Đề thi HSG toán 10

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP 10 (Đề 2) TRƯỜNG THPT TAM DƯƠNG NĂM HỌC 2008- 2009 …………………………………………………………… MÔN THI : TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề Bài 1: (2.0 điểm) Với a,b,c > 0 thỏa mãn điều kiện abc =1. Chứng minh rằng: 4 3 )1)(1()1)(1()1)(1( 333 ≥ ++ + ++ + ++ ba c ac b cb a Bài 2: (2.0 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O. Các đường thẳng AB,CD, cắt nhau ở E, AD, BC cắt nhau ở F, AC, BD cắt nhau ở M. Các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác CBE, CDF cắt nhau ở N. Chứng minh rằng O,M, N thẳng hàng. Bài 3 : (2.0 điểm) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: x 3 + (x + 1) 3 + . + (x + 7) 3 = y 3 (1) Bài 4: (2.0 điểm)Chứng minh rằng, Trong mọi tam giác ta luôn có: + + < + + + sin sin sin 2 sin sin sin sin sin sin A B C B C C A A B Bài 5: (2.0 điểm) Giải hệ phương trình:      −=+− −=+ yxyxyx xyx 1788 493 22 23 ……………………………………………HẾT…………………………………………………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP 10 (Đề 1) TRƯỜNG THPT TAM DƯƠNG NĂM HỌC 2008- 2009 …………………………………………………………… MÔN THI : TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề Câu 1 ( 3 điểm ): a, Giải các phương trình sau: 2 3 2 2 1 = − + − xx b, Gọi x 1 , x 2 là nghiệm phương trình ax 2 + bx + c = 0. Đặt S n = xx nn 21 + , n là số nguyên. Chứng minh rằng a.S n + b.S n-1 + c.S n-2 = 0. Câu 2 ( 2điểm ) Tìm giá trị k lớn nhất để bất phương trình sau đúng với mọi x [ ] 1;0 ∈ 1)1( 22 ++≤−+ xxxxk Câu 3 ( 3 điểm)Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC tương ứng lấy các điểm D, E, F không trùng với các đỉnh tam giác sao cho các đoạn thẳng AE, BF, CD không đồng quy. Gọi P là giao điểm của BF và CD, Q là giao điểm AE với BF; R là giao điểm AE với CD. Giả sử 4 tam giác ADR, BEQ, CFP, PQR có diện tích đều bằng 1. a, CMR tam giác BQDvà tam giác BPA đồng dạng b, CMR các tứ giác DRQB, EQPC, FPRA có diện tích bằng nhau và tính diện tích của chúng. Câu 4 ( 2 điểm ): Cho 3 số dương a, b, c thỏa a + b + c = 1. CMR : (a + b )(b + c )(c + a )abc 729 8 ≤ ……………………………………………………………………………………………………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12THPT NĂM HỌC 2008-2009 TRƯỜNG THPT TAM DƯƠNG ĐỀ THI MÔN : TOÁN …………………………………………………………… Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề Câu 1. Giải phương trình: 26 9 3 2 = − + x x x Câu 2. Giải hệ phương trình      +=− =+− 22 2 )2(8 02 yxx xyy Câu 3. Tìm tất cả các số thực a, b, p, q sao cho phương trình: 102202 )()()12( qpxxbaxx ++=+−− thỏa mãn với mọi số thực x. Câu 4. Cho tam giác đều ABC có diện tích bằng 7. Các điểm M,N lần lượt nằm trên hai cạnh AB, Ac sao cho AN = BM. Gọi O là giao điểm của hai đường thẳng BN và CM. Biết diện tích tam giác BOC bằng 2. a, Tính tỷ số AB MB b, Tính giá trị góc AOB Câu 5. Cho x, y, z là số thực dương thỏa mãn điều kiện 1 =++ zxyzxy . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: xyx z xzz y yzy x P + + + + + = 333 …………………………………………………………………………………………………………………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP 10 (Đề 3) TRƯỜNG THPT TAM DƯƠNG NĂM HỌC 2008- 2009 …………………………………………………………… MÔN THI : TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề Câu 1.( 2 điểm ) Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực thuộc nửa khoảng [-2;4): - x 2 +4 |x-1| - 4m=0. Câu 2.( 1,5 điểm) Giải phương trình: 17152 32 −=−+ xxx Câu 3(1,5 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2007200620062005 222 ++=+++ xyxyyyxx Câu 4(1,5 điểm) Cho x,y,z dương. Chứng minh rằng: 2425 > + + + + + yx z xz y zy x Câu 5.(2,0 điểm)Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp tâm I. Gọi m a , m b , m c lần lượt là độ dài các đường trung tuyến hạ từ A, B, C. Chứng minh rằng: 3 4 2 2 2 2 2 2 <++ mmm cba ICIBIA Câu 6.Cho tam giác ABC có hai đường phân giác trong và ngoài góc A cắt cạnh BC tại D và E. Chứng minh rằng nếu AD = AE thì AB 2 + AC 2 = 4R 2 ( trong đó R là bán kinhd đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC). ……………………………………………………H ẾT…………………………………………………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP 10 (Đề 3) TRƯỜNG THPT TAM DƯƠNG NĂM HỌC 2008- 2009 …………………………………………………………… MÔN THI : TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề Câu 1.( 2 điểm ) Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực thuộc nửa khoảng [-2;4): - x 2 +4 |x-1| - 4m=0. Câu 2.( 1,5 điểm) Giải phương trình: 17152 32 −=−+ xxx Câu 3(1,5 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2007200620062005 222 ++=+++ xyxyyyxx Câu 4(1,5 điểm) Cho x,y,z dương. Chứng minh rằng: 2425 > + + + + + yx z xz y zy x Câu 5.(2,0 điểm)Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp tâm I. Gọi m a , m b , m c lần lượt là độ dài các đường trung tuyến hạ từ A, B, C. Chứng minh rằng: 3 4 2 2 2 2 2 2 <++ mmm cba ICIBIA Câu 6.Cho tam giác ABC có hai đường phân giác trong và ngoài góc A cắt cạnh BC tại D và E. Chứng minh rằng nếu AD = AE thì AB 2 + AC 2 = 4R 2 ( trong đó R là bán kinhd đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC). ……………………………………………………H ẾT…………………………………………………………… Họ và tên học sinh…………………………………………………………………… Lớp 11A…… ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I BAN KHCB MÔN : TIN ( Thời gian làm bài 45 phút ) …………………………………………………… Câu 1 ( 3 điểm).Hãy cho biết các thủ tục vào- ra đơn giản và nêu ví dụ minh họa ? Câu 2 ( 2 điểm). Hãy chuyển các biẻu thớc trong Pascal dưới đây thành biểu thức toán học tương ứng? a, a / b*c – sqrt(a + b) c, a + b*c /(2*c + 4b) - 2*a b, a*b + c + sqrt(a + b) d, 1 / a*b*c – d Câu 3.( 5 điểm) Hãy viết chương trình giải bất phương trình 0 ≥+ bax bằng ngôn ngữ lập trình Pascal? ………………………………………………….HẾT………………………………………………………… Họ và tên học sinh…………………………………………………………………… Lớp 11A…… ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I BAN KHCB MÔN : TIN ( Thời gian làm bài 45 phút ) …………………………………………………… Câu 1 ( 3 điểm).Hãy cho biết các thủ tục vào- ra đơn giản và nêu ví dụ minh họa ? Câu 2 ( 2 điểm). Hãy chuyển các biẻu thớc trong Pascal dưới đây thành biểu thức toán học tương ứng? a, a / b*c – sqrt(a + b) c, a + b*c /(2*c + 4b) - 2*a b, a*b + c + sqrt(a + b) d, 1 / a*b*c – d Câu 3.( 5 điểm) Hãy viết chương trình giải bất phương trình 0 ≥+ bax bằng ngôn ngữ lập trình Pascal? ………………………………………………… .HẾT……………………………………………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12THPT NĂM HỌC 2008-2009 TRƯỜNG THPT TAM DƯƠNG ĐỀ THI MÔN : TOÁN (Đề 5) …………………………………………………………… Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề Câu 1 ( 2 điểm) Giả sử phương trình bậc hai .0 2 =++ cbxax có hai nghiệm dương x 1, x 2 và phương trình bậc hai .0 2 =++ abxcx có hai nghiệm dương x 3 , x 4 . Chứng minh rằng x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ≥ 4 Câu 2 ( 2 điểm). Tìm tất cả các giá trị của tham số a để phương trình: 06116 23 =−++− axxx có 3 nghiệm nguyên phân biệt. Câu 3 ( 3điểm). a, Cho tam giác ABC có I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh rằng nếu AM vuông góc với OI thì ACABBC 112 += b,Cho tam giác ABC thỏa mãn: cbacbba ++ = + + + 311 . Tính số đo góc B Câu 4. ( 2 điểm) Giải phương trình: 53512 22 ++=++ xxx Câu5 ( 1 điểm)Cho a, b, c > 0 và a + b + c =1. CMR )(9 10 222 3 cba abc b c a b c a ++ ≥+++ ……………………………………………………H ẾT…………………………………………………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10THPT NĂM HỌC 2008-2009 TRƯỜNG THPT TAM DƯƠNG ĐỀ THI MÔN : TOÁN …………………………………………………………… Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề Câu 1 ( 2 điểm) Giả sử phương trình bậc hai .0 2 =++ cbxax có hai nghiệm dương x 1, x 2 và phương trình bậc hai .0 2 =++ abxcx có hai nghiệm dương x 3 , x 4 . Chứng minh rằng x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ≥ 4 Câu 2 ( 2 điểm). Tìm tất cả các giá trị của tham số a để phương trình: 06116 23 =−++− axxx có 3 nghiệm nguyên phân biệt. Câu 3 ( 3điểm). a, Cho tam giác ABC có I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh rằng nếu AM vuông góc với OI thì ACABBC 112 += b,Cho tam giác ABC thỏa mãn: cbacbba ++ = + + + 311 . Tính số đo góc B Câu 4. ( 2 điểm) Giải phương trình: 53512 22 ++=++ xxx Câu5 ( 1 điểm)Cho a, b, c > 0 và a + b + c =1. CMR )(9 10 222 3 cba abc b c a b c a ++ ≥+++ ……………………………………………………H ẾT…………………………………………………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10THPT NĂM HỌC 2008-2009 TRƯỜNG THPT TAM DƯƠNG ĐỀ THI MÔN : TOÁN (Đề 6 ) …………………………………………………………… Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề Câu 1( 2 điểm). Xác định a để hệ có nghiệm duy nhất      −−=++ =+++ axyyx ayx 22 2 200920092 12009 Câu 2 ( 2 điểm). Giải phương trình: 51624923 22 =+−++− xxxx Câu 3 ( 2 điểm) . Cho a, b, c >0 thỏa mãn abc = 1. CMR 4 3 )1)(1()1)(1()1)(1( 444 ≥ ++ + ++ + ++ ba c ac b cb a Câu 4 ( 2 điểm) . cho đường tròn cố định tâm O, bán kính r và tam giác ABC thay đổi nhưng luôn ngoại tiếp đường tròn. Đường thẳng đi qua O cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Xác định vị trí của điểm A và của MN sao cho diện tích tam giác AMN đạt GTNN. Câu 5 ( 2 điểm) . Cho số ,12 2 += n n A với n là số tự nhiên . CMR với hai số tự nhiên khác nhau m, k thì km AA , nguyên tố cùng nhau ……………………………………H ẾT………………………………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10THPT NĂM HỌC 2008-2009 TRƯỜNG THPT TAM DƯƠNG ĐỀ THI MÔN : TOÁN (Đề 6 ) …………………………………………………………… Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề Câu 1( 2 điểm). Xác định a để hệ có nghiệm duy nhất      −−=++ =+++ axyyx ayx 22 2 200920092 12009 Câu 2 ( 2 điểm). Giải phương trình: 51624923 22 =+−++− xxxx Câu 3 ( 2 điểm) . Cho a, b, c >0 thỏa mãn abc = 1. CMR 4 3 )1)(1()1)(1()1)(1( 444 ≥ ++ + ++ + ++ ba c ac b cb a Câu 4 ( 2 điểm) . cho đường tròn cố định tâm O, bán kính r và tam giác ABC thay đổi nhưng luôn ngoại tiếp đường tròn. Đường thẳng đi qua O cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Xác định vị trí của điểm A và của MN sao cho diện tích tam giác AMN đạt GTNN. Câu 5 ( 2 điểm) . Cho số ,12 2 += n n A với n là số tự nhiên . CMR với hai số tự nhiên khác nhau m, k thì km AA , nguyên tố cùng nhau ……………………………………H ẾT………………………………………… . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10THPT NĂM HỌC 2008-2009 TRƯỜNG THPT TAM DƯƠNG ĐỀ THI MÔN : TOÁN (Đề 6 ) …………………………………………………………… Thời. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12THPT NĂM HỌC 2008-2009 TRƯỜNG THPT TAM DƯƠNG ĐỀ THI MÔN : TOÁN (Đề 5) …………………………………………………………… Thời