Tài liệu Chuyên đề: Ôn tập hàm phân thức pdf

Trang 1

Bài giảng số 17

HÀM SỐ PHÂN THỨC

Cấu trúc của bài giảng này tương tự như cấu trúc của bài giảng số 16 (hàm số đa thức)

§1 BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN VỚI HÀM SỐ PHÂN THỨC Kiến thức cơ bản xin xem trong tiết I — bài giảng số 16 Sau đây xét các dạng toán cơ bản

Loại 1: Tiếp tuyến tại một điểm cho trước trên đường cong Phương pháp giải như đã trình bày trong loại 1, §1 bai giang 16 Thí dụ 1: (Đề thi tuyến sinh Đại học khối D — 2007)

Cho đường cong y = 2x (C)

; x+] ; , ,

Tìm điểm M e (C) sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cat Ox, Oy tai A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 7 ở đây O là gốc toạ độ

Giải : 2Xọ ak Ray “va 2

Gọi MỊ xạ; e (€) là điểm cân tìm Ta có y (xo) =————

Xọ +1 (xo + 1)

Do đó phương trình tiếp tuyến với (C) tai M là:

2 — 2X9 = 2 (x—xp) @y=——- x (1) xo+l (xạ+]) (x¿+J“ (xạ+Ù 2x2 Từ (1) suy ra A =(-x0?; 0) va B | 0; 2 : (xo +1) 1 1 2 2x? xo

Ta co: SOAR = —OA.OB => | —Xo | —=———> (2)

2 2 (xo +1) (Xo +1

4

]

Từ (2) suy ra: Soag = 2 = + (3)

4 (xg+ 1’ 4 Giải (3) ta được xạ= l hoặc ae

Như vay M,(1; 1) và Mạ( ta :~2) là hai điểm cần tìm trên (C)

Trang 2

Thí dụ 2: (Dé thi tuyển sinh Đại học khối B — 2006)

2

` x" +x-] Á ` “sk k ne hk

Cho đường cong y = —_— x+ (C) Việt phương trình tiệp tuyên với (C) biết rằng tiếp tuyến vuông góc với tiệm cận xiên của (C)

Giải

Dễ thấy y = x- Ï là tiệm cận xiên của (C) (bạn đọc tự nghiệm lại)

Khi đó tiếp tuyến (đ) cần tìm do vng góc với tiệm cận xiên nên có hệ SỐ góc: bằng —1 Gọi xạ là hoành độ tiếp điểm, ta có:

Y{xe)=—l © "`

(xạ +2}

22

, 2 z z `

Ap dụng công thức y — yo = y (Xo)(x — xo) ta suy ra có hai tiếp tuyến cần tìm là: y = -x +2J2 —5 vay= -x—2/2~5

Thí dụ 3:

t2

Dé dang giải (1) va ta có: Xg =

2

Cho đường cong y = ——= (C) x-

Tim diém Me(C) dé tiép tuyén cat Ox, Oy tương ứng tai A, B sao cho OAB là tam giác vuông can

Goi M e (€) là điểm cần tìm

Dễ thấy tiếp tuyến với (C) tại M có đạng:

2 2

Xa+Xa+l Xa-2Xa=2

Se a = "0 “ oS (x—Xạ) (1)

oo! (x -1)

Bằng cách lần lượt cho y =0 (cho x=0) trong (1), ta đễ dàng suy ra:

Sapa

—X§ + 2Xạ +2 (xạ —1)

Tam giác OAB vuông cân khi và chỉ khi:

2% +2x, =1| _|2xj +2x, - || >0 @)

“42% +2) [ (=1 | 2+V6 5

OA =OB>0<

Giải (2) và thu được xạ =

Vậy trên (C) có hai điểm cần tìm là Mạ, M; với hoành độ tương ứng là

_ 2+6 2-6

»X2=

2 2

Trang 3

Thi du 4: Cho duong cong y = 2x

Viét phuong trinh tiếp tuyến với sO biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: y = 2x + 1 một góc 43°

Giai

Goi ay là hệ số góc của tiếp tuyến Vì tiếp tuyến tạo với d một góc 45° và do d có hệ số góc bằng 2, nên ta có: ay ~ 2 = a =— =-3 _2 l+2a , tt tan4509= |_Šu "ụ c© Ị 1+ 2a, ay — 2 =-[ au =F , 1+ 2a, ` ` a > Ã ok z ` 3

Gọi xo là hoành độ của tiếp điểm, ta có ay = y(Xo)= — [> >0

(xy +2)

, ] 3 1 Xo =] Ta coé a, = —3 bi loai, con ay= — <> == O

(xo + 2Ÿ 3 Xo = =-—5

Từ đó áp dụng cơng thức y ~ yạ = y’(Xo)(X — Xo) suy ra có hai tiếp tuyến cần

l 2 l 14

tim la: y= —x+— vay=—x+—

weg tg 27 xa

Chú ý: Ta đã sử dụng công thức quen biết sau: dị, d; là hai đường thắng có hệ số góc lần lượt là kị, k› Khi đó nếu gọi ơ là góc giữa dị và d; thì

—k, tanŒœ =i————<^-

1+k)k,

(dĩ nhiên không xét khi dị L d›)

Thi du 5: Cho duong cong y = SS (C) va M là một điểm bắt kì trên (C) Goi I la giao điểm của hai tiệm cận Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A, B

1/ Chứng mình M là trung điểm của AB 2/ Chứng mỉnh tiếp tuyến tại M khong di qua I

Giải

Giả sử M e (C) và có hồnh độ xạ ọ Ap dụng công thức viết phương trình tiếp tuyến ta có phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M là:

—] 3xe +l

Y=————z(xX~Xạ)+ x3 (1)

(xo ~3)

1/ Rõ rang x =3 va y= 3 lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của (C) Gọi A, B tương ứng là giao điểm của tiếp tuyến (1) với tiệm cận đứng và tiệm cận

2 5} B= (2xạ -3;3)

ngang Khi đó dễ thấy Aclaa + XQ

Trang 4

_ Tit dO: Xq + Xp = 2X = 2xm Mat khác A, M, B thắng hàng, nên M là trung

điểm của AB ;

2/ Dễ thây I(3; 3) Thay x =3 vào về phải của (1) ta có -(3- Xo) +1 _ 3x9 +2

(xo - 3 =3_ xạ-3

- Điều đó chứng tỏ rang I không vim trên tiếp tuyến (1) = đpcm Loại 2: Tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước trên đường cong:

Phương pháp giải như phương pháp sử dụng đối với loại 2, §1, bài giảng l6

VP= #3 với Vxạ#3

Thi dul:

x? -2x +] : L :

Cho đường cong (C): y = x2 và diém A(6; 4) Viét phuong trinh tiép tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến đi qua A

Giải

Tiếp tuyến với C di qua A có dạng: y = y=k(x—6)+ 4(vì x= 6 khơng thê là tiếp

x? —4x 43

(x-2)

Gọi xạ là hoành độ tiếp điểm, ta có hệ sau:

tuyến của (C)) Ta có: y'=

Xẫ—2Xa +ÌÏ "—

Xổ -4Xo T3 _y (2)

(x-2}

Thay (2) vào (1) rồi rút gọn (dé y rang cần có điều kiện xạ # 2), ta di đến:

2X¿ — 6xạ= 0 <© xạ= 0 hoặc xạ= 3

` 3 Lạy 3 1

+ Khi xạ=0, thì k 1 Tiếp tuyên là y 1 x 2 + Khi x¿= 3= k= 0 Tiếp tuyến là y = 4

Thí dụ 2: x+

Cho y = = (C) Tim các diem M trén dudng thang y = 2x+1, sao cho từ M vẽ được một tiếp "tuyến đến (C)

Giải

Goi M(a;2a +1) là điểm cần tìm Đường thắng đi qua M và là tiếp tuyến của (C) có dạng: y = k(x- ơ) + 2œ +]

Gọi xo là hoành độ tiếp điểm, ta có hệ sau: Xạ+3

=k(xp-a)+2a+1 (1)

Xạ —Ì

~4 = (2)

(Xo — 1)

Trang 5

0Xgˆ— 2xo(œ +2)+3aœ+2=0@) Bài toán trở thành tim a dé (3) có đúng một nghiệm khác ]

— Nếu ơ =0, thì (3) có dạng —4xọ + 2 = © xạ= 2

~ Nếu ơ # 0, thì (3) có duy nhất nghiệm và nghiệm này khác † khi: A'=0 L +a+2=0 ia > => #1 , œ+2 œ+2z#œ œ=2 œ

Nếu @ #0 thi (3) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 1 khi

A'>0 -œ?+œ+2>0

sa " ¬— ©ơ=l,

xo = l là một nghiệm của 2œ-2=0

Tom lai M,(0;1), Mo(—1; -1), M3(1;3), M4(2;5) là bốn điểm cần tìm Thi du 3:

2 x+I hoe

Cho đường cong y x+ 20 Tim trén true Oy các điểm có thê kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vng góc với nhau

Giải

Gia sử M(0;o) là điểm cần tìm Tiếp tuyến với (C) kẻ từ M có đạng: y = kxtơ (l) Gọi xọ là hoành độ tiếp điểm, có hệ sau:

2x2 +Xq +1 =kxy +0 (1) Xo +l

2

2x9 tê =k (2)

(xo +1)

Thay (2) vao (1) (voi điều kiện xạ 4-1) rồi rút gọn, ta có (œ + 1)xạ”+ 2(œ— l)xe+œơ—l1=0 (3)

Bài toán trở thành: Tim a dé (3) có hai nghiệm phân biệt tị, tạ # —1 thỏa mãn

điều kiện 2t +4t; 3: +4 _ (4) -(h+ŸW ‘(ty +1)"

Ta có (4) c A(tyty)? +8tyty (ty tte) + 16h =-I (8)

[ tity + (ty +t) +1]

Thay tị +tạ= 20 =8) tụ =o! vào (5) rồi rút gọn ta có:

+Ì a+]

a+ 6a-6=0 Sa=-34VI5 (6)

(Chú ý rằng khi thỏa mãn (6) thì œ+1 # 0, và A'=2(œ-1)>0)

Trang 6

§2 CUC TRI CUA HAM PHAN THUC

P(x)

Q(x)

2

L/ Với lớp hàm y= Ax +bxre (a#0,a` # 0) có cực đại, cực tiêu khi và chỉ

a -

Với lớp hàm phân thức y = ta luôn sử dụng hai kết quả sau:

'x+b'

+

khi phương trình y” = 0 có hai nghiệm phân biệt khác -— a

P(x), c6 cuc tri tal x = Xo khi do ta cd: y(xXg) = _ P(x) _ P'(%o) =

Q(x) 0 y( 0)

Xét các thí dụ sau: -

Thi du 1: (Dé thi (uyên sinh Dai hoc khôi A -2007) x?+ 2(m+l)x+ m? +4m

2/ Gia str y =

Cho ham sé y= (C,,) Tim m dé hàm số có cực

x+2

đại, cực tiểu cùng với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vng tại Ơ Đường cong (C„) có cực trị khi và chỉ khí phương trình

x? +4x—m? +4

2p =0 (1) có hai nghiệm phân biệt khác ~2 Điều này xảy x+2)

¬ aay, JA? 8 m2 >0

ra khi và chỉ khi: 3 > <= mF#0(2)

4—-8—-m* +420 m2 +0

Khi thỏa mãn (2), (C„) có cực trị tại hai điểm A(-2-m; -2); B(—2 + m; 4m-2) Vì thế OAB là tam giác vuông khi:

OA?+ OB?= AB? ©(2+m)ˆ+4+(m-— 2) + (4m - 2)’= (2m) + (4my

â>m+ Đm 8=0 m= -4+2J6 6 (3)

Rõ ràng (3) thỏa mãn (2), nên là các giá trị cần tìm của m Thi du 2: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B — 2005)

x?+(m+l)x+m+l

————— —— Chứng minh rằng Goi (Cm) là đồ thị của hàm số y =

` x+Ï

với m bất kì, đồ thị (Ca) ln ln có điểm cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng V20

Giải

2

Ta có y *= ` +x

(x +1)

và có bảng biến thiên sau:

Trang 7

Vay voi moi m, (Cin) !udn c6 cuc dai A(—2;m — 3) và cực tiểu tại B(0; m + 1) Tacé AB= V2? +4? =/20 => dpcm

Thi du 3: (Dé thi tuyén sinh Dai hoc khéi A — 2005)

* ` A : a A ] ` A ` + A , : ` 2

Goi (C,,) la d6 thi ham so y = mx +— Tim m dé ham số có cực trị và khoảng

x

, ` ok 4 » 4 on ˆ tA 2 * I

cách từ điềm cực tiêu của (C„) đền tiệm cận xién cua (C,,) bang ye Giai

>

mx* -1

Ta có y'= 0 © x2 =0

Vay (Cy) 66 cực trị khi và chỉ khi phvong trinh mx’-1=0 cé hai nghiém phan

biệt khác 0, tức là khi và chỉ khi m>0

Lúc đó ta có bảng biến thiên sau:

X œ tL 0 _ te m Vm y’ + 0 _ — 0 + +œ +00 os _——” "SỐ _—` £ ` Ao, sÃ T ge2 ]

Như thê m>0, hàm số có cực tiêu tại điểm A ——;2Vm

Jim

Dé thay A: y =mx <> mx—y=0 là tiệm cận xiên của (Cm) Từ đó:

| In -2/m

d(A,A)=—= oo + SB t= © m”-2m + I =0 m=]

v2 m? +] 42

Rõ ràng m = 1 thoả mãn điều kiện m> 0 nên là giá trị cần tìm của m Thí dụ 4:

2

¬-Ắ x“ +mx

Cho hàm số y = (Cm) Tìm m đề hàm số có cực đại, cực tiêu và khoảng cách giữa chúng bằng 10

, Giải

-x?+3x+m

Ta có y'= ( š Lập luận như các thí dụ trên ta thấy (Cm) có cực frị l—x

khí và chỉ khi m>—I (1)

Khi thoả mãn (1) thi (C,,) dat cyc tri tại xị, x;, ở đây xị và xạ là hai nghiệm

của phương trình: -x”+ 2x+m=0- ; (2)

Ap dung cơng thức tính giá trị cực đại và cực tiêu với hàm phân thức, ta có: yt = y(X1) = 2X) + M; Yo = y(X2) = 2x2+ m

Trang 8

Ta có :

AB = 10 (x.—x1)'+ (y2— yi) = 100

Thay vào (3) ta được 4m + 4= 20 © m = 4 (4) Rõ ràng (4) thỏa mãn (1), nên m = 4 là giá trị duy nhất cần tìm của m Thi du 5:

x? +(m+1)x—m-+41

Cho ham số y= (Cm) Tim m để (Cm) có cực đại, cực

x-m tiêu năm về cùng một phía của trục Ox

Giải

x?—2mx -(m? + 1)

(x-m)

Làm như các thí dụ trên, suy ra (C„) có cực đại, cực tiểu với mọi m Khi đó (Cm) đạt cực trị tai x), x2, trong d6 x), X; là các nghiệm của

x? — 2mx — (m? + 1)=0 (1)

Cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía của trục Ôx, nếu như: y(X1)- Y(X2) > 0 <> [2x1 + (m + 1)][2x.+ (m+ D)Ị>0 Ta có: y'= , <> 4xix¿ + 2(m + IXxi + x:) † (m + 1)>0 (2) Ap dụng định lí Viet, ta có xị + x:= 2m; xiX›= —m”—l m>-3+243 Thay vào (2) và có m”+ 6m - 3 >0 m<-3—24/3 Nhận xét:

1/ Nếu đòi hỏi cực đại, cực tiểu năm về hai phía của trục tung thì điều kiện là xị <0 <x¿

2/ Trong các thí dụ 3, 4, việc tính giá trị cực đại cực tiểu y(xị), y(¿) là khó khăn (khơng như các thí dy 1, 2) vi thé ta áp dụng công thức

—P(xụ) P (xo)

(80) = S65) Oey) đã trình bày ở phần mở đầu

Thí dụ 6:

` bas 2x?—3x+m , ho

Tìm m đề đường cong ÿ =———————————— (Cm) có cực đại, cực tiêu tại xị, X; SaO

x-m cho ly(x2)- y(x;)|> 16

Giải ca 2x” -4mx +2m

Ta có y =—— (x-m)

Dễ thấy (Cm) có cực trị tại xị, x› khi m<0 hoặc m>] (1)

Khi đó (Ca) đạt cực trị tại xị,X›, ở đây xị, xạ là hai nghiệm của phương trình

x”-2mx+m = 0 (2)

Trang 9

Ta có: |y(xị)— y(x;)|>16 < |4xị -3—4x¿ +3|>16 « |xị =x;| >4 > (X)~X2) >16 <> (xị+x;)“— 4x¡x;>l6 (3) Ap dụng định lí Viet với (2), ta có x¡†+xạ = 2m; X¡X› = m ” m<1l-—¥VJI7 Thay vao (3) va c6 m’— m —4>0 <> m>l +17

Rõ ràng (4) thỏa mãn (1), nên là các giá trị cần tìm của m

(4)

§3 BÀI TOÁN VỀ SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM PHÂN THỨC

Phương pháp giải như phương pháp đã sử dụng trong tiết §3 — bài giảng 16

Xét các thí dụ sau: - -

Thi du 1 (Dé thi tuyén sinh Dai hoc khối A — 2004) ~x? +3x-3

2(x — 1) tại hai điểm A, B sao cho AB = I

Cho đường cong y = (C„) Tìm m đề đường thắng y = m cắt (C) Giải

Trước hết tìm điều kiện để y =m và (C) cắt nhau tại hai điểm phân biệt Điều này xảy ra khi phương trình

-x? +3x-3

2(x-!) =m (l) có hai nghiệm phân biệt # 1 Ta thay

=x* +(2m— —2m=

6e J0) X +( m 3)x+3 2m=0 x#+l

Vậy dé y=m và (Cn) cắt nhau tại hai điểm phân biệt ta cần có m>Š ©> 4m” -4m -3>0> (2) tầm -4m~3>0 m<—— 2 f()=1z0

Khi thỏa man (2), y = m va (C,,) cắt nhau tại A, B có hồnh độ tương ứng là X1, X2, O day x1, Xz là hai nghiệm của phương trình:

x’ + (2m - 3)x + 3 - 2m = 0 @)

Vì A, B nằm trên đường thẳng y = m, nên

AB=1 © |x; —x¡|=l ©(Œ&›-x)=l© (x1 + x9)’ — 4x)x2 = 1

1+ J5

2

Dé thay (4) thỏa mãn (2), nên là các giá trị cần tìm của m

<©m°-m~-1=0<>m= (4)

Trang 10

Chú ý: Ta có bài tốn hoàn toàn tương tự (Đề rhỉ Đại học khối B—2009)

2

Tìm m để đường thắng y = —x + m và đường cong y = ` cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 4

Giải hoàn toàn tương tự Đáp số m = #246 , Thí dụ 2: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A -2003)

Cho đường cong y = — (Cm) Tim m để (C„) cắt trục hoành tại hai xX _

diém phân biệt có hồnh độ dương

(Cạ) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hồnh độ dương khi và chỉ khi phương trình:

2

mx” + os mo

có hai nghiệm phân biệt Điều này xây ra khi và chỉ khi

: A=l-4m? >0 P=l>0 -{ <-—<m<0 S=—>0 2 m 2m+lz0

C?ú ý: Bài toán tương tự (ĐỀ thủ tuyển sinh đại học khối D — 23) có dạng sau Tìm m để đường thắng y.= mx + 2 ~ 2m cắt đồ thịy -—- Xe tại hai điểm phân biệt

Với lời giải hoàn toàn tương tự, ta có đáp : số: m>] Thi du 3: (Dé thi tuyén sinh Dai hoc khối D — 2009)

2

Tìm m để đường thẳng y = -2x + m cắt đường cong y = xixnI (C) tại hai x

điểm phân biệt A, B sao cho trung điểm của AB nằm trên trục tung

Giải

Duang cong (Cm) và đường thang đã cho cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B

2

+X ca À sarge ` x txt +Xx—

điêu kiện cần và đủ là phương trình : -2x + m = xtx lu xX

,c -l ne em np te tm NA ee

Vi ~=— <0, nén vdi mọi m thì (2) ln có hai nghiệm phân biệt a

Đề trung điểm I của A, B năm trên trục tung cân có xị = 0 Ta có: Xa +X X,+X m~—Ì

~

=0 <©

Trang 11

Thi du 4:

2x? ~3x

Cho đường cong y =— xe (C) và đường thăng dạ: y = 2mx — m Tìm m để (C) và (dụ) cắt nhau tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh khác nhau của (C)

Giải

Ta nhận thay x =2 ›là tiệm cận đứng củ của (C) và (C) gồm hai nhánh, mỗi nhánh nằm về một phía của đường thang x =

Vì thế (C) và (d„) cắt nhau tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh khác nhau của (C) khi và chỉ khi phương trình

2x?—3x

x ~~ +

có hai nghiệm phân biệt xị, xa sao cho xị <2 < xã

Vì x =2 khơng phải là nghiệm của 2x”~ 3x, nên (1) <> 2x? - 3x = (x — 2)(2mx — m)

Bai toan tro thanh: Tim m dé (2) có hai nghiệm x), x» sao cho x)<2<x Diéu

này xây ra khi và chỉ khi:

=2mx—m — (]}- m—-1#0 msl A =17m? —-22m+9>0<9417m? —-22m+9>0 (x2 -2)(x, -2)<0 X}X2 —2(x, +xz)+4<0 m #1 =) m 5m-3 ©m>] +4<0 m-l m-!] Vậy m> I là các giá trị cân tìm của tham số m

Thí dụ 5Š:

Tìm m để cho đường thăng dạ: 2x + m cắt đỗ thị (C) y=-x+3+ tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB có độ dài nhỏ nhất

Giải , 3: Ta có: 2x+M=—N+3+—— (1) xX — x#] (2) - 2 {3x° +(m-6)x-m=0 (3)

Do A = m + 36 > 0 và VT ()#0 khi x= 1 Vm, nên với mọi m, đ„ và (C) cắt

nhau tại hai điểm phân biệt:

A(xi; 2xi + m) và B(x¿; 2x¿ + m)

Ta cé AB? = (xạ— xị)) + (2x¿— 2x1)? = S[(X + x;}? — 4xix;] = (36 + m?) (4)

Từ (4) suy ra AB nhỏ nhất khi m = 0

Trang 12

§4 BAI TOAN TIEM CAN VOI HAM PHAN THUC

Trong myc nay cần lưu ý hai điều sau đây:

1/ Nêu hàm phân thức khơng có tham sơ thì việc xác định các đường tiệm cận của các hàm số này là đơn giản, vì ta đã biết rõ quy tắc cách xác định các đường

tiệm cận của nó (xem sách giáo khoa Giải tích 12)

2/ Nếu hàm phân thức có tham số, thí du:

2x-2 mx? +2x-1

hay y=———————,

x—m x2

thì trước hết phải xem chúng có thỏa mãn điều kiện tử số và mẫu số có phải là khơng có nhân tử chung hay khơng Rồi sau đó mới xem đến ứng với các giá trị đó thì phân thức có dạng gì, từ đó xác định đường tiệm cận của chúng theo các quy tắc đã học

Thí dụ 1: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối 4 — 2008)

mx + am” _ 2)x —2

y=

Cho đường cong y =

„ x+3m ` 0

Tim m đề góc giữa hai đường tiệm cận băng 45” Giải

6m —2

Viết lại (C) dưới dạng: y =mxT—2+ ‹ x+3m (1)

Từ (1) suy ra cân xét các khả năng sau:

- Nếu m = : khi do ti (1) có y = ax-2 vot x # 1 Truong hgp nay (C) khơng có tiệm cận

2/m# ; khi đó từ (1) suy ra: "

+ (C) có tiệm cận đứng x =-3m

+ (€) có tiệm cận xiên y = mx—2 (khi m = 0, thì có tiệm cận ngang y = —2) Đoạn thang x = —3m vng góc với trục hoành, nên y = mx-2 tạo với tiệm

cận đứng một góc 45” khi và chỉ khi nó tạo với chiều đương của trục hoành một

¬= 01 + Ð 22 asdas m = tan 45°

goc bang 45° hoặc 135, tức là khi ome=tl m = tan135°

Thi du 2:

` 2x° -3x+m ` LÔ QIA mn ;

Cho đường cong y==——————— (Cu) Tìm các tiệm cận của (C„) khi m x—m

thay đổi

Giải

2 —

Viết lại (C„) đưới đạng: y =2x + 2m —3 + +m -zm (1) x—m

Trang 13

1/ Nếu m =0, thì y= 2x — 3 với x #0 (Co) không có tiệm cận 2/ Néu m = 1, thi y = 2x— 1, voix #1 (C)) khong có tiệm cận

3/ Néu m 40, m # I, thì (Cạ„) có tiệm cận đứng x = m và tiệm cận xiên y=2x+2m-3

Thi du 3:

2x? +mx—2 vo ta bea

Cho y =————T— (Cm) Tìm m đề tiệm cận xiên của (C) tạo với hệ trục

xX —

tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4 Ta có: (Cm): Y = 2x+m+2+ TT (1) x-1

Vay tir (1) suy ra (C,,) có tiệm cận xiên y = 2x + m + 2 khi m # 0 Tiệm cận

—m — 2

xiên nay cắt trục hoành tại al 0) va truc tung tai (0; m+2) Vi thé:

Soap =4< <~OA.OB =4 â.|m+2|=4ôâ|m+2|=4<ââ

2 2 m =~6

Thí dụ 4:

x?+2x~2 a:

Cho duong cong y = x1 (C) Tim diém M e (C) sao cho khoảng

cách từ M đến giao điểm hai đường tiệm cận là nhỏ nhất

Dé thay x = 1 va y = x+3 tương ứng là tiệm cận đứng và tiệm cận xiên, do đó I(1;4) là giao điểm của hai đường tiệm cận

Điểm M [asx +3+ ch] c(€) nên

X— 2 (x1)? +{x-14-4) = [212 +42, voit=x-1 x-] t Tu do taco MI > ¥24+2V2 ge ps gf | Vậy MI nhận giá trị nhỏ nhật = 42 + 242 © 21 =-> 2 ox-l=t | ©x=l+ [+ “V2 ~VV2-

Vì thê trên (C) có hai điểm cân tim voi hoanh dé x = 143 Si"

Trang 14

BAI TAP TU GIAI 2

Choy = so, Tim M e(€) sao cho tiếp tuyến tại M ¡ vuông goc voi đường thăng qua M và tâm đối xứng của (C)

Dap số: Mq, M; e (C) với hoành độ tương ứng xp= 1+ fg va X= 1 - 4fg

Bai 2:

= HN (C) và điểm A(0; 1) Viết phương trình tiếp Xx

tuyén voi (C), biét rang tiép tuyén di qua A Dap so: y =~ 2x+ 1 vay =—-18x+ 1

2x? -x4]

Bai 3: Cho y = on (C)

2/ Chung minh rang trén đường thăng y =7 có bốn điểm sao cho từ mỗi điểm trên đó, có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến lập với nhau g góc 45”

Bai 4:

x? +X+m

Cho ¬ (Cy) Tim m để hàm số có hai cực trị năm về hai phía đôi

-_ X+

Cho đường cong y=

với trục Ôy Đứp số: m>] Bài 5:

2

xˆ+2mx+2 ` 2 , so“ , we

Cho y = Sy (Cy) Tim m dé (C,,) co cue tri va khoang cach từ hai x+

điểm cực trị đến đường thắng x + y + 2 = 0 là bằng nhau |

Dg áp số: m= 5 =— Bai 6:

2

` Ậ ` š ke 4h ah: x° +4x4]

Tìm m đê đường thăng (d„): y = mx + 2 — m cắt đồ thị (C): y = x+ tại hai điểm phân biệt thuộc củng một nhánh của (C)

og 3,

Đáp so: m < 2 và m # Il Bai 7:

mx? +2mx -1 2

Cho y=————————— (C„) Tìm m để (C„) có tiệm cận xiên và khoảng x-2

cách từ A|-4: Jm j đến nó là lớn nhất Dap s6: m= +1,

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	377,03 KB