Vậy tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, còn tổng của bốn số tự nhieân lieân tieáp thì khoâng chia heát cho 4... A/ LYÙ THUYEÁT:.[r]
Chủ đề nâng cao: TÍNH CHẤT CHIA HẾT – ƯỚC VÀ BỘI A KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1) Định nghóa: Cho hai số tự nhiên a b (b 0 ) a b.q a b a bội b b ước a 2) Tính chất: Bất số khác chia hết cho Nếu a b bc a c Số chia hết cho số b khác Bất số chia hết cho Nếu a m b m a b m a b m Nếu tổng hai số chia hết cho m hai số chia hết cho m số lại chia hết cho m Nếu hai số a b chia hết cho m, số không chia hết cho m a +b không chia hết cho m a - b không chia hết cho m Nếu thừa số tích chia hết cho m tích chia hết cho m Nếu a m, b n ab mn Hệ Quả: n n Nếu a b a b Neáu a m, a n , ( m, n) 1 a mn B.Ví dụ: Ví dụ 1:Chứng minh rằng: a) ab ba chia heát cho 11 b) ab ba Chia heát cho với a > b Giải: a) Ta có ab ba = (10a +b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b) 11 Vậy ab ba 11 b) Ta có : ab ba = (10a + b) – (10b + a) = 9a – 9b = (a – b) Chú ý : Nếu ab cd 11 abcd 11 Ví dụ 2: Tìm n N ñeå: a) n + n b) 3n + n Giaûi: a) n + n , n n => n => n Ö(4) = b) 3n + n; 3n n => n 1; 2; 4 1;7 => n Ö(7) = C BÀI TẬP: 1) Cho abc deg 7 Cmr abc deg 7 2) CMR Nếu viết thêm vào đằng sau số tự nhiên có hai chữ số số gồm hai chữ số viết theo thứ tự ngược lại số chia hết cho 11 3) Cho số abc27 Chứng minh số bca 27 CMR tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3, tổng bốn số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho CMR Tổng số chẳn liên tiếp chia hết cho 10, tổng số lẽ liên tiếp không chia hết cho 10 Tìm n N để: a) 27 – 5n n b) n + n + c) 2n + n – d) 3n + 11 – 2n Cmr neáu ab cd eg 11 abc deg 11 Cho abc deg 37 Cmr abc deg 37 Cho 10 k – 19 với k > CMR: 102k – 19 10 Cho n số tự nhiên CMR: a/ (n + 10 ) (n + 15 ) chia heát cho b/ n(n + 1) (n + 2) chia hết cho 11 Chứng minh ab 2cd abcd 67 Giải: 1)Ta có : abc deg 1000abc deg 1001abc ( abc deg ) 7.143abc (abc deg ) Maø : 7.143 abc7 vaø abc deg 7 Vậy abc deg 7 Gọi số tự nhiên có hai chữ số là: ab ( < a 9, b 9, a,b N) Khi viết thêm số có hai chữ số viết theo thứ tự ngược lại ta số: abba abba 1000a 100b 10b a 1001a 110b 7.11.13a 11.10b 11 Vaäy : abba 11 abc27 abc027 1000a bc 027 999a a bc027 27.37a bca 27 bca 27 ( Do 27.37a 27) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: n, n + 1, n + Ta phải chứng minh: n + (n + 1) + (n + 2) Thật ta có: n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là: n, n + 1, n + 2, n + Ta coù: n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + không chia hết cho 4n chia hết cho không chia hết cho Vậy tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3, tổng bốn số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho Gọi số chẵn liên tiếp là: 2n; 2n + 2; 2n + 4; 2n + 6; 2n + với n số tự nhiên Ta có: 2n + 2n + + 2n + + 2n + + 2n + = 10n + 20 = 10(n + 2) 10 Gọi số lẽ liên tiếp là: 2n + 1; 2n + 3; 2n + 5; 2n + 7; 2n + với n số tự nhiên Ta có: 2n + + 2n + + 2n + + 2n + + 2n + = 10n + 25 = 10(n + 2) + 10 1;3;9; 27 a) 27 – 5n n ; 5n n => 27 n => n Ö(27) = 5n < 27 nên n n + + n + 2, maø n +2 n + => n + => n + 1; 2; 4 0; => n c) 2n + n – => 2(n – 2) + n -2 => n - => n – 3; 9 1; 7 => n d*) 3n + 11 – 2n (n < 6) => 2(3n + 1) + 3(11 – 2n) 11 – 2n => 35 11 – 2n 1;5; 7;35 5;3; 2 => 11 – 2n n < nên n 4) Ta có : abc deg 10000ab 100cd eg 9999ab 99cd (ab cd eg ) Do 999911; 9911;(ab cd eg )11 Vậy : abc deg 11 5) Tacó : abc deg 1000abc deg 999abc (abc deg) 27.37 abc ( abc deg) Do 27.37 abc 37; (abc deg)37; Vaäy : abc deg 37 Ta coù: 102k – = 102k – 10k + 10k -1 = 10k(10k – 1) + (10k – 1) Do 10k - 19 neân 10k(10k – 1) + (10k – 1) 19 Vaây 102k – 19 10 a/ (n + 10 ) (n + 15 ) Khi n chaün => n = 2k (k N) Ta coù: (n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 10)( 2k + 15) = 2(k + 5)(2k + 15) Chia heát cho Khi n leõ => n = 2k + (k N) Ta coù: :(n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + + 10)(2k +1 + 15) = (2k + 11)(2k + 16) = 2(2k + 11 )(k + 8) chia hết cho Vây (n + 10 ) (n + 15 ) Chia heát cho b/ Đăt A = n (n + 1)(n + 2) + Trong hai số tự nhiên liên tiếp có số chẳn số lẽ, số chẳn chia hết A chia hết cho + Trường hợp: n = 3k (k N) n chia hết A chia hết cho (1) Trường hợp: n không chia hết cho n = 3k + hoaëc n = 3k + Khi n = 3k + => A = (3k + 1)( 3k + 2)(3k + 3) = 3(3k + 1)( 3k + 2)(k + 1) chia heát A chia hết cho (2) Khi n = 3k + => A = (3k + 2)( 3k + 3)(3k + 4) = 3(3k + 2)( k + 1)(3k + 4) chia hết A chia hết cho (3) Từ (1), (2) (3) suy ra: A chia hết cho Vậy A chia hết cho 11 Ta có abcd 100ab cd Maø: ab 2cd Suy ra: abcd 2cdcd 200cd cd 201cd 3.67cd 67 Vaäy: abcd 67 A/ LÝ THUYẾT: CÁC DẤU HIỆU CHIA HẾT Gọi A = an an a2 a1a0 Tacoù : A2 a0 2, A5 a0 5 A4 a1a0 4, A25 a1a0 25 A8 a2 a1a0 8, A125 a2 a1a0 125 A3 an an a2 a1 a0 3 A9 an an a2 a1 a0 9 B/ Ví du: Ví dụ1:Tìm số tự nhiên có chữ số, chia hết cho cho 27 biết hai chữ số 97 Giải: Gọi n số phải tìm Vì n chia hết cho cho 27 nên n phải tận chia hết cho 9, ta có số n = *975 Hoặc số n *970 Khi: n = *975 => (* + + + 5) => * = Thử lại 6975 không chia hết cho 27 Khi: n = *970 => (* + + + 0) => * = Thử lại 2970 chia hết cho 27 Vây số 2970 số phải tìm Ví dụ 2: Cho số tự nhiên ab ba lần tích chữ số a CMR: b chia hết cho a b Giả sử b = ka (k N) CM: k ước 10 Giải: a) Theo đề ta có: ab = 3ab => 10a + b = 3ab (1) => 10a + b a => b a b) Do b = ka neân k < 10 Thay b = ka vào (1), ta có: 10a + ka = 3a.ka => a(10 + k) = 3ak a => 10 + k = 3ak => 10 + k k => 10 k Vậy k ước 10 Ví dụ 3: Chứng minh rằng: với n N số 92n – chia hết cho Giải: Có: 92n – = (92)n – = 81n - = ….1 - = …0 Soá có chữ số tận nên chia hết cho C/ BÀI TẬP: Thay chữ x, y chữ số thích hợp để cho: a/ Số 275x chia hết cho 5; cho 25; cho125 b/ Số xy chia hết cho 2, cho4, cho Cho n N, chứng minh rằng: a/ 5n – b/ n2 + n + không chia hết cho c/ 10n - d/ 10n + Chứng minh rằng: a/ 1028 + 72 b/ 88 + 220 17 CMR với số tự nhiên n n + n + không chia hết cho 5 CMR: a/ 94260 – 35137chia heát cho b/ 995 - 984 + 973 - 962 chia hết cho Giaûi: x 0;5 a/ 275x ; b/ 275x 25 x 0 ; 275x 125 x 0 xy 42 x, y 0;1; 2; ;9 xy 44 x 0;1; 2; ;9 , y 0, 2, 4, 6,8 ; xy 48 x 0; 2; 4;6;8 ; y 2;6 hoaëc x 1;3;5;7;9 ; y 0; 4;8 + Với n = 0, ta coù: 50 – = – = 0 + Với n = 1, ta coù: 51 -1 = – = + Với n > 1, ta có: 5n = …5 neân 5n – = …5 – = … 4 Vậy với n N, 5n – b/ Ta coù n2 + n = n( n + 1) tích hai số tự nhiên liên tiếp nên tích chẳn, n2 + n + số lẽ nên không chia hết cho a/ c/ Ta có 10n - = 100…0 – = 99… n chữ số n chữ số n d/ Ta coù: 10 + = 100…0 + = 100…08 n chữ số n-1 chữ số 28 a/ Ta có: 10 + = 100…0 + = 100……08 (1) 28 chữ số 27 chữ số 28 Số 10 + có tận 008 nên chia hết cho (2) Mặt khác (8;9) = Vậy 1028 + chia heát cho 72 b/ 88 + 220 = (23)8 + 220 = 24 + 20 = 220(24 + 1) = 220 17 17 vaây 88 + 220 chia hết cho 17 Với số tự nhiên n n + n = n(n + 1) tích hai số tự nhiên liên tiếp nên tận 0; 2; Do n + n + tận 6; 8; nên không chia hết cho 5 a/ 94260 – 35137= 9424.15 – 35137= ….615 - …1 = …6 - …1 = …5 b/ 995 - 984 + 973 - 962 = …9 - …6 + ….3 - … =….0 Số có chữ số tận nên chia hết cho SỐ NGUYÊN TỐ – HP SỐ PHÂN TÍCH MỘT SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ A/ LÝ THUYẾT: + Số nguyên tố số tự nhiên lớn có hai ước + Hợp số số tự nhiên lớn có nhiều hai ước + Để chứng tỏ số tự nhiên a > hợp số, cần ước khác a Chú ý: 10n = 10….0 = 2n.5n n chữ số + Cách xác định số lượng ước số: Khi phân tích M thừa số nguyên tố, ta có M = ax.by….cz ước M laø (x + 1)(y + 1)…(z + 1) + Nếu ab P với P số nguyên tố a P b P Đặc biệt: Nếu an P a P B/ VÍ DỤ: Ví dụ 1: Cho A = + 52 + 53 +……+5100 a) Số A số nguyên tố hay hợp số? b) Số A có phải số phương không? Giải: a) Có A > 5; A ( Vì số hạng chia hết cho 5) nên A hợp số b) Có 52 25, 53 25;… ;5100 25, 25 nên A 25 Số A A 25 nên A không số phương Ví dụ 2: Số 54 có ước Giải: Có: 54 = 33 Số ước 54 là: (1 + 1)(3 + 1) = 2.4 = ước 1; 2;3; 6;9;18; 27;54 Tập hợp ước 54 là: Ư(54) = Ví dụ 3: Tìm số nguyên tố p cho p + , p + cuõng số nguyên tố Giải: Vì p số nguyên tố nên p có ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + với k số tự nhiên Nếu p = 3k p = (Vì p số nguyên tố) => p + = 5; p + = số nguyên tố Nếu p = 3k + p + = 3k + chia heát cho lớn nên p + hợp số, trái với đề Nếu p = 3k + p + = 3k + chia hết cho lớn nên p + hợp số, trái với đề Vậy p = số nguyên tố cần tìm C/ BÀI TẬP: 1) Tổng số nguyên tố 1012 Tìm số nhỏ ba số đó? 2) Tổng hai số nguyên tố 2003 hay không? 3) Tìm số nguyên tố p, cho số sau số nguyên tố a) p + vaø p + 10 b) P + 10 vaø p + 20 4) Cho p số nguyên tố lớn Biết p + số nguyên tố Chứng minh p + 1chia hết cho 5) Cho p p + số nguyên tố (p > 3).Chứng minh p + hợp số 6) Cho a, n N*, biết an Chứng minh: a2 + 150 25 Giải: 1) Tổng số nguyên tố 1012 số chẳn nên ba số nguyên tố phải có số chẳn Đó số số số nhỏ ba số nguyên tố cho 2) Tổng hai số nguyên tố 2003 số lẽ nên hai số nguyên tố phải số số thứ hai là: 2003 – = 2001 chia hết hợp số Vậy không tồn tai hai số nguyên tố có tổng 2003 3) a/ Vì p số nguyên tố nên p có ba daïng sau: 3k; 3k + 1; 3k + với k số tự nhiên Nếu p = 3k p = (Vì p số nguyên toá) => p + = 5; p + 10 = 13 số nguyên tố Nếu p = 3k + p + = 3k + chia hết cho lớn nên p + hợp số, trái với đề Nếu p = 3k + p + 10 = 3k + 12 chia hết cho lớn nên p + 10 hợp số, trái với đề Vậy p = số nguyên tố cần tìm b/ Vì p số nguyên tố nên p có ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + với k số tự nhiên Nếu p = 3k p = (Vì p số nguyên tố) => p + 10 = 13; p + 20 = 23 số nguyên tố Nếu p = 3k + p + 20 = 3k + 21 chia hết cho lớn nên p + 20 hợp số, trái với đề Nếu p = 3k + p + 10 = 3k + 12 chia hết cho lớn nên p + 10 hợp số, trái với đề Vậy p = số nguyên tố cần tìm 4) Do p số nguyên tố lớn nên p lẽ, => p + số chẵn nên p + (1) p số nguyên tố lớn nên có dạng 3k + 3k + (k N) Daïng p = 3k + không xãy Dạng p = 3k + cho ta p + = 3k + (2) Từ (1) (2) suy p + 5) p số nguyên tố lớn nên p có dạng 3k + 3k + (k N) Neáu p = 3k + p + = 3k + chia hết hợp số, trái với đề Vậy p có dạng 3k + p + = 3k + chia hết p + hợp số 6) Có an mà số nguyên tố nên a => a2 25 Mặt khác 150 25 neân a2 + 150 25 ... ab 2cd abcd 67 Giải: 1)Ta có : abc deg 1000abc deg 1001abc ( abc deg ) 7.143abc (abc deg ) Maø : 7.143 abc7 vaø abc deg 7 Vậy abc deg 7 Gọi số tự nhiên có hai chữ số là:... deg 10000ab 100cd eg 9999ab 99cd (ab cd eg ) Do 999911; 9911;(ab cd eg )11 Vậy : abc deg 11 5) Tacó : abc deg 1000abc deg 999abc (abc deg) 27.37 abc ( abc deg)... 2)(k + 1) chia heát A chia hết cho (2) Khi n = 3k + => A = (3k + 2)( 3k + 3)(3k + 4) = 3(3k + 2)( k + 1)(3k + 4) chia hết A chia hết cho (3) Từ (1), (2) (3) suy ra: A chia hết cho Vậy A chia hết