Tính chi u cao hình chóp.[r]
(1)ONTHIONLINE.NET thi hsg mơn tốn 12
đề
(th i gian :180 phút)ờ
Câu 1(2.0 )đ Tính t ng sau Sổ n =
1 2tg
x
2+ 22tg
x
22+ .+ 2ntg
x
2n
Câu 2(2.0 )đ Tính tích phân sau ∫
0 π
sin xcox
√a2cos2x+b2sin2x
dx (V i aớ 0;b ≠0¿
Câu (2.0 ) Cho h phđ ệ ương trình
¿
x+my=m
x2+y2=x
¿{
¿
1/ Bi n lu n s nghi m c a h phệ ậ ố ệ ủ ệ ương trình theo m
2/ Khi h có hai nghi m (xệ ệ 1;y1);(x2;y2) tìm m để S = (x2-x1)2+(y2-y1)2đạt giá tr ị
l n nh tớ ấ
Câu (2.0 ) Gi i phđ ả ương trình 1+3x+8√2x
2 +1
3(√2x2+1−1)=x¿
Câu 5(2.0 ) đ Tìm t t c giá tr c a tham s m ấ ả ị ủ ố để ấ b t phương trình sau ây cóđ nghi mệ
2sin2
x +3cos
2
xm3sin2
x
Câu 6 (2.0 ) Tìm gi i h n sau đ L=Lim
x → π
1−sinm+n+px
√(1−sinmx)(1−sinnx)(1−sinpx)
(v i m ,n ,p l ba s nguyên dớ ố ương cho trước )
Câu7 (2.0 ) Gi i v bi n lu n theo tham s m h b t phđ ả ệ ậ ố ệ ấ ương trình sau
¿ log
cosπ
1−5 cos43x
2 ≤2
1+sinx
sin2x ≤ m
¿{
¿
Câu 8 ( 2.0 ) Cho t di n OABC có OA ,OB ,OC m t vng góc v i đ ứ ệ đ ộ V ẽ đường cao OH c a t di n ủ ứ ệ
t
Đặ
A=∠CAB; B=∠ABC;C=∠BCA
α=∠AOH; β=∠BOH; γ=∠COH Ch ng minh r ng ứ ằ sin2α
sin 2A=
sin2β
sin 2B=
sin2γ
sin 2C
Câu (4.0 )đ Cho hình chóp tam giác SABC Bi t r ng t n t i hình c u tâm O, ế ằ ầ bán kính R ( O n m ằ đường cao hình chóp) ti p xúc v i c c nh hình chóp.ế ả 1/ Ch ng minh r ng SABC l hình chóp ứ ằ
(2)đáp án
(đề thi hsg mơn tốn 12)
Câu 1 Ap d ng : ụ
ln|cos x 2n|¿
❑
=−1
2tg
x
2n
(lnu)❑= u
u❑co¿
Do ó n u đ ế đặt
ln|Pn|¿❑
Pn=cos x
2 cos
x
22 cos
x
2n⇒Sn=−¿ có
Pn= sin x
2n sin x
2ncos
x
2n cos
x
2n−1 cos
x
2= = sin x
2n
2nsinx
ó đ Sn=−(ln| sin x
2n
2nsinx|)
❑
=−cot gx+
2ncotg
x
2n
Câu 2
Đặt I l tích phân ã cho.Xét trà đ ường h p sau:ợ : TH1:|a|=|b|⇒I=
1
|a|.∫0 π
sin xd(sinx)=
2|a|
TH2:|a|≠|b|
V i
t=a2cos2x+b2sin2x⇒dt=[−2a2cosxsinx+2b2sinxcosx]dx=2(b2−a2)sinxcos xdx
⇒I=
2(b2− a2)∫a2
b2
dt
√t=
1
b2− a2√t❑a2
b2
=
|b|+|a|
Kl : I=
|a|+|b|
Câu 3
H pt ệ
⇔
x+m.y −m=0(1)
¿
x −1
2¿
2
+y2=1
4(2) ¿
¿
Nh n xét ậ : (1) l pt dà ường th ng Dẳ m: x+(y-1).m =0 i qua i m c đ đ ể ố định A(0;1)
(2) l pt đường tròn ( C) có tâm I(1/2;0), bán kính R=1/2
ó s nghi m c a pt l s giao i m c a Dđ ố ệ ủ ố đ ể ủ mv (C)à
Ti p n c a (C) xu t phát t A l OA, (x=0) v dế ế ủ ấ à ường th ng ABẳ t
Đặ ∠OAI=α⇒OB _
=OA _
tg 2α=OA _
tgα 1−tg2α
❑ =
4
3(do tgα=1)
M t khác ,ặ OB _ l ho nh à độ giao i m c a Dđ ể ủ m v Ox nên OB
_
=m
Bi n lu nệ ậ
(3)2/ S =M1M22 ó di n tích S đ ệ đạt giá tr l n nh t v ch Mị ấ ỉ 1M2 i qua Iđ
⇔OB _=OI
=1
2⇔m=
Câu 4
t
Đặ t=√2x2
+1≥1 thay v o pt t =x/3 ho c t= 1-3xặ
Gi i ả x=0
KL : Pt có nghi m x = 0ệ
Câu 5 2sin2x+3cos
2
x
m 3sin2x⇔(2
3) sin2
x +3cos
2
x −sin2
x
m(1)
Xét h m s ố f(x)=(2
3)
sin2
x +3cos
2
x−sin2
x,
(x∈R)
Vì
sin
2x ≥0∀x⇒
(23)
sin2x
≤1 cos2x −sin2x=cos 2x ≤1⇒3cos
2
x−sin2
x
≤3
do ó đ f(x)≤4∀x∈R D u ấ đẳng th c x y v ch x = kứ ả ỉ π(k∈Z)
K t lu n :ế ậ Bpt có nghi m v i mệ
Câu 6
t y= sin x (
Đặ x →π
2⇒y →1¿ Ta có ¿
L=Lim y →1
1− ym+n+p
√(1− ym) (1− yn) (1− yp)
❑
=Lim y→1
(1− y)(1+y+y2+ +ym+n+p −1)
(1− y)(√3(1+y+ +ym −1)(1+y+ +yn −1) (1+y+ +yp −1))
❑
¿ ¿Lim
y→1
(1+y+y2+ +ym+n+p −1)
(√3(1+y+ +ym−1)(1+y+ +yn −1) (1+y+ +yp −1))
❑
m+n+p
√m.n.p
Câu
i u ki n
Đ ề ệ :
¿
1−5 cos43x≻0 sin 2x ≠0
(1)
¿{
¿
Bpt đầu c a h tủ ệ ương đương v i :ớ Log√2
2 (
1−5 cos43x
2 )≤Log√2 2(
√2 )
2
⇔
(1−5 cos2 43x)≥ 2⇔cos
43x ≤0⇔cos 3x
=0⇔x=π 6+k
π
(4)Do /k (1) ch c n xétđ ỉ ầ
x=±π
6+k2π ¿
x=5π
6 +k2π ¿ ¿ ¿ ¿
Xét b t pt th hai c a h , ấ ứ ủ ệ đặt f(x)=1+sinx
sin 2x f(x) có chu kỳ 2π nên ta ch c n tínhỉ ầ
f
(π2)
=√3; f
(− π6 ) =−√3
3 ; f(5π 6)
=−√3;f
(−56π) =√3
3 Kl :
./m≺−√3⇒x∈Φ
./−√3≤ m≺−√3
3 ⇒x= 5π
6 +k2π /−√3
3 ≤ m≺
√3 ⇒x=
5π
6 +k2π ; x=−
π
6+k2π /√3
3 ≤ m≺√3⇒x=−
π
6+k2π ; x=± 5π
6 +k2π
m≥√3⇒x=∓π
6+k2π ; x=± 5π
6 +k2π
Câu 8
D th y H l tr c tâm ễ ấ ự ΔABC v ΔABC l tam giác nh n,AH kéo d i c t ọ ắ BC t i Aạ 1,do ó AAđ BC Vì OA (OBC) nên theo /l ba đ đường vng góc ,có
OA1 BC Ta có sin2α=AH
2
OA2 (1)
Xét tam giác vuông OAA1đỉnh O, có OA2= AH AA1, t (1) có sin
2
α=AH
AA1
V ẽ đường tròn ngo i ti p tam giác ABC ,g i I l tâm c a ,g i G l tr ng tâm tam giác ế ọ ủ ọ ọ ABC, ó H, G, I th ng h ng (đ ẳ đường th ng ẳ Ơle) v HG =2 IG suy AH = IM v Â=à
∠CAB=∠BIM⇒sin 2A=2 sinA cosA=2.BM
IB IM IB =2
BC IB
AH IB=
BC AH
R2 (2)
( v i R l bán kính đường tròn ngọà ếi ti p tam giác ABC) T (1) v (2) ta có :ừ sin
2α
sin 2A=
2R2
BC AA1 = R
2
SΔABC
C/m tương t c ng có ự ũ sin
2
β
sin 2B=
sin2γ
sin 2C= R2 SΔABC
T ó suy i u ph i ch ng minh.ừ đ đ ề ả ứ
Câu 9
G i M,N, P l ti p i m c a hình c u v i c nh AB, BC , CA.G i SH l ọ ế đ ể ủ ầ ọ ng cao hình chóp ,O l tâm hình c u ã cho, ó O thu c SH.Theo nh lý ba
đườ ầ đ đ ộ đị
ng vng góc , có HM
đườ AB(vì OM AB,do hình c u ti p xúc AB t i M) Tầ ế ương t ự
HN BC, HP AC Vì OM =ON =OP =R nên HM =HN =HP ó H l tâm đ đường tròn n i ti p tam giác ABC.ộ ế
(5)L p lu n tậ ậ ương t ự SA=SB hay SA=SB=SC ó H l tâm đ đường tròn ngo i ti p ế tam giác ABC ,suy tam giác ABC đều,v y hình chóp SABC ậ
2/
Đặt ∠ASH=α⇒sinα=OK
OS =
R R√3=
√3 =
AH
AS ⇒AS=√3 AH t SH=h ;HN=x ó AH =x
Đặ đ
Xét tam giác vng SAH, có : SA2=SH2+ AH2 nên h2= x2 t ó ừ đ
R2= h2 –2.h R √3
+3R2+x2(1)
Thay h2 =8.x2 v o (1) à được : 9.h2 –16
√3.h.R+16 R2=0(2)
T (2)ừ ⇒h=4√3 R
3 ho c ặ h=
4√3.R
9 (lo i, h=SH >SOạ ¿R.√3≻
4√3 R
9 )
V y SH=ậ 4√3 R
Hướng d n ch m mơn tốn 12ẫ ấ
Câu (2,0 )đ
./ HS bi t s d ng công th c (lnu)ế ụ ứ /=u’/u (1,0 )đ
/ Vi t ế Pn=
1 sin x
2n
2n sinx (0,5 )đ
/ Kl : Sn=−cot gx+
1 2n cotg
x
2n (0,5 )đ
Câu ( 2,0 )đ
Th1 : I=
1
2|a| (0.5 )đ
Th2:Đặt
t=a2 cos2x+b2 sin2x⇒dt=2.(b2−a2) sinx cosx
⇒I=
|a|+|b|
(1.5 )đ
Câu 3(2,0 )đ
1/
/ Nh n xét ậ đượ ốc s nghi m c a pt l s giao i m c a Dệ ủ ố đ ể ủ m v (C) (1.0 )à đ
/ Kl úng (0.5 )đ đ / m = / (0.5 )đ
Câu (2.0 đ)
/ Đặt t=
√2x2+1⇒
t=x
3 ¿
t=1−3x
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
(1.0 )đ
/ Gi i ả x = (1.0 )đ
Câu (2.0 )đ
/ Đư đượa c f(x)=(2 3)
sin2
x +3cos
2
x−sin2
(6)/ Nx : (2 3)
sin2
x
≤1;3cos2x −sin2x3 (0.5 )đ
/ Kl : m (0.5 ) đ
Câu (2.0 )đ
/ Đặt y = sinx ; (x →π
2⇒y →1) (0.5 )đ / l = Lim1+y+ .+y
m+n+p
√( .) (1.0 )đ
/ Kl : (0.5 ) đ
Câu (2.0 )đ
/ đ / k (0.5 )đ / Bpt (1 ) ⇔x=π
6+k
π
3 (0.5 )đ
/ T / k đ
⇒
x=±π
6+k.2π ¿
x=±5π
6 +k 2π ¿
¿ ¿ ¿ ¿
(0.5 )đ
/ Kl úng (0.5 )đ đ
Câu ( 4,0 ) đ
Câu (2.0 )đ
/ Nx : O SH ( 0,5 )đ / H l tâm đường tròn n i ti p ( 0.5 )ộ ế đ ./ H l tâm đường tròn ngo i ti p (0,5 )ạ ế đ / Kl (0,5 ) đ