Đang tải... (xem toàn văn)
Chứng minh rằng khi đó luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh thuộc các điểm của mặt phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó cùng màu hoặc đôi một khác màu... Cán bộ coi thi không[r]
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC —————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP NĂM HỌC 2011-2012 ĐỀ THI MÔN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề ———————————— Câu (3,0 điểm) x3 f x 3x 3x Hãy tính giá trị biểu thức sau: Cho 2010 Af f f 2012 2012 2012 2011 f 2012 x x x 1 2x x x x x x x x x2 x Cho biểu thức Tìm tất giá trị x cho giá trị P số nguyên Câu (1,5 điểm) P x; y Tìm tất cặp số nguyên dương x y thỏa mãn x y Câu (1,5 điểm) Cho a, b, c, d số thực thỏa mãn điều kiện: abc bcd cda dab a b c d 2012 Chứng minh rằng: Câu (3,0 điểm) a Cho ba đường tròn O1 , O2 1 b 1 c 1 d 1 2012 O1 , O2 O (kí hiệu X tiếp xúc với điểm I đường trịn có tâm điểm X) Giả sử O1 , O2 tiếp xúc với O M , M Tiếp tuyến đường tròn O1 điểm I cắt đường tròn O điểm A, A ' Đường thẳng AM cắt lại đường tròn O1 điểm N1 , đường thẳng AM cắt lại đường tròn O2 Chứng minh tứ giác M N1 N M nội tiếp đường thẳng OA vng góc với đường điểm N thẳng N1 N O cho PQ vng góc với AI (điểm P nằm Kẻ đường kính PQ đường trịn cung AM không chứa điểm M ) Chứng minh PM , QM không song song đường thẳng AI , PM QM đồng quy Câu (1,0 điểm) Tất điểm mặt phẳng tô màu, điểm tô màu xanh, đỏ, tím Chứng minh ln tồn tam giác cân, có đỉnh thuộc điểm mặt phẳng mà đỉnh tam giác màu đơi khác màu —Hết— Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh……………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ——————— KỲ THI CHỌN HSG LỚP THCS NĂM HỌC 2011-2012 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN ——————————— I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,5 khơng làm trịn - Với hình học thí sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương ứng với phần II ĐÁP ÁN: Câu Ý 1 Nội dung trình bày Điểm 1,5 điểm f x f y 1 Nhận xét Nếu x y 1 f x Thật vậy, ta có x3 x3 x f y f 1 f x f y f x f 1 x suy x3 x3 1 x x 3 x 1 x x 1 3 x x 1 x 1 f Vậy, nhận xét chứng minh Ta có Theo nhận xét ta có: 2011 2010 A f f f f 2012 2012 2012 2012 1005 1007 1006 f f f 1005 2012 2012 2012 1,5 điểm Điều kiện: x 0, x 1 Khi ta có P 0,5 0,5 1 f 1005,5 2 x 2 x x 1 Rút gọn biểu thức ta Px P 1 x P 0 Ta có , ta coi phương trình bậc hai x Nếu P 0 x 0 vơ lí, suy P 0 nên để tồn x phương trình có 0,5 P 1 P P 0 0,5 0,5 4 3P P 0 P P P 1 3 P 1 Do P nguyên nên P 1 0 P 1 x 1 không thỏa mãn +) Nếu 0,5 P 2 1 P 2 x x 0 x 0 P +) Nếu khơng thỏa mãn Vậy khơng có giá trị x thỏa mãn 1,5 điểm Nếu x y x y x ( y 6) 1 phương trình vơ nghiệm Do P 1 2 x y x y y x x x {1; 2} Với x 1 thay vào phương trình ban đầu ta được: y 1 ( y 5)2 y 3 y y 0 y 3 suy phương trình có 0,5 0,5 x ; y (1; 3) nghiệm Với x 2 thay vào phương trình ban đầu ta được: y 2 ( y 4) y y y 0 phương trình vơ nghiệm y 1 Vậy phương trình cho có nghiệm 1,5 điểm Ta có: x ; y (1; 3) 2012 abc bcd cda dab a b c d ab 1 c d cd 1 a b 0,5 2 2 ab 1 a b cd 1 c d 0,5 a 2b a b 1 c d c d 1 a 1 b2 1 c 1 d 1 a Suy 1 b 1 c 1 d 1 2012 P A N1 O M1 O1 I A' O2 N2 Q M2 S 0,5 2,0 điểm +) Ta có AM AN1 AM AN AI AN1 N đồng dạng với AM M 0,5 0,5 suy AN1 N AM M M N1 N AM M 180 hay tứ giác M N1 N M nội tiếp AN N AM M AOM 1 2 +) Ta có tam giác AOM cân O nên AO 180 AOM M Do ta AN1 N M AO 90 OA N1 N 1,0 điểm Gọi S giao điểm PM QM Ta có O, O2 , M thẳng hàng O2 I song song với OP IO2 M POM (1) Mặt khác tam giác O2 IM cân O2 , tam giác OPM cân O kết hợp với (1) ta O2 IM OPM suy P, I , M thẳng hàng Tương tự ta 0,5 0,5 0,5 0,5 có Q, I , M thẳng hàng Q PM Q 900 O suy PM Do PQ đường kính đường tròn I trực tâm tam giác SPQ suy AI qua S hay ba đường thẳng AI , PM , QM đồng quy 0,5 1,0 điểm Xét ngũ giác ABCDE, ta nhận thấy ba đỉnh ngũ giác ln tạo thành tam giác cân Do tô đỉnh A, B, C, D, E màu xanh, đỏ tím xảy hai khả sau: +) Nếu tô đỉnh A, B, C, D, E đủ ba loại màu cho tồn đỉnh có màu khác tạo thành tam giác cân +) Nếu tô đỉnh A, B, C, D, E nhiều màu có đỉnh màu tạo thành tam giác cân Vậy, trường hợp ln tồn tam giác cân, có đỉnh tô màu đôi khác màu 0,5 0,5 ...Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh……………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ——————— KỲ THI CHỌN HSG LỚP THCS NĂM HỌC 2011-2012 HƯỚNG... hàng Q PM Q ? ?90 0 O suy PM Do PQ đường kính đường tròn I trực tâm tam giác SPQ suy AI qua S hay ba đường thẳng AI , PM , QM đồng quy 0,5 1,0 điểm Xét ngũ giác ABCDE, ta nhận thấy ba... AM M AOM 1 2 +) Ta có tam giác AOM cân O nên AO 180 AOM M Do ta AN1 N M AO ? ?90 OA N1 N 1,0 điểm Gọi S giao điểm PM QM Ta có O, O2 , M thẳng hàng O2 I song song với