Bài giảng Phương pháp phần tử hữu hạn - ĐH Kiến trúc

Bài giảng Phương pháp phần tử hữu hạn cung cấp cho người học những kiến thức như: Khái niệm chung; Lý thuyết chung về phần tử hữu hạn; Tính toán phần tử một chiều;...Mời các bạn cùng tham khảo!

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC TP.HCM KHOA XÂY DỰNG BỘ MÔN CƠ HỌC ỨNG DỤNG BÀI GIẢNG MÔN HỌC PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN (Finite Element Method) Phạm Văn Mạnh LOGO Giới thiệu chung mơn học Phân bổ thời gian Ø Lên lớp (lý thuyết): 20 tiết Ø Thực hành (bài tập): 10 tiết Điều kiện tiên Học xong môn Cơ Học Kết Cấu Mục tiêu học phần Ø Nắm kiến thức Phương pháp Phần tử hữu hạn Ø Hiểu nguyên lý giải toán phần mềm PTHH (SAP2000) dùng để phân tích kết cấu Nhiệm vụ SV Ø Dự lớp đầy đủ Ø Tìm hiểu thêm tài liệu tham khảo Ø Làm tập, tiểu luận Giới thiệu chung môn học Tài liệu học PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Chu Quốc Thắng THỰC HÀNH PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ KẾT CẤU BẰNG SAP2000 Tiêu chuẩn đánh giá Làm tiểu luận (bài tập lớn) Nội dung học Gồm chương: Chương 1: Khái niệm chung (5t) Chương 2: Lý thuyết chung PTHH ( FEM) (5t) Chương Tính tốn phần tử chiều (20t) Chương 1: Khái niệm chung 1.1 Quan hệ ứng suất – biến dạng – chuyển vị 1.2 Hàm ẩn số phương trình cân CHVR 1.3 Nguyên lý tồn phần dừng 1.4 Mơ hình 1.5 Đại số ma trận PP khử Gaussian 1.6 Các hướng giải toán học 1.1 Quan hệ ứng suất – biến dạng – chuyển vị p Xét vật thể tích V, bề mặt S với mặt biên Sđ V • Chịu lực gồm lực khối g lực mặt p • Bị biến dạng xuất nội lực, điểm có chuyển vị g Sđ St v Trạng thái ứng suất – biến dạng – chuyển vị điểm biểu diễn vector: ìσ = {s , s , s ,t ,t ,t }T x y z xy yz zx ï T ï íε = {e x , e y , e z , g xy , g yz , g zx } ï T u u , v , w = { } ï î (1.1) 1.1 Quan hệ ứng suất – biến dạng – chuyển vị v Quan hệ biến dạng chuyển vị: ¶u ¶u ¶v ì e = , g = + xy ï x ¶x ¶y ¶x ï ¶v ¶w ¶v ï , e = g = + Þ ε = [¶ ] u í y yz ¶y ¶y ¶z ï ï ¶w ¶u ¶w = , = + e g ù z zx ảz ảz ảx ợ (1.2) é¶ ê ¶x ê ê ê ê Với: [ ¶ ] = ê ê ¶ ¶y ê ê ê ê¶ ëê ¶z ¶ ¶y ¶ ¶ ¶x ¶z 0 ù ú ú ú ¶ ú ¶z ú ú ú ú ¶ ú ¶y ú ¶ ú ¶x ûú v Quan hệ ứng suất biến dạng theo định luật Hooke (1 +n ) ì 0 ù é -n -n é ù e = s n s + s ; g = t ( ) ï x y z û xy xy ê -n -n ë x 0 ú E E ê ú ï n n 0 ê ú (1 +n ) ï 1 C = é ù t yz ; ê ú íe y = ës y -n (s z + s x ) û ; g yz = 0 (1 + n ) 0 ú Eê0 E E ï ê0 0 (1 + n ) ú ï (1 + n ) ê ú t zx ïe z = éës z -n (s x + s y ) ùû ; g zx = 0 0 + n ( ) ë û E E ỵ ε=Cσ (1.3) C ma trận hệ số đàn hồi 1.1 Quan hệ ứng suất – biến dạng – chuyển vị v Quan hệ ứng suất biến dạng (dạng nghịch) σ=Dε (1.4) với: Bài tốn 1D é1 - n ê n ê ê n ê E ê D= (1 + n )(1 - 2n ) êê ê ê ê êë n n -n n n -n 0 0 - 2n 0 0 - 2n 0 0 • Định luật Hooke: ex = sx E (1.5) • Định luật Hooke: (dạng nghịch) Trong đó: s x = Ee x (1.6) D=E 0 ù ú ú ú ú ú ú ú ú ú - 2n ú úû 0 1.2 Hàm ẩn số phương trình cân CHVR Đại lượng Bài tốn 3-D Bài toán 2-D Bài toán 1-D Chuyển vị {u} u, v, w u, v u Ứng suất {s} sx, sy , sz , txy, tyz, tzx sx, sy , tyz sx Biến dạng {e} ex, ey , ez , gxy, gyz, gzx ex, ey , gyz ex 15 Số hàm ẩn Các phương trình Bài tốn 3-D Bài tốn 2-D Bài tốn 1-D Phương trình cân nội Phương trình biến dạng – chuyển vị Phương trình ứng suất – biến dạng Tổng số phương trình 15 1.3 Nguyên lý toàn phần dừng v Thế toàn phần Õ hệ đàn hồi là: Π= U-W (1.7) Với: U lượng biến dạng vật thể đàn hồi tích luỹ q trình biến dạng W cơng ngoại lực sinh chuyển dời vật thể bị biến dạng Nội dung: “Trong tất trường chuyển vị động (tức thoả mãn điều kiện tương thích điều kiện biên động học) trường chuyển vị thực làm cho toàn phần P đạt giá trị dừng” Nghóa là: d Π = Û Điều kiện cân (1.8) T T ε σ dV = ε D ε dV ò ị 2V 2V (1.9) Năng lượng biến dạng : U = Công ngoại lực: W = ị uT g dV + ị uT p dS V St (1.10) 1.4 Mơ hình q MH kết cấu hình ảnh tưởng tượng kết cấu thực, sơ đồ hình học, đặc điểm vật liệu, tải trọng, điều kiện biên… đơn giản hoá cách loại bỏ yếu tố không quan trọng 3.2.2 XĐ ma trận cứng phần tử & véc tơ tải PT q Dầm chịu uốn: ìσ = {s x } ï íε = {e x } ïD = E ỵ q Quan hệ chuyển vị dọc trục độ võng dv u = -y dx du d 2v d2 ex = = - y = - y N qe dx dx dx 1424 Þ ex = B A' y B' v A y B qe d2 Voi B { = - y N = - y N ''( x ) dx (1´4 ) ¶v ¶x u=-y ¶ v ¶x éỉ 12 x ỉ x ö æ 12 x ö æ x ự = - y ờỗ - + ữ ỗ - + ữ ỗ - ữ ỗ - + ữỳ L ứ ố L L ø èL L ø è L L øû ëè L 3.2.2 XĐ ma trận cứng phần tử & véc tơ tải PT q Ma trận độ cứng phần tử: 12 L L K e = ò B D B dV = E ò ò B B dAdx = EI ò BT B dx = T ( 4´4 ) Ve T ( 4´1) (1´1) (1´4) A EI L3 P1 p(x) e P2 xQ nQ ( ) f{e = ò N p ( x ) dx + å éë N xQi i =1 T ( 4´1) nM -12 -6 L 6L L2 12 -6 L ñx L2 y q Vectơ tải phần tử: L 6L L2 Q1 M1 P3 P4 x xM1 T ù Qi + å é dN xM ù M i i ú ê û û i =1 ë dx T ( ) § Qi , xQi lực tập trung hồnh độ điểm đặt lực § Mi, xMi momen tập trung hồnh độ điểm đặt § nQ , nM số lực tập trung momen tập trung chiều dài phần tử 3.2.2 XĐ ma trận cứng phần tử & véc tơ tải PT Ø Trường hợp đặc biệt: p(x) = p0 = const Ø Trường hợp có lực tập trung Q đặt cách nút đầu phần tử khoảng a y (xQ = a) é x2 x3 ù ì po L ü + ê ï ï L2 L3 ú ê ú ï ï x x ú p L ê ï ï x + L ê ú ï 12 ï L L fe = ò ê ú p0dx = í ý p L x x ê ï o ï -2 ú ê L ï ï L ú ê ú ï p L2 ï x x ê - + ỳ ù- ù ờở ợ 12 ỵ L L2 úû P2 PL P T PL ü ý ỵ P4 ỡ a2 a3 ỹ ù1 - L2 + L3 ï ï ï a a ï ï ì P1 ü ïï a - L + L2 ïï ïï P2 ïï T =í ý fe = éë N ( a ) ùû Q = Q í ý ï a - a ï ï P3 ï ï L2 L3 ï ùợ P4 ùỵ e ù ù a a P ï - + ï P3 ïỵ L L ùỵ P1 P2 e P3 x Q =a L ỉ Trường hợp lực tập trung P hướng xuống đặt dầm: y ì P fe = í ỵ Q P1 L L P4 x x 3.2.3 Nội lực phần tử dầm chịu uốn d 2v d2 q Momen uốn nội lực: M = EI = EI N q e = EI N '' q e Þ Bậc I dx dx ìï M ( n1 ) üï Gọi: M e = í ý vectơ momen uốn đầu phần tử ợù M ( taùi n2 ) ỵù ( ) ộ N¢¢ ( x = ) ù thì: M e = EI ê ú q e = Se q e ¢¢ ( 2´1) ( 2´4 ) ( 4´1) êë N ( x = L ) úû EI é -6 L -4 L2 đó: S e = ê L ë 6L L2 L -2 L2 ù ú Ma trận tính mơmen -6 L L2 û Nhận xét: • Me = EI N’’ qe momen chuyển vị nút gây • Để đầy đủ cần cộng thêm momen uốn nội lực tải trọng tác dụng phạm vi phần tử (M0) xem tất nút gắn cứng 3.3 Phần tử cột 3.3.1 Véc tơ chuyển vị nút 3.3.2 Ma trận cứng phần tử tọa độ địa phương 3.3.3 Ma trận cứng phần tử tọa độ tổng thể 3.3.4 Nội lực phần tử 3.3.5 Bài tập áp dụng 3.3.1 Véc tơ chuyển vị nút phần tử q Vecto chuyển vị nút tọa độ địa phương x’y’ qe ( 6´1) = {q1 q2 q3 q4 º {u1 v1 q1 u2 q5 y' x' q6 } T v2 q } T q2 ( 6´1) = {q1¢ q2¢ q Quan hệ: q3¢ q4¢ q5¢ q6¢ } ( 6´6) ( 6´1) y' é lx với: η = êl y ê êë lz mx my mz nx ù ny ú ú nz úû x q4 q6 q'6 q'4 q'1 x y e i Ma trận chuyển trục: éη 0ù Te = ê ú ë ηû q3 q'3 T q e = Te q¢e ( 6´1) e q1 q Vecto chuyển vị nút tọa độ tổng thể xy q¢e z' q'2 q5 q' é c s 0ù η = ê - s c 0ú ê ú êë 0 úû j a x' ì c = cos a = l x với: í ỵ s = sin a = mx 3.3.2 Ma trận cứng phần tử tọa độ địa phương Chú ý: qe gây biến dạng độc lập với Cụ thể: Ø PT bị biến dạng dọc trục bởi: {q1 Ø PT bị uốn bởi: {q2 q3 q5 q4 }e T PT dàn chịu nén dọc trục q6 }e PT dầm chịu uốn T Ke có kích thước (6´6) thiết lập từ ma trận (2´2) (4´4): q1 q2 q3 EA L 12 EI L3 Ke = ( 6´6 ) q4 q5 q6 EA L EI L2 EI L q1 - 12 EI L3 EI L2 EI L2 EI L EA L q3 q4 12 EI L3 ñx q2 EI L2 EI L - q5 q6 3.3.3 Ma trận cứng phần tử tọa độ tổng thể Ta coù : K ¢e = TeT K e Te Ac + Bs ( A - B ) cs As + Bc K ¢e = E L đx ì ï A : diện tích ï với: í mặt cắt ngang ï 12 I ïB = ỵ L BL BL s - ( Ac + Bs ) - ( A - B ) cs s 2 BL BL c - ( A - B ) cs - ( As + Bc ) c 2 BL BL 4I s c 2I 2 BL Ac + Bs A B cs s ( ) BL As + Bc c 4I - 3.3.3 Ma trận cứng phần tử tọa độ tổng thể q Nếu bỏ qua ảnh hưởng lực dọc đến chuyển vị, ta có K’e dạng đơn giản sau: 12s K 'e = EI L3 ñx -12cs -6 Ls -12s 12c Lc 12cs L2 Ls 12s 12cs -6 Ls -12c Lc -6 Lc L2 -12sc Ls 12c -6 Lc L2 3.3.4 Nội lực phần tử q Momen uốn nội lực tính theo q’e : ìM1 ü M e = í ý = SÂe qÂe ợ M ỵe EI Ls -6 Lc -4 L với: S¢e = L2 L -6 Ls Lc ( 2´6 ) -6 Ls Lc -2 L2 Ls -6 Lc L2 BT1: Bài tốn lị xo Nút i: Nút j: Viết dạng ma trận: Trong đó: k _ ma trận độ cứng PT u _ vecto chuyển vị nút PT f _ vecto lực nút Chú ý: k ma trận có tính chất đối xứng BT2: Bài tốn lị xo Phần tử (1) Phần tử (2) Ta có: Lực nút 1: Lực nút 2: Lực nút 3: Dưới dạng ma trận Trong đó: K ma trận độ cứng tổng thể BT2: Bài tập lò xo Giả thuyết u1 = F2 = F3 = P è è BT3: Áp dụng (a) Xác định ma trận cứng tổng thể (b) Chuyển vị nút (c) Phản lực nút LOGO ... EA3 = vớ i k k3 úû L3 éêK=ê êê ? ?- - - -? ? - - - úú - - -? ? ú - - -? ? d Ghép nối ma trận độ cứng q Bài tốn có phần tử: q4 (1) q3 q1 q6 (2) q2 (3) q5 e Bài tập áp dụng Bài tập 1: E,A1 L1 = 3m P E,A2... Các phương trình Bài tốn 3-D Bài tốn 2-D Bài tốn 1-D Phương trình cân nội Phương trình biến dạng – chuyển vị Phương trình ứng suất – biến dạng Tổng số phương trình 15 1.3 Nguyên lý toàn phần. .. Chương 3: Tính tốn cho phần tử chiều 3.1 Phần tử dàn 3.2 Phần tử dầm chịu uốn 3.3 Phần tử cột 3.1 Phần tử dàn 3.1.1 Thanh dàn chịu biến dạng dọc trục a Chọn hàm xấp xỉ - Xác định ma trận hàm