Các bài toán về tiếp tuyến và tương giao THPT DTNT vĩnh phúc file word có lời giải chi tiết

https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA Tên chuyên đề: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN VÀ TƯƠNG GIAO Mơn: Tốn Họ tên: Đặng Thị Kim Chung Chức vụ: Tổ trưởng tổ Toán-Lý -Tin Đơn vị: Trường THPT DTNT tỉnh Vĩnh Phúc https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT DTNT TỈNH VĨNH PHÚC https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam A PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Khảo sát hàm số phần quan trọng đề thi tốt nghiệp, cao đẳng đại học hàng năm, hợp thành kì thi THPT quốc gia, tốn tiếp tuyến tương giao chủ đề liên quan đến khảo sát hàm số điển hình năm trường, tơi nhận thấy học sinh trường tơi cịn gặp nhiều khó khăn giải tốn tiếp tuyến tương giao Học sinh giải tập Các tập mức độ vận dụng nâng cao không định hướng phương pháp giải Do cần đưa cho học sinh phương pháp chung ví dụ cụ thể minh họa để học sinh vận dụng cách linh hoạt thơng minh Vì vậy, tơi viết chun đề: " Các tốn tiếp tuyến tương giao" để hệ thống cho em dạng toán phương pháp tốn Mục đích đề tài Chun đề giúp cho học sinh có nhìn tổng quan hơn, nắm dạng toán phương pháp giải tiếp tuyến tương giao đồng thời rèn luyện kỹ cho học sinh giải dạng toán cách tốt Mặt khác, chuyên đề tài liệu để thầy cô giáo tham khảo áp dụng cho đối tượng học sinh lớp 12 Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu toán tiếp tuyến tương giao với phương pháp giải tập vận dụng để giúp học sinh học tốt hình thành kiến thức, kĩ mới, vận dụng cách linh hoạt, sáng tạo nhất, thông minh việc học toán sống Trong khn khổ thời gian có hạn, tơi áp dụng học sinh lớp 12a1 trường THPT DTNT Vĩnh Phúc năm học 2016-2017 Thời gian triển khai chuyên đề: - Thực dạy chuyên đề cho học sinh thời gian 10 tiết https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui Trong q trình dạy học ơn thi tốt nghiệp, ơn thi đại học hay bồi dưỡng học sinh giỏi nhiều https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam B PHẦN NỘI DUNG Chủ đề 1: BÀI TỐN TIẾP TUYẾN 1.1.1 Cách giải: * Tính y ' = f ' ( x) ; tính k = f ' ( x0 ) (hệ số góc tiếp tuyến) * Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x) điểm M ( x0 ; y0 ) có phương trình y − y0 = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) với y0 = f ( x0 ) 1.1.2 Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 − 3x + (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C): a) Tại điểm A (-1; 7) b) Tại điểm có hồnh độ x = c) Tại điểm có tung độ y =5 Giải: a) Phương trình tiếp tuyến (C) điểm M ( x0 ; y0 ) có dạng: y − y0 = f '( x0 )( x − x0 ) Ta có y ' = x −  y '(−1) = Do phương trình tiếp tuyến (C) điểm A(-1; 7) là: y − = hay y = b) Từ x =  y = y’(2) = Do phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ x = là: y − = 9( x − 2)  y − = x − 18  y = x − 11 x =  c) Ta có: y =  x3 − 3x + =  x3 − 3x =   x = − x =  +) Phương trình tiếp tuyến (C) điểm (0; 5) Ta có y’(0) = -3 https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui 1.1 Dạng 1: Tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M( x0 , y0 )  (C ) : y = f ( x) https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam Do phương trình tiếp tuyến là: y − = −3( x − 0) hay y = -3x +5 +) Phương trình tiếp tuyến (C) điểm (− 3;5) y '(− 3) = 3(− 3)2 − = Do phương trình tiếp tuyến là: y − = 6( x + 3) hay y = x + + +) Tương tự phương trình tiếp tuyến (C) (− 3;5) là: y = x − + a) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm (C) với trục hoành b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm (C) với trục tung c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm x0 thỏa mãn y”(x0) = Giải: Ta có y ' = 3x − x + Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm tiếp tuyến có phương trình: y − y0 = y '( x0 )( x − x0 )  y = y '( x0 )( x − x0 ) + y0 (1) a) Khi M = (C ) Ox y0 = x0 nghiệm phương trình: x3 − x + x − =  x = ; y’(2) = 6, thay giá trị biết vào (1) ta phương trình tiếp tuyến: y = 6( x − 2) b) Khi M = (C ) Oy x0 =  y0 = y(0) = −4 y '( x0 ) = y '(0) = , thay giá trị biết vào (1) ta phương trình tiếp tuyến: y = x − c) Khi x0 nghiệm phương trình y”= Ta có: y” = 6x – y” =  x − =  x = 88 2 2 = x0  y0 = y   = − ; y '( x0 ) = y '   = 27 3 3 Thay giá trị biết vào (1) ta phương trình tiếp tuyến: y = Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y = 100 x− 27 x+2 giao điểm (C) với x −1 đường thẳng (d): y = 3x − + Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (C): https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui Ví dụ 2: Cho đồ thị (C) hàm số y = x3 − x + x − https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam x+2 = 3x −  x + = (3x − 2)( x − 1) (x = nghiệm phương trình) x −1  3x − x =  x = ( y = −2)  x = ( y = 4) Vậy có hai giao điểm là: M1(0; -2) M2(2; 4) + Ta có: y ' = −3 ( x − 1) + Tại tiếp điểm M2(2; 4) y’(2) = -3 nên tiếp tuyến có phương trình: y = −3x + 10 Tóm lại có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu toán là: y = −3x − y = −3x + 10 * Nhận xét: - Trong ví dụ 1: Phần a) dạng tốn cho trước tiếp điểm, cịn phần b) c) cho yếu tố tiếp điểm (hồnh độ tiếp điểm) cần tìm thêm yếu tố cịn lại - Trong ví dụ 2, 3: Mức độ cao hơn, tiếp điểm ẩn qua giả thiết khác (giao điểm, nghiệm PT) phải tìm yếu tố tiếp điểm Ví dụ 4: Cho hàm số y = x3 − 3x + (C ) điểm A( x0 , y0 )  (C), tiếp tuyến đồ thị (C) điểm A cắt (C) điểm B khác điểm A tìm hồnh độ điểm B theo x0 Lời giải: Vì điểm A( x0 , y0 )  (C)  y0 = x03 − 3x0 + , y ' = 3x −  y ' ( x0 ) = 3x02 − Tiếp tuyến đồ thị hàm có dạng: y = y ' ( x0 )( x − x0 ) + y0  y = (3x02 − 3)( x − x0 ) + x03 − 3x0 +  y = (3 x02 − 3)( x − x0 ) − x03 + (d ) Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (C): x3 − 3x + = (3x02 − 3)( x − x0 ) − x03 +  x − 3x02 x + x03 =  ( x − x0 ) ( x + x0 ) = ( x − x0 ) =  x = x0   ( x0  0)  x = −2 x0  x + x0 = Vậy điểm B có hồnh độ xB = −2 x0 Ví dụ 5: Cho hàm số y = x3 − x + 3x (C) Viết phương trình tiếp tuyến d đồ thị (C) https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui + Tại tiếp điểm M1(0; -2) y’(0) = -3 nên tiếp tuyến có phương trình: y = −3x − https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam điểm có hồnh độ x0 thỏa mãn y '' ( x0 ) = chứng minh d tiếp tuyến (C) có hệ số góc nhỏ Giải Ta có y ' = x − x +  y '' = x − y ''( x0 ) =  x0 − =  x0 =  M (2; )  2 Vậy tiếp tuyến d đồ thị (C) điểm M  2;  có phương trình y − y0 = f ' ( x0 ) ( x − x0 )  3 suy y − = −1( x − ) hay y = − x + 3 Tiếp tuyến d có hệ số góc k0 = -1 Mặt khác tiếp tuyến đồ thi (C) điểm kỳ (C) có hệ số góc k = y ' ( x) = x − x + = ( x − ) −  −1 = k0  2 Dấu “=” xảy  x = nên tọa độ tiếp điểm trùng với M  2;   3  2 Vậy tiếp tuyến d (C) điểm M  2;  có hệ số góc nhỏ  3 Nhận xét: Trong ví dụ 5, tiếp điểm khái quát qua hoành độ x0, cần hướng dẫn học sinh viết PTTT dạng tổng quát để đạt mục đích tốn m Ví dụ 6: Cho hàm số y = x3 − x + (Cm) Gọi M điểm thuộc đồ thị (Cm) có hồnh độ 3 -1 Tìm m để tiếp tuyến với (Cm) M song song với đường thẳng d: 5x-y=0 Giải Ta có y ' = x − mx Đường thẳng d: 5x-y=0 có hệ số góc bẳng 5, nên để tiếp tuyến M song song với đường thẳng d trước hết ta cần có y ' (−1) =  m + =  m = https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui Khi tiếp tuyến M có hệ số góc k0 = y ' ( x0 ) = y ' (2) = −1 https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam 1 Khi m = ta có hàm số y = x3 − x + ta có x0 = −1 y0 = −2 3 Phương trình tiếp tuyến có dạng y = y ' ( x0 )( x − x0 ) + y0  y = 5( x + 1) −  y = x + Rõ ràng tiếp tuyến song song với đường thẳng d Vậy m = giá trị cần tìm Ví dụ 7: Cho hàm số y = x3 − 3x + m (1) điểm A B cho diện tích tam giác OAB Giải Với x0 =  y0 = m −  M(1 ; m – 2) - Tiếp tuyến M d: y = (3x02 − x0 )( x − x0 ) + m −  d: y = -3x + m + - d cắt trục Ox A: = −3x A + m +  x A = m+2  m+2  A ; 0   - d cắt trục Oy B: yB = m +  B(0 ; m + 2) - SOAB = 3 m+2  | OA || OB |= | OA || OB |=  m + =  ( m + 2) = 2 m + = m =    m + = −3  m = −5 Vậy m = m = - Nhận xét: Phan tích hướng dẫn học sinh xác định rõ cách giải toán: Phải tìm tọa độ điểm A va B 1.2 Dạng 2: Viết tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x) (C) biết trước hệ số góc 1.2.1 Cách giải: + Gọi M ( x0 , y0 ) tiếp điểm, giải phương trình f ' ( x0 ) = k  x = x0 , y0 = f ( x0 ) + Đến trở dạng 1,ta dễ dàng lập tiếp tuyến đồ thị: y = k ( x − x0 ) + y0 Lưu ý: Các dạng biểu diễn hệ số góc k: https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui Tìm m để tiếp tuyến đồ thị (1) điểm có hoành độ cắt trục Ox, Oy https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam *) Cho trực tiếp: Ví dụ: k = 5; k = 1; k =  3; k =  *) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = ax + b Khi hệ số góc k = a *) Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (d): y = ax + b  ka = −1  k = −1 a hệ số góc k = tan  *) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d): y = ax + b góc  Khi đó, k −a = tan  + ka 1.2.2 Các ví dụ: Ví dụ 8: Cho hàm số y = x3 − 3x (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết hệ số góc tiếp tuyến k = -3 Giải: Ta có: y ' = 3x − x Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm  Tiếp tuyến M có hệ số góc k = f ' ( x0 ) = 3x02 − x0 Theo giả thiết, hệ số góc tiếp tuyến k = - nên: 3x02 − x0 = −3  x02 − x0 + =  x0 = Vì x0 =  y0 = −2  M (1; −2) Phương trình tiếp tuyến cần tìm y = −3( x − 1) −  y = −3x + Ví dụ 9: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x3 − 3x + (C) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x + Giải: Ta có: y ' = 3x − x Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm  Tiếp tuyến M có hệ số góc k = f ' ( x0 ) = 3x02 − x0 Theo giả thiết, tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x + +6  tiếp tuyến có hệ số góc k  x0 = −1  M (−1; −3) =  3x02 − x0 =  x02 − x0 − =    x0 =  M (3;1) https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui 2    *) Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục Ox góc  , với   150 ;300 ; 450 ; ;  Khi 3   https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam Phương trình tiếp tuyến (C) M(-1;-3) là: y = 9( x + 1) −  y = x + (loại) Phương trình tiếp tuyến (C) M(3;1) là: y = 9( x − 3) +  y = x − 26 Ví dụ 10: Cho hàm số y = x3 − 3x + (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = −1 x Giải: y= −1 x nên hệ số góc tiếp tuyến k = 9 Do y ' = k  3x − =  x =  x = 2 +) Với x =  y = Pttt điểm có hồnh độ x = là: y = 9( x − 2) +  y = x − 14 +) Với x = −2  y = Pttt điểm có hoành độ x = - là: y = 9( x + 2) +  y = x + 18 Vậy có hai tiếp tuyến củả (C) vng góc với đường thẳng y = −1 x là: y =9x - 14 y = 9x + 18 Ví dụ 11: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số: y = x + x , biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (d): x + y − 2010 = Giải: 1 (d) có phương trình: y = − x + 402 nên (d) có hệ số góc - 5 Gọi  tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k − k = −1  k = (do  ⊥ (d )) Ta có: y ' = x3 + x nên hoành độ tiếp điểm nghiệm phương trình: x3 + x =  x3 + x − =  ( x − 1)( x + x + 5) =  x − =  x =  y = 9 https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui Ta có y ' = 3x − Do tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam  9 Vậy tiếp điểm M có tọa độ M 1;   4 Tiếp tuyến có phương trình: y − 11 = 5( x − 1)  y = x − 4 Vậy tiếp tuyến cần tìm có phương trình: y = x − x+2 (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến 2x + tạo với trục hồnh góc 450 Giải Ta có: y ' = −1 (2 x + 3) Vì tiếp tuyến tạo với Ox góc 450 nên hệ số góc là: k = 1 Khi gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm tiếp tuyến với đồ thị (C) ta có y ' ( x0 ) = 1   x0 = −2 −1 =    x = −1 (2 x0 + 3)  Với x0 = −1 y0 = lúc tiếp tuyến có dạng y = − x Với x0 = −2 y0 = −4 lúc tiếp tuyến có dạng y = − x − Vậy tiếp tuyến cần tìm y = − x y = − x − Ví dụ 13: Cho hàm số y = 2x −1 có đồ thị (C) x −1 Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) cho tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy điểm A B thỏa mãn OA = 4OB Giải Giả sử tiếp tuyến d (C) M ( x0 ; y0 )  (C ) cắt Ox A, Oy B cho OA = 4OB Do OAB vuông O nên tan A = 10 OB 1 =  Hệ số góc d − OA 4 https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui Ví dụ 12: Cho hàm số y = 11 https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam * Phương pháp nhẩm nghiệm hữu tỷ Cho phương trình: f ( x) = an x n + an−1 x n−1 + + a1 x + a0 = Nếu phương trình có nghiệm hữu tỷ x = p (p, q)=1 q \ an p \ a0 q * Phương pháp hàm số Chuyển phương trình hoành độ tương giao về: g(x) = m 2.2 Các ví dụ: Ví dụ Cho hàm số y = − x3 + 3x − a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số b) Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trình x3 − 3x + m = Giải a) Học sinh tự làm Đồ thị: CĐ(2; 3), CT(0; -1) b) Phương trình x - 3x + m = Û - x + 3x - = m - • Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số y = − x3 + 3x − với đường thẳng y = m – Vậy: m −   m  : Phương trình có nghiệm m − =  m = : Phương trình có nghiệm  m −  −1   m  : Phương trình có nghiệm 22 https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui Khi số nghiệm số giao điểm đồ thị y = g(x) đường thẳng y = m https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam m − = −1  m = : Phương trình có nghiệm m −  −1  m  : Phương trình có nghiệm Ví du 2: Cho hàm số y = x +1 có đồ thị (C) −x +1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( C ) hàm số x +1 = m − x +1 Giải a) Học sinh tự làm: Đồ thị: b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình Lập luận để suy từ đồ thị (C) sang đồ thị y = 23 x +1 = m − x +1 x +1 − x +1 (1) ( C ') https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam Số nghiệm pt (1) số giao điểm đthị y = x +1 đường thẳng y = m − x +1 Suy đáp số: m  −1; m  1: phương trình có nghiệm phân biệt m = 1: phương trình có nghiệm −1  m  1: phương trình vơ nghiệm a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) b) Dựa vào đồ thị (C) tìm m để phương trình x − 3x + m = có nghiệm phân biệt Giải a) Học sinh tự làm Đồ thị: yCD = 13 ; yCT = b) Phương trình x − 3x + m =  − x + 3x + = m + • Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị (C) với đường thẳng y=m+1 • Dựa vào đồ thị, phương trình có nghiệm phân biệt   m +  Ví dụ 4: Cho hàm số y = 13 0m 4 2x −1 có đồ thị (C) x−2 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) b) Chứng minh với giá trị m, đường thẳng y = x – m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt Giải 24 https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui Ví dụ 3: Cho hàm số y = − x + 3x + có đồ thị (C) https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam a) HS tự trình bày b) Đường thẳng y = x – m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt phương trình 2x −1 = x − m có hai nghiệm phân biệt x−2 • Xét phương trình: 2x −1 = x − m ( x  2) x−2  x − = ( x − m)( x − 2)  x − (4 + m) x + + 2m = Có  = (4 + m)2 − 4(1 + 2m) = m + 8m + 16 − − 8m = m + 12  m • Vậy với m đường thẳng y = x – m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt Ví dụ 5: Cho hàm số y = x3 − 3x + ( C ) Gọi d đường thẳng qua điểm A(- 1; 0) với hệ số góc k ( k thuộc R) Tìm k để đường thẳng d cắt (C) ba điểm phân biệt hai giao điểm B, C (B, C khác A ) với gốc tọa độ O tạo thành tam giác có diện tích Giải Đường thẳng d qua A(-1; 0) với hệ số góc k, có phương trình là: y = k(x+1) hay y = kx+ k Nếu d cắt (C) ba điểm phân biệt phương trình: x3 – 3x2 + = kx + k  x3 – 3x2 – kx + – k =  (x + 1)( x2 – 4x + – k ) =  x = −1  có ba nghiệm phân biệt  g(x) = x2 – 4x + – k = có hai  g ( x) = x − x + − k =  '  k     k  (*) nghiệm phân biệt khác -    g (−1)  9 − k  Với điều kiện: (*) d cắt (C) ba điểm phân biệt A, B, C.Với A(-1;0), B,C có hồnh độ hai nghiệm phương trình g(x) = 25 https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui  x − x − mx + + 2m = https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam Gọi B ( x1; y1 ) ; C ( x2 ; y2 ) với x1; x2 hai nghiệm phương trình: x − x + − k = Còn y1 = kx1 + k ; y2 = kx2 + k Ta có: BC = ( x2 − x1; k ( x2 − x1 ) )  BC = Khoảng cách từ O đến đường thẳng d: h = ( x2 − x1 ) (1 + k ) = x 2 − x1 (1 + k ) k 1+ k2 1 k 1 S = h.BC = k 1+ k = k3 =  k3 =  k3 =  k = 2 1+ k2 4 Ví dụ 6: Cho hàm số y = 2x + ( C ) Tìm tham số m để đường thẳng d: y = - 2x + m cắt đồ thị x +1 hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác OAB Giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm d (C): 2x + = −2 x + m ( x  −1)  g ( x) = x − (m − 4) x + − m = (1) x +1 D cắt (C) điểm phân biệt  (1) có hai nghiệm phân biệt khác -  = (m − 4)2 − 8(1 − m)  m +   m2 +   m  R     g (−1)   g (−1) = −1  Chứng tỏ với m d cắt (C) hai điểm phân biệt A, B Gọi A ( x1; −2 x1 + m ) ; B ( x2 ; −2 x2 + m ) Với: x1 , x2 hai nghiệm phương trình (1) ( ( Ta có AB = x2 − x1;2 x1 − x2 ))  AB = ( x − x1 ) + ( x2 − x1 ) = x2 − x1 2 Gọi H hình chiếu vng góc O d, khoảng cách từ O đến d h: h= Theo giả thiết: S = 26 1 x2 − x1 AB.h = 2 m 22 + = m  5= = m2 + = 2 https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui Vậy theo giả thiết: https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam m2 + = 42.3  m2 + = 42.3  m2 = 40  m = 10 (*) Vậy: Với m thỏa mãn điều kiện (*) d cắt (C) A, B thỏa mãn yêu cầu tốn Ví dụ 7: Cho hàm số y = x3 + 2mx + ( m + 3) x + (1) Tìm m để đường thẳng d: y = x + cắt đồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt A, B, C cho tam giác MBC có diện tích (Điểm B, C có hồnh độ khác khơng ; M(1;3) ) Đồ thị (1) cắt d ba điểm A, B, C có hồnh độ nghiệm phương trình: x =  x3 + 2mx + ( m + 3) x + = x + 4;  x  x + 2mx + m +  =    x + 2mx + m + =   ' = m2 − m −   m  −1  m  (*) Với m thỏa mãn (*) d cắt (1) ba điểm A(0; 4), hai điểm B,C có hồnh độ hai nghiệm  ' = m2 − m −   m  −1  m  2; m  −2 phương trình:  x + 2mx + m + =   m +   - Ta có B ( x1; x1 + ) ; C ( x2 ; x2 + )  BC = ( x2 − x1; x2 − x1 )  BC = ( x2 − x1 ) + ( x2 − x1 ) 2 = x2 − x1 -Gọi H hình chiếu vng góc M d h khoảng cách từ M đến d thì: h= 1− + = 2S = 1 BC.h = x2 − x1 2 = x2 − x1 2 - Theo giả thiết: S =  x2 − x1 = 4;   ' = 4;  m − m − =  m − m − = Kết luận: với m thỏa mãn: m = −2  m =  m = (chọn) Ví dụ 8: Gọi ( Cm ) đồ thị hàm số y = x − ( m + 1) x + 2m + Tìm m để đường thẳng y = cắt ( Cm ) bốn điểm phân biệt A, B, C, D cho OA + OB + OC + OD = + 2 Giải Xét phương trình hoành độ giao điểm x − ( m + 1) x + 2m + =  x − ( m + 1) x + 2m + = Đặt t = x ( t  ) , ta có phương trình t − ( m + 1) t + 2m + = 0, (*) 27 https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui Giải https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam Để có giao điểm phân biệt phương trình (*) phải có nghiệm dương phân biệt ( m + 1)2 − ( 2m + 1)     m0     P    2m +   m− S    ( m + 1)     Với điều kiện phương trình (*) có hai nghiệm dương t1 , t2 Theo Vi-et ta có, t1 + t2 = ( m + 1) , t1t2 = 2m + Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui Từ t1 = x  x =  t1 ; t2 = x  x =  t2 Đặt x A = t1 , xB = − t1 , xC = t2 , xD = − t2 A ( ) ( ) t1 ;1 , B − t1 ;1 , C ( ) ( ) t1 ;1 , D − t2 ;1  OA + OB + OC + OD = + t1 + + t1 Theo đề  + t1 + + t2 = + 2  + t1 + + t2 = +  ( + t1 + + t2 ) = 6+4  t1 + t2 + t1t2 + t1 + t2 + = +  ( m + 1) + 2m + + ( m + 1) + = +  4m + = + 2 − m  1+ 2 − m    4m + = + 2 − m ( )  m  1+ 2    m =1 m − + 2 m + + =  ( ) Vậy điều kiện phải tìm m = Ví dụ 9: Cho hàm số y = x − ( m + 1) x + 2m + có đồ thị ( Cm ) Định m để đồ thị ( Cm ) cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng Giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm: x − ( m + 1) x + 2m + = 28 https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 (1) https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam Đặt t = x , t  (1) trở thành: f (t ) = t − ( m + 1) t + 2m + = Để (Cm) cắt Ox điểm phân biệt f (t ) = phải có nghiệm dương phân biệt  ' = m    m  −   S = ( m + 1)    (*)  P = 2m +  m   là: x1 = − t2 ; x2 = − t1 ; x3 = t1 ; x4 = t2 x1 , x2 , x3 , x4 lập thành cấp số cộng  x2 − x1 = x3 − x2 = x4 − x3  t2 = 9t1 m = 5m = 4m +  m + + m = ( m + − m )  m = ( m + 1)    m = −  −5m = 4m +  4  Vậy m = 4; −  9  Ví dụ 10: Tìm m để đường thẳng y = −1 cắt đồ thị (Cm) điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ Giải Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm) đường thẳng y = −1 :  x = 1 x – (3m + 2) x + 3m = −1  x – (3m + 2) x + 3m + =    x = 3m + (*) Đường thẳng y = −1 cắt (Cm) điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1 nhỏ  0  3m +  −  m    3m +  m   ❖ Bài tập tự luyện Bài Cho hàm số y = x3 + 3(m − 1) x − 3mx + đường thẳng d : y = x − Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt 29 https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui Với (*), gọi t1  t2 nghiệm f (t ) = , hồnh độ giao điểm (Cm) với Ox https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam a) có hồnh độ dương b) có hồnh độ lớn c) có hồnh độ x1; x2 ; x3 thỏa mãn x12 + x22 + x32 = 21 Bài Cho hàm số y = x3 − 3mx − 3x + 3m + đường thẳng d : y = x − Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt b) có hồnh độ x1; x2 ; x3 thỏa mãn x12 + x22 + x32  15 Bài Cho hàm số y = x3 − 3mx + (m − 1) x + m + đường thẳng d : y = x − m − Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt có hồnh độ lớn Bài Cho hàm số y = x3 − 3mx + 3(m2 − 1) x − (m2 − 1) Tìm m để đồ thị (C) cắt Ox ba điểm phân biệt có hồnh độ dương Bài Cho hàm số y = 2x3 – 3x2 – 1, có đồ thị (C) Gọi (dk) đường thẳng qua A(0; –1) có hệ số góc k Tìm k để đường thẳng dk cắt (C) a) điểm phân biệt b) điểm phân biệt, hai điểm có hồnh độ dương Bài Cho hàm số y = x3 + 2mx2 + (m + 3)x + 4, có đồ thị (Cm) a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = b) Cho d đường thẳng có phương trình y = x + điểm K(1 ; 3) Tìm m để d cắt (Cm) ba điểm phân biệt A(0 ; 4), B, Csao cho tam giác KBC có diện tích Bài Cho hàm số y = x3 + 2mx + 3(m − 1) x + (1), m tham số thực a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng  : y = − x + điểm phân biệt A(0;2) ; B; C cho tam giác MBC có diện tích 2 , với M (3;1) Bài Cho hàm số y = x3 + x + x + có đồ thị (C) hai điểm A(−1;3), B(1; −1) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 30 https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui a) có hồnh độ lớn –1 https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam b) Tìm điểm M thuộc (C) cho tam giác ABM cân M Bài Cho hàm số: y = x3 − 3x − a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Viết phương trình đường thẳng d cắt (C) điểm phân biệt A, M, N cho xA = MN = 2 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho b) Gọi A, B hai điểm cực trị đồ thị (C) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) cho tam giác MAB cân M 1 Bài 11 Cho hàm số: y = x3 − x + 3x − 3 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Tìm m để đường thẳng  : y = mx − cắt (C) ba điểm phân biệt A, B, C cho A cố định diện tích tam giác OBC gấp hai lần diện tích tam giác OAB Bài 12 Cho hàm số y = x3 − 2mx + (m + 3) x + có đồ thị (Cm).Tìm m để đường thẳng (d): y = x + cắt (Cm) ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C cho SBCD = 2 với D(1; 3) Bài 13 Cho hàm số y = x3 − 3x + ( m + 1) x + 1(1) có đồ thị ( Cm ) với m tham số a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m = −1 b) Tìm m để đường thẳng ( d ) : y = x + cắt đồ thị ( Cm ) điểm phân biệt P ( 0,1) , M , N cho bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác OMN với O ( 0;0 ) Bài 14 Cho hàm số: y = x3 − 3mx + (3m − 1) x + 6m (C) a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) m=1 b) Tìm m để đồ thị hàm số (C) cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn điều kiện x12 + x22 + x32 + x1 x2 x3 = 20 31 https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui Bài 10 Cho hàm số y = x3 − 3x + https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam Bài 15 Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + có đồ thị (Cm); (m tham số) Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y = ba điểm phân biệt C(0;1), D, E cho tiếp tuyến (Cm) D E vng góc với Bài 16 Cho hàm số y = x3- (m+1)x2 + (m - 1)x + 1Chứng tỏ với giá trị khác m, đồ thị hàm số cắt trục hoành ba điểm phân biệt A, B, C B, C có hồnh độ phụ thuộc tham số m Tìm giá trị m để tiếp tuyến B, C song song với a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = b) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ Bài 18 Cho y =x4 -2(m+1)x2 +2m+1Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng Bài 19 Cho hàm số: y = 2x + có đồ thị ( C ) x−2 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( C ) b) Xác định m để đường thẳng (d): y = x + m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB có diện tích (với O gốc tọa độ) Bài 20 Cho hàm số: y = 2x + x +1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( C ) b) Tìm m để đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB có diện tích Bài 21 Cho hàm số y = (O gốc tọa độ) 2x + (C ) 1− x a) Khảo sát hàm số b) Gọi (d) đường thẳng qua A( 1; ) có hệ số góc k Tìm k cho (d) cắt ( C ) hai điểm M, N MN = 10 Bài 22 Cho hàm số y = 2x −1 có đồ thị (C) x −1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 32 https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui Bài 17 Cho hàm số y = x − ( m + 1) x + 2m + có đồ thị (Cm), m tham số https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam b) Tìm m để đường thẳng y = x + m cắt (C) hai điểm A, B cho AB = Bài 23 Cho hàm số y = 2x + có đồ thị (C) Chứng minh đường thẳng d: y = -x + m x+2 cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ Bài 24 Cho hàm số y = 2x + có đồ thị (C) x −1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB vuông O Bài 25 Cho hàm số y = x−2 (C) 2x −1 a) Khảo sát vẽ đồ thị ( C ) hàm số b) Tìm m để (dm) cắt (C) hai điểm phân biệt thuộc nhánh (C) Bài 26 Cho hàm số y = 2x + (1) Tìm m để đường thẳng dm: y = mx + - 2m cắt đồ thị x−2 hàm số (1) hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh khác Bài 27 Cho hàm số: y = x+2 x−2 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) b) Chứng minh với giá trị m (C) ln có cặp điểm A, B nằm hai nhánh  xA − y A + m = (C) thỏa mãn   xB − y B + m = Bài 28 Cho hàm số y = x+2 (C) đường thẳng d: y = x+m cắt đồ thị ( C ) điểm A B x −1 cho tam giác IAB nhận điểm H ( 4; −2 ) làm trực tâm Với I giao điểm hai đường tiệm cận Bài 29 Cho hàm số y = −x + m (C) Tìm số thực dương m để đường thẳng ( d ) : x + y − = x+2 cắt (C) hai điểm A B cho tam giác OAB có diện tích O gốc tọa độ 33 https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui b) Tìm m để đường thẳng (d): y = mx+3 cắt https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam Bài 30 Cho hàm số y = −2 x + Tìm điểm (C) cho tiếp tuyến với (C) điểm x −1 tạo với hai trục tọa độ tam giác có trọng tâm cách trục hoành khoảng Bài 31 Cho hàm số y = 2x + (1).Gọi I giao điểm hai tiệm cận (C), đường x −1 thẳng (d ) : x − y + = cắt (C ) hai điểm A, B với A có hồnh độ dương Viết phương trình Bài 32 Cho hàm số y = 2x −1 (C) x −1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho OAB vuông O Bài 33 Cho hàm số y = x −1 Tìm a b để đường thẳng (d): y = ax + b cắt (C) hai điểm x +1 phân biệt đối xứng qua đường thẳng (  ): x − y + = Bài 34 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số: y = x3 – 3x2 + b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x − x − = m x −1 Bài 35 Cho hàm số: y = x3 − 3x a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x = Bài 36 Cho hàm số y = (x+1)2(x-2) m x − 3x (C) a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x − ( x + 1) = m C PHẦN KẾT LUẬN 34 https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui tiếp tuyến (C ) vng góc với IA https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam Từ nhận thức thân sở thực tiễn chọn đề tài biện pháp triển khai đề tài, qua khảo sát thực tế việc tiếp thu học sinh, thấy đạt số kết cụ thể sau: Với việc trình bày tốn bản, với ví dụ minh họa sau đó, giúp tăng cường giảng cho thầy, cô giáo với em học sinh dễ hiểu biết cách trình bày bài, cách thuận lợi, vững Đặc biệt nội dung phần bình luận sau vài tập ví dụ giúp em học sinh củng cố hiểu biết chưa thật thấu đáo, với cách nhìn nhận vấn đề đặt cho em học sinh, để trả lời cách thỏa đáng câu hỏi “ Tại lại nghĩ làm vậy?” Luyện tập cho học sinh thói quen suy nghĩ, quan sát, lập luận để học sinh phát huy trí thơng minh, óc sáng tạo, khả phân tích, tổng hợp, tư độc lập thông qua việc thảo luận, tranh luận mà học sinh phát triển khả nói lưu lốt, biết lí luận chặt chẽ giải tốn Học sinh biết vận dụng kiến thức đơn lẻ để giải toán tổng hợp nhiều kiến thức Ngồi có nhiều tốn giải nhiều cách khác giúp em học sinh trở nên linh hoạt việc lựa chọn phương pháp giải Với phong cách trình bày vậy, tài liệu nhằm giúp cho em học sinh rèn luyện lực vận dụng lý thuyết học Tạo khơng khí sơi nổi, niềm say mê hứng thú cho học sinh toán sinh động, hấp dẫn thực biến học, lớp học ln khơng gian tốn học cho học sinh Cuối cùng, cho dù cố gắng việc tham khảo lượng lớn tài liệu sách để vừa viết, vừa mang giảng dạy cho em học sinh từ kiểm nghiệm bổ sung thiếu sót, với việc tiếp thu có chọn lọc ý kiến bạn đồng nghiệp để dần hồn thiện chun đề này, khó tránh khỏi thiếu sót hiểu biết kinh nghiệm hạn chế, mong nhận đóng góp q báu q thầy giáo, giáo, bạn đồng nghiệp bạn đọc gần xa Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám Hiệu nhà trường thầy giáo tổ Tốn-Lý-Tin giúp đỡ, góp ý, bổ sung để tơi hồn thành chuyên đề 35 https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui học sinh biết vận dụng thành thạo kiến thức học làm sở cho việc tiếp thu https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam Vĩnh Yên, ngày 28 tháng 10 năm 2015 Đặng Thị Kim Chung 36 https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui Người viết ... Các toán tiếp tuyến tương giao" để hệ thống cho em dạng toán phương pháp tốn Mục đích đề tài Chun đề giúp cho học sinh có nhìn tổng quan hơn, nắm dạng toán phương pháp giải tiếp tuyến tương giao. .. x0 = −2 Vậy có ba phương trình tiếp tuyến: y = x + ; y = x + 1; y = x + 4 Chú ý: Bài tốn giải cách sau: Tiếp tuyến cách A, B nên có khả năng: Tiếp tuyến song song (trùng) AB tiếp tuyến qua trung... DUNG Chủ đề 1: BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN 1.1.1 Cách giải: * Tính y ' = f ' ( x) ; tính k = f ' ( x0 ) (hệ số góc tiếp tuyến) * Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x) điểm M ( x0 ; y0 ) có phương trình