De thi HSG toan 9

Qua M có hai đường thẳng Mt và Mz thay đổi luôn vuông góc với nhau tại M và cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D và tạo góc AMC .. Xác định số đo  để tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất.[r]

UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THCS HÒA BÌNH -Ký hiệu mã đề:…… ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012-2013 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2.5 điểm ) Rút gọn các biểu thức sau a A = 3x  x  x  b B = 352 c C = (1+ tan2α)(1- sin2α) + (1+cotan2α)(1-cos2α) Bài 2: (2.0 điểm) Giải các phương trình a x x  x  x 0 b x  x  36 8 3x  Bài 3: (2.0 điểm) a Cho các số nguyên dương a; b; c đôi nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn: (a + b)c = ab Xét tổng M = a + b có phải là số chính phương không? Vì sao? b Cho x; y  và x  y 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: P 20 11  x y xy Bài 4: ( 2,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn Các đường cao AD; BE; CF cắt H Gọi M là trung điểm HC; N là trung điểm AC AM cắt HN G Đường thẳng qua M vuông góc với HC và đường thẳng qua N vuông góc với AC cắt K Chứng minh rằng: a Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC 2 Từ đó hãy suy SAEF = SABC cos BAC b BH.KM = BA.KN c GA5  GB  GH 4 GM  GK  GN Bài 5: (1 điểm) Điểm M cố định thuộc đoạn thẳng AB cho trước.Vẽ cùng phía AB các tia Ax và By vuông góc với AB Qua M có hai đường thẳng Mt và Mz thay đổi luôn vuông góc với M và cắt Ax, By theo thứ tự C và D và tạo góc AMC  Xác định số đo  để tam giác MCD có diện tích nhỏ Hết Người đề (ký, ghi rõ họ tên) Phạm Thị Kiều Hương Người thẩm định (ký, ghi rõ họ tên) BGH nhà trường (ký tên, đóng dấu) UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THCS HÒA BÌNH -Ký hiệu mã HDC:…… Câu Ý a 0.75 b 0.75 2.5 b 1.0 HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MÔN: TOÁN NĂM HỌC 2012-2013 Đáp án 4 x  2; 3 x  ( x  2) 3 x  x   2 x  2; B    neu x 2 neu x     (  1)  (  1)  = |  1|  |  1|  =     = Suy A = sin  cos  C (1  )(1  sin  )  (1  )(1  cos  ) cos  sin  = 2 sin  cos  (1  )(cos  )  (1  )(sin  ) cos  sin  = 2 2 sin   cos  cos   sin   cos   sin  cos  sin  = 1 cos   sin  cos  sin  =2 ĐK: x 0 Điểm 0.25x3 0.5 0.25 0.2x5  x x  x  x 0  2a 1.0 2.0  x (x   0.25x4 x ) 0  x 0 x ( x  2)( x  1) 0    x 4 ; Học sinh đối chiếu ĐK và kết luận nghiệm x 2b 1.0 0.25 4 ĐKXĐ: ( x  x  16)  (3x   3x  4.4  16) 0  ( x  4)2  ( 3x   4) 0  x  0 và x   0  x 4(tm) 2.0 3a 1.0 0.25 0.25 0.25 0,25 (a  b)c ab  (a  c)(b  c ) c 2 Gọi UCLN a-c và b-c là d  c d  c d  a d ; bd mà a; b; c là số đôi nguyên tố cùng nên d = 0.25 Do đó a-c và b-c là hai số chính phương Đặt a-c = p2; b-c = q2 ( p; q là các số nguyên) 0.5 c2 = p2q2  c = pq  a+b = (a- c) + (b – c) + 2c = ( p+ q)2 là số chính phương Chấm điểm tối đa nếu: HS lập luận a + b không tồn từ việc phân tích đẳng thức: (a + b)c = a.b vì a,b,c đôi nguyên tố cùng P Mà 20 10   x y xy xy 20 20 80  20  2 x  y xy x  y  xy ( x  y ) 0,25 Ta có x  y 2 0,25 20 20  20 x y xy 3b 1.0 Nên xy  Mặt khác : Dấu x = y =1 ( x  y)  1 4 Nên 1 xy Dấu xảy 0.25 0.25 x = y =1 Vậy giá trị nhỏ P là 21 và x = y =1 0.25 A F E H K N G B D M 2.5 C AEB vuông E nên 4a 1.0 4b 0.75  cos CAF   cos BAE  0.25 AE AB ; ACF vuông F nên AF AC Tư đó chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC (c.g.c) Vì tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC nên S AEF AE   cos BAC   S AEF S ABC cos BAC S ABC AB   ABH MKN  MNK BAH NMK ABH và có ; song song) Suy AHB đồng dạng với MNK ( g.g); (Góc có cạnh tương ứng 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25  4c 0.75 BA BH   BA.KN BH KM KM KN AB AH  2 AHB đồng dạng với MNK nên MK MN ( Vì MN là đường TB AG HG 2 2 tam giác AHC); Lại có: MG ; NG ( G là trọng tâm tam giácAHC) AB AG   2   MK MG Mặt khác BAG GMK ( so le trong)  ABG đồng dạng với tam giác MKG (c.g.c)   0.25 GB GA5 GH GB  GA5  GH GB GA GH    32   2  GK GM GN GK GM GN GK  GM  GN GB  GA5  GH 4 GK  GM  GN 0.25   Ta có : SMCD = MC.MD ; Đặt MA = a , MB = b, Ta có AMC BDM  ; 1.0 a b ab MC = cos , MD = sin  ; SMCD = cos.sin  0.5 Do a,b là số nên SMCD nhỏ  2sin.cos lớn Theo bất đẳng thức 2xy  x2 +y2 ta có : 2sin.cos  sin2 +cos2 = nên SMCD ≥ ab SMCD = ab  sin = cos  sin = sin(90 )   = 900   = 450  AMC và BMD vuông cân Vậy SMCD = ab Khi  = 450 ; C,D xác định trên tia Ax ; By cho AC = AM , BD = BM x 0.5  y D C A a ( M b B Người đề (ký, ghi rõ họ tên) Phạm Thị Kiều Hương Người thẩm định (ký, ghi rõ họ tên) BGH nhà trường (ký tên, đóng dấu)