (a  3) P : a  a  3   a   a  P 3a  a  a  3a   a  :   a   a  a  a  3 P 3a  2a    a   a  a(a  3) 3(a  3) a (a  3) (3  a )(3  a ) 2(a  2) 3a P  a  2 P Vậy P  3 x   x 1  b) Ta có: x  x   1 1 Vậy P  luan      1 1  3    1  2 4  1 1       1   1 2  1  1   1  2 1  3 1  2.3 9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66    1 1 tai lieu, Bài document10 of 66 a) Xét x     1     3       x x   12 x  x  12 x   Vậy B  12020   b b b b3 b b b3 b2 a3   b b2 a3  b) Xét x         3          x  2 27 27 27   27   b2 b2 a3 x  b    x 4 27 x3  b  ax  x3  ax  b  Vậy C  Bài Ta có x  1  Xét x        3  1  1  1   1  x x  2  x  x  x   Vậy P  Bài Ta có x  x  5 x 5  30  12   96 5 52    52  3    52  52 3  52 54  3   Suy T       27  luan 2020   1 2020 1 10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 10 of 66    tai lieu, Bài document11 of 66    Xét x  y  y   y  y   3 y  y  y  y  x x3  y  3 y  y  1.x x  y  x  x  x  y   * Ta có A  x  x  xy  x3 y  xy  y  A  x  x3  3x  y   y  x3  3x  y   Kết hợp với (*) suy A  Bài  x Ta có x    1 3   3 1 20     1  1 1      1 2 1  1  3 1 52   54 52  x    x2  x    x2  x  Vậy P  1   2013  1 Bài Ta có  a 1  S     12  12  2  a a  3a  a  :   1           a  1 : S          a  1 a 1 S 3 3 a 1 2 S  422  Bài    Xét a  55  3024  55  3024  3 55  3024 55  3024 a a  110  3 3025  3024.a  a  3a  110  luan 11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 11 of 66   tai lieu,3 document12 of 66  a  125  3a  15    a    a  5a  25    a      a    a  5a  22    63  Nhận xét: a  5a  22   a     nên a    a  2  Từ suy P  53  3.5  112    4.5  5.5  48 C.TRẮC NGHIỆM RÈN PHẢN XẠ Câu Khẳng định sau đúng? A a = x  a = x B a = -x  a = -x C a = x  a = x D a = -x  a = x Câu Khẳng định sau đúng? A a = 2x  a = 2x B a = 2x  2a = x C a = 2x  a = 2x D a = 2x  a = 8x Câu Khẳng định sau đúng? B a > b  a < b C a ³ b  a = b A a > b  a > b D a < b  a > b Câu Khẳng định sau sai? A a b = ab B 3 a a = b b C ( ) a =a D a = a Câu Khẳng định sau đúng? A ab = a b B a b = a với b ¹ C b ( a) 3 = -a a < D 3 a b Câu Chọn khẳng định A 27 = B 27 = C Câu Đáp án B Ta có 27 = 33 = Câu Chọn khẳng định đúng, với a ¹ ta có: luan 12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 12 of 66   27 = -3 D 27 = -9 = a với b ¹ b tai lieu, document13 of 66 A - 1 = - B 2a 8a Câu Thu gọn A - 1 = 2a 8a C - 1 = 4a 8a D - 1 =- 8a 2a với a ¹ ta 27a 3a B Câu Rút gọn biểu thức A - 7a 24 B 4a C - 3a D - 8a -27 a + 64a - 1000a ta 512 5a 24 C 7a D 5a Câu 10 Rút gọn biểu thức 27a - 3 8a + 125a ta A 14a B 20a D -8a C 9a 3 Câu 11 Rút gọn biểu thức B = 17 + 38 - 17 - 38 ta A B C D Câu 12 Rút gọn biểu thức A = + + - ta được: B A = A A = D A = 27 C A = Câu 13 Cho A = 3 B = 25 Chọn khẳng định A A < B B A > B D A + B = C A ³ B Câu 14 Cho A = 3 B = 42 Chọn khẳng định A A < B Câu 15 Tìm x biết B A > B Câu 16 Tìm x biết A x < 30 D A + B = C x > -14 D x > -12 C x < -30 D x > 30 2x + > -3 B x < -14 A x = -14 C A ³ B - 2x > B x > -30 Câu 17 Tìm số nguyên nhỏ thỏa mãn bất phương trình A x = -31 B x = -30 Câu 18 Thu gọn biểu thức luan C x = -32 343a 3b ta được: -125 13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 13 of 66   3 - 2x £ 43 D x = -29 tai lieu, document14 of 66 2 A -7ab B 7ab -64a 5b Câu 19 Rút gọn biểu thức A 4ab ab D B -8ab D -4ab C 16ab 2x + = B C D Câu21 Kết luận nói nghiệm phương trình A Là số nguyên âm B Là phân số A Là số nguyên âm B Là phân số A C Là số vô tỉ B C B B A S = {1; -7} B S = {-1; 7} Câu 27 Thu gọn biểu thức A x A -4x D Là số nguyên x - + = x 3 D 12 - 2x + 23 + 2x = 11 D 19 x + + - x = C S = {7} C 2x D S = {-1} D -2x x - 3x + 3x - - 125x + 75x + 15x + ta B -6x C 4x HƯỚNG DẪN Câu Đáp án C 3 Với a ta có a = x  a = x luan x + 6x = x + x + 3x + 3x + - 8x + 12x + 6x + ta được: B -x Câu 28 Thu gọn biểu thức C - Câu 26 Tập nghiệm phương trình D C Câu 25 Tổng nghiệm phương trình A D Là số nguyên + x - x = là: Câu 24 Tổng nghiệm phương trình A 3x - = -2 C Là số vô tỉ Câu 22 Kết luận nói nghiệm phương trình Câu 23 Số nghiệm phương trình ab ta được: a 2b Câu 20 Số nghiệm phương trình A C - 14. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 14 of 66   D 6x tai lieu,3 document15 of 66 Và a = -x  a = (-x )  a = -x Câu Đáp án D 3 Với a ta có a = 2x  a = (2x )  a = 8x Câu Đáp án A 3 Với a, b ta có a > b  a > b Câu Đáp án D ab = a b Với b ¹ , ta có ( a) 3 3 a a = b b = a3 = a Câu Đáp án D a 42  54 > 42  > 42 hay A > B Câu 15 Đáp án C Ta có 2x + > -3  2x + > (-3)3  2x + > -27  2x > -28  x > -14 Câu 16 Đáp án C Ta có - 2x >  - 2x >  - 2x > 64  2x < -60  x < -30 Câu 17 Đáp án B Ta có 3 - 2x £  - 2x £ 43  - 2x £ 64  2x ³ -61  x ³ - Nên số nguyên Câu 18 Đáp án A nhỏ thỏa mãn bất phương 61 trình Ta có: ỉ 7ab ư÷ 7ab 343a 3b ữữ = = ỗỗỗ ỗố -5 ÷ø -125 Câu 19 Đáp án D Ta có -64a 5b a 2b = -64a 5b = -64a 3b = (-4ab)3 = -4ab 2 ab Câu 20 Đáp án C Ta có 2x + =  2x + = 33  2x + = 27  2x = 26  x = 13 Vậy phương trình cho có nghiệm x = 13 Câu 21 Đáp án A Ta có 3x - = -2  3x - = (-2)3  3x - = -8  3x = -6  x = -2 Vậy nghiệm phương trình số nguyên âm Câu 22 Đáp án B Ta có x + 6x = x +  x + 6x = (x + 2)3  x + 6x = x + 6x + 12x +  12x + =  x = Vậy nghiệm phương trình phân số Câu 23 Đáp án D luan 17. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 17 of 66   -30 tai lieu, document18 of 66 + x - x =  x + = x +  x + = (x + 5)3  (x + 5)3 - (x + 5) =  (x + 5) éê(x + 5)2 - 1ùú =  (x + 5)(x + - 1)(x + + 1) = ë û éx = -5 ê (x + 5)(x + 4)(x + 6) =  êêx = -4 ê êëx = -6 Vậy phương trình có ba nghiệm phân biệt Câu 24 Đáp án A Ta có x -2 +2 = x  x -2 = x -2  x - = (x - 2)3  (x - 2)3 - (x - 2) =  (x - 2) éê(x - 2)2 - 1ùú =  (x - 2)(x - - 1)(x - + 1) = ë û éx = ê  (x - 2)(x - 3)(x - 1) =  êêx = ê êëx = Vậy tổng nghiệm phương trình + + = Câu 12 Đáp án C Ta có 12 - 2x + 23 + 2x =  ( ( 12 - 2x + 23 + 2x + 23 + 2x = 125  12 - 2x + 3 (12 - 2x )(23 + 2x ) Mà 12 - 2x + 23 + 2x ) = 53 ) 12 - 2x + 23 + 2x = Nên ta có phương trình  3 (12 - 2x )(23 + 2x ).5 + 35 = 125  (12 - 2x )(23 + 2x ) =  (12 - 2x )(23 + 2x ) = 216  -4x - 22x + 60 =  2x + 11x - 30 =  2x - 4x + 15x - 30 =  2x (x - 2) + 15(x - 2) = éx = -152  (2x + 15)(x - 2) =  êê êëx = ỉ 15 -11 Nên tổng cỏc nghim ca phng trỡnh l + ỗỗỗ- ữữữ = è ÷ø Câu 26 Đáp án B luan 18. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 18 of 66   tai lieu, document19 of 66 Ta có: 3 x +1 + -x =  ( x +1 + -x  x + + - x + 3 (x + 1)(7 - x ) Mà ( ) = 23 ) x +1 + -x = x + + - x = nên ta có phương trình 3 (x + 1)(7 - x ).2 + =  (x + 1)(7 - x ) = éx + = éx = - (x + 1)(7 - x ) =  (x + 1)(7 - x ) =  êê  êê -x = êëx = ëê Tập nghiệm phương trình S = {-1;7} Câu 27 Đáp án B Ta có x + 3x + 3x + - 8x + 12x + 6x + = (x + 1)3 - (2x + 1)3 = x + - 2x - = -x Câu 28 Đáp án A x - 3x + 3x - - 125x + 75x + 15x + = (x - 1)3 - (5x + 1)3 = x + - 5x - = -4x - Toán Học Sơ Đồ - luan 19. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 19 of 66   ... thực a có bậc lẻ nhất: Nếu a  k 1 a 0 Nếu a  k 1 a 0 Nếu a  k 1 a 0 k 1 a  x  x k 1  a  Trường hợp 11 chẵn  n  2k ; k    Mỗi số thực a  có hai bậc chẵn đối Căn bậc chẵn dương... chẵn dương kí hiệu 2k a (gọi bậc 2k số học a), bậc chẵn âm kí hiệu  2k a 2k a  x  x  x 2k  a  k a  x  x  x 2k  a Mọi số a  khơng có bậc chẵn b) Tính chất bậc n  n  ; n  2. n Am... Nên  Bài Giải phương trình: Chú ý: Khi giải phương trình, thức bậc ba khơng cần điều kiện biểu thức căn, cần ý đến điều kiện mẫu, bậc chẵn có luan 8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van,