Bài giảng Đồ họa máy tính: Chương 4 - ThS. Trần Thị Minh Hoàn

Bài giảng Đồ họa máy tính: Chương 4 Các phép biến đổi trong đồ họa hai chiều cung cấp cho người học những kiến thức như: Các phép toán cơ sở với ma trận; Các phép biến đổi 2D cơ sở; Biến đổi 2D gộp;...Mời các bạn cùng tham khảo!

Chương IV Các phép biến đổi đồ họa hai chiều    Các phép toán sở với ma trận Các phép biến đổi 2D sở Biến đổi 2D gộp I Các phép toán sở với ma trận  Cộng, trừ ma trận  Chỉ thực cho hai ma trận bậc [A(m, n)] + [B(m, n)] = [C(m, n)] c   a  b  ij  ij ij Nhân hai ma trận  Ma trận bậc n1xm1 ma trận bậc n2xm2 nhân với m1=n2 [A(m, n)] [B(n, p)]= [C(m, p)] n c jk   a ji bik j=1, ,m k=1, ,p i 1 Ứng dụng biến đổi  Mơ hình hóa (modeling)   Quan sát (viewing)   Định vị thay đổi kích thước phần đối tượng phức tạp Định vị quan sát camera ảo Animation  Xác định đối tượng chuyển động thay đổi theo thời gian Các thí dụ biến đổi 2D Các thí dụ biến đổi 2D Các loại biến đổi  Biến đổi tuyến tính    Biến đổi affine    Các đường song song giữ nguyên song song Các thí dụ affine Biến đổi trực giao   Các đường thẳng giữ ngun đường thẳng Các thí dụ Bảo tồn khoảng cách, dịch chuyển đối tượng khối rắn Xoay, dịch chuyển, phản chiếu affine  Bấy kỳ biến đổi affine viết sau x ' y '  x  a11 a12  y   b1 b2   a21 a22  P'  P A II Các phép biến đổi sở  Tịnh tiến (Translation) 100 x' = x + Tx y' = y + Ty 50 (Tx, Ty) véc tơ tịnh tiến Định nghĩa: P= [x y], x'  y '  x  y   Tx 50 150 P'=[x' y'] T= [Tx Ty] Ty  Co dãn (Scaling) x' = x.Sx y‘ = y.Sy x' y '  x Sx thừa số co dãn chiều x Sy thừa số co sãn chiều y S x y  0 0 S y  Các phép biến đổi sở  Xoay hình (Rotation) x'  r cos(   )  r cos  cos   r sin  sin  y '  r sin(   )  r sin  cos   r cos  sin   Góc xoay (x', y') x  r cos  , y  r sin  r x '  x cos   y sin   y '  x sin   y cos  x ' y '  x  cos  y    sin  r  (x, y) sin   cos   Tọa độ  Các biến đổi sở có cách xử lý khác P' = P + T (tịnh tiến);  P' = P S (co dãn); P' = P.R (xoay) Thực tế: Nhu cầu tổ hợp chuyển đổi sở   Cần cách xử lý quán để dễ dàng tổ hợp Sử dụng hệ thống tọa độ (Homogeneous Coordinates) Tọa độ nhất?  Mục tiêu ban đầu hệ tọa độ để biểu diễn khái niệm vô hạn  Không thể biểu diễn giá trị vô hạn hệ tọa độ Đề  Giả sử với hai số thực w a    Giá trị vô hạn biểu diễn v=a/w, Khi w->0 a/w tiến tới vơ hạn: cặp (a, w) biểu diễn khái niệm vô hạn; cặp (a, 0) biểu diễn giá trị vô hạn Áp dụng hệ tọa độ xy mặt phẳng f(x, y) =0 f(x/w, y/w)=0  Nếu f(x,y)=0 đa thức bậc n nhân với wn để loại bỏ mẫu 10 Ma trận biến đổi 2D  Biểu diễn tọa độ 2D [x,y] hệ tọa độ ba [x, y, 1]    Các điểm véctơ hàng phần tử Ma trận biến đổi có kích thước 3x3 Dịch chuyển x' y ' 1  x z z=1 [x, y] [x+tx, y+ty] y x Dịch chuyển:  0 y 1. 0 Tx Ty 1 x’=x+tx=x+tx.1 y’=y+ty=y+ty.1 w’=1  0 T (Tx, Ty )   0 Tx Ty 1 12 Ma trận biến đổi 2D Co dãn  x'  y ' 1  x  Sx 0 S ( Sx, Sy )   Sy 0  0 1 Xoay x '   Sx 0 y 1. Sy 0  0 1 y ' 1  x  cos  y 1. sin   sin  cos  Biến đổi affine tổng quát a d x' y' 1  x y 1.b e  c f 0 0 1 0 0 1  cos  R ( )   sin   sin  cos  0 0 1 x '  ax  by  c y '  dx  ey  f 13 III Chuyển đổi gộp  Giải pháp:   Tính ma trận kết chuyển đổi thành phần chuyển đổi gộp Dịch chuyển lần 0  0  0   .   1 0      Tx1 Ty1 1 Tx Ty 1 Tx1  Tx Ty1  Ty 1 T(Tx1, Ty1).T(Tx2, Ty2)=T(Tx1+Tx2, Ty1+Ty2)  Co dãn hai lần S(Sx1, Sy1).S(Sx2, Sy2)=S(Sx1.Sx2, Sy1.Sy2)  Xoay hai lần R(1).R(2)=R(1+2) 14 Co dãn đối tượng theo điểm cố định  Vấn đề    Cho trước tam giác ABC, tọa độ chốt (xF, yF) tỷ lệ co dãn (a) Thực biến đổi để có kết (d) Các bước thực    Dịch đối tượng cho điểm chốt trùng gốc tọa độ Thực co dãn theo tỷ lệ cho trước Dịch ngược đối tượng cho điểm chốt vị trí ban đầu xF, yF xF, yF a) b) c) d) 15 Co dãn đối tượng theo điểm cố định  Ma trận chuyển đổi tính:     x F 0  S x 0.   0  yF Sy 0  .   x F yF 0  Sx     1  Sx x F 0 0  xF, yF xF, yF a) Sy 1  Sy y F b) c) d) 16 Xoay đối tượng quanh điểm cố định  Vấn đề    Cho trước tam giác ABC, tọa độ chốt (xF, yF) góc xoay (a) Thực biến đổi để có kết (d) Các bước thực    Dịch đối tượng cho điểm chốt trùng gốc tọa độ Thực xoay theo góc cho trước Dịch ngược đối tượng cho điểm chốt vị trí ban đầu xF, yF a) xF, yF b) c) d) 17 Xoay đối tượng quanh điểm cố định  Ma trận chuyển đổi tính:      x R  yR   cos  .  sin    cos      sin  1  cos  x R  y R sin  sin  cos  0  .   x R yR 0   sin  cos  1  cos  y R  xR sin  xF, yF a) 0 0  xF, yF b) c) d) 18 Bài tập Hãy tìm ma trận biến đổi để có đối tượng phản chiếu qua y=x y=-x Cho tam giác A(3, 1), B(1, 3), C(3,3):  Hãy xác định tọa độ đỉnh tam giác sau xoay góc 900 ngược chiều kim đồng hồ xung quanh điểm P(2, 2)  Phóng to tam giác lên hai lần, giữ nguyên vị trí điểm C Tính tọa độ đỉnh tam giác sau biến hình Lấy đối xứng hình thoi ABCD với toạ độ đỉnh A(-1, 0), B(0,-2), C (1, 0), D(0,2) qua: a, đường nằm ngang y=2 b, đường thẳng đứng x=2 c, đường thẳng y=x+2 19 Bài Cho ΔABC có toạ độ đỉnh A(2,2), B(3,1) C(4,3) Xác định ma trận biến đổi để biến đổi tam giác thành A’B’C’ biết ảnh A’(4,3), B’(4,5) C’(7,3) 20 Bài Cho tam giác sau: ABC với A(1,1) B(3,1) C(1,4) EFG với E(4,1) F(6,1) G(4,4) MNP với M(10,1) N(10,3) P(7,1) a Tìm ma trận biến đổi tam giác ABC thành tam giác EFG b Tìm ma trận biến đổi tam giác ABC thành tam giác MNP Bài Xây dựng ma trận phép biến đổi để biến đổi hình trịn tâm (0, 0), bán kính R thành Elip tâm O, trục a=R, trục phụ b=R/2, hai trục nằm đường y=x y=-x 21 IV Một số biến đổi sở khác  Phép đối xứng 1 0 0     0 1   0  0    0 1 Phản chiếu qua trục x Phản chiếu qua trục y   0   0    0 1 Phản chiếu qua gốc tọa độ 1 1’ 2 3’ 2’ 2’ 2’ 3’ 1’ 3’ 1’ 22 Một số biến đổi sở khác    Phép biến dạng Phép biến dạng phép biến đổi làm thay đổi, méo mó hình dạng đối tượng Biến dạng theo phương trục x làm thay đổi hồnh độ cịn tung độ giữ nguyên  0  Shx     0   Biến dạng theo phương trục y làm thay đổi tung độ cịn hồnh độ giữ ngun 1 Shy  0 0   0  23 Một số biến đổi sở khác   Phép biến đổi ngược Ta có Q ảnh của P qua phép biến đổi T có ma trận biến đổi M Q = PM, từ phép biến đổi ngược T-1 có ma trận biến đổi M-1 với M-1 ma trận nghịch đảo M 0   MT-1(Tx, Ty) =     Tx  Ty 1 1  0  Sx    MS-1(Sx, Sy) =  0 Sy   0 1   cos  sin 0 MR-1 () =  sin cos 0    0 1 24 Bài tập Xây dựng ma trận phép biến đổi để biến đổi hình trịn tâm (0, 0), bán kính R thành Elip tâm O, trục a=R, trục phụ b=R/2, hai trục nằm đường y=x y=-x Xây dựng ma trận phép biến đổi sau 450 Xây dựng cài đặt cấu trúc liệu hàm dùng để thực phép biến đổi affine 25 Bài tập thực hành Thiết kế phông chữ (10x10) tên SV 26 ... để biến đổi tam giác thành A’B’C’ biết ảnh A’ (4, 3), B’ (4, 5) C’(7,3) 20 Bài Cho tam giác sau: ABC với A(1,1) B(3,1) C(1 ,4) EFG với E (4, 1) F(6,1) G (4, 4) MNP với M(10,1) N(10,3) P(7,1) a Tìm ma trận... M-1 với M-1 ma trận nghịch đảo M 0   MT-1(Tx, Ty) =     Tx  Ty 1 1  0  Sx    MS-1(Sx, Sy) =  0 Sy   0 1   cos  sin 0 MR-1 () =  sin cos 0    0 1 24. .. Điểm đồng 2D xem điểm không gian 3D chiếu điểm 3D vào mặt phẳng w=1  Bất kỳ biến đổi tuyến tính biểu diễn dạng ma trận Từ đồng sang 2D: [x, y, w] -> [x/w, y/w] Kết Từ 2D sang đồng nhất: [x, y] ->