Khai thac chu de So hoc trong MTCT

Tóm lại, bài viết trên đã minh họa một số kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay cơ bản cần biết đối với bài toán số học nói riêng và các bài toán khác trong đề thi nói chung, nhằm trang bị k[r]

KHAI THÁC MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC TRONG ĐỀ THI HỌC SINH

GIỎI MÁY TÍNH CẦM TAY THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Dương Hoàng Bích Thuận

Dạng toán số học luôn xuất hiện trong đề thi Học sinh giỏi máy tính cầm tay thành phố Hồ Chí Minh các năm học Bên cạnh lý thuyết về đồng dư, thì xử lí vấn đề về số lớn, vận dụng linh hoạt bảng giá trị TABLE, quy trình lặp, … cũng được lồng ghép trong từng bước làm ở mỗi bài toán Bài viết sau đây sẽ trình bày hướng xử lí cụ thể từ những bài toán đơn giản dẫn dắt tới bài toán phức tạp để thông qua đó, bạn đọc lựa chọn được phương pháp phù hợp với từng bài toán nhằm rút ngắn thời gian trong quá trình làm bài

Có ba chủ đề chính trong đề thi những năm gần đây:

1 Bài toán tìm số tự nhiên thỏa điều kiện đồng dư cho trước

Xuất phát từ một bài toán đơn giản:

Bài toán 1: Tìm số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số biết rằng khi chia chữ số đó cho các số: 15; 18;

25 thì được các số dư lấn lượt là: 5; 8; 15

Bài giải

- Bước 1: Thiết lập điều kiện lặp:

Gọi X là số cần tìm, điều kiện:100X 999

Theo bài ra ta có: X 15A 5 18B 8 25C15, trong đó A,B,C là các số nguyên dương

Nhận xét:

+ C là số nhỏ nhất nên có thể chọn C là biến lặp

+ Vì 100 X 999nên 10025C159993 4,  C 39 36, Vậy dò C từ 39 trở

xuống:

- Bước 2: Tính toán A,B theo C : 25 10; 25 7; 25 15

- Bước 3: Chạy vòng lặp trên máy tính cầm tay CASIO fx-570VN PLUS:

Ghi vào màn hình máy

Ấn CALC nhập C40 và ấn = cho tới khi các kết quả đều là số nguyên thì ta dừng lại

Chọn được các giá trị của A;B :

Và ta có kết quả lần lượt là : A59;B49; X 890

Vậy số cần tìm là 890

Tuy nhiên đề bài thay đổi, một số tự nhiên có 4 chữ số, hoặc 5 chữ số hay có thể là 10 chữ số trong bài toán sau đây thì cách làm trên sẽ mất nhiều thời gian hơn trong bước làm số 3

Bài toán 2: Tìm số tự nhiênx nhỏ nhất có 10 chữ số, biết xchia cho 19 dư 1, chia cho 23 dư 21

và chia cho 41 dư 34

(Trích đề thi HSG MTCT Tp Hồ Chí Minh năm học 2014-2015)

Bước 1: Ta có

Suy ra: 19a 1 23b 21 343

Tìm giá trị 343 trên máy tính CASIO fx-570VN PLUS như sau:

 Vào chế độ tính toán bảng TABLE: MODE 7

 Ta có 19 1 23 21 23 20

19

b

 Nhập vào hàm số   23 20

19

X

 Với Start=1, End=30, Step=1

Thu được a18;b14 Suy ra 19a 1 19 18 1 343.  

Mặt khác: BCNN 19; 23 437 x 343 mod 437

Bước 2: Cũng tương tự quá trình trên:

Suy ra 437c 343 41d 34 11268

Tương tự để tìm được 11268:

 Vào chế độ tính toán bảng TABLE: MODE 7

 Ta có 437 343 41 34 437 309

41

c

 Nhập vào hàm số   437 309

41

X

Với Start=1, End=30, Step=1

Thu được d 274;c25 Suy ra 437c343437 25 343 11268.  

Mặt khác BCNN 437; 41 17917 x 17917e 11268

Bước 3: Tìm x :

Tìm x nhỏ nhất có 10 chữ số, suy ra: 17917e 11268 109 e 55812, 28621 e 55813 Vậy x 17917 55813 11268 1000012789

Với một bài toán tìm số tự nhiên có 14 chữ số có phần dư là một số có 4 chữ số thì vận dụng Định lý Thặng dư Trung hoa là một cách làm vượt trội:

Định lý thặng dư Trung hoa: Cho m ,m , ,m đôi một nguyên tố cùng nhau và 1 2 k a ,a , ,a là 1 2 k k

số nguyên tùy ý Hệ đồng dư tuyến tính:

mod mod

mod















 



có nghiệm duy nhất theo mođun M m m m1 2 k là

1 1 1 2 2 2 k k k mod

xa M y a M y   a M y M

trong đó

k k

Áp dụng vào bài toán dưới đây:

Bài toán 3: Tìm số Nlớn nhất có 14 chữ số, biết rằngNchia 7741 dư 2017, chia 2017 dư 2013, chia 2013 dư 2011

Bài giải

Vì các số 7741,2017,2013 đôi một nguyên tố cùng nhau, nên giải hệ phương trình đồng dư sau:

2017 mod 7741

2013 mod 2017 ( )

2011 mod 2013

x

x





 



 



Thì hệ có nghiệm duy nhất theo modulo M 7741 2017 2013  là:

1 1 1 2 2 2 3 3 3

xa M y a M y a M y Trong đóa1 2017;a2 2013;a3 2011 ;

2017 2013; 7741 2013; 7741 2017

Tìm nghịch đảo bằng cách áp dụng thuật toán Euclid:

+ Tìm nghịch đảo của 3937 theo modulo 7741: 7450

+ Tìm nghịch đảo 1308 theo modulo 2017: 165

+ Tìm nghịch đảo 769 theo modulo 2013: 1924

Quá trình tìm nghịch đảo theo modulo:

Thực hiện bằng giải mã sau (với m a 0):

Procedure Euclid_Extended (a,m)

int, y0=0,y1:=1;

While a>0 do {

r:= m mod a

if r=0 then Break q:= m div a

y:= y0-y1*q m:=a

a:=r y0:=y1 y1:=y }

If a>1 Then Return "A không khả nghịch theo mođun m" else Return " Nghịch dảo mođun m của a là y"

0 2013 769 475 2 0 1 -2

Vậy nghiệm cần tìm là:

2017 2017 2013 7450 2013 7741 2013 165 2011 7741 2017 1924

126598780950343



Nghiệm N cần tìm: N29483295796 31430170761 a và từ đây, dựa theo điều kiện đề bài để tìm số a nguyên cho phù hợp

 N lớn nhất có 14 chữ số:

14 14

29483295796 31430170761 10

10 29483295796 31430170761

a a



Suy ra a3180

 Tính N29483295796 31430170761 3180 

Lấy Ans- 13

9 99774263 10,

Kết luận:N99977426315776

2 Tìm số chữ số tận cùng của một lũy thừa cho trước

Có thể vận dụng dấu hiệu: Nếu số mũ a 100, a,m  ta có:

1, 3, 7, 9 001 Một số bài toán có trong đề thi Học sinh giỏi MTCT của Thành phố Hồ Chí Minh được vận dụng nhanh như sau:

Bài toán 1: Tìm hai chữ số tận cùng của tích P732014.372015

(Trích đề thi HSG MTCT Tp Hồ Chí Minh năm học 2014-2015)

Vận dụng dấu hiệu trên, ba chữ số cuối của 732000 là 1, suy ra ba chữ số cuối của

2014 2000 14 14 7 7 2

73 73 73 1.73 73 73 97  409 mod1000

Tương tự, ba chữ số cuối của 2000

37 là 001 suy ra ba chữ số cuối của

2014 2000 15 15 8 7

37 37 37 1.37 37 37 921.133493 mod1000

Vậy 3 chữ số tận cùng của P là 637

Bài toán 2: Tìm hai chữ số tận cùng của P232015472016

(Trích đề thi HSG MTCT Tp Hồ Chí Minh năm học 2015-2016)

3 Tìm dư khi chia tổng hai lũy thừa của căn thức cho một số

Bài toán 1: Tìm dư khi chia số   24 24

2 3  2 3 cho 2017

(Trích đề thi HSG MTCT Tp Hồ Chí Minh năm học 2016-2017)

Giải:

Đặt a 2 3;b 2 3 Ta được: a b1

- Bước 1: Phân tích:

2

24 24 12 12

2 2

6 6

2 2 2

2

7300802 2

5330179843204 2 5330179843202



- Bước 2: Tìm dư khi chia 53301709843202 cho 2017

- Bước 3: Kết luận: 52

Bài toán 2: Tìm dư khi chia số   37 37

(Trích đề thi HSG MTCT Tp Hồ Chí Minh năm học 2014-2015)

Đặt a 2 3;b 2 3 Ta được: a b1;a b 4

Tính:

18 18 19 19 37 37 18 18 37 37

37 37 18 18 19 19

4

Tìm dư khi chia 18 18

a b cho 2015 bằng cách tính toán a18b1819726764302:

Suy ra 19726764302 : 2015R 947 Tìm dư khi chia a19b1973621286644 cho 2015: 73621286644 : 2015 1374R 

Mặt khác:  4 2011 mod 2015 

Nên dư khi chia số   37 37

947 1374 2011 :R 2015 1499 mod 2015.     

Tóm lại, bài viết trên đã minh họa một số kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay cơ bản cần biết đối với bài toán số học nói riêng và các bài toán khác trong đề thi nói chung, nhằm trang bị kiến thức cho quá trình ôn luyện kỳ thi học sinh giỏi máy tính cầm tay năm học 2017-2018 Trong khuôn khổ bài viết, tác giả mong muốn nhận được những ý kiến phản hồi để tối ưu hướng làm cũng như rút ngắn thao tác trên máy tính từ quý bạn đọc

Tham khảo

1 Định lý số dư Trung Quốc, Wikipedia

2 Giải thuật Euclid mở rộng, Wikipedia

3 Diễn đàn máy tính cầm tay: www.diendanmaytinhcamtay.vn/forum