Phát huy năng lực sáng tạo học sinh thông qua các phương pháp giải phương trình vô tỷ; Phát huy năng lực sáng tạo học sinh thông qua các phương pháp giải phương trình vô tỷ; Phát huy năng lực sáng tạo học sinh thông qua các phương pháp giải phương trình vô tỷ; Phát huy năng lực sáng tạo học sinh thông qua các phương pháp giải phương trình vô tỷ; Phát huy năng lực sáng tạo học sinh thông qua các phương pháp giải phương trình vô tỷ; Phát huy năng lực sáng tạo học sinh thông qua các phương pháp giải phương trình vô tỷ
UBND HUYỆN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẢN MƠ TẢ SÁNG KIẾN PHÁT HUY NĂNG LỰC SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH THƠNG QUA CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ BỘ MƠN: TỐN NĂM HỌC 2020 – 2021 THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: Phát huy lực sáng tạo học sinh thông qua phương pháp giải phương trình vơ tỷ Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Mơn Tốn Tác giả: - Họ tên: Nam - Ngày/tháng/năm sinh: - Trình độ chun mơn: - Chức vụ, đơn vị cơng tác: - Điện thoại: Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Đơn vị áp dụng sáng kiến lần đầu: Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Sau học xong chương I – Đại số Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: Năm học 2017 – 2018 TÁC GIẢ XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN TÓM TẮT SÁNG KIẾN Trong năm gần tuyển sinh vào THPT chun đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn tỉnh tỉnh khác thường có tốn giải phương trình vơ tỷ cấu trúc đề thi Một điểm đáng ý hầu hết phương trình vơ tỷ đề thi ngồi cách giải thơng thường ta cịn phải sử dụng đến nhiều phương pháp nâng cao khác Phần lớn chúng học sinh khó tìm lời giải, dễ mắc sai lầm từ việc phân tích tìm hướng giải cách trình bày “Phát huy lực sáng tạo học sinh thông qua phương pháp giải phương trình vơ tỷ” giúp học sinh có nhìn đầy đủ có hệ thống phương pháp giải phương trình vơ tỷ mà trước em chưa gặp đề thi sách tham khảo Sáng kiến “Phát huy lực sáng tạo học sinh thơng qua phương pháp giải phương trình vơ tỷ” xếp có hệ thống dạng tập từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp cách lôgic, khoa học giúp học sinh dễ nắm bắt tiếp cận vấn đề Sáng kiến “Phát huy lực sáng tạo học sinh thông qua phương pháp giải phương trình vơ tỷ” giúp em em học sinh có hệ thống đầy đủ phương pháp giải phương trình vơ tỷ ngồi phương pháp học SGK Sáng kiến “Phát huy lực sáng tạo học sinh thông qua phương pháp giải phương trình vơ tỷ” đề cập đến kiến thức khó học sinh THCS sáng kiến chia nhỏ phương pháp kĩ thuật biến đổi Trong ví dụ minh họa có phân tích trước trình bày lời giải để giúp học sinh có sở định hướng cách làm hiểu sâu phương pháp làm Sau phương pháp có tập vận dụng để em tự rèn luyện dựa ví dụ minh họa Để áp dụng sáng kiến “Phát huy lực sáng tạo học sinh thông qua phương pháp giải phương trình vơ tỷ” giáo viên cần phải sưu tầm đề thi THPT chuyên, đề thi học sinh giỏi tỉnh tỉnh khác Giáo viên cần xếp, hệ thống hố theo trình tự từ dễ đến khó, từ đến nâng cao, từ tập sách tới tập đề thi, từ hướng dẫn đến tập tự luyện Sáng kiến: “Phát huy lực sáng tạo học sinh thông qua phương pháp giải phương trình vơ tỷ” có nội dung kiến thức tương đối khó tốn học học cấp THCS Vì học sinh cần chăm chỉ, tích cực, chủ động, lớp thực tốt yêu cầu giáo viên Sáng kiến: “Phát huy lực sáng tạo học sinh thông qua phương pháp giải phương trình vơ tỷ” áp dụng với đối tượng học sinh giỏi, học sinh ôn thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh ôn thi vào lớp 10 chuyên phát huy tính tích cực, khả sáng tạo gây hứng thú học tập cho em Sáng kiến: “Phát huy lực sáng tạo học sinh thông qua phương pháp giải phương trình vơ tỷ” góp phần bồi dưỡng mặt phương pháp tốn học cho học sinh Khơng thế, qua học sinh rèn luyện nhiều óc tưởng tượng, tư trừu tượng, đáp ứng khả tìm tịi, óc sáng tạo em Khi học sinh nắm bắt “Phát huy lực sáng tạo học sinh thông qua phương pháp giải phương trình vơ tỷ” em làm nhanh hơn, nhiều tập khó phương trình Giúp em tự tin làm tập phương trình Từ em hứng thú say mê mơn tốn MƠ TẢ SÁNG KIẾN Hồn cảnh nảy sinh sáng kiến: 1.1 Đề thi Đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn cấp tỉnh, tuyển sinh vào lớp 10 chun tỉnh khác Quảng Ninh, Quảng Ngãi, Ninh Bình, chuyên Đại học sư phạm Hà Nội, trường THPT chuyên Amsterdam, năm gần thường có tốn giải phương trình vơ tỷ Cụ thể: Bài 1: (Chuyên năm 2013 – 2014) Giải phương trình − x2 + = 2 + x + − x Bài 2: (Chuyên năm 2015 – 2016) Giải phương trình x + + x + x + = x + + x + Bài 3: (Chuyên năm 2016 – 2017) Giải phương trình: x + = x3 − x + Bài 4: (Chuyên năm 2018 – 2019) Giải phương trình 2( x + 1) x + = x2 + x Bài 5: (Chuyên năm 2019 – 2020) Giải phương trình: x − 12 x − = x + Bài 6: (Chuyên năm 2020 – 2021) Giải phương trình: x + x + = (7 x + 1) x + Bài 7: (HSG tỉnh năm 2010 – 2011) Giải phương trình x + x + 10 + x + x + = 3( x + 1) Bài 8: (HSG tỉnh năm 2013 – 2014) Giải phương trình x ( x + 2) = − x x + Bài 9: (HSG tỉnh năm 2014 – 2015) ( Giải phương trình x + ( x + 1) x + + 2 = x + x + + Bài 10: (HSG tỉnh năm 2015 – 2016) ) Giải phương trình: x − 20 x + 24 + 3( x − 1) = Bài 11: (HSG tỉnh năm 2016 – 2017) Giải phương trình: 2x − 2x + = (2x + 1) ( ) x2 − x + −1 Bài 12: (HSG tỉnh năm 2019 – 2020) Giải phương trình sau: x3 + = 2( x2 + 2) 1.2 Học sinh Rất nhiều học sinh thường ngại làm tập giải phương trình vơ tỷ em cho giải tập dạng khó, thời gian, khó thành cơng, tâm lí chung học sinh thiếu tự tin Kì thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh, tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên tỉnh khác năm gần học sinh thường bỏ tập giải phương trình vơ tỷ em làm tập dạng chiếm tỉ lệ 1.3 Giáo viên Đa số tốn giải phương trình vơ tỷ đề thi có nội dung nâng cao kiến thức, nên giáo viên có tâm lí chung ngại dạy ngại ôn tập cho học sinh phương pháp Trước hết tính phong phú dạng tập; tiếp đến tính trừu tượng, tính phức tạp dạng toán, … Cơ sở lý luận vấn đề: Trong q trình dạy học tốn bồi dưỡng HSG toán trường THCS Các toán phương trình đa dạng phong phú Đó kho tàng bí mật mà u tốn thích tìm tòi khám phá, vấn đề khám phá phần nhỏ tromg kho tàng tri thức Chúng ta người u tốn khơng thể khơng bắt tay tìm hiểu vấn đề để góp phần vào phong phú tốn học nói chung giải phương trình vơ tỷ nói riêng Vì tơi muốn trình bày sáng kiến: “Phát huy lực sáng tạo học sinh thông qua phương pháp giải phương trình vơ tỷ” Qua q trình dạy toán bồi dưỡng toán trường THCS Các tốn phương trình bắt đầu bắt gặp lớp 8, sau sang lớp học chương I bậc hai, bậc ba đại số phương trình vơ tỷ trở lên vơ đa dạng phong phú với nhiều phương pháp giải kĩ thuật giải khác Thực trạng vấn đề: Học sinh chưa hiểu sâu rộng tốn giải phương trình vơ tỷ em chưa có điều kiện đọc nhiều sách tham khảo Khi gặp tốn dạng học sinh khơng biết làm gì? Khơng biết theo hướng nào? Khơng biết liên hệ cho đề với kiến thức học Học sinh suy luận kém, chưa biết vận dụng phương pháp kiến thức học vào tốn khác Học sinh trình bày không rõ ràng, thiếu khoa học, lôgic Đa số em học sinh chưa có phương pháp học tập tốt thường học vẹt, học máy móc, thiếu nhẫn nại gặp tốn khó Các bước tiến hành triển khai sáng kiến 4.1 Phương pháp 1: NÂNG LÊN LŨY THỪA 4.1.1 Một số dạng phương trình • Dạng g ( x) ≥ f ( x) = g ( x) ⇔ f ( x) ≥ f ( x) = g ( x) • Dạng f ( x) = g ( x) ⇔ f ( x) = g ( x) • Dạng g ( x) ≥ f ( x) = g ( x) ⇔ f ( x) = g ( x) • Dạng f ( x) = g ( x) ⇔ f ( x) = g ( x) • Dạng f ( x) + g ( x) = h ( x) Phương pháp chung + Bước Tìm điều kiện xác định phương trình việc giải hệ f ( c) ≥ g ( x) ≥ h ( x) ≥ + Bước Bình phương hai vế phương trình đưa phương trình dạng F ( x) = G ( x) F ( x) = G ( x) kiểm tra thỏa mãn + Bước Giải phương trình nghiệm tìm với điều kiện xác định phương trình để kết luận • Dạng f ( x) + g ( x) = h ( x) Phương pháp chung + Bước Lũy thừa bậc ba hai vế phương trình f ( x) + g ( x) + 33 f ( x) g ( x) ( ) f ( x) + g ( x) = h ( x) + Bước Biến đổi phương trình ý đến f ( x) + g ( x) = h ( x) ta 33 f ( x) g ( x) h ( x) = h ( x) − f ( x) − g ( x) + Bước Tiếp tục lũy thừa bậc ba hai phương trình 27.f ( x) g ( x) h ( x) = h ( x) − f ( x) − g ( x) • Dạng f ( x) + g ( x) = h ( x) + r ( x) Trong xẩy trường hợp sau: + f ( x) g ( x) = h ( x) r ( x) + f ( x) u ( x) = g ( x) r ( x) + f ( x) + g ( x) = h ( x) + r ( x) Phương pháp chung + Nếu có f ( x) g ( x) = h ( x) r ( x) sử dụng phép biến đổi tương đương f ( x) + g ( x) = h ( x) + r ( x) + Nếu có f ( x) u ( x) = g ( x) r ( x) sử dụng phép biến đổi hệ f ( x) − u ( x) = g ( x) − r ( x) + Nếu có f ( x) + g ( x) = h ( x) + r ( x) sử dụng phép biến đổi tương đương f ( x) + g ( x) = h ( x) + r ( x) 4.1.2 Một số ví dụ minh họa Ví dụ Giải phương trình 3x2 + 69x + 27 = x2 + 96x + Phân tích lời giải Điều kiện xác định phương trình 3x2 + 69x + 27 ≥ 0;x2 + 96x + ≥ Phương trình cho có dạng f ( x) = g ( x) , ta sử dụng phép nâng lên lũy thừa Chú ý với điều kiện xác định tìm ta biến đổi phương trình sau 3x2 + 69x + 27 = x2 + 96x + ⇔ 3x2 + 69x + 27 = x2 + 96x + x = x − 1= ⇔ 2x − 27x − 25 = ⇔ ( x − 1) ( 2x − 25) = ⇔ ⇔ x = 25 2x − 25 = Kết hợp với điều kiện xác định phương trình ta tập nghiệm 25 S = 1; 2 Nhận xét • Lời giải ta sử dụng phép biến đổi tương đương phương trình sau tìm điều kiện xác định cho phương trình • Có thể thực biến đổi tương đương phương trình mà khơng cần đặt điều kiện xác định cách 3x2 + 69x + 27 ≥ x = 2 3x + 69x + 27 = x + 96x + ⇔ x + 96x + ≥ ⇔ 25 3x2 + 69x + 27 = x2 + 96x + x = + Thực tế ta không cần phải viết lúc hai điều kiện 3x2 + 69x + 27 ≥ 0;x2 + 96x + ≥ lúc phép biến đổi trên, mà cần viết hai điều kiện được, chẳng hạn x2 + 96x + ≥ 3x2 + 69x + 27 = x2 + 96x + ⇔ 2 3x + 69x + 27 = x + 96x + Chú ý việc chọn điều kiện phép biến đổi phụ thuộc vào thuận tiện cho qua trình kiểm tra lại lời giải cho toán ngắn gọn Ví dụ Giải phương trình x3 − x2 + = 3x + Phân tích lời giải Phương trình dụ có dạng nên ta sử dụng phép biến đổi nâng lên lũy thừa Chú ý hai điều kiện x3 − x2 + ≥ 0;3x + 1≥ điều kiện 3x + 1≥ đơn giản Lại nhẩm số giá trị đặc biệt ta x = nghiệm Do đo ta trình bày lời giải cho phương trình sau 3x + 1≥ 3x + 1≥ x3 − x2 + = 3x + ⇔ ⇔ x − x + = 3x + x − x − 3x + = 3x + 1≥ x = 3x + 1≥ x = ⇔ ⇔ ⇔ x = − x − 2) x + x − = ( x = −1± ( ) − 1 S = 1; Vậy phương trình cho có tập nghiệm Ví dụ Giải phương trình x ( x − 1) = x2 + 7x Phân tích lời giải Phương trình có dạng nên ta hướng đến sử dụng phép biến đổi nâng lên lũy thừa Khi nâng lên lũy thừa ta phương trình có bậc 3, nhiên nhận thấy x = nghiệm phương trình nên ta dễ dàng phân tích phương trình bậc Ta trình bày lời giải sau 3x2 − 1≥ Điều kiện xác định phương trình Áp dụng bất đẳng thức x − x ≥ Bunhiacopxki ta có ( ) ( )( + 1≤ ( x ) 3x2 − + x2 − x − x x2 + ≤ 12 + 12 + x2 3x2 − 1+ x2 − x + x2 + Hay ta 3x2 − + x2 − x − x x2 )( ) + 5x2 − x Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta có ( )( ) x + 5x − x ≤ 2 Do ta ( ( ) ( ) = 7x x2 + + 5x2 − x )( ) x + 5x − x ≤ 2 ( − x+ 2 ) ( ) = 2( 7x x2 + + 5x2 − x Do suy 3x2 − + x2 − x − x x2 + ≤ ( 7x2 − x + 4) ) − x+ 4 3x2 − = x2 − x ⇔ x = −1 Như kết hợp với phương trình cho ta có 2 5x − x = x + ( ) Thay x = −1 vào phương trình ta thấy thỏa mãn Vậy phương trình cho có nghiệm x = −1 Ví dụ Giải phương trình 6x − x2 − + x − + 4 − x + 6x 3x = x3 + 30 Phân tích lời giải Nhận thấy x = nghiệm phương trình Để ý ta thấy 6x − x2 − = thức Cauchy ( 4− x) ( x − 2) , điều làm ta nghĩ đến đánh giá theo bất đẳng ab ≤ a+ b , ý x = ta có − x = x − , có nghĩa đánh giá xẩy dấu Để ý tiếp ta lại thấy − x + x − = nên ta có đánh giá ( x − + 4− x ≤ ) x − + − x ≤ 2( x − + − x) = Như với bất đẳng thức Cauchy Bunhiacopxki ta có đánh giá 4 ( 4− x) ( x − 2) ≤ 4− x +2 x − = 6x − x − = x − + 4− x ≤ x − + − x ≤ 2( x − 2+ − x) = ( ) 79 Như kết hợp với phương trình cho ta cần đánh giá chiều 6x 3x ≤ 27 + x3 Tuy nhiên ý đến dấu xẩy x = ta có 6x 3x = 27.x3 ≤ 27 + x3 Đến ta có lời giải cho tốn Lời giải Điều kiện xác định phương trình ≤ x ≤ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 4 ( 4− x) ( x − 2) ≤ 4− x +2 x − = 6x − x − = 3 6x 3x = 27.x ≤ 27 + x 4 x − + 4 − x ≤ x − + 4− x ≤ 2( x − + − x) = ( ) Khi cộng theo vế bất đẳng thức ta 6x − x2 − + x − + 4− x + 6x 3x ≤ x3 + 30 Kết hợp với phương trình cho suy dấu bất đăng thức đồng thời xẩy ra, hay ta x = Kết hợp với điều kiện xác định ta x = nghiệm phương trình cho Vậy phương trình cho có nghiệm x = Ví dụ Giải phương trình 8− x2 + x2 − 1+ x2 = − x 2x2 Lời giải −2 ≤ x ≤ − Điều kiện xác định phương trình ≤ x ≤ 2 12− x2 x2 2 = 3− 8− x = − x ≤ 4 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2 x − = x − ≤ x − + = − 2x2 4 x2 2x2 2x2 ( Từ ta − x2 + ) x2 − 15 x2 ≤ − − Như để phương trình có x2 2x2 nghiệm ta cần có 2 1+ x2 15 x2 x 1 x 1 5− ≤ − 2− ⇔ − 1÷ + − ÷ ≤ ⇔ − 1= − = ⇔ x = x x x x 2 Thay x = vào phương trình ta thấy thỏa mãn 80 Vậy phương trình có nghiệm x = TỔNG KẾT • Qua ví dụ ta thấy phân tích cần có chủ đích tư thường gặp giải phương trình phương pháp đánh giá Mặt khác qua ví dụ ta thấy sức mạnh phương pháp đánh giá giải phương trình vơ tỷ • Tuy nhiên với phương trình vơ tỷ ta thường chọn phương pháp khác để xử lý thay phương pháp đánh giá Với phương trình có cấu trúc thực đặc biệt ta thường nghĩ đến đánh giá để xử lý toán 4.5.4 Các tập tự luyện: Bài Giải phương trình 3x + + x + 7x + = Bài Giải phương trình x + + x + = 2x2 + + 2x2 Bài Giải phương trình + x − = x + 2x − x x x Bài Giải phương trình: 3x2 − 7x + − x2 − = 3x2 − 5x − − x2 − 3x + Bài Giải phương trình x − 3x + = − x4 + x2 + Bài Giải phương trình 4x − + 4x2 − = Bài Giải phương trình + =6 3− x 2− x Bài Giải phương trình x − − 5x − = 3x − Bài Giải phương trình x − + x + = Bài Giải phương trình 4x − + 4x2 − = 3x Bài 10 Giải phương trình x + x −9 =6 Bài 11 Giải phương trình 3x − 7x + − x2 − = 3x2 − 5x + − x2 − 3x − 4.6 Luyện giải đề thi Chuyên đề thi học sinh giỏi tỉnh qua số năm Bài 1: (Chuyên năm 2013 – 2014) 81 Giải phương trình − x2 + = 2 + x + − x Giải: ĐK: −2 ≤ x ≤ ( ) Pt ⇔ (2 − x)(2 + x) − − x + − + x = ⇔ 2− x ⇔ ( ( ) ( ) 2+ x −3 −2 2+ x −3 )( 2+ x −3 = 2+ x −3 = 2− x −2 = ⇔ − x − = ) Giải pt + x − = ⇔ x = (Loại) Giải pt − x − = ⇔ x = −2 (TM) Vậy x = -2 nghiệm phương trình Bài 2: (Chuyên năm 2015 – 2016) Giải phương trình x + + x + x + = x + + x + Giải: Pt ⇔ x + + ( x + 2)(4 x + 1) = x + + x + (ĐK: x ≥ − ) Đặt t = x + + x + 1, t ≥ (hoặc t ≥ ) ⇒ t = x + ( x + 2)(4 x + 1) + ⇔ x + ( x + 2)(4 x + 1) = t2 − PTTT t − 4t + = ⇔ t = t = TH1 t = giải vô nghiệm kết hợp với ĐK t ≥ bị loại TH t = ⇒ x + + x + = Giải pt tìm x = − Vậy phương trình có nghiệm x = − (TM) 9 Bài 3: (Chuyên năm 2016 – 2017) Giải phương trình: x + = x3 − x + (1) Giải: +) ĐK: x ≥ −1 PT (1) ⇔ (x2 - 3x + 3) + 3(x + 1) = (x + 1)(x − 3x + 3) (2) 82 3(x + 1) =4 Do x2 - 3x + > nên (2) ⇔ + x − 3x + Đặt t = x +1 x − 3x + x +1 ; t≥0 x − 3x + t = phương trình: + 3t2 = 4t ⇔ 3t2 - 4t + = ⇔ (TM) t= +) Với t = PT: +) Với t = x +1 = ⇔ x − 4x + = ⇔ x = ± ( t / m ) x − 3x + PT: x +1 = ⇔ x − 12x − = ⇔ x = ± 42 ( t / m ) x − 3x + 3 Vậy phương trình cho có nghiệm là: x = ± ; x = ± 42 Bài 4: (Chuyên năm 2018 – 2019) Giải phương trình 2( x + 1) x + = x2 + x Giải: Điều kiện : x > 3 2( x + 1) x + = x + ⇔ 2(1 + ) x + = x + (1) x x x x t = 3 Đặt t = x + (t > 0) ⇒ x + = t (1) ⇒ t − 2(1 + )t + = ⇔ t = x x x x x x = = ⇒ x2 − 4x + = ⇔ x x = 3 t = ⇒ x + = ⇒ x + 3x − = ⇔ ( x − 1)( x + x + 4) = ⇔ x = x x x kết hợp với điều kiện ⇒ phương trình có nghiệm x = 1, x = t = 2⇒ x+ Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = 1; x = Bài 5: (Chuyên năm 2019 – 2020) Giải phương trình: x − 12 x − = x + 83 ( 1) Giải: Điều kiện: x ≥ − Ta có ( 1) ⇔ x − 12 x − = x + ⇔ 16 x − 24 x − = x + ⇔ 16 x − 16 x + = x + + x + + ⇔ (4 x − 2) = ( x + + 1) 4 x − = 8x + + ⇔ x − = − x + − x ≥ 2+ TH x − = x + + ⇔ x + = x − ⇔ ⇔x= x = ± x ≤ TH x − = − x + − ⇔ x + = − x ⇔ 16 x − 16 x − = x ≤ 2− ⇔ ⇔x= x = ± Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = 2+ 2− ;x = 2 Bài 6: (Chuyên năm 2020 – 2021) Giải phương trình: x + x + = (7 x + 1) x + Giải: x + x + = (7 x + 1) x + ⇔ x + x + − (7 x + 1) x + = ⇔ 2( x + 3) − ( x + 1) x + + 3x + x − x x + = 84 ⇔ x + 3(2 x + − x − 1) − x(2 x + − x − 1) = ⇔ (2 x + − x − 1)( x + − 3x ) = ⇔ x + = x + x + = 3x x ≥ −1 TH1: x + = x + ⇔ 2 4 x + 12 = x + x + x ≥ −1 ⇔ 3 x − x + 11 = (Hệ vô nghiệm) TH2: x ≥ x = x ≥ x + = 3x ⇔ ⇔ ⇔x= x + = 9x x = − Vậy phương trình cho có nghiệm là: x = Bài 7: (HSG tỉnh năm 2010 – 2011) Giải phương trình x + x + 10 + x + x + = 3( x + 1) (1) Giải: 2 31 31 x + x + 10 = x + ÷ + > 0, x + x + = x + ÷ + > 0, ∀x ∈ ¡ 4 4 Vậy TXĐ: ¡ - Nếu x + ≤ ⇔ x ≤ −1 VP(1) ≤ 0, VT(1) > (khơng thỏa mãn) - Nếu x + > ⇔ x > −1 (1) ⇒ x + = ( x + 1) ( x + x + 10 − x + x + ⇔ x + x + 10 − x + x + = (2) Từ (1) (2) suy 2 x + x + = 3x + 1 3x + ≥ x ≥ − x ≥ − ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x=3 3 2 4(2 x + x + 4) = x + x + x + x − 15 = x = 3, x = −5 Thử lại Với x = VT(1) = VP(1) = 12 Vậy phương trình có nghiệm x = Bài 8: (HSG tỉnh năm 2013 – 2014) Giải phương trình x ( x + 2) = − x x + Giải: 85 ) t Đặt t = x x + ⇒ t = ( x + x ) ⇒ x ( x + ) = 2 t = −4 t2 = − t ⇔ t + 2t − = ⇔ ta phương trình t = x < x < Với t = -4 ta có x x + = −4 ⇔ 2 x + x = 16 ⇔ ) x + 2x − = ( x < ⇔ ⇔x=− x = x > x > Với t =2 ta có x x + = ⇔ 2 x + x = ⇔ ) x + 2x − = ( x > ⇔ ⇔x= x = − −1 Vậy nghiệm phương trình x = − ; x = −1 Bài 9: (HSG tỉnh năm 2014 – 2015) ( Giải phương trình x + ( x + 1) x + + 2 = x + x + + ) Giải: ( ) Ta có: x + ( x + 1) x + + 2 = x + x + + (1) ĐKXĐ: x ≥ −1 Đặt: y = x + 1; z = Khi (1) có dạng : x3 + y3 + z3= (x + y +z)3 Chứng minh (2) ⇔ (x + y)(x +z )(z + x) = Với: x + y = ⇔ x + x + = ⇔ x + = − x ⇒ x = 1− ( Thỏa mãn) Với: x + z = ⇔ x + = ⇔ x = − ( không thỏa mãn) Với: y + z = ⇔ x + + = - vơ nghiệm 1− Vậy phương trình có nghiệm: x = Bài 10: (HSG tỉnh năm 2015 – 2016) Giải phương trình: x − 20 x + 24 + 3( x − 1) = Giải: Điều kiện: x ≥ Ta có: (1) ⇔ ( x − x + 16) − (12 x − 12 − x − + 4) = 86 (1) (2) ⇔ ( x − 4) = (2 x − − 2) x − = 3x − − 2 3x − = x − ⇔ ⇔ x − = − x − x − = − x (2) (3) x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ x = 8+ 2 4(3 x − 3) = x − x + x − 16 x + 16 = Giải (2): (2) ⇔ x ≤ Giải (3): (3) ⇔ x − 24 x + 48 = ⇔ x = 12 − Vậy phương trình (1) có nghiệm: x = + x = 12 − Bài 11: (HSG tỉnh năm 2016 – 2017) Giải phương trình: 2x − 2x + = (2x + 1) ( ) x2 − x + −1 Giải: Ta có: 2x − 2x + = (2x + 1) ( ) x2 − x + −1 ⇔ ( x − x + ) + x − x − = (2x + 1) ( ) x2 − x + −1 Đặt t = x − x + − ⇒ x − x + = ( t + 1) (1) Thay vào pt(1) ta có pt: ( t + 1) + x − x − = (2x + 1)t ⇔ t + 2t + + x − x − = (2x + 1)t ⇔ t + 2t + x − x − 2xt − t = ⇔ ( t − x ) + t − x = ⇔ ( t − x ) ( t − x + 1) = t = x ⇔ t = x −1 x ≥ −1 x2 − x + −1 = x ⇔ x − x + = ( x + 1) x ≥ −1 x ≥ −1 ⇔ ⇔ ⇔x= x − x + = x + 2x + x = Với t = x ta có pt: x ≥ Với t = x − ta có x − x + − = x − ⇔ x − x + = x2 x ≥ ⇔ ⇔x=2 x = Vậy phương trình (1) có nghiệm là: x = 2, x = Bài 12: (HSG tỉnh năm 2019 – 2020) 87 Giải phương trình sau: x3 + = 2( x2 + 2) Giải: Ta có: x + = 2( xĐ + 2)Đ x ≥ −1 KX ⇔ ( x + 1)( x − x + 1) = 2( x + 2) Đặt x + = a; x − x + = b (a, b ≥ 0) Ta phuơng trình: 5ab = 2(a2 + b2) ⇔ (2a – b)(a – 2b) = a = 2b ⇔ b = a Với 2a =b x + = x2 − x + ⇔ ( x + 1) = x − x + ⇔ x2 − 5x − = Giải x = ± 37 (thỏa mãn) Với a= 2b x +1 = x2 − x +1 ⇔ x2 − 5x + = Phương trình vô nghiệm ± 37 Vậy tập nghiệm phương trình cho S= Kết đạt được: 5.1 So sánh đối chứng: 5.1.1 Trước triển khai hướng dẫn học sinh “Phát huy lực sáng tạo học sinh thông qua phương pháp giải phương trình vơ tỷ” Kiểm tra 20 học sinh theo đề sau: Kiểm tra (Thời gian làm 45’) Giải phương trình sau: a) x − + x − = 2( x − 3) + x − b) ( x − 1) + ( x + 1) + ( 2x + 1) =3 88 c) x + d) 3x x2 − =6 2 x − + − x = x − 12 x + 14 Thống kê kết kiểm tra Yếu Số Tỉ lệ Kết Trung bình Số Tỉ lệ Khá Số Tỉ lệ Giỏi Số Tỉ lệ lượng % lượng % lượng % lượng % 15 75 15 5.1.2 Sau triển khai hướng dẫn học sinh “Phát huy lực sáng tạo học sinh thông qua phương pháp giải phương trình vơ tỷ” Sau triển khai sáng kiến hướng dẫn học sinh “Phát huy lực sáng tạo học sinh thơng qua phương pháp giải phương trình vơ tỷ”, tiến hành kiểm tra 20 học sinh, với mức đề khó khảo sát ban đầu, kết đạt cụ thể sau: Yếu Số Tỉ lệ Kết lượng % Trung bình Số Tỉ lệ lượng % 30 Khá Số Tỉ lệ lượng % 40 Giỏi Số Tỉ lệ lượng % 30 Khảo sát hứng thú học sinh học nội dung cho kết khả quan Các em thích học, điều tra đội tuyển, phiếu ba mức độ: Thích học, bình thường, khơng có tác dụng, tỉ lệ thích học gần chiếm 100% Học sinh tiếp cận sáng kiến “Phát huy lực sáng tạo học sinh thơng qua phương pháp giải phương trình vơ tỷ” làm tập dạng theo mức độ khác nhau, từ đơn giản đến phức tạp em tự tin học toán, nhiều em tỏ hứng thú say mê với tập khó Sáng kiến đề cập đến vấn đề không đơn giản, học sinh tiếp cận nắm bắt ta coi thành cơng lớn q trình rèn luyện khả tư duy, rèn luyện trí tưởng tượng 89 Từ kết cho thấy, tính khả thi đề tài cao, điều thơi thúc tơi áp dụng đề tài vào giảng dạy tin đến cuối năm học năm học sau kết đề tài khả quan 5.2 Tính sáng kiến: Sáng kiến “Phát huy lực sáng tạo học sinh thông qua phương pháp giải phương trình vơ tỷ” đưa phương pháp khác để giải phương trình vơ tỷ Sáng kiến “Phát huy lực sáng tạo học sinh thông qua phương pháp giải phương trình vơ tỷ” xếp có hệ thống dạng tập từ dễ đến khó cách lơgic, khoa học giúp học sinh dễ nắm bắt tiếp cận vấn đề Sáng kiến “Phát huy lực sáng tạo học sinh thông qua phương pháp giải phương trình vơ tỷ” giúp em học sinh có hệ thống đầy đủ phương pháp giải phương trình vơ tỷ, đồng thời trước ví dụ phân tích, định hướng cách giải cho học sinh dễ tiếp cận nhớ kiến thức lâu 5.3 Hiệu kinh tế: Sáng kiến “Phát huy lực sáng tạo học sinh thơng qua phương pháp giải phương trình vơ tỷ” xếp có hệ thống, có đầy đủ tập minh hoạ tập tự giải mức độ khác Nhờ mà em học sinh dễ dàng tiếp cận không nhiều thời gian Đồng nghĩa việc em có nhiều thời gian để học tập tìm hiểu vấn đề khác Sáng kiến “Phát huy lực sáng tạo học sinh thông qua phương pháp giải phương trình vơ tỷ” cẩm nang giúp em học sinh giỏi trang bị cho kiến thức trước bước vào kì thi, giúp em tiết kiệm thời gian tiền bạc tra cứu mạng hay mua sách viết mảng kiến thức Điều kiện để sáng kiến nhân rộng: Phần lớn kiến thức sáng kiến “Phát huy lực sáng tạo học sinh thơng qua phương pháp giải phương trình vơ tỷ” nội dung 90 khó, phức tạp; kiến thức sử dụng mang tính tổng hợp, nên áp dụng sáng kiến cho đối tượng học sinh có nhận thức khá, giỏi Sáng kiến “Phát huy lực sáng tạo học sinh thông qua phương pháp giải phương trình vơ tỷ” áp dụng để bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn thi học sinh lớp vào THPT chuyên Sáng kiến “Phát huy lực sáng tạo học sinh thơng qua phương pháp giải phương trình vô tỷ” áp dụng hiệu sử dụng máy chiếu, camera để giúp học sinh trực quan nhận xét học sinh khác tiết kiệm thời gian để dành thời gian hướng dẫn, ơn tập, củng cố tập Để áp dụng sáng kiến “Phát huy lực sáng tạo học sinh thơng qua phương pháp giải phương trình vơ tỷ” giáo viên cần khơng ngừng tự tích luỹ, khơng ngừng nâng cao trình độ chun mơn, thường xun cập nhật đề thi học sinh giỏi đề thi vào THPT chuyên toàn quốc KẾT LUẬN Kết luận Sáng kiến “Phát huy lực sáng tạo học sinh thơng qua phương pháp giải phương trình vơ tỷ” có nội dung kiến thức tương đối khó tốn học học cấp THCS Vì triển khai đề tài tới em học sinh mục đích nhằm rèn luyện tư toán học thi học sinh giỏi thi vào lớp 10 chuyên đạt kết cao Sáng kiến “Phát huy lực sáng tạo học sinh thơng qua phương pháp giải phương trình vô tỷ” nên vào thực tế khả nhận thức học sinh nhà trường Nếu triển khai sáng kiến với đối tượng học sinh có 91 khả nhận thức chưa tốt, học sinh không lĩnh hội mà việc tiếp thu kiến thức chưa đạt yêu cầu đặt Trong trường hợp áp dụng “Phát huy lực sáng tạo học sinh thông qua phương pháp giải phương trình vơ tỷ” với học sinh giỏi phát huy tính tích cực, khả sáng tạo gây hứng thú học tập cho em Sáng kiến “Phát huy lực sáng tạo học sinh thông qua phương pháp giải phương trình vơ tỷ” góp phần bồi dưỡng mặt phương pháp toán học cho học sinh Khơng thế, qua học sinh rèn luyện nhiều óc tưởng tượng, tư trừu tượng đáp ứng khả tìm tịi, óc sáng tạo em Kiến nghị 2.1 Với cấp quản lí giáo dục Tăng cường bồi dưỡng giáo viên thông qua việc tổ chức chuyên đề, hội thảo để giáo viên tăng cường trao đổi kinh nghiệm, học tập nhau, phương pháp giảng dạy kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi 2.2 Với nhà trường Nhà trường tạo điều kiện trang bị nhiều đầu sách tham khảo, thành lập câu lạc môn tốn để em học sinh thày trao đổi diễn đàn Đề nghị nhà trường tổ chức chuyên đề “Phát huy lực sáng tạo học sinh thơng qua phương pháp giải phương trình vô tỷ” 2.3 Với giáo viên trực tiếp giảng dạy Tham gia đầy đủ tích cực buổi tập huấn để nâng cao chuyên môn nghiệp vụ, tăng cường khai thác kiến thức khai thác hợp lí kiến thức giảng dạy lớp 2.4 Với học sinh Tích cực chủ động tham gia vào hoạt động học tập, chủ động việc tự học Với lịng say mê mơn tốn mong muốn học hỏi, để nâng cao trình độ thân, tơi viết sáng kiến “Phát huy lực sáng tạo học sinh 92 thơng qua phương pháp giải phương trình vơ tỷ” để mong nhận ý kiến đóng góp quý báu đồng nghiệp hội đồng khoa học cấp Tôi xin chân thành cảm ơn! 93 ... đề Sáng kiến “Phát huy lực sáng tạo học sinh thông qua phương pháp giải phương trình vơ tỷ? ?? giúp em em học sinh có hệ thống đầy đủ phương pháp giải phương trình vơ tỷ ngồi phương pháp học SGK Sáng. .. chung giải phương trình vơ tỷ nói riêng Vì tơi muốn trình bày sáng kiến: “Phát huy lực sáng tạo học sinh thông qua phương pháp giải phương trình vơ tỷ? ?? Qua q trình dạy tốn bồi dưỡng toán trường... VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: Phát huy lực sáng tạo học sinh thông qua phương pháp giải phương trình vơ tỷ Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Mơn Tốn Tác giả: - Họ tên: Nam - Ngày/tháng/năm sinh: - Trình