Bài viết Dãy truy hồi tuyến tính cấp một - Một mô hình toán học đơn giản của nhiều bài toán thực tế trình bày các bài toán thực tế dẫn đến mô hình toán học là dãy truy hồi tuyến tính cấp một và ứng dụng dãy truy hồi tuyến tính cấp một trong giải toán cũng như trong giải các bài toán thực tế. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài viết!
Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 DÃY TRUY HỒI TUYẾN TÍNH CẤP MỘT - MỘT MƠ HÌNH TỐN HỌC ĐƠN GIẢN CỦA NHIỀU BÀI TOÁN THỰC TẾ Lê Đại Hải, Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội Mai Cơng Mãn, Sở Giáo dục Đào tạo Thanh Hóa Tạ Duy Phượng, Cộng tác viên Viện Tốn học Tóm tắt nội dung Bài viết trình bày tốn thực tế dẫn đến mơ hình tốn học dãy truy hồi tuyến tính cấp ứng dụng dãy truy hồi tuyến tính cấp giải tốn giải toán thực tế Từ toán thực tế 1.1 Sử dụng tài nguyên thiên nhiên Ví dụ 1.1 (Thi học sinh giỏi Giải tốn máy tính, Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, Trung học Cơ sở, 2017) Dự báo với mức độ tiêu thụ dầu không đổi nay, trữ lượng dầu hết sau 100 năm Thay mức độ tiêu thụ dầu không đổi, nhu cầu thực tế, mức tiêu thụ dầu năm sau tăng lên 5% so với năm trước Hỏi sau năm số dầu dự trữ hết? Lời giải Giả thiết mức tiêu thụ dầu hàng năm A đơn vị Khi trữ lượng dầu 100A Nếu xn lượng dầu sử dụng vào năm thứ n x1 = A Với tỉ lệ tăng 5%/năm x2 = 1.05x1 = 1.05A xn = 1.05xn−1 = 1.052 xn−2 = · · · = 1.05n−1 x1 = 1.05n−1 A Tổng lượng dầu sử dụng sau n năm Sn = x1 + x2 + · · · + xn = A + 1.05A + · · · + 1.05n−1 A = (1 + 1.05 + · · · + 1.05n−1 ) A = 1.05n − 1.05n − A= A 1.05 − 0.05 Để xem lượng dầu sử dụng (với mức tăng hàng năm 5%), ta cần xác 1.05n − định n để tổng lượng dầu 100A, tức A = 100A hay 1.05n = 100 × 0.05 + 0.05 1 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 Suy n = ln ≈ 36.72 ≈ 37 năm ln 1.05 Lời bình Lượng tiêu thụ dầu hàng năm tăng theo cấp số nhân (1.1) xn+1 = qxn Tổng lượng dầu tiêu thụ sau n năm tổng n số hạng cấp số nhân, Sn = x1 + x2 + · · · + x n = qn − x1 q−1 (1.2) Ví dụ cho thấy, mơ hình tốn học đơn giản (cấp số nhân) dùng để phân tích tốn quan trọng kinh tế Ví dụ cho thấy tầm quan trọng kiềm chế mức khai thác sử dụng tài nguyên thiên nhiên dầu mỏ, khí đốt, than đá, Nhưng nhu cầu tiêu thụ, trình khai thác tài nguyên thiên nhiên tăng 5%/năm hoàn toàn thực tế 1.2 Lạm phát Lạm phát xảy đồng tiền bị giá Tỉ lệ phần trăm tăng lên số giá bán lẻ năm gọi tỉ lệ lạm phát năm Ví dụ, nói tỉ lệ lạm phát 3%/năm, nghĩa ta cần 1.03 đô-la mua vật trị giá đô-la trước năm (giả thiết vật cũ giữ nguyên giá) Với tỉ lệ lạm phát 3%/năm x1 = 1.03x0 , x2 = 1.03x1 = 1.032 x0 , , xn = 1, 03n x0 Sau 20 năm ta muốn mua vật trị giá lúc đầu 1000 đơ-la cần số tiền là: 20 x20 = (1 + ) × 1000 ≈ 1806, 111235 ≈ 1806 đô-la 100 Ta sử dụng cơng thức tính số hạng thứ n cấp số nhân xn = (1 + r%) xn−1 = (1 + r%)n x0 với r = 3%, x0 = 1000 n = 20 Mặc dù tỉ lệ lạm phát r = 3% bình thường thực tế, sau thời gian dài giá trị đồng tiền bị giá cách đáng kể Ví dụ, với tỉ lệ lạm phát 3%/năm, hỏi sau giá trị đồng tiền nửa? Để trả lời câu hỏi ta cần tìm n cho n x n = (1 + ) x0 = 2x0 100 ln Vậy n = ≈ 23.44, tức là, sau khoảng 24 năm, ta cần đô-la để mua vật trị giá ln 1.03 lúc đầu đô-la (với giả thiết vật sau 20 giữ nguyên ban đầu) 1.3 Phân rã chất phóng xạ Chất có chứa chất phóng xạ (quặng có chứa chất radium, ) thường xuyên phát lượng chất phóng xạ lượng chất phóng xạ có chất bị giảm dần Thời gian mà chất phóng xạ giảm cịn nửa gọi chu kì bán rã Giả sử xn lượng chất phóng xạ cịn lại sau n năm Nếu tỉ lệ phân rã r xn+1 = (1 − r ) xn , n = 0, 1, 2, Ở đây, thay sử dụng tỉ lệ phần trăm toán kinh tế, ta dùng đại lượng r, < r < Đây cấp số nhân xn = (1 − r )n x0 , x0 lượng chất phóng xạ ban đầu Nếu chu kì bán rã H Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 xH = Suy 1 x0 , hay (1 − r ) H x0 = x0 2 1 1−r = ( )H Thay vào phương trình ta n x n = ( ) H x0 (1.3) công thức (2.3) thường sử dụng xác định niên đại carbon Khi hóa thạch tìm thấy, người ta đo lượng cịn lại đồng vị carbon-14 Lí lượng carbon-14 động vật sống không đổi, bắt đầu giảm động vật chết Chu kì bán rã carbon-14 xấp xỉ 5730 năm Ví dụ 1.2 Khi đo tỉ lệ carbon-14 xác động vật chết, người ta thấy nồng độ carbon-14 54% lượng carbon-14 ban đầu Để xác định thời gian động vật sống, ta sử dụng công thức (2.3) với xn = 0.54x0 H = 5730 Ta có n 0, 54x0 = xn = ( ) 5730 x0 hay n 5730 0, 54 = ( ) Suy ln 0, 54 n = 5730 × ≈ 5094 năm − ln Vậy động vật chết cách khoảng 5100 năm 1.4 Bài toán tăng trưởng dân số Bài toán tăng trưởng dân số toán thực tế, thường xuyên dùng làm đề thi học sinh giỏi Giải tốn máy tính điện tử từ năm 1996 đến Nội dung thường phát biểu sau Dân số thành phố (một nước) A x0 (người) Tỉ lệ tăng dân số hàng năm r% Hỏi sau n năm, số dân thành phố (nước) A người Lời giải Số dân sau năm x1 = x0 + r%x0 = (1 + r%) x0 Số dân sau n năm xn = (1 + r%) xn−1 Đây cấp số nhân Số dân thành phố A sau n năm xn = (1 + r%)n x0 (1.4) Nhận xét 1.1 Theo công thức (1.4), biết ba bốn đại lượng n, r, x0 , xn , ta dễ dàng tính đại lượng cịn lại Cụ thể: 1) Biết n, r, x0 Khi xn tính theo cơng thức (2.4); 2) Biết n, x0 , xn Khi xn r= n − (1.5) x0 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 3) Biết r, x0 , xn Khi xn ln xn − ln x0 x0 n= = ln(1 + r%) ln(1 + r%) ln 4) Biết r, x0 , xn Khi x0 = xn (1 + r%)n (1.6) (1.7) Ví dụ 1.3 (Thi học sinh giỏi Giải tốn máy tính, Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Thừa Thiên-Huế, Trung học sở, 2006-2007) Dân số thành phố năm 2007 330.000 người Câu Hỏi năm học 2007-2008, dự báo có học sinh lớp đến trường, biết 10 năm trở lại tỉ lệ tăng dân số năm thành phố 1.5% thành phố thực tốt chủ trương 100% trẻ em độ tuổi vào lớp 1? Câu Nếu đến năm học 2015-2016, thành phố đáp ứng 120 phòng học cho học sinh lớp 1, phòng dành cho 35 học sinh phải kiềm chế tỉ lệ tăng dân số năm bao nhiêu, năm 2007? (Kết lấy với chữ số phần thập phân) Lời giải Câu Gọi a (đơn vị: người) số dân đầu năm 2000 thành phố Khi đó: 1, Số dân năm 2001 a(1 + ); 100 1, Số dân năm 2007 a(1 + ) 100 Vì số dân năm 2007 330000 (người) nên số dân năm 2000 a= 330000 1, (1 + ) 100 Chỉ có em sinh năm 2001 đủ tuổi học (6 tuổi) vào lớp năm học 2007-2008 Vậy số trẻ em (sinh năm 2001) học lớp năm học 2007-2008 1, 330000 × ≈ 4460(em) 100 1, (1 + ) 100 Lời bình Trên thực tế, số trẻ em sinh phải nhiều hơn, mức tăng trưởng dân số tính theo cơng thức: r = (Số trẻ em sinh ra-số người chết)/số dân (của năm) Câu 2.2 Gọi x tỉ lệ tăng dân số cần khống chế từ năm 2007 x ) Vì số dân năm 2007 330000 người nên số dân năm 2008 là: 330000 × (1 + 100 x x Số trẻ em sinh năm 2009 là: 330000 × (1 + )× 100 100 Vì có trẻ em sinh năm 2009 đủ tuổi vào học lớp năm học 2015-2016 Ta có phương trình sau: x x 330000 + · : 35 = 120(phòng) 100 100 hay 3300x + 33x2 = 120 35 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 Giải phương trình ta được: x1 = 1, 256928578; x2 = 101, 2569286 Vậy tỉ lệ tăng dân số cần khống chế 1, 25% 1.5 Bài toán lãi suất tiết kiệm Bài toán lãi suất tiết kiệm toán thực tế, thường xuyên dùng làm đề thi Giải tốn máy tính điện tử từ năm 2000 đến Nó xuất đề thi Trung học Phổ thông 2017 2018 Mặc dù phát biểu ngày phức tạp (theo thời gian), toán dạng thực chất áp dụng công thức (1.1), (1.2),(1.4), (1.5), (1.6),(1.7) Lãi kép Sau đơn vị thời gian (tháng, năm), lãi gộp vào vốn tính lãi Loại lãi gọi lãi kép Ví dụ 1.4 (Thi Tốt nghiệp Trung học Phổ thông 2018, Đề số 101 Câu 16; Đề số 107 Câu 20; Đề số 109 Câu 16; Đề số 115 Câu 16; Đề số 117 Câu 22; Đề số 123 Câu 19) Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất 7.5%/năm Biết khơng rút tiền khỏi ngân hàng sau năm số tiền lãi nhập vào vốn để tính lãi cho năm Hỏi sau năm người thu (cả số tiền gửi ban đầu lãi) gấp đôi số tiền gửi ban đầu, giả định khoảng thời gian lãi suất khơng thay đổi người khơng rút tiền ra? Đáp số (khoanh trịn đáp án đúng): A 11 năm B năm C 10 năm D 12 năm Ghi chú: Để cho gọn, nêu đáp số Đề Đáp số Đề khác trộn từ tổ hợp A, B, C, D Lời giải Gọi n năm mà lĩnh tiền (cả gốc lẫn lãi) gấp đôi số tiền gửi vào Khi ấy, theo công thức (6) ta có xn ln x0 n= = ≈ 9.58 ln(1 + r%) ln(1.075) ln Vậy với lãi suất 7.5%/năm, để gấp đôi số tiền gửi vào cần khoảng 10 năm Đáp án C Bài tập tương tự Bài 1.1 (Thi Tốt nghiệp Phổ thông 2018 , Đề số 102 Câu 24; Đề số 108 Câu 22; Đề số 110 Câu 22; Đề số 116 Câu 17; Đề số 118 Câu 22; Đề số 124 Câu 20) Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất 7, 2% /năm Biết không rút tiền khỏi ngân hàng sau năm số tiền lãi nhập vào vốn để tính lãi cho năm Hỏi sau năm người thu (cả số tiền gửi ban đầu lãi) gấp đôi số tiền gửi ban đầu, giả định khoảng thời gian lãi suất không thay đổi người khơng rút tiền ra? Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 A 11 năm B 12 năm C năm D 10 năm Bài 1.2 (Thi Tốt nghiệp Phổ thông 2018 , Đề số 103 Câu 25; Đề số 105 Câu 22:; Đề số 111 Câu 22; Đề số 113 Câu 17; Đề số 119 Câu 22; Đề số 121 Câu 25) Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất 6, 6%/năm Biết không rút tiền khỏi ngân hàng sau năm số tiền lãi nhập vào vốn để tính lãi cho năm Hỏi sau năm người thu (cả số tiền gửi ban đầu lãi) gấp đôi số tiền gửi ban đầu, giả định khoảng thời gian lãi suất không thay đổi người khơng rút tiền ra? A 11 năm B 10 năm C 13 năm D 12 năm Bài 1.3 (Thi Tốt nghiệp Phổ thông 2018 , Đề số 106 Câu 24; Đề số 104 Câu 16; Đề số 112 Câu 24; Đề số 114 Câu 16; Đề số 120 Câu 23: Đề số 122 Câu 16) Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất 6, 1%/năm Biết không rút tiền khỏi ngân hàng sau năm số tiền lãi nhập vào vốn để tính lãi cho năm Hỏi sau năm người thu (cả số tiền gửi ban đầu lãi) gấp đôi số tiền gửi ban đầu, giả định khoảng thời gian lãi suất không thay đổi người khơng rút tiền ra? A 12 năm B 13 năm C 10 năm D 11 năm Bài 1.4 (Thi Tốt nghiệp Phổ thông 2017, Đề số 101 Câu 35; Đề số 107 Câu 31; Đề số 109 Câu 38; Đề số 115 Câu 33; Đề số 117 Câu 39; Đề số 123 Câu 41) Một người gửi 50 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 6%/ năm Biết không rút tiền khỏi ngân hàng sau năm số tiền lãi nhập vào gốc để tính lãi cho năm Hỏi sau năm người nhận số tiền nhiều 100 triệu đồng bao gồm gốc lãi? Giả định suốt thời gian gửi, lãi suất khơng đổi người khơng rút tiền A 13 năm B 14 năm C 12 năm D 11 năm Bài 1.5 (Thi Tốt nghiệp Phổ thông 2017, Đề số 102 Câu 41; Đề số 108 Câu 38; Đề số 110 Câu 43; Đề số 116 Câu 36; Đề số 118 Câu 40; Đề số 124 Câu 39) Đầu năm 2016, ông A thành lập công ty Tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho nhân viên năm 2016 tỷ đồng Biết sau năm tổng số tiền dung để trả lương cho nhân viên năm tăng thêm 15% so với năm trước Hỏi năm năm mà tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho nhân viên năm lớn tỷ đồng ? A Năm 2023 B Năm 2022 C Năm 2021 D Năm 2020 Bài 1.6 (Sở Giáo dục – Đào tạo Thừa Thiên-Huế Đề thi học sinh giỏi tỉnh 2008-2009 Khối 12 Trung học phổ thơng Đề thức Ngày thi: 17-12-2008) Lãi suất tiền gửi tiết kiệm số ngân hàng thời gian vừa qua liên tục thay đổi Bạn Châu gửi số tiền ban đầu triệu đồng với lãi suất 0, 7% tháng Sau chưa đầy năm, lãi suất tăng lên 1, 15% tháng nửa năm bạn Châu tiếp tục gửi; sau nửa năm lãi suất giảm xuống 0, 9% tháng, bạn Châu tiếp tục gửi thêm số tháng tròn nữa, rút tiền bạn Châu vốn lẫn lãi 747 478,359 đồng (chưa làm tròn) Hỏi bạn Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 Châu gửi tiền tiết kiệm tháng? 1.6 Cuộn giấy, cuộn vải Cuộn giấy gồm lõi carton đường kính d0 cm cuộn giấy quấn quanh lõi Cuộn giấy thường chứa 60 giấy dài 25 cm, tổng chiều dài cuộn giấy 1500 cm Cho giấy quấn quanh lõi đường kính d0 , sau vịng quấn tổng đường kính cuộn giấy tăng lên 2t, t bề dày giấy Giả sử xn cm tổng chiều dài cuộn giấy quấn n vòng quanh lõi, vậy, x0 = Đường kính ngồi cuộn giấy dn = d0 + 2tn cm Điều khiến chiều dài cuộn giấy tăng lên từ vòng thứ n sang vòng thứ n + xn+1 = xn + π (d0 + 2tn) Như vậy, ta có cơng thức xn+1 = xn + π (d0 + 2tn) (1.8) Để tìm cơng thức nghiệm phương trình (công thức biểu diễn tường minh xn từ công thức (1.8), ta cần có kiến thức dãy truy hồi (phương trình sai phân) cấp một, trình bày Mơ hình tốn học Nhận xét Tất tốn thực tế trình bày Mục dẫn đến mơ hình tốn học đơn giản Dãy truy hồi (hay Phương trình sai phân) tuyến tính cấp 2.1 Khái niệm Dãy truy hồi (Phương trình sai phân) tuyến tính cấp dãy có dạng xn+1 = qxn + dn , n = 1, 2, (2.9) xn+1 = xn + d (2.10) Nếu q = 1, dn ≡ d ta có Đây cấp số cộng (số hạng sau số hạng trước cộng với số d không đổi) Nếu dn ≡ ta có xn+1 = qxn (2.11) Đây cấp số nhân (số hạng sau số hạng trước nhân với số q không đổi) Dãy xn+1 = qxn cịn gọi dãy truy hồi tuyến tính cấp Nếu dn không đồng dãy (1.9) gọi dãy truy hồi tuyến tính cấp khơng Như vậy, dãy truy hồi tuyến tính cấp trường hợp tổng quát cấp số cộng cấp số nhân Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 Cho trước giá trị ban đầu x0 dãy dn , ta dễ dàng tính nghiệm (số hạng tổng quát) dãy truy hồi (1.9): xn = qn x0 + qn−1 d0 + qn−2 d1 + · · · + qdn−2 + dn−1 = qn x0 + n −1 ∑ q n −1− k d k (2.12) k =0 Thật vậy, theo cơng thức (1.9) ta có: x1 = qx0 + d0 , x2 = qx1 + d1 = q (qx0 + d0 ) + d1 = q2 x0 + qd0 + d1 Giả sử công thức (1.12) với n Khi ấy, theo (1.9) giả thiết qui nạp, ta có: n −1 xn+1 = qxn + dn = q qn x0 + ∑ qn−1−k dk k =0 Vậy công thức (1.12) chứng minh n + d n = q n x0 + ∑ q n − k d k k =0 Nhận xét 2.2 Với giá trị ban đầu x0 dãy dn cho trước, ta dễ dàng tính nghiệm dãy truy hồi (1.9) máy tính theo cơng thức định nghĩa (1.9) (cơng thức truy hồi) công thức nghiệm tổng quát (12) Đây mạnh máy tính điện tử 2.2 Nghiệm tổng quát dãy truy hồi tuyến tính khơng Khi chưa biết giá trị ban đầu x0 , qui nạp, ta dễ dàng chứng minh rằng, dãy truy hồi tuyến tính cấp xn+1 = qxn có nghiệm tổng quát dạng x˜ n = Cqn , với C số Dãy { x¯ n } thỏa mãn (1.9) với n gọi nghiệm riêng (1.9) Ta có Mệnh đề 2.1 Nghiệm tổng quát phương trình (1.9) có dạng xn = x˜ n + x¯ n , x˜ n = Cqn nghiệm tổng quát phương trình sai phân tuyến tính xn+1 = qxn x¯ n nghiệm riêng phương trình khơng (1.9) Chứng minh Giả sử x¯ n nghiệm riêng (1.9), tức x¯ n+1 = q x¯ n + dn với n x˜ n = Cqn nghiệm tổng quát phương trình xn+1 = qxn Khi xn+1 = x˜ n+1 + x¯ n+1 = Cqn+1 + q x¯ n + dn = q (Cqn + x¯ n ) + dn = q ( x˜ n + x¯ n ) + dn = qxn + dn Vậy xn = x˜ n + x¯ n = Cqn + x¯ n nghiệm tổng quát (1.9) Dễ dàng thấy nghiệm (1.9) ứng với giá trị ban đầu x0 có dạng xn = qn x0 + x¯ n Tìm nghiệm riêng số trường hợp đặc biệt Theo Mệnh đề 2.1, để tìm cơng thức nghiệm (1.9), ta phải tìm nghiệm riêng Dưới ta tìm nghiệm riêng dãy (1.9) số trường hợp đặc biệt, Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 nhiên, tương đối tổng quát Mệnh đề 2.2 Giả sử dn = Pk (n) đa thức bậc k n Nếu q = tìm nghiệm riêng x¯ n phương trình khơng (1.9) dạng x¯ n = Qk (n) (đa thức bậc k n ) Nếu q = tìm nghiệm riêng x¯ n phương trình (1.9) dạng x¯ n = nQk (n) (đa thức bậc k + n ) Chứng minh Xem, Ví dụ, [6], trang 12; [7], trang 47 Ví dụ 2.5 Tìm nghiệm phương trình xn+1 = xn + 2n2 , x0 = 1, n Lời giải Nghiệm tổng quát phương trình xn+1 = xn xn = C Vì q = dn = 2n2 nên tìm nghiệm riêng phương trình dạng (cao dn bậc) x¯ n = n(C1 n2 + C2 n + C3 ) Thay vào phương trình ta đẳng thức sau với n : (n + 1)[C1 (n + 1)2 + C2 (n + 1) + C3 ] = n(C1 n2 + C2 n + C3 ] + 2n2 So sánh hệ số ta C1 = , C2 = −2, C3 = 3 Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho xn = C + n3 − 2n2 + n 3 Từ điều kiện ban đầu x0 = ta có C = Nghiệm ứng với điều kiện ban đầu x0 = xn = + n3 − 2n2 + n 3 Chú ý Mệnh đề 2.2 cho phương trình axn+1 + bxn = dn , n = 1, 2, , dạng tổng quát (1.9) Ví dụ 2.6 Tìm số hạng tổng qt dãy số 3xn+1 − 2xn = n + 1, x0 = 1, Lời giải Nghiệm tổng quát phương trình 3xn+1 − 2xn = ⇔ 3xn+1 = xn , n = 0, 1, 2, b xn = C (− )n = C ( )n a Vì q = = dn = n + đa thức bậc n nên ta tìm nghiệm riêng phương trình dạng đa thức bậc x¯ n = C1 n + C2 Thay vào phương trình cho ta có (C1 (n + 1) + C2 ) − 2[C1 n + C2 ] = n + với n Suy C1 = 1; C2 = −2 Vậy x¯ n = n − nghiệm tổng quát phương trình cho xn = C ( )n + n − Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 Vì x0 = nên C − = hay C = Vậy nghiệm phương trình cho ứng với điều kiện ban đầu x0 = xn = 3( )n + n − Trường hợp đặc biệt dn ≡ d Nếu dn ≡ d với n phương trình (1.9) có dạng xn+1 = qxn + d (2.13) Nếu q = dn = d (là đa thức bậc với n ) nên ta tìm nghiệm riêng dạng x¯ n = c (đa thức bậc với đa thức dn = d ) d Thay vào phương trình xn+1 = qxn + d ta c = qc + d, suy c = 1−q d Vậy nghiệm tổng quát (13) có dạng xn = Cqn + 1−q d Nghiệm phương trình (13) với điều kiện ban đầu x0 Nếu biết x0 C = x0 − 1−q d (1 − q n ) x n = q n x0 + (2.14) 1−q Nhận xét Trực tiếp, từ công thức (1.9), q = 1, ta có: xn = qxn−1 + d = q (qxn−2 + d) + d = q2 xn−2 + qd + d = qn − = q n x + ( q n −1 + q n −2 + · · · + q + ) d = q n x + d q−1 Khi q = (1.9) trở thành xn+1 = xn + d (cấp số cộng) Nghiệm tổng quát phương trình xn+1 = xn xn ≡ C Nghiệm riêng tìm dạng xn = cn (đa thức bậc n cao đa thức dn ≡ d bậc) Thay vào phương trình xn+1 = xn + d ta c(n + 1) = cn + d Suy c = d Vậy nghiệm tổng quát dãy xn+1 = xn + d (cấp số cộng) xn = C + nd Nếu x0 cho trước xn = x0 + nd Đây cơng thức tính số hạng tổng qt cấp số cộng Công thức dễ dàng chứng minh trực tiếp sau: xn = xn−1 + d = ( xn−2 + d) + d = · · · = x0 + nd Ta có cơng thức tổng số hạng đầu cấp số cộng: n ( n − 1) Sn = x0 + x1 + · · · + xn−1 = x0 + ( x0 + d) + · · · + ( x0 + (n − 1)d) = nx0 + d Trường hợp đặc biệt dn ≡ Nếu dn ≡ từ cơng thức (1.14) ta lại có cơng thức số hạng tổng quát cấp số nhân xn+1 = qxn xn = qn x0 Ta có cơng thức tổng Sn số hạng đầu cấp số nhân: Sn = x0 + x1 + · · · + xn−1 = x0 + qx0 + q2 x0 + · · · + qn−1 x0 − qn x0 = + q + · · · + q n −1 x = 1−q Ghi Ở trình bày cách tìm nghiệm phương trình sai phân tuyến tính cấp trường hợp đơn giản (Mệnh đề 2.2) Có thể tìm hiểu thêm phương trình sai phân bậc qua tài liệu [2]-[4], [6], [7] 10 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 (1) (2) Mệnh đề 2.3 (Nguyên lí chồng chất nghiệm) Giả sử dn có dạng dn = dn + dn (i ) xn , i = 1, 2, nghiệm riêng phương trình (i ) xn+1 = qxn + dn , i = 1, 2, (1) (2) Khi xn = xn + xn nghiệm riêng phương trình (1) (2) xn+1 = qxn + dn = qxn + dn + dn (i ) Chứng minh Vì xn , i = 1, 2, tương ứng nghiệm phương trình (i ) (1) (1) (2) xn+1 = qxn + dn nên xn(1+)1 = qxn + dn xn(2+)1 = qxn(2) + dn (1) (2) Nếu xn = xn + xn (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) xn+1 = qxn + dn + dn = q( xn + xn ) + dn + dn (1) (1) (2) (2) (1) (2) Vậy xn = xn + xn nghiệm phương trình (1) (2) xn+1 = qxn + dn = qxn + dn + dn (1) (2) Như vậy, để tìm nghiệm riêng xn+1 = qxn + dn + dn , ta cần tìm nghiệm riêng phương trình đơn giản hơn: (i ) xn+1 = qxn + dn , i = 1, Mệnh đề dễ dàng mở rộng cho trường hợp k (i ) dn = ∑ dn i =1 Ứng dụng phương trình sai phân cấp giải tốn tốn thực tế Nhận xét 3.3 Các cơng thức nghiệm dãy truy hồi tuyến tính cấp Mục có ích giải tốn giải tốn thực tế 3.1 Tính tổng Cơng thức nghiệm phương trình sai phân Mục sử dụng để tính tổng Ta xét Ví dụ sau Ví dụ 3.7 Xét phương trình sai phân xn+1 = xn + n, n = 0, 1, 2, Nghiệm phương trình xn+1 = xn xn = C Ta tìm nghiệm riêng phương trình dạng đa thức bậc hai (cao đa thức dn = n bậc: x¯ n = n(C1 n + C2 ) Thay vào phương trình ta đẳng thức với n : (n + 1)(C1 (n + 1) + C2 ) = n(C1 n + C2 ) + n 11 (2) = qxn + dn + qxn + dn = xn+1 + xn+1 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 So sánh hệ số hai vế ta C1 = 1 ; C2 = − 2 n ( n − 1) n ( n − 1) = x0 + Nếu x0 = nghiệm Vậy nghiệm tổng quát phương trình xn = C + Nếu cho trước x0 nghiệm xn xn = n ( n − 1) Nhận xét 3.4 Nếu x0 = xn+1 = xn + n = xn−1 + (n − 1) + n = · · · = + + · · · + n Như vậy, xn+1 tổng n số tự nhiên n ( n + 1) x n +1 = x n + n = x n −1 + ( n − ) + n = · · · = + + · · · + n = Ta biết cách tính Sn = + + · · · + n sau Viết lại tổng dạng Sn = n + (n − 1) + · · · + + Cộng hai đẳng thức ta 2S = (1 + + · · · + n) + (n + (n − 1) + · · · + 1) = ( n + 1) + · · · + ( n + 1) = n ( n + 1) n n ( n + 1) Vậy Sn = Ví dụ 3.8 Xét phương trình sai phân xn+1 = xn + (n + 1)2 Nghiệm phương trình xn+1 = xn xn = C Vì dn = (n + 1)2 tam thức bậc hai nên ta tìm nghiệm dạng x¯ n = n( an2 + bn + c) Thay vào phương trình ta đẳng thức với n : (n + 1)( a(n + 1)2 + b(n + 1) + c) = n( an2 + bn + c) + (n + 1)2 1 Suy a = , b = , c = Vậy phương trình xn+1 = xn + (n + 1)2 có nghiệm 1 xn = C + n3 + n2 + n Nếu cho trước x0 nghiệm xn = x0 + n + n + n Nếu x0 = nghiệm xn = n + n + n Nhận xét 3.5 Nếu x0 = x n +1 = x n + ( n + )2 = x n −1 + n + ( n + )2 = = 12 + 22 + · · · + n + ( n + ) hay x n = 12 + 22 + · · · + n Như vậy, xn tổng bình phương n số tự nhiên 1 n(n + 1)(2n + 1) x n = n3 + n2 + n = 6 Suy cơng thức tính tổng bình phương n số tự nhiên đầu tiên: 12 + 22 + 32 + · · · + n2 = n(n + 1)(2n + 1) 12 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 Ví dụ 3.9 Xét phương trình sai phân xn+1 = xn + (2n + 1)2 Nghiệm phương trình xn+1 = xn xn = C Vì dn = (2n + 1)2 tam thức bậc hai nên ta tìm nghiệm dạng đa thức bậc ba x¯ n = n( an2 + bn + c) Thay vào phương trình ta đẳng thức với n : (n + 1)( a(n + 1)2 + b(n + 1) + c(n + 1)) = n( an2 + bn + c) + (2n + 1)2 Suy a = , b = 0, c = − 3 Vậy phương trình cho có nghiệm xn = C + n3 − n 3 Nếu cho trước x0 nghiệm xn = x0 + n − n 3 Nếu x0 = nghiệm xn = n − n 3 Nhận xét 3.6 Nếu x0 = xn+1 = xn + (2n + 1)2 = xn−1 + (2n − 1)2 + (2n + 1)2 = = 12 + 32 + · · · + (2n + 1)2 Vậy, xn tổng bình phương n số lẻ 1 xn = n3 − n = n(4n2 − 1) = n(2n − 1)(2n + 1) 3 3 Suy công thức 12 + 32 + · · · + (2n + 1)2 = n(4n2 − 1) Tiểu kết Như vậy, sử dụng cơng thức nghiệm phương trình sai phân phương pháp để tính tổng Phương pháp hay cách chứng minh qui nạp chỗ, chứng minh qui nạp thường phải biết trước công thức nghiệm, cịn phương pháp phương trình sai phân cho cách tìm công thức nghiệm Phương pháp cho phép sáng tạo tập tính tổng số theo qui luật Hơn nữa, sâu nghiên cứu phương trình sai phân cấp theo [2]-[4], [6], [7] để tìm tổng biểu thức lượng giác, biểu thức chứa hàm mũ, Bài tập tương tự Bài 3.7 Tìm nghiệm phương trình sai phân xn+1 = xn + 2n + Tính tổng Sn = + + + + · · · + (2n + 1) Bài 3.8 Tìm nghiệm phương trình sai phân xn+1 = xn + (n + 1)3 Tính tổng Sn = 13 + 23 + 33 + · · · + n3 Bài 3.9 Tìm nghiệm phương trình sai phân xn+1 = xn + (2n + 1)2 Tính tổng Sn = + + 25 + · · · + (2n − 1)2 13 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 Bài 3.10 Tìm nghiệm phương trình sai phân xn+1 = xn + (2n + 1)3 Tính tổng Sn = + 27 + 125 + · · · + (2n − 1)3 Bài 3.11 Tìm nghiệm phương trình sai phân xn+1 = xn + (3n + 1)2 Tính tổng Sn = 12 + 42 + 72 + · · · + (3n − 2)2 Bài 3.12 Tìm nghiệm phương trình sai phân xn+1 = xn + (3n + 2)2 Tính tổng Sn = 22 + 52 + 82 + · · · + (3n − 1)2 3.2 Cuộn giấy, cuộn vải (tiếp Mục 1.6) Xét phương trình cuộn giấy (1.8) (1) (2) xn+1 = xn + π (d0 + 2tn) = xn + πd0 + 2πtn = xn + dn + dn Biết bề dày t giấy, ta tính chiều dài cuộn giấy sau n lần cuộn Bởi x0 = nên vớid0 = nghiệm phương trình gồm tổng hai nghiệm riêng tương (1) (2) ứng với hai số hạng dn = 4π dn = 4πtn Vì phương trình xn+1 = xn có q = nên nghiệm riêng phương trình xn+1 = xn + 4π 4πn nghiệm riêng phương trình xn+1 = xn + π (d0 + 2tn) 2πt × n(n − 1) Nghiệm phương trình (1.8) ứng với x0 = xn = 4πn + πtn(n − 1) Ví dụ, bề dày giấy 0,07 cm n = 70 xn = 4π × 70 + π × 0, 07 × 70 × 69 = 1941, cm Đây chiều dài cuộn giấy quấn 70 vòng Tất nhiên, biết chiều dài cuộn giấy số vòng quấn, ta tìm độ dày giấy Ví dụ, tời cuộn giấy quấn lại 61 vịng Tồn cuộn giấy gồm 60 chiều dài 25 cm Hỏi bề dày giấy Từ công thức xn = d0 πn + πtn(n − 1) với xn = 60 × 25 = 1500 cm, n = 61 suy xn − 4πn t= =0,063788204 (cm) πn(n − 1) 3.3 Tăng trưởng suy giảm có bổ sung Ở Mục 1.5 ta xét tốn gửi tiền tiết kiệm Bài tốn có nội dung là: ta gửi vào ngân hàng khoản tiền (đồng), để số vốn tự sinh lãi quên đi, sau thời gian ta rút tiền Số tiền gốc lẫn lãi tính theo cơng thức số hạng thứ n cấp số nhân xn = qn x0 Tuy nhiên, thực tế, ta cịn gặp tốn phức tạp hơn: Để mua nhà, trả nợ, , ta thường hay sử dụng loại “tăng trưởng suy giảm có bổ sung”, tức ta thường xuyên gửi vào rút lượng tiền Xét Ví dụ sau Ví dụ 3.10 Giả sử vào ngày tháng giêng ta gửi 1000 đô-la với lãi suất 0, 5%/tháng Khi ấy, sang ngày tháng hai ta có 1000 + 1000 × 0, 5% = 1005 đơla Sang ngày tháng ba ta có số tiền 1005 + 1005 × 0, 5% = 1010, 025 đơla Giả sử đầu tháng ba ta rút 100 đôla (tiêu đột xuất), số tiền mà ta lại 1010, 025 − 100 = 910, 025 đôla 14 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 Nói chung, xn số tiền ta có vào đầu tháng thứ n, số tiền ta có gửi tiết kiệm (với lãi suất r% ) vào đầu tháng thứ n + xn+1 = xn + r%xn = (1 + r%) xn Nếu ta thêm vào hay bớt lượng tiền dn vào đầu tháng thứ n số tiền xn+1 = (1 + r%) xn + dn , n = 0, 1, 2, 3, Đây phương trình sai phân bậc tuyến tính khơng (1.9) xét Mục Khi biết giá trị đại lượng dn , ta tính giá trị xn+1 theo công thức truy hồi Trong Ví dụ 3.3.1, với n = ta có d0 = x1 = (1 + 0, 5%) x0 + d0 = 1, 005 × 1000 + = 1005 đơla Với n = ta có d1 = −100 x2 = (1 + 0, 5%) x1 + d1 = 1, 005 × 1005 − 100 = 910, 025 đơla Nếu dn có dạng đặc biệt, Ví dụ, dn ≡ d, ta sử dụng cơng thức (2.14) để tìm xn Bài tập tương tự Bài 3.13 (Thi chọn đội tuyển thi Giải tốn máy tính,Trường THCS Cát Tiên, Đồng Nai, 2004) Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền 1.000.000 đ (một triệu đồng) với lãi suất tiết kiệm 0, 45% tháng Hỏi sau hai năm người nhận tiền (kết làm tròn đến chữ số hàng đơn vị) Bài 3.14 (Sở Giáo dục – Đào tạo Hải Phòng Đề thi chọn đội tuyển Giải tốn máy tính năm 2007-2008) Hai vợ chồng có vào lớp định: Mỗi tháng gửi đặn vào ngân hàng 800.000 đồng (tám trăm nghìn đồng) với lãi suất 0, 25% /tháng học hết lớp 12 Hỏi sau năm (84 tháng), vợ chồng để dành cho số tiền bao nhiêu? Số tiền lãi bao nhiêu? (Tính số tiền đến nghìn đồng) Bài 3.15 (Bộ Giáo dục Đào tạo, Thi Giải toán máy tính điện tử, Trung học Cơ sở, 2010) Câu Một người gửi tiết kiệm 250.000.000đ (hai trăm năm mươi nghìn đồng) loại kì hạn tháng vào ngân hàng với lãi suất 10, 45% năm Hỏi sau 10 năm tháng người nhận tiền vốn lẫn lãi Biết người khơng rút lãi tất định kì trước Câu Nếu với số tiền Câu 1, người gửi tiết kiệm loại kì hạn tháng vào ngân hàng với lãi suất 10, 5% năm sau 10 năm tháng người nhận tiền vốn lẫn lãi Biết người khơng rút lãi tất định kì trước rút tiền trước thời hạn ngân hàng trả lãi suất theo loại khơng kì hạn 0, 015% ngày (1 tháng tính 30 ngày) Câu Một người hàng tháng gửi tiết kiệm 10.000.000 đ (mười triệu đồng) vào ngân hàng với lãi suất 0, 84% tháng Hỏi sau năm người nhận tiền vốn lẫn lãi Biết người khơng rút lãi tất định kì trước 15 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 Thay lời kết Bài viết minh họa khả sử dụng mơ hình tốn học đơn giản (dãy truy hồi tuyến tính cấp một) giải tốn đặc biệt, giải toán thực tế Khá nhiều tốn thực tế dẫn đến phương trình sai phân tuyến tính cấp sử dụng làm đề thi học sinh giởi Giải tốn máy tính (xem, Ví dụ, [1], [5]) Nếu biết khai thác kiến thức phương trình sai phân cấp cấp cao, xem, Ví dụ, [2]-[4], [6], [7], sử dụng chúng giải toán và/hoặc giải lớp toán thực tế phức tạp Tài liệu [1] Bùi Việt Hà, Hướng dẫn sử dụng nhanh Geogebra, School@net [2] Nguyễn Thị Hồng Hạnh, Đỗ An Khánh, Bùi Thị Hằng Mơ, Tạ Duy Phượng, Geogebra-Một công cụ thí nghiệm phân tích đa thức thừa số, Kỷ yếu Hội thảo Seminar toán Olympic (Nguyễn Văn Mậu chủ biên), Trường Trung học Cơ sở Cầu Giấy, 02/05/2019 Xem thêm: Big School: https://stream.bigschool.vn/static/Bigschoolvn/document/2019/05/8Geogebra244-2019.pdf [3] Nguyễn Thị Hồng Hạnh, Bùi Thị Hằng Mơ, Tạ Duy Phượng, Sử dụng phần mềm Geogebra tìm hiểu mơt số giả thuyết số nguyên tố, Kỷ yếu Hội thảo Các chuyên đề tốn học cập nhật chương trình sách giáo khoa (Nguyễn Văn Mậu, Trần Quốc Tuấn chủ biên), Lạng Sơn 02-03/03/2019 [4] Lại Đức Thịnh, Giải đáp thắc mắc, Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ, Số 29 (tháng 2-1967) [5] Lại Đức Thịnh, Nói chuyện số nguyên tố, Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ, số 7-1966 [6] Tuyển tập 30 năm tạp chí Tốn học Tuổi trẻ, Nhà xuất Giáo dục, 1997, trang 343 [7] Trần Đỗ Minh Châu, Tạ Duy Phượng, Nguyễn Khác Tồn,Tuyển tập đề thi Giải tốn máy tính, Trung học sở 2003-2011, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2013 [8] Lê Đình Định, Bài tập Phương trình sai phân, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2011 [9] Nguyễn Văn Mậu, Một số toán chọn lọc dãy số, Nhà xuất Giáo dục, 2006 [10] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Tuấn, Chuyên đề chọn lọc Dãy số áp dụng, Nhà xuất Giáo dục, 2008 [11] Phạm Thị Nhàn, Tạ Duy Phượng, Trần Dư Sinh, Các đề thi học sinh giỏi Giải tốn máy tính điện tử cấp tỉnh, thành phố toàn quốc, Trung học Phổ thông, 2008-2015 (Bản thảo) [12] Tạ Duy Phượng, Phạm Thị Hồng Lý, Một số dạng toán thi học sinh giỏi Giải tốn máy tính-Phương trình sai phân, Nhà xuất Giáo dục, 2005, 2006, 2008 [13] Lê Đình Thịnh, Lê Đình Định, Phương trình sai phân, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2004 16 ... Khoa học, Sầm Sơn 2 8-2 8/09/2019 Thay lời kết Bài viết minh họa khả sử dụng mơ hình tốn học đơn giản (dãy truy hồi tuyến tính cấp một) giải toán đặc biệt, giải toán thực tế Khá nhiều toán thực tế. .. thức dãy truy hồi (phương trình sai phân) cấp một, trình bày Mơ hình tốn học Nhận xét Tất toán thực tế trình bày Mục dẫn đến mơ hình tốn học đơn giản Dãy truy hồi (hay Phương trình sai phân) tuyến. .. cấp số nhân (số hạng sau số hạng trước nhân với số q không đổi) Dãy xn+1 = qxn gọi dãy truy hồi tuyến tính cấp Nếu dn khơng đồng dãy (1.9) gọi dãy truy hồi tuyến tính cấp khơng Như vậy, dãy truy