SKKN toán 9 hướng dẫn học sinh khá, giỏi tìm hiểu về bất đẳng thức Cô siSKKN toán 9 hướng dẫn học sinh khá, giỏi tìm hiểu về bất đẳng thức Cô siSKKN toán 9 hướng dẫn học sinh khá, giỏi tìm hiểu về bất đẳng thức Cô siSKKN toán 9 hướng dẫn học sinh khá, giỏi tìm hiểu về bất đẳng thức Cô siSKKN toán 9 hướng dẫn học sinh khá, giỏi tìm hiểu về bất đẳng thức Cô siSKKN toán 9 hướng dẫn học sinh khá, giỏi tìm hiểu về bất đẳng thức Cô si
PHẦN I – ĐẶT VẤN ĐỀ Tốn học có vị trí đặc biệt việc nâng cao phát triển dân trí Tốn học khơng cung cấp cho học sinh (người học Tốn) kỹ tính tốn cần thiết mà điều kiện chủ yếu rèn luyện khả tư lôgic, phương pháp luận khoa học Trong dạy học Tốn việc tìm phương pháp dạy học giải tập Tốn địi hỏi người giáo viên phải chọn lọc, hệ thống tập, sử dụng phương pháp dạy học để góp phần hình thành phát triển tư học sinh Đồng thời qua việc học Toán học sinh cần bồi dưỡng, rèn luyện phẩm chất đạo đức, thao tác tư để giải tập Tốn có tốn bất đẳng thức toán hay giúp học sinh phát huy cao độ tính tư duy, trí tuệ cho học sinh Bài toán bất đẳng thức tốn khó phạm vi kiến thức rộng, đặc biệt với học sinh THCS Là giáo viên dạy THCS tơi thấy dạy tốn bất đẳng thức là: Bất đẳng thức Cơsi bất đẳng thức có ứng dụng rộng rãi việc chứng minh tồn bất đẳng thức cịn ứng dụng giải dạng tốn khác, nhiên học sinh có hiểu biết bất đẳng thức ứng dụng hạn chế Trong kì thi học sinh giỏi học sinh thường điểm toán liên quan đến bất đẳng thức Vì vậy: Để giải góp phần vấn đề này, mặt khác nâng cao lực giải toán bồi dưỡng khả tư sáng tạo học sinh, chọn đề tài:" Hướng dẫn học sinh khá, giỏi tìm hiểu bất đẳng thức CƠSI" nhằm trang bị cho em kiến thức kỹ thuật sử dụng ứng dụng bất đẳng thức C, đặc biệt với học sinh giỏi Từ em tiếp xúc với tốn, em chủ động cách giải ,chủ động tư tìm hướng giải cho toán, hiệu cao Qua toán về bất đẳng thức mà học sinh giải được, định hướng cho em tư duy, tập trung nghiên cứu thêm lời giải, kết tốn Bằng hình thức như: - Kiểm tra cách làm Xem xét lại lập luận, xem lại kỹ áp dụng Bất đẳng thức Cơsi - Nghiên cứu, tìm tịi, với việc tập trung giải vấn đề như: Liệu toán dạng khác sử dụng Bất đẳng thức Cơsi hay khơng? Có thể khai thác giả thiết toán cho phù hợp? Các dạng Bất đẳng thức Côsi sử dụng tốn có mối liên hệ với nhau? Mỗi toán giải kiến thức tốn học sử dụng tốn liệu sử dụng để giải tốn khác hay không? Trong đề tài này, xin minh hoạ số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cosi, thấy ứng dụng bất đẳng thức Cơsi việc giải dạng tốn khác Nhằm giúp học sinh thấy hay, đẹp, thú vị học tốn nói chung bất đẳng thức nói riêng Từ đó, giúp học sinh tự tin, tích cực, sáng tạo học tốn; giúp học sinh thêm yêu thích, nâng cao chất lượng, kết học tập mơn tốn PHẦN II- NỘI DUNG A THỰC TRẠNG, MỤC ĐÍCH VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Thực trạng vấn đề - Khi giảng dạy lớp gặp số tập bất đẳng thức tơi thấy học sinh cịn nhiều lúng túng việc làm tập, hay định hướng cách làm, đặc biệt học sinh học mức độ trung bình - Giáo viên dạy bất đẳng thức chữa tập xong, khai thác, phân tích đề tài mở rộng toán dẫn đến học sinh gặp tốn khác chút khơng giải - Học sinh thường ngại học toán bất đẳng thức kiến thức khơng liền mạch, phương pháp giải hạn chế, toán bất đẳng thức thường khó, phải áp dụng kiến thức khó như: quy nạp toán học, phản chứng, nên học sinh hay ngại học sinh chưa vận dụng toán bất đẳng thức vào để giải tốn khó cực trị, hàm số, Mục đích nghiên cứu a Đối với giáo viên: - Nâng cao trình độ chun mơn phục vụ cho q trình giảng dạy - Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nâng cao kiến thức b Đối với học sinh: - Giúp học sinh học tập mơn tốn nói chung việc giải tập chứng minh bất đẳng thức nói riêng Trang bị cho học sinh số kiến thức nhằm nâng cao lực học mơn tốn giúp em tiếp thu cách chủ động, sáng tạo làm công cụ giải số tập có liên quan đến bất đẳng thức - Bồi dươngc lực toán cho học sinh, khắc phục phần hạn chế kì thi học sinh giỏi - Giải đáp thắc mắc, sửa chữa sai lầm hay gặp giải toán bất đẳng thức trình dạy học - Giúp học sinh nắm vững cách có hệ thống kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Côsi ứng dụng bất đẳng thức giải tập toán liên quan Thơng qua việc giải tốn bất đẳng thức giúp học sinh thấy rõ mục đích việc học toán học tốt toán bất đẳng thức Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết thông qua SGK, tài liệu tham khảo học sinh trường Nghiên cứu qua mạng Internet - Nghiên cứu qua việc rút kinh nghiệm, học hỏi thầy cô giáo, đồng nghiệp - Sử dụng phương pháp phân tích tổng hợp Kết cần đạt - Trong đề tài đưa số kiến thức bất đẳng thức Cơsi với trình độ nhận thức học sinh THCS - Trang bị cho học sinh số kỹ sử dụng bất đẳng thức Côsi chứng minh bất đẳng thức - Rút số nhận xét ý sử dụng kỹ -Thấy vai trị to lớn bất đẳng thức Cơsi giải tập tốn khác Vận dụng giải tốn bất đẳng thức Cơsi vào giải tốn cực trị, giải số phương trình dạng dặc biệt B GIỚI THIỆU VỀ BẤT ĐẲNG THỨC COSI Giới thiệu bất đẳng thức Côsi (CAUCHY) Nếu a1, a2, … , an số thực khơng âm a1 a a n n � a1a a n n Bất đẳng thức có tên gọi xác bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân Ở nhiều nước giới, người ta gọi bất đẳng thức theo kiểu viết tắt bất đẳng thức AM – GM (AM viết tắt arithmetic mean GM viết tắt geometric mean) Ở nước ta, bất đẳng thức gọi theo tên nhà Toán học người Pháp Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1857), tức bất đẳng thức COSI(CAUCHY) Thật cách gọi tên khơng xác Cauchy khơng phải nguời đề xuất bất đẳng thức mà người đưa phép chứng minh đặc sắc cho Tuy nhiên, phù hợp với chương trình sách giáo khoa, tài liệu gọi Bất đẳng thức Côsi Đây bất đẳng thức cổ điển tiếng quen thuộc phần lớn học sinh nước ta Nó ứng dụng nhiều Toán bất đẳng thức cực trị Trong phạm vi chương trình Tốn THCS, quan tâm đến trường hợp riêng bất đẳng thức Côsi Các quy tắc cần nhớ sử dụng bất đẳng thức Côsi Quy tắc song hành: Đa số bất đẳng thức có tính đối xứng nên sử dụng nhiều bất đẳng thức chứng minh toán để định hướng cách giải nhanh Quy tắc dấu bằng: Dấu “=” bất đẳng thức có vai trị quan trọng Nó giúp ta kiểm tra tính đắn chứng minh, định hướng cho ta cách giải Chính giải toán chứng minh bất đẳng thức tốn cực trị ta cần rèn luyện cho thói quen tìm điều kiện dấu số khơng u cầu trình bày phần Quy tắc tính đồng thời dấu bằng: Chúng ta thường mắc sai lầm tính xảy đồng thời dấu “=” áp dụng liên tiếp song hành nhiều bất đẳng thức Khi áp dụng liên tiếp song hành nhiều bất đẳng thức dấu “=” phải thỏa mãn với điều kiện biến Quy tắc biên: Đối với tốn bất đẳng thức có điều kiện ràng buộc dấu đẳng thức thường đạt vị trí biên Quy tắc đối xứng: Các bất đẳng thức có tính đối xứng vai trị biến bất đẳng thức dấu “=” thường xảy vị trí biến Nếu tốn có điều kiện đối xứng dấu “=” xảy biến giá trụ cụ thể Một số dạng bất đẳng thức Côsi a Dạng cụ thể ( số, số ) x, y �0 x, y, z �0 xy � xy xyz � xyz x y �2 xy x y z �3 xyz �x y � � ��xy � � �x y z � � ��xyz � � x y �4xy x y z �27xyz 1 � xy �0 x y xy 1 � xyz �0 x y z xyz Đẳng thức xảy Đẳng thức xảy x=y x=y=z b Bất đẳng thức mở rộng cho n số không âm Cho x1, x2, x3 , ,xn không âm ta có: x1 x x n n � x1 x x n n x1 x x n �n n x1 x x n Dạng 1: Dạng 2: �x1 x x n � � ��x1 x x n n � � n Dạng 3: Dấu đẳng thức xảy khi: x1 x x n C Các kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cơsi Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân Chúng ta biết bất đẳng thức Cơsi bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng trung bình nhân.Vì chứng minh bất đẳng thức thường sử dụng biến đổi từ tổng sang tích, việc biến đổi đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân Dưới số ví dụ thể đánh giá Ví Dụ 1.1: Cho số thực a, b, c Chứng minh rằng: a b2 b c2 c2 a �8a 2b 2c2 Phân tích : Trong bất đẳng thức vế trái tích tổng số không âm, ta sử dụng đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân cho tổng nhân kết theo vế với vế Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Côsi dạng x2 + y2 �2 x y = 2|xy| ta có: � a b �2 ab �0 � �2 b c2 �2 bc �0 � �2 c a �2 ca �0 � � Nhân vế theo vế ba bất đẳng thức ta được: a b b2 c2 c2 a �8| a 2b 2c2 | 8a 2b 2c2 Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a = b = c Chú ý: - Chỉ nhân vế bất đẳng thức chiều ( kết bất đẳng thức chiều) vế không âm - Để ý ta dùng cách viết: x + y2 �2 x y = 2|xy| x, y khơng biết âm hay dương - Nói chung ta gặp tốn sử dụng bất đẳng thức Cơsi tốn nói mà phải qua vài phép biến đổi đến tình thích hợp sử dụng bất đẳng thức Cơsi Ví dụ 2.1: Cho số dương a, b thỏa mãn Chứng minh rằng: 1 2 a b a b �2 Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh nhìn đơn giản biến có ràng buộc, nên trước chứng minh ta cần phân tích giả thiết để tìm ràng buộc đơn giản biến phép phân tích ta sử dụng đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng x2 + y2 �2 x y = 2xy cho giả thiết, ta có 2 1 � � ab a b ab Tới đây, sử dụng bất đẳng thức Côsi lần nữa, ta a b �2 ab �2.1 Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a = b =1 Ví Dụ 3.1: Cho số thực dương không âm a, b Chứng minh rằng: a b �64ab(a b) Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng x2 + y2 �2 x y = 2xy a b 4 � � � a b � � �a b ab � � � � � 24.22.ab a b �� 2 a b ab � � 64ab(a b)2 Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xảy a = b Ta tiếp tục vận dụng đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân cho ví dụ sau Ví dụ 4.1: Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh : a b c �1 3 abc Lời giải Biến đổi vế trái áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng xyz � xyz cho ba số khơng âm Ta có: ab bc ca a b c abc � a b c � � � � 33 a 2b 2c 33 abc abc abc 1 a 1 b 1 c abc Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xảy � a = b= c Ví dụ 5.1: Cho số thực dương a , b ,c , d Chứng minh a b a b c a b c d �64 abcd Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a b a b c a b c d �64abcd Sử dụng liên tiếp bất đẳng thức Côsi dạng x y �4xy , ta có a b c d �4d a b c �0 a b c �4c a b �0 a b �4ab �0 2 Nhân ba bất đẳng thức lại theo vế,ta suy a b a b c a b c d 2 �64abcd a b a b c 1 a b a b c , ta thu Từ cách đơn giản hai vế (1) cho kết cần chứng minh Đẳng thức xảy dabc � � cab � d 2c 4b 4a � � ab � Nhận xét: Có thể nói đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cơsi bản, địi hỏi học sinh khá, giỏi phải nắm chứng minh bất đẳng thức Tuy nhiên bất đẳng thức chứng minh cách đánh giá Vì ta tiếp tục hướng dẫn học sinh tìm hiểu tiếp kỹ thuật Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng Nếu đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân đánh giá từ tổng sang tích, hiểu nơm na thay dấu a + b dấu a.b ngược lại đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng thay dấu a.b dấu a + b Và cần phải ý biến tích thành tổng, tổng phải triệt tiêu hết biến, lại số Dưới số ví dụ sử dụng kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng Ví dụ 1.2: Cho a, b, c số thực dương.Chứng minh rằng: ab cd � a c b d Phân tích: - Nếu giữ ngun vế trái biến tích thành tổng ta triệt tiêu ẩn số nên ta có phép biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh, sau biến tích thành tổng ta phân thức có mẫu số - Dấu “ �” gợi ý cho ta sử dụng bất đẳng thức Cơsi ta phải đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: ab a c b d Áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng ab a c b d cd �1 a c b d xy xy � ta có: cd 1� a b � 1� c d � �� � � a c b d �a c b c � � �a c b d � �a c b d � � 1 �a c b d � � Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xảy � a = b c = d Ví dụ 2.2: Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a c, b c Chứng minh rằng: c a c c b c � ab Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh có hình thức giống với ví dụ 1.2 Vì cách tự nhiên ta biến đổi tương đương bất đẳng thức cho đánh giá theo chiều từ trung bình nhân sang trung bình cộng Lời giải Ta có cần chứng minh tương đương với: c b c c a c �1 ab ab Áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng xy xy � cho số dương ta được: c b c �c a c � �c b c � �a b � c a c � � � �� � � � �a � �a b � ab ab 2� b a b � � � � Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a = b = 2c Ví dụ 3.2: Cho số thực không âm a, b, c Chứng minh rằng: abc �3 a b c Lời giải Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh sau: �3 1.1.1 abc �3 a b c 1.1.1 abc 3 �1 a 1 b c 1 a 1 b 1 c Theo bất đẳng thức Cơsi ta có: 1.1.1 abc 3 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c �1 1 � �a b c � � � � � 3� 1 a 1 b 1 c � � 1 a 1 b 1 c � � �a b c 1� � 3� 1 a 1 b 1 c � � Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a = b = c Ví dụ 4.2: Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a b c Chứng minh rằng: abc a b b c c a � 729 Phân tích: Ta nhận thấy biểu thức có tính chất đối xứng dấu đẳng thức bất đẳng thức xảy a b c Nhưng thực tế ta cần quan tâm sau sử dụng bất đẳng thức Côsi ta cần suy điều kiện xảy dấu đẳng thức a = b = c Lời giải �x y z � Áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng xyz �� �ta có: � � � a b c �� a b b c c a � � abc a b b c c a �� �� � � �� � � 3 3 �1 ��2 � � �� � �3 ��3 � 729 Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a bc Nhận xét: Có thể nói hai kỹ thuật hai kỹ thuật đánh giá ngược chiều nhau, tùy theo điều kiện toán mà ta chọn cách đánh giá phù hợp Trong q trình dạy học tốn, giáo viên cần phải giới thiệu để học sinh nắm hai kỹ thuật Kỹ thuật tách, ghép cặp nghịch đảo Chúng ta biết tích hai số nghịch đảo Từ điều dẫn học sinh tới ý tưởng áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương nghịch đảo nhằm mục đích triệt tiêu biến Tuy nhiên trình vận dụng ta người giáo viên cần rèn luyện cho học sinh kỹ tách hạng tử thành nhiều hạng tử cho ghép cặp nghịch đảo Dưới dây số ví dụ sử dụng kỹ thuật tách ghép cặp nghịch đảo Ví dụ 1.3: Cho số thực dương a, b Chứng minh rằng: a b �2 b a Phân tich: Bất đẳng thức cần chứng minh dạng bất đẳng thức Côsi, cách chứng minh đơn giản sử dụng kỹ ghép nghịch đảo Lời giải Áp dụng bất dẳng thức Cơsi cho hai số ta có: a b ab �2 2 b a ba Bài toán chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a b 10 1 � 1.2012 2012 2013 1 � 2.2011 2011 2013 1 � k 2012 k 1 k 2012 k 2013 1 � 2012.1 2012 2013 Cộng vế theo vê bất đẳng thức ta S 1 1 � � � � � � 1.2012 2.2011 2012.1 k 2012 k 1 2 2 2.2012 4024 � 2013 2013 2013 2013 2013 2013 Vì dấu đẳng thức khơng xẩy nên từ ta có: S Ví dụ Cho K 4024 2013 2 3 4 2013 2012 1 23 34 2012 2013 Chứng minh : K Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cosi dạng x y �2 xy cho hai số dương ta có: n 1 n n n �1 � � � n n 1 n(n 1) � n n 1 � Vận dung bất đẳng thức cho n = 1, 2, 3,…, 2012 ta được: 42 2 3 4 2013 2012 1 23 3 2012 2013 �1 � �1 � �1 � 1� 1 � � � � � � � � � 2�1 � 2012 11 � � 2 1 � � 3 1 � 2012 � K 1� �1 � 1 � 2013 � �2 Bài toán chứng minh x y z a Chứng minh phương trình y z x khơng có nghiệm nguyên dương a = a = 2, có vơ số nghiệm a = Ví dụ Cho phương trình: Lời giải Với x, y, z số nguyên dương nên theo bất đẳng thức Cosi ta có 3 �x y z � � x y z � a � ��� 33 � 27 � a �3 �y z x � � y z x � Như với a = 1, a = phương trình khơng có nghiệm ngun dương, với a = phương trình có vơ số nghiệm ngun dương Chẳng hạn chọn x = y = z = b (b số ngun dương bất kì) làm nghiệm Ví dụ Giải phương trình nghiệm nguyên: xy yz zx 3 z x y Lời giải Ta biến đổi tương đương phương trình sau: xy yz zx � x y y z z x 3xyz z x y Từ ta có xyz Do ba số x, y, z ba số dương, số dương hai số âm Chú ý đổi dấu hai ba số x, y, z phương trình ban đầu khơng đổi Vì ta giả sử x, y, z dương Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có x y y z �2xy 2z; x y x 2z �2x yz; y 2z z x �2xyz Cộng vế với vế ba bất đẳng thức ta có x y y z z x �xyz x y z Suy x y z �3 Do x, y, z số nguyên dương nên x = y = z = Đổi dấu hai ba số x, y, z ta có them hai trường hợp nghiệm 43 Vậy nghiệm (x; y; z) (1; 1; 1), (-1;- 1; 1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1) n2 4n1 Ví dụ Chứng minh với n�N ,ta có : n1 �n! � n * Lời giải Với n=1 ,bất đẳng thức kép hiển nhiên ,sau ta xét trường hợp n�N* n �2 Ttrước hết ta chứng minh bất đẳng thức vế phải, tức 4n1 n! � n Để ý theo bất đẳng thức Cosi hai số dạng x2 y2 �2xy , ta có n2 �n � n n2 1 � ��2.1 n � �n 4 �2 � Hoàn toàn tương tự ta thiết lập chuỗi bất đẳng thức n 1 n k �n �n k 22 �1 Nhân n – bất đẳng thức thiết lập lại theo vế , ta thu � n n 1 2� � � � n n 2.1 n1 Suy n2 � n 1 n 2 2.1� � ��1 n1 Do n 1 n 2 2.1 n! n.n! 4n1 nên từ ta có n1 �1 hay n! � n n Bất đẳng thức vế hai chứng minh Dấu đẳng thức xảy n = n = Tiếp theo ta chứng minh bất đẳng thức vế trái n2 �n! 2n1 44 x y Sử dụng bất đẳng thức Cosi dạng xy � 1 n 1 1. n 1 � ,ta có n2 Hồn tồn tương tự ta có n2 2. n 2 � n2 k. n k � n2 n n 1 � n 1 � � �� Nhân n – bất đẳng thức thiết lập lai theo vế lấy bậc hai ,ta nn1 thu : n 1 ! � n1 1 nn Từ nhân hai vế (1) với n ,suy n! � n1 Đây điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy n = n = D SÁNG TAO VỚI BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI Một cách đổi biến lạ Bài toán: Cho a , b ,c , d số thực dương Chứng minh rằng: a b c d 2 bcd cda dab abc Lời giải Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức Côsi dạng xy xy � , ta có: a b c d a b c d � a b c d � �1 abcd Nhân hai vế bất đẳng thức cho a �0 , ta bcd 45 a 2a � bcd a bcd Hoàn tồn tương tự ta có b 2b � ; cda abcd c 2c � ; dab abcd d 2d � abc abcd Cộng theo vế bất đẳng thức ,ta được: a b c d � bcd cda da b a bc 2a 2b 2c 2d � 2 abcd abcd abcd abcd Chú ý dấu đẳng thức không xảy Do bất đẳng thức chứng minh Cách 2: Khơng tính tổng qt ta chọn a b c d Khi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a b c d 2 1 a 1 b 1 c 1 c Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương ta có a 1 a a a � 2a 1 a a 1 a a Hồn tồn tương tự ta có: c 1 c b 1 b b b � 2b 1 b b b b c c � 2c c c c c d d d � 2d 1 d 1 d d 1 d d Cộng vế theo vế bốn bất đẳng thức ta được: a b c d �2 1 a 1 b 1 c 1 c 46 Ở dấu đẳng thức không xẩy nên a b c d 2 1 a 1 b 1 c 1 c Bất đẳng thức chứng minh hoàn toàn Khi đưa lời giải cho toán trên, hẳn học sinh thắc mắc lại chọn a b c d chọn a b c d k tốn có giải khơng? Và ngồi cách chọn điều kiện chọn theo cách khác (chẳng hạn abcd ) khơng? Câu trả lời hồn tồn được, thực chất việc chọn bắt nguồn từ việc đổi biến Sau cách đổi biến dẫn đến kết a b c d Ta thực biến đổi hạng tử bên vế trái sau: a bcd a abcd bcd abcd a abcd b c d abcd abcd abcd Tới ta đổi biến sau: a b c x ; y ; z ; abcd abcd abcd Thay vào biểu thức ta được: t d abcd a x x y z t bcd yzt Áp dụng cho vế trái bất đẳng thức cần chứng minh ta x y z t 2 yzt ztx txy xyz Và x y z t Như sau phép đổi biến ta có bất đẳng thức có hình thức hồn tồn giống bất đẳng thức cần chứng minh bổ sung thêm điều kiện cho biến x y z t Việc chứng minh bất đẳng thức với điều kiện biến x y z t thực Dưới số ví dụ Ví dụ 1: Cho a, b , c số thực dương tùy ý Chứng minh a b c ab bc ca � a b b c c a Lời giải Bất đẳng thức tương đương với a b c ab bc ca �9 a b b c c a 47 Chia hai vế cho abc ta a b c ab bc ca a b b c c a � abc abc � ab b c � bc ca �a � �3 3 3 � � �3 (abc) (abc) (abc) abc abc � � abc � b � c � c � �a �b �a �9 �3 3 � �3 � �3 � abc � � abc � abc abc � � abc abc � Đặt x � � � � a b c ; y ; z � xyz abc abc abc Thay vào bất đẳng thức ta x y z xy yz zx �9 x y y z z x Như sau phép đổi biến ta có bất đẳng thức có hình thức hồn toàn giống bất đẳng thức cần chứng minh bổ sung thêm điều kiện cho biến xyz Bây ta chứng minh bất đẳng thức với điều kiện biến xyz Thật vậy: x y z xy yz zx �9 x y y z z x � x y y 2z z x xy yz zx �9 x y y 2z z 2x xy yz zx x y y z z x xy yz zx ۣ+ 2 2 2 x y y2 z z x xy yz zx xyz x x y y z z y z x z x y Dễ thấy rẳng theo bất đẳng thức Côsi bất đẳng thức cuối ln Vậy bất đẳng thức chứng minh hồn tồn Ví dụ 2: Cho a, b, c Chứng minh rằng: a(b c) b(c a) c(a b) � (b c) a (c a) b (a b) c Lời giải Không tính tổng qt ta chọn: a + b + c = a(1 a) b(1 b) c(1 c) 2 2a 2a 2b 2b 2c 2c Theo bất đẳng thức Côsi ta có: 48 2a a � a 1 2a a � � �= � � � 2a 2a 2a a � a 1 �1 a a 3 0 a(1 a) 4a(1 a) a � � � 4 4� 1 � 2a 2a (1 a)(a 3) a 3 � a 3� 3 � � � VT 4 � (1 ) (1 ) (1 ) �= a b c � � 1 � � 3.9 � �6 3( �4 � 3 4� �� � a b c 3� � a b c � � Ví dụ 3: Cho ba số thực dương a, b, c CMR: a b c � bc ca a b Lời giải Khơng tính tổng qt ta giả sử a + b + c = Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có a a(b c) b b(c a) �a, �b, bc ca c c(a b) �c ab Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức ta được: a b c ab bc ca (a b c) �a b c �a b c � bc ca ab Ví dụ 4: Chứng minh với số thực dương a,b,c ta ln có a b c 27abc ab bc ca a b c �3 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a b c 9abc 18 ab bc ca a b c �9 Khơng tính tổng quát ta chọn a +b + c = bất đẳng thức trở thành ab bc ca �9 abc Bất đẳng thức tương đương với 49 3 a b2 c2 a �bc۳ a b c abc abc � abc a b c �3 � abc a b c a b c �9 Ta cần cứng minh bất đẳng thức sau: abc a b c a b c 2 �9 Thật theo bất đẳng thức Cosi ta có: abc a b c a b c � ab bc ca a b c ab bc ca ab bc ca a b c ab bc ca ab bc ca a b c � � a b c � 1� � � � � � � � 3� 3 � � � � � 3 Như bất đẳng thức chứng minh hoàn tất Sáng tạo từ bất đẳng thức quen thuộc “Tìm lời giải cho tốn phát minh” (Polya) Sẽ thông minh ta biết vận dụng để sáng tạo tìm lời giải cho toán Trong phần đề cập đến bất đẳng thức quen thuộc, đơn giản số toán áp dụng bất đẳng thức Bài toán: Với hai số dương x y ta có: 1 1 � ( ) xy x y (1) Bất đẳng thức (1) có nhiều cách chứng minh, đưa cách chứng minh phổ biến Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho hai số dương ta có x y �2 xy, 1 � ) Từ đó: (x y)( x y xy 1 1 �2 x y x y xy 1 ( x ) y Và đẳng thức xảy x =y Cho số dương a, b, c, áp dụng bất đẳng thức (1) ta có 50 1 1 � ( ) ab a b 1 1 � ( ) bc b c 1 1 � ( ) ca c a Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được: Bài toán Cho ba số dương a, b, c, ta có: 1 1 �1 1 � � � � a b b c c a �a b c � (2) Đẳng thức xảy a = b = c Áp dụng Bất đẳng thức (2) cho số a b, b c, c a ta được: 1 1 1 � ( ) a 2b c b 2c a c 2a b a b b c c a (3) Kết hợp bất đẳng thức (2) (3) ta có Bài toán Với a, b, c số dương: 1 1 1 � ( ) a 2b c b 2c a c 2a b a b c (4) Đẳng thức xảy a = b = c Bài toán Chứng minh với a, b, c dương: 1 1 1 � a 2b c b 2c a c 2a b a 3b b 3c c 3a (5) Giải: Vận dụng bất đẳng thức (1) ta có: 1 � a 3b b 2c a (a 3b) (b 2c a) a 2b c 1 � b 3c c 2a b (b 3c) (c 2a b) b 2c a 1 � c 3a a 2b c (c 3a) (a 2b c) c 2a b Cộng vế với vế bất đẳng thức rút gọn ta có bất đẳng thức (5) Đẳng thức xảy � a b c Bài toán Cho x, y, z số thực thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0, x + 1>0, y + > 0, z + > Hãy tìm giá trị lớn 51 Q x y z x 1 y 1 z 1 Giải: Đặt a = x + > 0, b = y + > 0, c = z + > Ta có: a + b + c = Q a 1 b 1 c 1 �1 � 3� � a b c �a b c � Theo bất đẳng thức (1) ta có: 1 4 ( ) �� a b c ab c 16 a bc Q 3 Đẳng thức xảy x y ; z 1 Vậy: Giá trị lớn Q 1 Đạt x y ; z 1 Bài tốn Tìm giá trị nhỏ biểu thức A x 1 1 y y z z x ty yz zx xt Với x, y, z, t số dương Giải : Ta có: xt ty yz zx 1) ( 1) ( 1) ( 1) ty yz zx xt xy tz yx zt 4 t y yz zx xt A( �1 �1 � � (x y) � (t z) �y z x t � � t y z x� � � � � 4 �(x y) (t z) 4 xyzt xyzt 4(x y z t) 40 zyzt Vậy MinA=0 x = y = z = t Trên số toán áp dụng bất đẳng thức (1) sau số tập tương tự: Bài toán Cho a, b, c số thực dương Chứng minh bất đẳng thức: 52 a, b, 1 1� 1 � � � � 2a 3(b c) 2b 3(c a) 2c 3(a b) �a b b c c a � 1 1� 1 � � � � a 2b 3c b 2c 3a c 2a 3b �a 2c b 2a c 2b � Bài toán Chứng minh a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện abc = ab + bc + ca thì: 1 17 a 2b 3c b 2c 3a c 2a 3b 96 Bài toán Cho x > 0, y > thỏa mãn x + y 1 Tìm giá trị nhỏ của: A 4xy x y xy Bài tốn Cho tam giác ABC có chu vi a + b + c = k (không đổi), BC = a, CA = b, AB = c Tìm giá trị lớn biểu thức: T ab bc ca a b 2c b c 2a c a 2b PHẦN III - KẾT LUẬN Như từ ví dụ cụ thể cách phân chia riêng học sinh có thấy vai trị to lớn bất đẳng thức Cơsi giải số dạng toán Việc làm người giáo viên lặp đi, lặp lại thường xuyên trình lên lớp hình thành cho học sinh có phương pháp, thói quen đào sâu suy nghĩ, khai thác kiến thức toán nhiều góc độ khác để từ tìm nhiều cách áp dụng cho trường hợp cụ thể Thơng qua học sinh phát triển lực sáng tạo toán học, học sinh giỏi Qua dạy người giáo viên cần giúp học sinh làm quen sau tạo hội cho học sinh luyện tập, thể cách thường xuyên thông qua hệ thống câu hỏi gợi mở, hệ thống tập từ dễ đến khó Trên vài ý tưởng đưa trình lên lớp học Kết là: - Giúp em nắm kiến thức cần thiết, vận dụng linh hoạt, mềm dẻo vào tình cụ thể - Khi thực giảng luyện tập, thấy em hứng thú tiếp thu hứng thú học tập - Giúp cho học sinh giỏi khơng hình thành kỹ giải tốn mà giúp em rèn luyện thao tác tư duy: Phân tích, tổng hợp, khái qt hố, tương tự hóa … 53 - Bước đầu hình thành em cách học sáng tạo, tạo cho em có thói quen sau giải xong tốn tự nghiên cứu, khai thác tìm cho lời giải tự đặt cho tốn mới,…Qua giúp em có phương pháp tự học, tự nghiên cứu - Thông qua tiết dạy, đáng để bàn thêm, học sinh cần hồn thành u cầu tốn xong Như tiết luyện tập trước giáo viên giao nhà để học sinh làm, tiết sau chữa tìm thấy đúng, sai học sinh, rèn kĩ trình bày cho học sinh Cịn học sinh giỏi tiết học khơng mang lại kết nhiều mong muốn Nếu giáo viên thực khai thác, phát vấn đề xung quanh tốn tiết học sơi nổi, hút đối tượng học sinh, phát huy hết khả sáng tạo trò Một tiết học để lại nhiều ấn tượng Từ học sinh tự làm việc mà trước người giáo viên phải làm thiết kế cho học sinh Trong trình giảng dạy hai lớp 9A, 9B va tham gia BGHSG cho trường, khảo sát hai nhóm học sinh kiểm tra hình thức cho 02 tốn 01 SGK, 01 tốn nâng cao lấy sách tài liệu tham khảo có thay đổi chút + Nhóm thực nghiệm: 30 học sinh lớp 9A + Nhóm đối chứng : 30 học sinh lớp 9B Các học sinh nhóm đánh số thứ tự từ đến 30 Kết thu sau khảo sát sau: Số học sinh Nhóm thực nghiệm Nhóm đối chứng KT trước KT đầutác năm động KT trước KT đầutác năm động KT sau tác động KT sau tác động 8 7 7 8 8 6 8 8 8 8 5 8 10 7 7 8 54 8 7 10 8 6 11 12 8 8 13 6 14 7 6 15 6 16 8 7 17 8 18 10 5 19 8 10 6 20 6 21 8 22 8 6 23 8 7 24 25 10 26 8 27 8 28 8 7 29 7 30 6 Môt(mode) 6.0 5.0 7.0 7.0 6.0 6.0 Trung vị(median) 5.5 5.5 7.0 6.0 6.0 6.0 trung 5.43 5.53 7.00 5.63 6.10 6.23 Giá trị 55 bình(average) Độ lệch chuẩn(stdev) 1.01 1.01 0.95 Giá trị p(ttest) 0.05 0.00 Mức độ ảnh hưởng(SE) 0.54 1.45 1.21 0.94 0.82 Sau thời gian kiên trì, nghiêm túc nỗ lực thực với giúp đỡ đồng nghiệp, chúng tơi hồn thành sáng kiến kinh nghiệm với đề tài " Tôi mong muốn học hỏi, trao đổi thêm tất đồng nghiệp bạn đọc quan tâm vấn đề Đồng thời, chúng tơi hi vọng đề tài đóng góp phần nhỏ việc bổ sung hiểu biết, góp phần làm tài liệu tham khảo cho cơng tác giảng dạy tốn học tốn, từ nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn nhà trường Bước đầu, đề tài thu nhiều kết tích cực, tạo thói quen tốt cho nhiều HS tính kiên trì, độc lập suy nghĩ có khả sáng tạo học tốn, tự thấy phong phú, thú vị toán học Các em ham thích với mơn tốn Mặc dù vậy, với khn khổ đề tài chưa phải cho tất đối tượng HS ý kiến riêng cá nhân chúng tơi Tuy cố gắng kinh nghiệm cá nhân hạn chế nên nội dung sáng kiến kinh nghiệm chắn không tránh khỏi nhiều khiếm khuyết Tôi mong trao đổi, bảo đóng góp ý kiến bổ sung thầy giáo, cô giáo để đề tài hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn ! 56 ... 12 bất đẳng thức học sinh thường gặp sai lầm áp dụng bất đẳng thức Côsi mà quên dấu đẳng thức xảy đâu Vì hướng dẫn học sinh tìm tịi chứng minh toán bất đẳng thức , người giáo viên cần cho học sinh. .. thuật sử dụng bất đẳng thức Côsi ứng dụng bất đẳng thức giải tập tốn liên quan Thơng qua việc giải toán bất đẳng thức giúp học sinh thấy rõ mục đích việc học tốn học tốt toán bất đẳng thức Phương... Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy � x z , y D MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI Các em học sinh Trung học sở làm quen với Bất đẳng thức Côsi từ lớp 8, việc áp dụng Bất đẳng thức