Ung dung cua dinh ly ptoleme mo rong

Ứng dụng định lý Ptoleme mở rộng Ứng dụng định lý Ptoleme mở rộng Trong viết này, không đề cập đến ứng dụng trực tiếp định lý Ptoleme, tức trường hợp đặc biệt bất đẳng thức Ptoleme, việc giải tốn hình học, bao gồm việc chứng minh đẳng thức hình học, đặc tính hình học, tốn tính tốn Tất tốn dạng đưa vào phần tập Dưới đây, xin nêu ứng dụng định lý Ptolememở rộng (định lý Casey) việc chứng minh số định lý hình học Định lý Cho hai đường trịn (O1), (O2) tiếp xúc ngồi I tiếp xúc với đường tròn (O) Một tiếp tuyến chung (O 1) (O2) cắt O B C, tiếp tuyến chung chúng cắt (O) điểm A phía với I Khi I tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh Giả sử BC tiếp xúc (O1) X (O2) Y AI cắt BC D Đặt BC = a, CA = b, AB = c, BX = x, CY = y, AI = z , DX = DI = DY = u Áp dụng định lý Ptoleme mở rộng (GPT) cho đường tròn (A, (O 1), B, C) (A, (O2), C, B) ta có Trừ hai đẳng thức cho nhau, ta bx – cy = u ( c − b ) , từ ( x + u) ( y + u) = c BD AB = , tức , suy b CD AC ac u , suy AD phân giác góc A BD = b + c Mặt khác, cộng hai đẳng thức này, ta az = ( ) b+c z b+c AI BA = = tức , suy BI phân giác góc B Định lý chứng minh u a ID BD Chứng minh Bổ đề: Cho BC dây cung đường tròn (O), S1, S2 hai cung (O) tạo BC Gọi M trung điểm S2 xét tất đường tròn (V) tiếp xúc với S BC Khi độ dài tiếp tuyến tMV từ M đến (V) không phụ thuộc vào vị trí V Chứng minh bổ đề Giả sử (V) tiếp xúc (O) R BC S Áp dụng GPT cho đường trịn (B, (V), C, M) ta có BS.CM + CS.BM = tMV.BC Vì CM = BM nên từ ta suy tMV = BM (không đổi) Chứng minh định lý Gọi M trung điểm cung BC không chứa A Áp dụng bổ đề, ta có t MO1 = MB = MI = MC = tMO2 Từ suy M nằm trục đẳng phương hai đường tròn (O 1), (O2), tức AI Điều có nghĩa AI phân giác góc A Định lý Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Đường tròn (C) tiếp xúc với dây cung BC D cạnh AB, AC tương ứng P Q Khi trung điểm PQ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh.Áp dụng GPT cho cặp đường tròn (A, B, (C), C) Đặt AP = AQ = x ta có t AB = c, t A(C ) = AP = x, t AC = b, t B ( C ) = BP = c − x, t BC = a, t ( C ) C = BQ = b – x Định lý GPT cho ta c ( b − x ) + b ( c − x ) = ax , từ x = bc , p = p ( a + b + c) nửa chu vi tam  A  A giác Gọi I trung điểm PQ IP = x sin  ÷ khoảng cách từ I đến AB IP cos  ÷và 2 2 1  ÷bc.sinA S  bc  sin  A  cos  A  =   = = r Suy I tâm đường trịn nội tiếp tam giác  ÷  ÷  ÷ p p 2  p 2 Rất thú vị sử dụng GPT, ta tìm cách chứng minh ngắn gọn cho kết kinh điển, viên ngọc hình học sơ cấp, định lý Feuerbach Định lý Feuerbach Đường tròn nội tiếp đường tròn điểm Euler tiếp xúc với Chứng minh.Gọi D, E, F trung điểm cạnh BC, CA, AB tương ứng (I) đường tròn nội tiếp tam giác Gọi a, b, c độ dài cạnh, p nửa chu vi Xét bốn (D, E, F, (I)), ta có t DE = a b c , t EF = , t FD = 2 tD ( I ) = a – ( p − b) = b−c c−a a −b , tE ( I ) = , tF ( I ) = 2 Để áp dụng định lý GPT đảo, ta cần kiểm tra xem có đẳng thức dạng       ± a ( b − c ) ± b ( c − a ) ± c ( a − b ) = hay không Nhưng điều hiển nhiên Mở rộng định lý Ptoleme bất đẳng thức Ptoleme Định lý Ptoleme bất đẳng thức Ptoleme có nhiều hướng mở rộng khác Thậm chí từ bất đẳng thức Ptoleme, phát sinh hẳn khái niệm gọi không gian metric Ptoleme, đồ thị Ptoleme … Dưới đây, xem xét số mở rộng định lý Ptoleme (và bất đẳng thức Ptoleme) Định lý Bretschneider Cho tứ giác ABCD có độ dài cạnh AB, BC, CD, DA a, b, c, d độ dài hai đường chéo AC, BD m, n Khi ta có m2n2 = a2c2 + b2d2 – 2abcd.cos(A+C) Rõ ràng định lý Ptoleme bất đẳng thức Ptoleme hệ định lý Bretschneider Ta xem xét chứng minh kết · · Trên cạnh AB phía ngồi dựng tam giác AKB đồng dạng với tam giác ACD, BAK , = DCA ·ABK = CAD · · · , cạnh AD dựng tam giác AMD đồng dạng tam giác ABC, DAM , = BCA ·ADM = CAB · Từ tam giác đồng dạng ta suy AK = ac bd ad , AM = , KB = DM = m m m · · · · · Ngoài ra, KBD + MDB = CAD + ·ABD + BDA + CAB = 1800 , nghĩa tứ giác KBDM hình bình · µ Áp dụng định lý hàm số cos cho tam giác hành Nghĩa KM = BD = n Nhưng KAM = µA + C KAM, ta có  m n = a c + b d – 2abcd cos ( A + Cđpcm )  ( )     Định lý Casey (định lý Ptoleme mở rộng) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (C) Bốn đường tròn , , ,  tiếp xúc với (C) A, B, C, D Gọi t độ dài đoạn tiếp tuyến chung, t  độ dài đoạn tiếp tuyến chung ,  tiếp xúc tiếp xúc với (C) t  độ dài đoạn tiếp tuyến chung trong trường hợp ngược lại Các đại lượng t , t … định nghĩa tương tự Khi ta có t.t + t.t = t.t (9) Ta chứng minh cho trường hợp , , ,  tiếp xúc với (C) Các trường hợp khác chứng minh tương tự Gọi R bán kính đường trịn (C), x, y, z, t bán kính đường trịn , , ,  Đặt a = AB, b = BC , c = CD, d = DA, m = AC , n = BD.  Ta tính t theo R, x, y a Gọi X, Y tâm ,  ta có, theo định lý Pythagore (tab )2 = XY − ( x − y) Mặt khác, theo định lý hàm số cos XY = = 2R = ( R + x) + ( R + y ) + 2R ( x + y ) + x2 + ( x − y) 2 – ( R + x ) ( R + y ) cos ( XOY ) y – ( R + R ( x + y ) + xy ) ( – a / R )   + a2 ( R + x ) ( R + y ) / R2 Từ Tương tự với đại lượng t, t … Thay vào (9) ta thấy định lý Casey suy từ định lý Ptoleme, cụ thể từ đẳng thức a.c + b.d = m.n Ngược lại, định lý Ptolemechính trường hợp đặc biệt định lý Casey, x = y = z = t = Định lý Casey phát biểu cách khác, sau: Các đường tròn A, B, C, D tiếp xúc với đường tròn (O); a, b, c, d, x, y độ dài tiếp tuyến chung cặp đường tròn A B, B C, C D, D A, A C B D tương ứng Khi x.y = a.c + b.d Chú ý ta lấy độ dài tiếp tuyến chung hay tiếp tuyến chung theo nguyên tắc đề cập Cuối cùng, điểm coi đường trịn bán kính tiếp tuyến hai « đường trịn điểm » đường thẳng qua chúng Điều dùng đến phần ứng dụng định lý Casey Định lý Ptoleme tứ giác điều hoà Tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn gọi tứ giác điều hồ tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp A C cắt điểm nằm BD, ngược lại, tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp điểm B D cắt điểm nằm AC Ngồi ra, có định nghĩa gọn gàng cho tứ giác điều hoà, nhờ vào tính chất sau: Định lý: Tứ giác ABCD tứ giác điều hoà AB.CD = AD.BC Chứng minh Phần thuận Giả sử tiếp tuyến đường tròn A C cắt P nằm BD Hai tam giác ABP DAP đồng dạng, suy AB DA = BP AP AB BP ⇒  = AD AP Tương tự hai tam giác CBP DCP đồng dạng, suy CB DC = BP CP DC CP ⇒ = BC BP Từ suy AB.CD = AP = CP AD.BC Phần đảo Phần đảo chứng minh sử dụng phần thuận tính chất: Với điểm A, B, C đường trịn tồn điểm cho AB.CD = BC AD Tứ giác điều hoà có nhiều tính chất thú vị, khái niệm liên quan mật thiết đến khái niệm cực, đối cực Tuy nhiên, viết không sâu tính chất khác tứ giác điều hồ mà nói đến việc ứng dụng định lý Ptolemevào tứ giác điều hồ để thu tính chất thú vị tứ giác điều hoà, xem xét số ứng dụng tính chất Tính chất Nếu ABCD tứ giác điều hồ AC.BD = AB.CD Chứng minh Điều hiển nhiên định lý định lý Ptoleme Sau tốn áp dụng Ví dụ Cho tam giác ABC có đường trịn nội tiếp (I) tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB D, E, F BE, CF cắt (I) điểm thứ hai M, N tương ứng Chứng minh EF MN = 3.MF NE Giải: Áp dụng định lý Ptolemecho tứ giác EFMN ta EF MN + EN MF = NF ME Như điều cần chứng minh tương đương với NF ME = 4.NE.MF Ta có DNEF tứ giác điều hồ nên theo tính chất NF.DE = 2.FD.NE Tương tự, DMEF tứ giác điều hoà nên ME.FD = 2.MF.DE Nhân đẳng thức vế theo vế giản ước cho DE.FD hai vế, ta NF.ME = 4.NE.MF điều cần chứng minh Cuối cùng, ta chứng minh tính chất thú vị tứ giác điều hồ, dựa vào tính chất nói Định lý Cho tứ giác điều hồ ABCD Gọi H trung điểm AC K trung điểm BD Khi HB + HD = KA + KC Chứng minh Do AC.BD = 2.AB.CD nên ta có AH.BD = AB.CD, từ AH DC = AB DB Từ suy tam giác AHB DCB đồng dạng với tỷ số AB/DB Suy  HB = AB.BC BD Tương tự HD = AD.DC BD + AD.DC ) BD AB.BC sin ( ABC ) + AD.DC.sin( ADC ) Suy = BD sin( ABC ) 4.R.S ABCD = AC.BD HB + HD = ( AB.BC Cơng thức hồn tồn đối xứng A, B, C, D ta thu cơng thức tương tự tính KA + KC Suy HB + HD = KA + KC Ghi Cũng từ chứng minh trên, ta suy tính chất đặc trưng khác tứ giác điều hồ sau Tính chất Nếu ABCD tứ giác điều hồ đường chéo BD đường đối trung tam giác BAC DAC, đường chéo AC đường đối trung tam giác ABD, CBD Ứng dụng “khơng hình học” bất đẳng thức Ptoleme Chúng ta đề cập đến ứng dụng định lý Ptoleme, bất đẳng thức Ptoleme lĩnh vực tốn học khác, có lượng giác, giải tích, lý thuyết đồ thị Bảng độ dài dây cung Ptoleme Ptoleme người lập bảng hàm số lượng giác góc Thực ra, Ptoleme lập bảng độ dài dây cung ứng với góc tâm Tuy nhiên, hiểu bảng hồn tồn tương đương với bảng hàm lượng giác Trên ngôn ngữ đại, hiểu ý tưởng Ptoleme sau: Dùng định lý Ptoleme, ơng tìm cơng thức tương đương với công thức lượng giác quen thuộc: sin(-) = sin.cos - sin.cos Như thế, biết hàm lượng giác 720 600 tìm hàm lượng giác 120 Ptoleme lại tìm cơng thức tính độ dài dây cung góc chia đơi (tương ứng với công thức sin2(/2) = (1-cos)/2 Từ đây, lại tìm hàm lượng giác góc 0, 30, 1.50, … Sau đó, Ptoleme dùng cơng thức hiệu để lập bảng dây cung, tương ứng với bảng hàm lượng giác góc Bạn đọc xem chi tiết lập luận Ptoleme [11] Không gian metric Ptoleme Bất đẳng thức Ptoleme không gian Euclid chiều dẫn đến khái niệm quan trọng khái niệm không gian metric Ptoleme Nhắc lại, không gian metric (X, d) X tập hợp cịn d ánh xạ từ X  X vào R+ (tập hợp số thực không âm), thoả mãn tính chất sau a b d(x, y)  với x, y thuộc X d(x, y) = x = y c d(x, y) = d(y, x) với x, y thuộc X d d(x, z)  d(x, y) + d(y, z) với x, y, z thuộc X Không gian metric (X, d) gọi không gian metric Ptolely với bốn điểm x, y, z, t ta có bất đẳng thức Ptoleme d ( x, y ) d ( z , t ) + d ( x, t ) d ( y, z ) ≥ d ( x, z ) d ( y , t )   Đồ thị Ptoleme Tương tự, ta có khái niệm đồ thị Ptoleme : Đồ thị liên thông G gọi đồ thị Ptoleme với điểm A1, A2, A3, A4 ta có       d12 d34 + d14 d 23 ≥ d13 d 24 dij khoảng cách Ai Aj, nghĩa độ dài đường ngắn từ Ai đến Aj Những đối tượng có tính chất quan trọng nhiều nhà tốn học quan tâm nghiên cứu Bài tập có giải Bài tốn 1: Cho tam giác có cạnh Trên lấy điểm di động, tia đối tia lấy điểm di động cho Gọi giao điểm Chứng minh rằng: ( Đề thi vào trường THPT chun Lê Q Đơn, thị xã Đông Hà, tỉnh Quảng Trị, năm học 2005-2006) Chứng minh: Từ giả thiết Xét suy có: Lại có Từ: Suy tứ giác nội tiếp đường trịn Áp dụng định lí Ptơ-lê-mê cho tứ giác nội tiếp giả thiết (đpcm) ta có: Đây toán dễ tất nhiên cách giải ko đơn giản lắm.Vì muốn sử dụng đẳng thức Ptơ-lê-mê kì thi có lẽ phải chứng minh dạng bổ đề Nhưng điều ý ta chẳng cần phải suy nghĩ nhiều dùng cách dùng cách khác lời giải có lại ko mang vẻ tường minh Bài tốn 2: Tam giác vng có Gọi điểm cạnh điểm cạnh kéo dài phía điểm cho Gọi điểm cạnh cho nằm đường tròn giao điểm thứ hai với đường tròn ngoại tiếp Chứng minh rằng: (Đề thi chọn đội tuyển Hồng Kông tham dự IMO 2000, HongKong TST 2000) Chứng minh: Xét tứ giác nội tiếp ta có: (cùng chắn cung trịn) Mặt khác Xét (do có: ) (do ) Áp dụng định lí Ptơ-lê-mê cho tứ giác nội tiếp Từ ta có: suy ra: (đpcm) Có thể thấy tư tưởng đơn giản để ta xây dựng cách giải Tức dựa vào đại lượng tam giác theo giả thiết ta sử dụng tam giác đồng dạng để suy tỉ số liên quan sử dụng phép để suy điều phải chứng minh Cách làm tỏ hiệu Đây có lẽ lời giải ngắn ấn tượng này.Chỉ cần qua vài trình tìm kiếm cặp tam giác đồng dạng ta dễ dàng đến kết luận toán Tư tưởng ban đầu làm tốn dựa vào lí thuyết đường trịn hai dây căng hai cung Do có liên quan đến đại lượng tứ giác nội tiếp nên việc chứng minh dễ dàng Bài toán 2: Cho tam giác ABC có I tâm đường trịn nội tiếp, O tâm đường tròn ngoại tiếp trọng tâm G Giả sử Kéo dài cắt Ta có: Do Khi Chứng minh song song với điểm cung Lại có : suy sđ cung Từ Áp dụng định lí Ptơ-lê-mê cho tứ giác nội tiếp ta có: Từ Áp dụng tính chất đường phân giác tam giác (5) ta có: Vậy Mặt khác G trọng tâm tam giác suy (không chứa ) Từ Suy IG đường trung bình tam giác hay song song với Đây toán hay THCS với cách làm "ngắn gọn" ta phần hình dung vẻ đẹp định lí Bài tốn 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), CM trung tuyến Các tiếp tuyến A B (O) cắt D Chứng minh rằng: Chứng minh: Gọi N giao điểm CD với (O) Xét tam giác DNB DBC có: chung Tương tự ta có : Mà nên từ Áp dụng định lí Ptơ-lê-mê cho tứ giác nội tiếp Từ (3) giả thiết ta có: Xét có: Vậy tốn chứng minh Cơ sở để ta giải toán dạng tạo tứ giác nội tiếp để áp dụng định lí sau sử dụng lí thuyết đồng dạng để tìm mối quan hệ đại lượng Đây lối suy biến ngược hình học 3, Chứng minh đẳng thức hình học: Bài tốn 1: Giả sử Chứng minh rằng: điểm nằm cho Chứng minh: Lấy điểm K đường thẳng BN cho Mặt khác dễ thấy , lúc , từ dẫn đến Cũng từ ta có: suy tứ giác nội tiếp đường trịn Áp dụng định lí Ptơ-lê-mê cho tứ giác Nhưng từ : Nên ta có đẳng thức (3) suy ra: ta có: Đây toán cổ điển IMO Shortlist Ta giải tốn theo hướng khác dài phức tạp sử dụng bổ đề: Nếu M,N điểm thuộc cạnh BC cho Đây bổ đề mà bạn nên ghi nhớ Bài toán 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Chứng minh rằng: Chứng minh: Lấy E F thuộc đường trịn cho: Khi đó: Áp dụng định lí Ptô-lê-mê cho hai tứ giác nội tiếp AECD BCDF ta có: Mặt khác: Do đó: Suy ra: Từ (1), (2), (3) ta có điều phải chứng minh Bài tốn 3: Cho tam giác ABC với BE, CF đường phân giác Các tia EF, FE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác theo thứ tự M N Chứng minh rằng: Chứng minh: Đặt Áp dụng định lí Ptơ-lê-mê cho hai tứ giác nội tiếp ta có: Từ (1) (2) ta được: Mặt khác ta lại có: Tương tự : Từ (4), (5) tính chất đường phân giác ta có: Chứng minh tương tự ta được: Từ (3), (6), (7) ta có điều phải chứng minh Có thể dễ dàng nhận nét tương đồng cách giải tốn vận dụng cách vẻ hình phụ tạo cặp góc cặp góc cho sẵn từ tìm biểu diễn liên quan Một đường lối hay sử dụng toán dạng 4, Chứng minh bất đẳng thức giải toán cực trị hình học: Bài tốn 1: (Thi HSG vùng Mĩ, năm 1987) Cho tứ giác nội tiếp có cạnh liên tiếp minh rằng: đường chéo Chứng Chứng minh: Áp dụng định lí Ptơ-lê-mê cho tứ giác nội tiếp Vậy ta cần chứng minh Bất đẳng thức bất đẳng thức quen thuộc mà có lẽ biết bất đẳng thức Bunhiacopxki-BCS Vậy toán chứng minh Một lời giải đẹp vơ gọn nhẹ cho tốn tưởng chừng khó Ý tưởng đưa bất đẳng thức cần chứng minh dạng đơn giản đại số Thật thú vị bất đẳng thức lại BCS Bài tốn 2: Cho lục giác lồi ABCDEF thỏa mãn điều kiện Chứng minh rằng: Chứng minh: Đặt Tương tự ta có: Từ suy Áp dụng định lí Ptơ-lê-mê mở rộng cho tứ giác Vì nên suy ra: ta có: Bất đẳng thức qui dạng tắc SOS : Dễ thấy: Như , đánh giá tương tự ta dễ dàng thu kết Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy Tức ABCDEF lục giác nội tiếp Bài toán 3: Cho lục giác lồi ABCDEF thỏa mãn điều kiện cạnh Chứng minh rằng: tổng độ dài ba Lời giải: Ta chuyển việc chứng minh bất đẳng thức chứng minh bất đẳng thức sau: Bằng cách sử dụng phương pháp hệ số bất định ta dễ dàng tìm bất đẳng thức phụ đúng: Tương tự với phân thức cịn lại ta có điều phải chứng minh Khi định hướng giải hẳn bạn liên tưởng đến SOS thật ko cần thiết tốn làm phức hóa tốn Dùng phương pháp hệ số bất định giúp ta tìm lời giải ngắn đẹp Thực cách làm toán đơn giản xuất phát điểm dạng chuẩn bất đẳng thức Nesbit quen thuộc dễ dàng thay đổi giả thiết để biến đổi toán Mà cách thay đổi điều kiện bước chuẩn hóa chứng minh bất đẳng thức đại số Nói chung dùng để đồng bậc bất đẳng thức Với tư tưởng ta hồn tồn xây dựng kết mạnh thú vị qua vài phương pháp SOS, hệ số bất định, dồn biến chuẩn hóa Đặc biệt sau chuẩn hóa ta dùng phương pháp cịn lại để chứng minh Bài tốn 4:: Cho đường trịn cung lớn cho dây cung khác đường kính đường trịn Tìm điểm lớn thuộc Lời giải: Gọi D điểm cung nhỏ BC Đặt khơng đổi Theo định lí Ptơ-lê-mê ta có: Do ko đổi nên lớn xứng qua tâm đường tròn Định lý.Chứng minh ABCD tứ giác nội tiếp AB.CD + AD.BC= AC.BD ¼ ≥¼ Chứng minh Giả sử DBC ABD ¼ =¼ Lấy điểm M đoạn AC thỏa mãn MBC ABD lớn điểm đối Vì VABC : VDBC ( g − g ) nên AB.CD = BD.AM Tương tự AD.BC = BD.CM Suy AB.CD + AD.BC = BD(AM + CM) = AC.BD (dpcm) Ứng dụng Bài tốn 5: Cho hình vng ABCD nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R P điểm nằm cung nhỏ CD (O) Chứng minh PA + PC = 2PB Lời giải Vì ABCD hình vng nội tiếp đường trịn (O;R) nên AB = BC = R , AC = 2R Áp dụng định lý Ptôlêmê cho tứ giác ABCP ta AB.CP + AP.BC = AC.BP Từ suy đpcm Bài tốn 6: Cho hình bình hành ABCD Một đường tròn qua A cắt đường thẳng AB, AC, AD điểm thứ hai khác A P, Q, R Chứng minh AB.AP + AD.AR = AQ.AC Lời giải ¼ = RPQ ¼ BAC ¼ = PRQ ¼ Vì ¼ nên VABC : VRQP( g − g ) ACB = CAD Suy AB BC AC = = (đặt t) RQ QP RP Khi RQ = AB BC AC , QP = , RP = t t t Từ suy đpcm Bài toán 7: Cho VABC nhọn nội tiếp đường trịn tâm O, bán kính R ngoại tiếp đường trịn tâm I, bán kính r Gọi x; y; z khoảng cách từ O đến BC; CA; AB Chứng minh x + y + z = R + r Lời giải Đặt BC = a, CA = b; AB = c cy bz aR a = = (vì NP = ) 2 2 ⇔ cy + bz = aR; bx + ay = cR Áp dụng định lý Ptôlêmê cho tứ giác ANOP ta Suy a ( y + z ) + b( z + x) + c ( x + y ) = R(a + b + c) Mà ax+by+cz = 2S ABC = (a + b + c)r Nên cộng theo vế hai đẳng thức chia hai vế cho (a + b + c) suy đpcm Bài tốn 8: Cho đường trịn (O) dây BC cố định (khác đường kính) Xác định vị trí điểm A cung lớn BC cho AB + AC lớn Lời giải Gọi D trung điểm cung nhỏ BC Áp dụng định lý Ptôlêmê cho tứ giác ABDC ta AB.DC + AC.BD = AD.BC ⇔ DC ( AB + AC ) = AD.BC (vì BD = DC ) Vì DC BC cố định nên AB +AC lớn AD lớn Vậy A trung điểm cung lớn BC Bài tập tự giải Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) AC = 2AB Các đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (O) A, C cắt P Chứng minh BP qua điểm cung BAC Cho tam giác ABC có I tâm đường trịn nội tiếp, O tâm đường tròn ngoại tiếp trọng tâm G Giả sử OIA = 900 Chứng minh IG song song với BC (IMO Shortlist) Giả sử M, N điểm nằm tam giác ABC cho MAB = NAC, MBA = NBC Chứng minh rằng: (VMO 1997) Trong mặt phẳng, cho đường trịn tâm O bán kính R điểm P nằm tròn (OP = d < R) Trong tất tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường trịn (O) có hai đường chéo AC BD vng góc cắt P, tìm tứ giác có chu vi lớn tứ giác có chu vi nhỏ Tính giá trị lớn nhỏ theo R d (Bulgaria 2007) Cho tam giác ABC có BC > AB > AC cos A + cos B + cos C = 11 Xét điểm X thuộc BC Y thuộc AC kéo dài phía C cho BX = AY = AB a) Chứng minh XY = AB b) Gọi Z điểm nằm cung AB đường tròn ngoại tiếp tam giác không chứa C cho ZC = ZA + ZB Hãy tính tỷ số ZC XC + YC Cho tam giác ABC với BE, CF đường phân giác Các tia EF, FE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác theo thứ tự M N Chứng minh rằng: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Đường tròn (O’) nằm (O) tiếp xúc với (O) T thuộc cung AC (không chứa B) Kẻ tiếp tuyến AA’, BB’, CC’ tới (O’) Chứng minh rằng: BB’.AC = AA’.BC + CC’.AB (Định lý Thebault) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) D trung điểm BC Gọi (O1), (O2) đường tròn nằm (O), tiếp xúc với (O), BC AD Khi đường thẳng nối tâm (O1), (O2) qua I Hãy chứng minh (CMO 1988, Trung Quốc) Cho ABCD tứ giác nội tiếp với đường tròn ngoại tiếp có tâm O bán kính R Các tia AB, BC, CD, DA cắt đường tròn tâm O bán kính 2R A’, B’, C’, D’ Chứng minh chu vi tứ giác A’B’C’D’ không nhỏ hai lần chu vi tứ giác ABCD 10 Cho đường trịn (O) dây cung BC khác đường kính Tìm điểm A thuộc cung lớn BC đường trịn để AB + 2AC đạt giá trị lớn 11 Lục giác lồi ABCDEF có ABF tam giác vng cân A, BCEF hình bình hành AD = 3, BC = 1, CD + DE = Tính diện tích lục giác 12 Cho ngũ giác ABCDE nội tiếp đường tròn (O) Gọi M điểm thuộc cung nhỏ AE Chứng minh rằng: MA + MC + ME = MB + MD 13 Cho tam giac ABC tù Gọi R bán kính đường trịn ngoại tiếp, r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác x, y, z theo thứ tự khoảng cách từ tâm O đường tròn ngoại tiếp tới cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng: y + z − x = R + r 14 Cho đường tròn O dây BC cố định ( khác đường kính) Xác định vị trí điểm A cung lớn BC cho AB+2AC lớn Bài 1:(CMO 1988, Trung Quốc) tứ giác nội tiếp với đường trịn ngoại tiếp có tâm ) bán kính cắt Các tia Chứng minh rằng: 16.Cho đường trịn dây cung khác đường kính Tìm điểm A thuộc cung lớn trịn để đạt giá trị lớn 17.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn thuộc cung AC (ko chứa B) Kẻ tiếp tuyến 18.Cho lục giác Đường tròn đường nằm (O) tiếp xúc với (O) T tới Chứng minh rằng: có cạnh có độ dài nhỏ Chứng minh ba đường chéo có đường chéo có độ dài nhỏ 19.Cho hai đường trịn đồng tâm, bán kính đường trịn gấp đơi bán kính đường trịn tứ giá nội tiếp đường tròn nhỏ Các tia cắt đường tròn lớn Chứng minh rằng: chu vi tứ giác lớn lần chu vi tứ giác Tư liệu tham khảo I.F.Sharyghin, Các tốn hình học phẳng, NXB “Nauka”, Moscow 1986 Lê Quốc Hán, Ẩn sau định lý Ptô-lê-mê, NBX Giáo dục 2007 Internet, Ptoleme’s Theorem http://en.wikipedia.org/wiki/Ptoleme's_theorem Internet, Simson’s Line and Its Applications http://www.math.uci.edu/~mathcirc/math194/lectures/inscribed/node2.html Internet, Casey’s Theorem – Generalized Ptoleme’s Theorem http://en.wikipedia.org/wiki/Casey's_theorem Zaizai, Khám phá định lý Ptô-lê-mê http://toanthpt.net/forums/showthread.php?p=7986 Internet, Ptoleme’s Theorem and Interpolation http://www.mlahanas.de/Greeks/PtolemeMath.htm Internet, Peter Scholes IMO website www.kalva.demon.co.uk Shailesh Shirali, On The Generalized Ptoleme Theorem http://journals.cms.math.ca/cgi-bin/vault/public/view/CRUXv22n2/body/PDF/page49-53.pdf? file=page49-53 10 Jean-Louis Aime, Sawayama and Thebault’s Theorem, Forum Geometricorum, Volume (2003), 225-229 http://forumgeom.fau.edu/FG2003volume3/FG200325.pdf 11 Internet, Ptoleme’s Table of Chords Trigonometry in the second century http://hypertextbook.com/eworld/chords.shtml 12 Malesevic, Branko J., The Mobius-Pompeiu metric property, Journal of Inequalities and Applications www.hindawi.com/Getpdf.aspx?doi=10.1155/JIA/2006/83206 13 David C.Kay, The ptolemaic inequality in Hilbert geometries, Pacific Journal of Mathematics, Volume 21, N2 (1967), 293-301 14 Internet, Encyclopedic Dictionary of Distances www.liga.ens.fr/~deza/1-15.pdf 15 Edward Howorka, A characterization of ptolemaic graphs, Volume 5, Issue Pages 323-331 16 Takahara et al, The longest path problems on ptolemaic graphs, IEICE Transactions http://ietisy.oxfordjournals.org/cgi/content/abstract/E91-D/2/170 ... định lý Ptoleme bất đẳng thức Ptoleme Định lý Ptoleme bất đẳng thức Ptoleme có nhiều hướng mở rộng khác Thậm chí từ bất đẳng thức Ptoleme, phát sinh hẳn khái niệm gọi không gian metric Ptoleme, ... đối trung tam giác BAC DAC, đường chéo AC đường đối trung tam giác ABD, CBD Ứng dụng “khơng hình học” bất đẳng thức Ptoleme Chúng ta đề cập đến ứng dụng định lý Ptoleme, bất đẳng thức Ptoleme. .. giác, giải tích, lý thuyết đồ thị Bảng độ dài dây cung Ptoleme Ptoleme người lập bảng hàm số lượng giác góc Thực ra, Ptoleme lập bảng độ dài dây cung ứng với góc tâm Tuy nhiên, hiểu bảng hồn tồn