SKKN toán về phương trình vô tỉ

SKKN toán về phương trình vô tỉ SKKN toán về phương trình vô tỉ SKKN toán về phương trình vô tỉ SKKN toán về phương trình vô tỉ SKKN toán về phương trình vô tỉ SKKN toán về phương trình vô tỉ SKKN toán về phương trình vô tỉ SKKN toán về phương trình vô tỉ SKKN toán về phương trình vô tỉ SKKN toán về phương trình vô tỉ

TÊN ĐỀ TÀI: MỘT SỐ GIẢI PHÁP RÈN KĨ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI LỚP Họ tên người viết: Nguyễn Viết Quang Chức vụ: Giáo viên 3.Đơn vị công tác: Trường THCS Lam Sơn – Đà Lạt - Lâm Đồng Lý chọn đề tài: Trong trình giảng dạy, tơi nhận thấy giải phương trình vơ tỉ toán thường gặp học sinh thường cảm thấy lúng túng gặp dạng toán Phương trình vơ tỉ dạng phương tình khó, việc giải phương trình vơ tỉ địi hỏi học sinh phải linh hoạt, sáng tạo việc sử dụng phương pháp, cẩn thận, chuẩn xác việc kết hợp điều kiện Vì vậy, tơi đầu tư tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu nhằm đưa số phương pháp giải phương trình vơ tỉ để giúp em học sinh giỏi lớp nâng cao kiến thức có kỹ tìm cách giải tốt NỘI DUNG: 5.1 Khó khăn, thuận lợi cần thiết giải pháp hữu ích 5.1.1 Khó khăn Trong sách giáo khoa lớp 9, việc giải phương trình vơ tỉ đưa dạng tốn tìm x hầu hết tập bản, nhiên trình giải học sinh hiểu cách mơ màng việc tìm điều kiện kết hợp điều kiện 5.1.2 Thuận lợi Học sinh quan tâm mong muốn tìm hiểu cách giải dạng toán 5.1.3 Sự cần thiết giải pháp Để hướng dẫn cho học sinh nắm vững phương pháp giải phương trình vơ tỉ, hiểu rõ ý nghĩa cách tìm, kết hợp điều kiện, người giáo viên phải tìm tịi, nghiên cứu lựa chọn phương pháp giải phù hợp với học sinh lớp Vì vậy, tơi tập trung nghiên cứu sâu phương pháp giải phương trình vơ tỉ để học sinh tiếp tục mở rộng kiến thức khơng cịn bỡ ngỡ, lo lắng gặp dạng toán -1- 5.2 Phạm vi áp dụng giải pháp hữu ích Giải pháp áp dụng giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi khối lớp 5.3 Thời gian áp dụng Từ ngày 01/09/2017 đến 30/10/2017 5.4 Giải pháp thực 5.4.1 Tính giải pháp, Căn vào tình hình thực tế trình giảng dạy nhu cầu tìm hiểu học sinh q trình tham gia giải tốn qua mạng, nghiên cứu, lựa chọn cung cấp cho học sinh số phương pháp giải phương trình vơ tỉ Với mục đích trên, tơi hướng dẫn cho học sinh phương pháp giải phương trình vơ tỉ sau: Phần 1: Phương pháp đưa phương trình có dấu giá trị tuyệt đối Phần 2: Phương pháp nâng lên lũy thừa Phần 3: Phương pháp đưa phương trình tích Phần 4: Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Phần 5: Bài tập rèn luyện tổng hợp Phần 1: Phương pháp đưa phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối Phương pháp áp dụng biểu thức bậc hai đưa dạng bình phương biểu thức Kiến thức sử dụng:  Các đẳng thức: ( a + b ) = a + 2ab + b ( a − b ) = a − 2ab + b ( a + b + c ) = a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca ( a + b − c ) = a + b + c + 2ab − 2bc − 2ca ( a − b − c ) = a + b + c − 2ab + 2bc − 2ca A2 = A  x x ≥ − x x <  Giá trị tuyệt đối: x =  Phương pháp tìm ví dụ minh họa  Nếu biểu thức có sẵn dạng bình phương biểu thức thực bước: -2- + Sử dụng dạng đẳng thức A2 = A để khử + Vận dụng kiến thức giá trị tuyệt đối biểu thức để chia trường hợp, khử dấu giá trị tuyệt đối + Giải phương trình trường hợp, đối chiếu điều kiện, kết luận  Nếu biểu thức chưa có sẵn dạng bình phương biểu thức vận dụng kiến thức đẳng thức để đưa dạng bình phương thực bước Ví dụ 1: Giải phương trình ( x − 3) = 2x −1 Giải ( x − 3) = x − ⇔ x − = 2x − TH1: x- ≥ tức x ≥ Ta có phương trình x-3 = 2x – ⇔ x= -2 (loại) TH2: x – < tức x < Ta có phương trình – x + = 2x – ⇔ x= (nhận) 4 3 Vây tập nghiệm phương trình S =   Ví dụ 2: Giải phương trình x − 10x + 25 = x − Giải x − 10x + 25 = x − ⇔ ( x − 5) = x −1 ⇔ x − = x −1 TH1: x- ≥ tức x ≥ Ta có phương trình x- = x – (vô nghiệm) TH2: x – < tức x < Ta có phương trình – x + = x – ⇔ x= (nhận) Vây tập nghiệm phương trình S = { 3} Ví dụ 3: Giải phương trình x − 4x + − − 12x + 4x = x − Giải -3- x − 4x + − − 12x + 4x = x − ( x − 1) ⇔ −2 ( − 2x ) = x−2 ⇔ x − − − 2x = x − TH1: x ≥ (tức 2x -1 ≥ 3-2x ≤ 0) Ta có phương trình 2x- -2(2x- 3)= x – ⇔ -3x = -7 ⇔ x= TH2: (nhận) 3 < x< (tức 2x -1>0 3-2x > 0) 2 Ta có phương trình 2x- -2(3- 2x)= x – ⇔ 5x = ⇔ x= (nhận) TH3: x ≤ (tức 2x -1 ≤ 3-2x ≥ 0) Ta có phương trình 1- 2x -2(3- 2x)= x – ⇔ x = (loại) 7  3  Vây tập nghiệm phương trình S =  ;1 Bài tập rèn luyện: Giải phương trình a) b) x − 6x + = x − x + 8x + 16 = x − c) x + 12x + = x − d) x − 30x + 25 = x − e) x − 2x + − − 4x + x = x − f) x + x − + x − x − = Phần 2: Phương pháp nâng lên lũy thừa Phương pháp thường áp dụng biểu thức bậc hai (hoặc bậc ba) đưa dạng bình phương (hoặc lập phương) biểu thức Kiến thức sử dụng:  Các đẳng thức: ngồi đẳng thức bình phương tổng, hiệu ôn tập phần 1, cần ôn tập thêm đẳng thức: ( a + b) = a + 3a 2b + 3ab + b3 -4- ( a − b) = a − 3a 2b + 3ab − b3  Căn bậc hai: * A xác định A ≥ với A biểu thức đại số * Với a ≥ ta có x ≥ + x= a⇔  x = a + + ( a) =a a ≥0 * Các kĩ biến đổi biểu thức chứa căn: Đưa thừa số dấu căn, đưa thừa số vào dấu căn, trục thức mẫu  Căn bậc ba: x = a ⇔ x3 = a ( a) 3 =a Phương pháp giải ví dụ minh họa Dựa vào kiến thức hướng dẫn học sinh hình thành phương pháp giải sau:  Phương trình chứa dấu bậc hai + Bước 1: Tìm điều kiện xác định + Bước 2: Rút gọn + Bước 3: Bình phương hai vế để khử + Bước 4: Giải phương trình, đối chiếu điều kiện kết luận  Phương trình chứa dấu bậc ba + Bước 1: Rút gọn + Bước 2: Lập phương hai vế để khử + Bước 3: Giải phương trình kết luận Ví dụ 1: Giải phương trình x2 + = x + Giải  x2 + ≥ ⇔ x ≥ −1 ( x2 + > với giá trị x) Với điều kiện :  x + ≥  Ta có x2 + = x + ⇔ x2 + = x2 + 2x + ⇔ 2x = ⇔ x = (nhận) -5- Vậy tập nghiệm phương trình S = { 1} Ví dụ 2: Giải phương trình 3x − = x+2 Giải:  3x − ≥   x≥ 3x − x + >   ≥0⇔ ⇔ Với điều kiện :  3x − ≤  x+2   x < −2   x + < Ta có 3x − 3x − 11 = 5⇔ = ⇔ −2x = 11 ⇔ x = − (nhận) x+2 x+2 11  2 Vậy tập nghiệm phương trình S =   Ví dụ 3: Giải phương trình 3x − = x+2 HD: Yêu cầu HS nhận xét khác phương trình ví dụ ví dụ Giải:  3x − ≥ x ≥ ⇔ ⇔ x≥ Với điều kiện :  x + >  x > −2 Ta có 3x − 3x − 11 = 5⇔ = ⇔ −2x = 11 ⇔ x = − (loại) x+2 x+2 Vậy tập nghiệm phương trình S = φ * Chú ý: Qua hai ví dụ nhận mạnh rõ tầm quan trọng việc xác định điều kiện Ví dụ 4: Giải phương trình x + + 3x + = x + x + HD: Sau tìm điều kiện xác đinh theo thói quen thơng thương ta thườngbình phương hai vế phương trình cho sẵn Khi bình phương vế phương trình có sắn ta được: + ( x + 3) ( 3x + 1) = x + x ( x + 1) , để giải phương trình dĩ nhiên khơng khó phức tạp chút Tuy nhiên phương trình giải đơn giản ta chuyển vế phương trình : x + − x + = x − x + rối bình phương hai vế (vì ta thấy cộng biểu thức vế hai vế xuất 5x thuận tiện cho việc rút gọn sau này) Giải: Ta có x + + 3x + = x + x + -6- ⇔ x + − x = x + − 3x +  x ≥ −3  x+3 ≥  3 x + > x ≥ −   x ≥  ⇔ x ≥ ⇔ ≤ x ≤ Với điều kiện :   2x + ≥  x > −1  x + ≥ 4x   x ≤  2x+2 ≥ 3x +  Ta có : x + − x − = x + − 3x + ⇔ x + x + = x + 12 x ⇔ x = (nhận) Vậy tập nghiệm phương trình S = { 1} Ví dụ 5: Giải phương trình x +1 −1 = x Giải: x +1 −1 = x ⇔ x +1 = x +1 ⇔ x + = x + 3x + 3x + x = ⇔ x + 3x + 2x = ⇔ x(x+1)(x+2)=0 ⇔  x = −1  x = −2 Vậy tập nghiệm phương trình S = { 0; −1; −2} Ví dụ 6: Giải phương trình x − 16 = x + −8 x−4 Giải:  x +4 ≥  Với điều kiện :  x − > ⇔ x >  x − 16 ≥  Ta có : x − 16 = x + −8 ⇔ x−4 x + = x + −8 ⇔ x + = ⇔ x= 12 (nhận) Vậy tập nghiệm phương trình S = { 12} Ví dụ 7: Giải phương trình 1 + + =1 x+3 + x+2 x + + x +1 x +1 + x -7-  x +3 ≥ x + ≥  ⇔ x≥0 Giải: Với điều kiện :  x + ≥   x ≥ Ta có : 1 + + =1 x+3 + x+2 x + + x +1 x +1 + x ⇔ x + − x + + x + − x +1 + x +1 − x = ⇔ x + = + x ⇔ x+3= 1+2 x +x ⇔ x =1 ⇔ x=1 (nhận) Vậy tập nghiệm phương trình S = { 1} Bài tập rèn luyện: Giải phương trình a) + 3x − = x c) b) − x = x − 5x − = 2x + d) x + + − x = e) x + x − = x + g) f) x − 12 + x − 27 − x − + − x = k) 25 x + 75 + x − = + x + + x − 18 n) 7x − 3x + =3 ( ) h) x − 2 x − − = x + m) x +1 + − x = 1 + + + =1 x + 2013 + x + 2012 x + 2012 + x + 2011 x +1 + x Phần 3: Phương pháp đưa phương trình tích Kiến thức, kĩ sử dụng:  Các đẳng thức: ngồi đẳng thức bình phương tổng, hiệu ôn tập phần 1, cần ôn tập thêm đẳng thức: a − b2 = ( a − b ) ( a + b )  Các kiến thức bậc hai, bậc ba phần  Các phương pháp phân tích thành nhân tử Phương pháp giải ví dụ minh họa -8- Việc đưa phương trình tích địi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức linh hoạt việc sử dụng phương pháp phân tích thành nhân tử Ví dụ 1: Giải phương trình x − − 4x + + = x − Giải: x − ≥  Điều kiện xác định : 4 x + ≥ ⇔ x ≥ x − ≥  Ta có : x − − 4x + + = x − ⇔ x2 − − x + + − x − = ⇔ x+2 ( ⇔ ( ) ( x−2 −2 − x−2 −2 )( ) x−2 −2 =0 ) x + −1 =  x−2 −2 =0 ⇔  x + − = x = ⇔  x = −1 x = -1 không thỏa điều kiện xác định Vậy tập nghiệm phương trình S = { 6} Ví dụ 2: Giải phương trình ( x + ) − ( x − ) = x − 2 Giải: ( x + 2) − ( x − 2) = x2 − ⇔ ⇔ ( ( ⇔( ⇔ ( x + 2) 2 − ( x − 2) = x2 − − ( x + 2) )( x −2) ( x −2) x+2 − x−2 x+2− 3 x+2− 3 3 ) x+2 + x−2 = x+2 ) ( x−2− x+2 x+2 + x−2 − x+2 =0 x−2 =0 3 x + − x − = ⇔ ⇔ x=2  x − = Vậy tập nghiệm phương trình S = { 2} -9- ) Bài tập rèn luyện: Giải phương trình a) x − 16 − x − = x + x + = −1 b) x − 5x + + x + = x − + x − 2x − c) ( 65 + x ) − ( 65 − x ) = 652 − x 2 d) x x − − = x − x − Phần 4: Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Phương pháp giải ví dụ minh họa  Dùng đẳng thức : Xây dựng phương trình dạng A2 + B = Vì A2 ≥ , B ≥ nên A2 + B = ⇔ A = B =  Dùng bất đẳng thức  A ≥ m (1) Một số phương trình tạo từ dấu bất đẳng thức:   B ≤ m (2) dấu (1) (2) đạt x0 x0 nghiệm phương trình A=B Ví dụ 1: Giải phương trình 12 + 4x − x 5x − − − 5x = Giải: 5x − ≥ ⇔ ≤x≤ 5 9 − 5x ≥ Điều kiện xác định:  12 + 4x − x 5x − − − 5x = ⇔ 5x − − 2.2 x 5x − + 4x + − 5x − 2.2 − 5x + = ⇔ ( ) ( 5x − − x + ( (   ⇔   5x − − 2x − 5x − ) ) 2 − 5x − =0 =0 ) =0 ⇔ x = (nhận) Vậy tập nghiệm phương trình S = { 1} Ví dụ 2: Giải phương trình 3x + 6x + + 5x + 10x + 21 = − 2x − x Giải: - 10 - 3x + 6x + + 5x + 10x + 21 = − 2x − x Ta có 3x + 6x + + 5x + 10x + 21 = ( x + 1) + + ( x + 1) + 16 ≥ , dấu ‘’=’’ xảy x = -1 2 – 2x – x2 = –(x+1)2 ≤ , dấu ‘’=’’ xảy x = -1 (1) (2) Từ (1) (2) => x = -1 nghiệm phương trình 3x + 6x + + 5x + 10x + 21 = − 2x − x Vậy tập nghiệm phương trình S = { −1} Bài tập rèn luyện: Giải phương trình a) + x − x 2x − − − 2x = b) x + x + + x + x + 29 = − x − x + c) x − x + + 3x2 − x + = − x + x d) + + x = − x2 − 2x + x+2 e) 3x − + − x = x − 20 x + 22 Phần 4: Bài tập rèn luyện kĩ nhận biết, lựa chọn phương pháp phù hợp Bài 1: Giải phương trình x −1 = x −2 a) x − = h) b) + x = + k) c) + 3x − = x + l) x − x + 17 + x − 16 x + 41 = − x + x d) x − = −2 m) e) x+ x − = n) f) x − 81 − x − = o) g) x − 18 x + 81 + x − x + = p) x +3 x − 25 2x + =2 x2 − 5x + = + ( − x) − x + ( x − 5) x − 7− x + x−5 x3 − 3x + 3x − = x + x − 3x + + x + = x − + x + x − Bài 2: Cho A= x − 6x + − x − 8x + 16 B= x +1 x +2x + − x + 4x + + x + 10x + 25 - 11 - Giải phương trình A + B = 6x ( Bài 3: Tìm x, y, z biết x + y + z + 35 = 2 x + + y + + z + ) 5.4.2 Khả áp dụng Giải pháp áp dụng để bỗi dưỡng thêm lực tư học sinh giỏi lớp 5.4.3 Kết thực Trong trình giảng dạy học sinh lớp giải phương trình vơ tỉ, tơi thực kiểm tra 10 học sinh giỏi hai năm học 2016 – 2017 Kết sau: Điểm số xi 10 Tần số ni 2 N = 10 Tích xi.ni 28 16 18 10 Tổng :77 X = 7,7 BÀI HỌC KINH NGHIỆM xi - X -2,7 -0,7 0,2 1,2 2,2 (xi - X )2 7,29 0,49 0,04 1,44 4,48 ni(xi - X )2 7,29 1,96 0,08 2,88 4,48 16,69 δ ≈ 1,7 ⇒ δ ≈ 1,3 Qua việc thực giải pháp” Rèn kĩ giải phương trình cho học sinh giỏi”, thân rút số học kinh nghiệm sau: 6.1 Về phía giáo viên Trong q trình dạy học, người thầy phải biết chọn lọc kiến thức dẫn dắt học sinh biết tìm tịi, phát tri thức bước giải vấn đề thơng qua phương pháp dạy học phong phú, linh hoạt, phù hợp với đối tượng học sinh 6.2 Về phía học sinh Để nắm rõ, hiểu sâu dạng tập nâng cao học sinh phải nắm kiến thức bản, phải có kĩ suy luận, xâu chuỗi kiến thức học, đồng thời phải linh hoạt việc lựa chọn phương pháp vận dụng vào giải tập 7.KẾT LUẬN Trong trình giảng dạy tơi ln cố gắng tìm phương pháp tốt để học sinh cảm thấy tự tin gặp tập giải phương tình vơ tỉ Việc hướng dẫn, giới thiệu phương pháp giải phương trình vơ tỉ góp phần nâng cao chất lượng cho đội ngũ học sinh giỏi mơn tốn Qua thời gian nghiên cứu thử nghiệm công tác giảng dạy, bước đầu đạt kết Vì vậy, mạnh dạn đưa số phương pháp giải phương trình vơ tỉ để giúp em học sinh nâng cao kiến thức có - 12 - kỹ giải phương trình vơ tỉ Tuy nhiên kinh nghiệm thân chưa nhiều nên trình bày số phương pháp Rất mong đóng góp q thầy Đà lạt , ngày 22 tháng 11 năm 2017 Người thực Nguyễn Viết Quang - 13 - - 14 - ... học sinh phương pháp giải phương trình vơ tỉ sau: Phần 1: Phương pháp đưa phương trình có dấu giá trị tuyệt đối Phần 2: Phương pháp nâng lên lũy thừa Phần 3: Phương pháp đưa phương trình tích... thườngbình phương hai vế phương trình cho sẵn Khi bình phương vế phương trình có sắn ta được: + ( x + 3) ( 3x + 1) = x + x ( x + 1) , để giải phương trình dĩ nhiên khơng khó phức tạp chút Tuy nhiên phương. .. số phương pháp giải phương trình vô tỉ để giúp em học sinh nâng cao kiến thức có - 12 - kỹ giải phương trình vơ tỉ Tuy nhiên kinh nghiệm thân chưa nhiều nên tơi trình bày số phương pháp Rất mong