Bài giảng Đồ họa máy tính: Chương 5 - ThS. Trần Thị Minh Hoàn

Bài giảng Đồ họa máy tính: Chương 5 Biến đổi ba chiều cung cấp cho người học những kiến thức như: Nhắc lại đại số với véctơ; Các phép biến đổi 3D cơ sở; Biến đổi 3D gộp;...Mời các bạn cùng tham khảo!

Chương V Biến đổi ba chiều    I Nhắc lại đại số với véctơ II Các phép biến đổi 3D sở III Biến đổi 3D gộp Đại số véctơ P2  Biểu diễn véctơ   V Đoạn thẳng có hướng hai điểm xác định P1 Cộng hai véctơ V1  V2  ( x1  x , y1  y , z1  z )  Nhân hai véctơ  y Tích vơ hướng hay tích điểm V1 V2  x1 x  y1 y  z1 z  Độ dài véctơ V1+V2 V2=(x2,y2,z2) V1=(x1,y1,z1) V  V.V  ( x  y  z ) x V2  z V1 V1 V  V1 V cos  Chiếu V2 V1 Đại số véctơ  Tích có hướng hai véctơ    Kết véctơ vng góc với mặt phẳng tạo hai véctơ Véctơ đơn vị u  Có độ dài  Xác định hướng véctơ kết V1 x V2 V2 u  V1 Quy tắc bàn tay phải  Nắm tay phải, để cong ngón tay từ V1 đến V2 (nếu V1xV2), lịng bàn tay hướng gốc, ngón trỏ theo hướng u  Véctơ kết V1 xV2  u V1 V2 sin  Đại số véctơ ux , u y , uz  Véctơ đơn vị theo trục tọa độ:  Tích có hướng hai véctơ biểu diễn sau: y ux uy uz V1 xV2  x1 x2 y1 y2 z1 z2 uy uz x ux z V1 x V2  u x ( y1 z  z1 y )  u y ( z1 x  x1 z )  u z ( x1 y  x y1 )  Cosine hướng  y Cho trước véctơ p Cosine hướng cosine góc ,   u= i cos  + j cos  + k cos  cos2  + cos2  + cos2  = p u p P(x, y, z)  j k  y = r cos  i x O z  (x, 0, z) Các phép biến đổi 3D sở     Dịch chuyển Co dãn Xoay Các phép biến đổi khác Các phép biến đổi 3D sở  Dịch chuyển điểm (x, y, z) đến (x’, y’, z’) x'  y ' z ' 1  x y 1 0 z 1 0  Tx 0 Ty Tz  Sx  Sy z 1 0  0 0 0 0 0   y (x', y',z') (x, y,z) z x Co dãn x' y ' z ' 1  x y 0 0 Sz 0  1 Các phép biến đổi 3D sở  Xoay    Chọn trục xoay góc xoay Qui ước: Xoay ngược chiều kim đồng hồ theo trục tạo thành góc dương nhìn gốc tọa độ từ nửa trục dương Trục dễ quản lý: song song trục tọa độ y z  x Xoay quanh trục z x '  x cos   y sin  y '  x sin   y cos  z'  z x' y ' z ' 1  x y  cos   sin  z 1    sin  cos  0 0 0 0  1 Các phép biến đổi 3D sở  Xoay quanh trục x y '  y cos   z sin  z '  y sin   z cos  x'  x  x' y ' z ' 1  x y 1 0 cos  z 1 0  sin   0 sin  cos  0 0 0  1 Xoay quanh trục y z '  z cos   x sin  x'  z sin   x cos  y'  y x ' y ' z ' 1  x y cos   z 1  sin    0  sin  0 cos  0 0 0 0  1 Xoay quanh trục  Trường hợp đặc biệt   Trục xoay song song trục tọa độ Các bước thực     Dịch đối tượng cho trục xoay trục tọa độ song song với Thực xoay Dịch đối tượng cho trục xoay vị trí ban đầu Trường hợp tổng quát    Yêu cầu bổ sung vài biến đổi Xác định ma trận chuyển đổi đại số véctơ Xác định ma trận chuyển đổi hình học Các bước xoay quanh trục Dịch đối tượng cho trục xoay qua gốc tọa độ Xoay đối tượng cho trục xoay trùng với trục tọa độ Thực xoay đối tượng Áp dụng xoay ngược để trục xoay trở hướng xoay ban đầu Áp dụng chuyển dịch ngược để đem trục xoay vị trí ban đầu 10 Thực tính tốn  Bước 4:  Xoay xung quanh trục trùng với trục z y TR z  cos    sin      sin  cos  0 0 0  0  1 (x0, y0, z0) l d k   x l z  Tìm ma trận biến đổi ngược trước tính tốn ma trận cuối 15 Tìm ma trận xoay đại số véctơ  Trục xoay qua hai điểm P1 (x1, y1, z1) y (x2,y2,z2) P2 (x2, y2, z2)  u P1 P2 xác định véc tơ V: (x1,y1,z1) V  ( x  x1 , y  y1 , z  z1 )  x Véc tơ đơn vị u theo trục xoay V u  a, b, c  V  z a x2  x1 y  y1 z z , b , c V |V| |V| Giả sử chọn trục z để biến đổi trục xoay theo 16 Tìm ma trận xoay đại số véctơ  Các bước thực  Bước 1: Dịch đối tượng cho P1 gốc tọa độ   T      x1  0  y1  z1 0  0  1 y u z x Biến đổi cho trục xoay trùng trục z  Xoay quanh trục x cho véc tơ u mặt phẳng xz  Xoay quanh trục y để đem u trục z 17 Tìm ma trận xoay đại số véctơ  Bước 2: Tìm ma trận xoay quanh x để u mặt phẳng xz  Góc xoay: ánh xạ véctơ u vào mặt yz trục dương z  Tìm góc xoay ? u z x x z u Biến đổi cho trục xoay trùng trục z 18 Tìm ma trận xoay đại số véctơ  Tìm cos  u'.u z c cos    , u' u z d y u=(a,b,c) u'=(0,b,c) u'   b  c  b  c  d  x uz  z uz=(0,0,1) u'.u z  0.0  b.0  c.1  c  Tính sin  u ' xu z  u x u' u z sin   u x b  c sin   u x d sin  u' = (0, b, c) uz = (0, 0, 1) ux u ' xu z  0 uy b uz c  u xb sin   b d 19 Tìm ma trận xoay đại số véctơ  Ma trận xoay quanh trục x 1 0 cos  Rx ( )   0  sin   0 sin  cos  y2  y1 z  z1 b , c |V| |V| 0 1 0 0 c / d   0  b / d    0 0 b/d c/d 0 0 0  1 d  b2  c2 V  V.V  ( x  y  z ) 20 Tìm ma trận xoay đại số véctơ  Bước 3: Tìm ma trận xoay véctơ đơn vị u’’ mặt xz quanh trục y vào trục dương z   Các thành phần u”:  Xoay quanh trục x nên thành phần x véctơ có giá trị a  Vì xoay u’ vào trục z thành phần z u” có giá trị d  Thành phần y u” có giá trị Tính cos  từ tích vơ hướng u” uz y cos   u".u z d u" u z u’=(0,b,c)  uz V1 V2  x1 x  y1 y  z1 z x u"=(a,0,d)  Theo tính chất cosin hướng ta có |uz| =1 |u"| = (a2+b2+c2)1/2=1 z (b2+c2)1/2=d 21 Tìm ma trận xoay đại số véctơ  Tính sin  từ tích có hướng u” uz u"xu z  u y u" u z sin   u y 1.1.sin   u y sin  ux u " xu z  a Do đó: sin  = a  uy 0 uz d  u y ( a) y u’=(0,b,c)  uz x Xoay quanh trục y với góc âm u"=(a,0,d) d 0 Ry      a  0 a 0 0 d 0  0 1 z (b2+c2)1/2=d 22 Tìm ma trận xoay đại số véctơ  Xoay quanh trục y với góc âm (theo chiều kim đồng hồ)   d a 0  0  Ry       a d 0    0 1 Trục xoay trục z dương, góc xoay   cos    sin  Rz        sin  cos  0 0 0  0  1  Bước 4: Biến đổi trục xoay vị trí ban đầu  Ma trận biến đổi xoay cuối y u’=(0,b,c)  uz x u"=(a,0,d) z (b2+c2)1/2=d R()=T.Rx().Ry().Rz().Ry-1 ().Rx-1 ().T-1 23 Phép lấy đối xứng (reflection)  Giải pháp   Lấy đối xứng trục tọa độ qua mặt phẳng phản chiếu Thí dụ lấy đối xứng qua mặt phẳng xy  Biến đổi làm thay đổi trục z giữ nguyên trục x, y  Biểu diễn ma trận phản chiếu điểm so với mặt phẳng xy sau 1 0 RFz   0  0 0 0 0  0  0 1 y y z z x x 24 Phép lấy đối xứng (reflection)  Lấy đối xứng qua mặt phẳng yz xz  0 RFx   0  0  0 0 0 0  0 1 1 0  RFy   0  0 0 0 0  0  1 Lấy đối xứng qua gốc tọa độ (0, 0, 0)  1 0  1 RFo    0 1  0 0 0  0  1 25 Biến dạng (shear)  Thực tương tự biến dạng 2D  Với a, b có giá trị bất kỳ, ma trận biến dạng sau 1 0  a  0 0 b 0 0  0  1 26 Một hình chóp A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(0, 1, 0) D(0, 0, 1) xoay góc 450 quanh đoạn thẳng L xác định theo hướng V= j + k qua đỉnh C Xác định tọa độ đỉnh sau phép xoay Tìm tọa độ khối vng đơn vị hình bên đây, sau xoay quanh trục xác định điểm y (0, 1, 1) A(2, 1, 0) B(3, 3, 1) Góc xoay 900 ngược chiều kim đồng hồ (1, 1, 0) (0, 1, 0) (1, 1, 1) (0, 0, 0) z (0, 0, 1) (1, 0, 0) x (1, 0, 1) 27 Thực hành Tìm ma trận chuyển đổi để biến đổi khối vng đơn vị hình bên trái thành khối chữ nhật hình bên phải y y x 1 z x z 450 Hãy tìm ma trận chuyển đổi hình chóp tam giác ABCD bên trái thành hình chóp tam giác bên phải y C(1,2,1) A(0,1,0) B(1,0,0) x B(0,0,1) z C(1,0,0) z x 450 A D 1/2 28 Thực hành Các bước thực Co dãn theo Oy Sy=1/2, Sx=Sz=1 Quay quanh Oy góc 180o Quay quanh Oz góc -900 Tịnh tiến (1,0,1) Co dãn Oy 29 ... đổi xoay cuối y u’=(0,b,c)  uz x u"=(a,0,d) z (b2+c2)1/2=d R()=T.Rx().Ry().Rz().Ry-1 ().Rx-1 ().T-1 23 Phép lấy đối xứng (reflection)  Giải pháp   Lấy đối xứng trục tọa độ qua mặt phẳng... phải y y x 1 z x z 450 Hãy tìm ma trận chuyển đổi hình chóp tam giác ABCD bên trái thành hình chóp tam giác bên phải y C(1,2,1) A(0,1,0) B(1,0,0) x B(0,0,1) z C(1,0,0) z x 450 A D 1/2 28 Thực... 0  1 (x0, y0, z0) l d k   x l z  Tìm ma trận biến đổi ngược trước tính tốn ma trận cuối 15 Tìm ma trận xoay đại số véctơ  Trục xoay qua hai điểm P1 (x1, y1, z1) y (x2,y2,z2) P2 (x2, y2,